Matrizen und Vektoren: Interaktive Quizfragen für Numerische Methoden

Question 1

Die Determinante einer Matrix ist ein Skalar, der welche geometrische Größe des von den Spaltenvektoren aufgespannten Parallelogramms angibt?

Accepted Answer

Fläche

Answer

Volumen

Answer

Umfang

Answer

Höhe

Question 2

Welcher Rang einer Matrix besagt, dass sie invertierbar ist?

Accepted Answer

Der Rang ist gleich der Anzahl der Zeilen oder Spalten.

Answer

Der Rang ist 0.

Answer

Der Rang ist kleiner als die Anzahl der Zeilen oder Spalten.

Answer

Der Rang ist größer als die Anzahl der Zeilen oder Spalten.

Question 3

Was ist ein Eigenwert einer Matrix?

Accepted Answer

Ein Skalar, für den es einen zugehörigen Eigenvektor ungleich dem Nullvektor gibt.

Answer

Ein Vektor, der orthogonal zu allen anderen Eigenvektoren derselben Matrix ist.

Answer

Ein Eigenvektor, dessen Länge 1 beträgt.

Answer

Eine Matrix, deren Determinante 0 ist.

Question 4

Welche der folgenden Aussagen über Eigenvektoren ist **falsch**?

Accepted Answer

Sie sind orthogonal zueinander.

Answer

Sie bilden eine Basis für den Eigenraum zum zugehörigen Eigenwert.

Answer

Sie sind immer linear unabhängig.

Answer

Sie können normiert werden, um die Länge 1 zu haben.

Question 5

Welche der folgenden Aussagen über die Spur einer Matrix ist richtig?

Accepted Answer

Sie ist gleich der Summe der Einträge auf der Hauptdiagonale.

Answer

Sie ist gleich der Summe der Eigenwerte der Matrix.

Answer

Sie ist gleich der Determinante der Matrix.

Answer

Sie ist gleich dem Rang der Matrix.

Question 6

Welche der folgenden Operationen ist **nicht** auf Matrizen anwendbar?

Accepted Answer

Potenzierung

Answer

Addition

Answer

Multiplikation

Answer

Transposition

Question 7

Welches der folgenden Verfahren wird verwendet, um die Lösung eines linearen Gleichungssystems zu finden, indem eine Matrix in eine Dreiecksmatrix umgeformt wird?

Accepted Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

QR-Zerlegung

Answer

Singulärwertzerlegung

Answer

Potenzmethode

Question 8

Welche der folgenden Aussagen über die Norm eines Vektors ist **falsch**?

Accepted Answer

Die Norm eines Vektors ist gleich dem Betrag seines größten Elements.

Answer

Die Norm eines Vektors ist immer eine positive Zahl oder null.

Answer

Die Norm eines Vektors ist eine Invariante.

Answer

Die Norm des Nullvektors ist null.

Question 9

Was beschreibt den Rang einer Matrix?

Accepted Answer

Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten.

Answer

Die minimale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten.

Answer

Die Anzahl der Zeilen oder Spalten der Matrix.

Answer

Den Kehrwert der Determinante der Matrix.

Question 10

Welche der folgenden Aussagen beschreibt den euklidischen Vektorraum?

Accepted Answer

Alle oben genannten Aussagen.

Answer

Jeder Vektor besitzt eine Länge.

Answer

Vektoren können uneingeschränkt addiert und skaliert werden.

Answer

Der Abstand zwischen zwei Vektoren ist berechenbar.

Question 11

Welche der folgenden Operationen ist für Vektoren nicht definiert?

Accepted Answer

Kreuzprodukt

Answer

Addition

Answer

Multiplikation mit einem Skalar

Answer

Skalarprodukt

Question 12

Welche der folgenden Aussagen über orthogonale Vektoren ist zutreffend?

Accepted Answer

Alle oben genannten Aussagen.

Answer

Orthogonale Vektoren stehen senkrecht aufeinander.

