Lineare Gleichungssysteme: Online-Quiz für Studierende des Maschinenbaus

Question 1

Welches Verfahren wird verwendet, um ein lineares Gleichungssystem in eine obere Dreiecksmatrix umzuwandeln?

Accepted Answer

LU-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Answer

Cholesky-Zerlegung

Answer

Singulärwertzerlegung

Question 2

Was beschreibt die Konditionszahl eines Gleichungssystems?

Accepted Answer

Die Empfindlichkeit der Lösung gegenüber Änderungen der Eingabedaten

Answer

Die Genauigkeit der Lösung

Answer

Die Anzahl der Lösungen

Answer

Die Dimension des Gleichungssystems

Question 3

Welches Verfahren ist numerisch stabiler, Gauß-Elimination oder QR-Zerlegung?

Accepted Answer

QR-Zerlegung

Answer

Gauß-Elimination

Answer

Beide sind gleich stabil

Answer

Keines der beiden ist stabil

Question 4

Was unterscheidet eine reguläre von einer singulären Matrix?

Accepted Answer

Eine reguläre Matrix lässt sich invertieren, eine singuläre Matrix nicht

Answer

Eine singuläre Matrix lässt sich invertieren, eine reguläre Matrix nicht

Answer

Beide lassen sich invertieren

Answer

Keines der beiden lässt sich invertieren

Question 5

Welches Kriterium entscheidet über die eindeutige Lösbarkeit eines Gleichungssystems?

Accepted Answer

Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix

Answer

Rang der Koeffizientenmatrix

Answer

Determinante der Koeffizientenmatrix

Answer

Norm der Koeffizientenmatrix

Question 6

Welcher wesentliche Nachteil ist mit der Gauß-Elimination verbunden?

Accepted Answer

Numerische Instabilität

Answer

Hoher Rechenaufwand

Answer

Einschränkung auf quadratische Gleichungssysteme

Answer

Unfähigkeit, Systeme mit komplexen Koeffizienten zu lösen

Question 7

Welche Methode berechnet die Kondition einer Matrix?

Accepted Answer

Singulärwertzerlegung

Answer

Eigenwertanalyse

Answer

QR-Zerlegung

Answer

LU-Zerlegung

Question 8

Welche Aussage über die Inverse einer Matrix ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Die Inverse einer Matrix ist immer eine symmetrische Matrix

Answer

Die Inverse einer Matrix ist eindeutig, sofern sie existiert

Answer

Die Inverse einer Matrix existiert nur, wenn die Matrix regulär ist

Answer

Die Inverse einer Matrix lässt sich durch Division