Answer

Orthogonale Vektoren haben ein Skalarprodukt von 0.

Answer

Orthogonale Vektoren besitzen eine Länge von 1.

Question 13

Welche der folgenden Aussagen über Matrizen ist **nicht** korrekt?

Accepted Answer

Zwei Matrizen können nur addiert oder subtrahiert werden, wenn sie die gleiche Größe haben.

Answer

Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen.

Answer

Die Elemente einer Matrix werden durch Zeilen- und Spaltenindizes eindeutig identifiziert.

Answer

Die transponierte Matrix einer Matrix A ist durch A^T gekennzeichnet.

Question 14

Berechne die Determinante der Matrix A = [[2, 1], [3, 4]]

Accepted Answer

8

Answer

0

Answer

2

Answer

5

Question 15

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Eigenvektor der Matrix A = [[1, 2], [-2, 1]]?

Accepted Answer

v = [1, 1]

Answer

v = [2, 1]

Answer

v = [1, 2]

Answer

v = [2, 2]

Question 16

Welche der folgenden Aussagen über lineare Gleichungssysteme ist **nicht** korrekt?

Accepted Answer

Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem kann höchstens eine eindeutige Lösung haben.

Answer

Ein homogenes lineares Gleichungssystem hat immer die triviale Lösung.

Answer

Die Lösung eines linearen Gleichungssystems ist eindeutig, wenn es eine eindeutige Lösung gibt.

Answer

Die Rangbedingung ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems.

Question 17

Welche der folgenden Methoden wird verwendet, um das Gauß-Jordan-Verfahren durchzuführen?

Accepted Answer

Zeilenumformungen

Answer

Spaltenumformungen

Answer

Matrizenmultiplikation

Answer

Inverse einer Matrix

Question 18

Welche der folgenden Aussagen über numerische Stabilität ist **richtig**?

Accepted Answer

Eine numerisch instabile Methode kann zu inkorrekten Ergebnissen führen.

Answer

Eine numerisch stabile Methode liefert immer eine exakte Lösung.

Answer

Die numerische Stabilität hängt nur vom Algorithmus ab.

Answer

Die numerische Stabilität ist für alle numerischen Methoden gleichermaßen unwichtig.

Question 19

Welche der folgenden Aussagen zur Matrizenaddition ist **nicht** korrekt?

Accepted Answer

Die Matrizenaddition ist **nicht** kommutativ.

Answer

Matrizen gleicher Dimension können addiert werden.

Answer

Die Summe zweier Matrizen ist eine Matrix gleicher Dimension.

Answer

Die Diagonalelemente der Summe zweier Matrizen sind die Summe der korrespondierenden Diagonalelemente.

Question 20

Bestimme die Determinante der Matrix [[2, 1], [3, 5]]?

Accepted Answer

7

Answer

1

Answer

5

Answer

10

Question 21

Welchen Rang hat die Matrix [[1, 2], [3, 6], [4, 8]]?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

4

Question 22

Welche der folgenden Aussagen zum Eigenwertproblem ist **korrekt**?

Accepted Answer

Alle oben genannten Aussagen sind **korrekt**.

Answer

Eigenwerte sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung.

Answer

Eigenvektoren sind die Richtungen, in die die Matrix transformiert.

Answer

Eine Matrix hat immer mindestens einen Eigenwert.

Question 23

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 2], [2, 1]]

Answer

[[1, 2, 0], [0, 1, 2], [2, 0, 1]]

Answer

[[0, 1, 2], [1, 0, 2], [2, 1, 0]]

Question 24

Welche der folgenden Aussagen über die Subtraktion zweier Matrizen ist falsch?

Accepted Answer

Die Subtraktion ist eine kommutative Operation, d. h. A-B = B-A.

Answer

Die subtrahierten Matrizen müssen die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten haben.

Answer

Das Ergebnis der Subtraktion ist eine Matrix mit den gleichen Dimensionen wie die subtrahierten Matrizen.

Answer

Die Subtraktion ist eine assoziative Operation, d. h. (A-B)-C = A-(B-C).

Question 25

Was ist die Determinante einer Diagonalmatrix?

Accepted Answer

Das Produkt der Diagonalelemente.

Answer

Die Summe der Diagonalelemente.

Answer

Die Differenz der Diagonalelemente.

Answer

Null, wenn mindestens ein Diagonalelement Null ist.

Question 26

Welche der folgenden Aussagen über die Eigenwerte einer reellen Matrix ist falsch?

Accepted Answer

Eigenwerte sind immer reelle Zahlen.

Answer

Eine Matrix kann komplexe Eigenwerte haben, auch wenn ihre Elemente reell sind.

Answer

Eine Matrix kann mehrere gleiche Eigenwerte haben.

Answer

Eine Matrix mit verschiedenen Eigenwerten ist diagonalisierbar.

Question 27

Was ist der geometrische Sinn eines Eigenvektors?

Accepted Answer

Eine Richtung, in der sich der durch die Matrix transformierte Vektor nur skaliert.

Answer

Eine Richtung, in der sich der durch die Matrix transformierte Vektor spiegelt.

Answer

Eine Richtung, in der sich der durch die Matrix transformierte Vektor dreht.

Answer

Eine Richtung, in der sich der durch die Matrix transformierte Vektor nicht verändert.

Question 28

Welche der folgenden Methoden eignet sich am besten zur Berechnung der Eigenwerte einer großen Matrix?

Accepted Answer

QR-Algorithmus

Answer

Power-Iteration

Answer

Gauß-Elimination

Answer

LU-Zerlegung

Question 29

Welche der folgenden Anwendungen von Matrizen und Vektoren in der Ingenieurwissenschaft ist NICHT korrekt?

Accepted Answer

Vorhersage von Wetteränderungen

Answer

Analyse von Schwingungen

Answer

Lösung von Differentialgleichungen

Answer

Berechnung von Spannungen und Verformungen in Strukturen

Question 30

Was ist der Unterschied zwischen einer Matrix und einem Vektor?

Accepted Answer

Ein Vektor ist eine eindimensionale Anordnung von Elementen, während eine Matrix eine zweidimensionale Anordnung von Elementen ist.

Answer

Ein Vektor hat keine Dimensionen, während eine Matrix Dimensionen hat.

Answer

Ein Vektor ist immer eine Zeile, während eine Matrix immer eine Spalte ist.

Answer

Es gibt keinen Unterschied zwischen einer Matrix und einem Vektor.

Question 31

Welche der folgenden Aussagen über Matrizen beschreibt ihre Eigenschaft der Multiplikation korrekt?

Accepted Answer

Matrizen können sowohl mit Matrizen als auch mit Vektoren multipliziert werden.

Answer

Matrizen können nur mit Skalarwerten multipliziert werden.

Answer

Matrizen können nur mit Vektoren multipliziert werden.

Answer

Matrizen können nur mit anderen Matrizen derselben Größe multipliziert werden.

Question 32

Welche der folgenden Aussagen beschreibt den Vektorraum korrekt?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren, die unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die unter Multiplikation abgeschlossen ist.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die eine Einheitslänge haben.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die parallel zueinander sind.

Question 33

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[2, 0], [0, 2]]

Answer

[[0, 2], [2, 0]]

Question 34

Welche der folgenden Aussagen über Eigenvektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Eigenvektoren sind Vektoren, die sich unter einer linearen Transformation nicht ändern.

Answer

Eigenvektoren sind Vektoren, die parallel zu den Koordinatenachsen sind.

Answer

Eigenvektoren haben immer eine Länge von 1.

Answer

Eigenvektoren sind nur für symmetrische Matrizen definiert.

Question 35

Welche der folgenden Operationen ist für Matrizen **nicht** definiert?

Accepted Answer

Subtraktion

Answer

Addition

Answer

Multiplikation

Answer

Transposition

Question 36

Was ist der Rang einer Matrix?

Accepted Answer

Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten.

Answer

Die Summe aller Elemente in der Matrix.

Answer

Die Anzahl der Elemente in der Matrix.

Question 37

Was ist ein Eigenwert einer Matrix?

Accepted Answer

Ein Skalar, für den die Matrix einheitenlos ist.

Answer

Ein Vektor, der zur Matrix parallel ist.

Answer

Eine Determinante, die nicht Null ist.

Answer

Eine Matrix, die mit der ursprünglichen Matrix multipliziert werden kann.

Question 38

Welches der folgenden Verfahren kann **nicht** verwendet werden, um die Inverse einer Matrix zu berechnen?

Accepted Answer

Cramer-Regel

Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

Singularwertzerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Question 39

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist **nicht** korrekt?

Accepted Answer

Ein Vektor ist eine ungerichtete Größe mit einer Größe.

Answer

Ein Vektor ist eine gerichtete Größe mit einer Größe und einer Richtung.

Answer

Ein Vektor kann in jedemdimensionierten Raum definiert werden.

Question 40

Welche der folgenden Aussagen über Matrizen ist falsch?

Accepted Answer

Die Summe der Elemente einer Zeile ist immer gleich der Summe der Elemente einer Spalte.

Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie Eigenwerte hat.

Answer

Die Inverse einer Matrix existiert nur, wenn die Determinante ungleich 0 ist.

Answer

Die Transponierte einer Matrix ist immer eine Matrix derselben Größe.

Question 41

Welche der folgenden Aussagen über lineare Gleichungssysteme ist richtig?

Accepted Answer

Ein lineares Gleichungssystem mit einer eindeutigen Lösung hat keinen freien Parameter.

Answer

Ein homogenes lineares Gleichungssystem hat immer nur eine nicht-triviale Lösung.

Answer

Die Anzahl der Lösungen eines linearen Gleichungssystems hängt immer von der Anzahl der Unbekannten ab.

Question 42

Der Rang einer Matrix entspricht der:

Accepted Answer

Maximalen Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten

Answer

Spur der Matrix

Answer

Determinante der Matrix

Question 43

Welche Aussage zur Determinante einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Sie repräsentiert das Volumen des von den Zeilenvektoren aufgespannten Parallelepipeds.

Answer

Sie ist stets positiv.

Answer

Sie entspricht dem Produkt der Eigenwerte.

Question 44

Mit welcher Methode wird die Inverse einer Matrix berechnet?

Accepted Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

Eigenwertzerlegung

Answer

Cramer-Regel

Answer

Laplace-Entwicklung

Question 45

Welche Aussage zu Eigenwerten ist korrekt?

Accepted Answer

Sie sind Lösungen der charakteristischen Gleichung einer Matrix.

Answer

Sie sind stets positiv.

Answer

Sie sind stets reell.

Question 46

Wie lautet die charakteristische Gleichung einer 2x2-Matrix?

Accepted Answer

det(A - λI) = 0

Answer

det(A + λI) = 0

Answer

tr(A - λI) = 0

Question 47

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine Matrix korrekt?

Accepted Answer

Ein rechteckiges Array aus Zahlenwerten

Answer

Ein eindimensionales Array aus Zahlenwerten

Answer

Eine Sammlung von Vektoren

Answer

Eine skalare Größe

Question 48

Welche Dimensionen hat eine Matrix mit den Abmessungen 3x4?

Accepted Answer

3 Zeilen und 4 Spalten

Answer

4 Zeilen und 3 Spalten

Answer

3x4 Elemente

Answer

4x3 Elemente

Question 49

Welche Operationen sind für Matrizen zulässig?

Accepted Answer

Addition und Multiplikation

Answer

Keine Operationen

Answer

Subtraktion und Division

Answer

Nur Multiplikation

Question 50

Was ist der Rang einer Matrix?

Accepted Answer

Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten

Answer

Die Anzahl der Spalten in der Matrix

Answer

Die Anzahl der Zeilen in der Matrix

Question 51

Welche Matrizen sind invertierbar?

Accepted Answer

Quadratische Matrizen mit einer von Null verschiedenen Determinante

Answer

Rechteckige Matrizen mit einer von Null verschiedenen Determinante

Answer

Quadratische Matrizen mit einer Determinante von Null

Question 52

Was sind Eigenwerte einer Matrix?

Accepted Answer

Skalare, die bei Multiplikation mit der Matrix einen Vektor auf ein Vielfaches seiner selbst abbilden

Answer

Vektoren, die bei Multiplikation mit der Matrix auf sich selbst abgebildet werden

Answer

Matrizen, die bei Multiplikation mit der Matrix auf ihre Inverse abgebildet werden

Question 53

Welche Aussage zu Eigenvektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Eigenvektoren sind nicht-null Vektoren, die bei Multiplikation mit einer Matrix auf ein Vielfaches ihrer selbst abgebildet werden

Answer

Eigenvektoren sind Nullvektoren

Question 54

Wie berechnet man die Determinante einer 2x2-Matrix?

Accepted Answer

ad - bc

Answer

a + b + c + d

Answer

a*b - c*d

Answer

(a + d)*(b + c)

Question 55

Welche Matrizen sind orthogonal?

Accepted Answer

Matrizen, deren Inverse gleich ihrer Transponierten ist

Answer

Matrizen mit einer Spur gleich 0

Answer

Matrizen mit einer Determinante gleich 1

Question 56

In welcher Anwendung werden Matrizen und Vektoren eingesetzt?

Accepted Answer

Lösen von Gleichungssystemen

Answer

Erstellen von Diagrammen

Answer

Ableiten von Funktionen

Answer

Berechnen von Integralen

Question 57

Welche der folgenden Aussagen über Matrizen ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Eine Matrix hat immer eine quadratische Form.

Answer

Eine Matrix kann in Form einer Tabelle von Zahlen dargestellt werden.

Answer

Eine Matrix kann Zeilen und Spalten mit unterschiedlichen Längen haben.

Answer

Eine Matrix kann eine beliebige Anzahl von Zeilen und Spalten besitzen.

Question 58

Welche der aufgeführten Operationen ist für Vektoren nicht definiert?

Accepted Answer

Multiplikation mehrerer Vektoren untereinander

Answer

Subtraktion von Vektoren

Answer

Addition von Vektoren

Answer

Skalare Multiplikation von Vektoren

Question 59

Welcher Begriff beschreibt eine Matrix, die ausschließlich aus Nullen besteht?

Accepted Answer

Nullmatrix

Answer

Identitätsmatrix

Answer

Einheitsmatrix

Answer

Diagonalmatrix

Question 60

Was versteht man unter dem Rang einer Matrix?

Accepted Answer

Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten

Answer

Die Anzahl der Zeilen in der Matrix

Answer

Die Anzahl der Spalten in der Matrix

Question 61

Welche Eigenschaft trifft auf die Determinante einer Matrix zu?

Accepted Answer

Sie repräsentiert die Fläche des von den Spaltenvektoren der Matrix aufgespannten Parallelogramms.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist immer positiv.

Question 62

Welchen Zweck erfüllt die Inverse einer Matrix?

Accepted Answer

Ermöglicht die Lösung linearer Gleichungssysteme

Answer

Berechnung des Matrixrangs

Answer

Ermittlung von Eigenwerten und Eigenvektoren

Question 63

Welche Aussage zu Eigenwerten und Eigenvektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Ein Eigenvektor bleibt nach einer linearen Transformation ein Vielfaches seiner selbst.

Answer

Eigenwerte sind stets reelle Zahlen.

Question 64

Welche Anwendung findet die Eigenwertzerlegung einer Matrix?

Accepted Answer

Lösung von Systemen von Differentialgleichungen

Answer

Inversion einer Matrix

Answer

Berechnung der Determinante einer Matrix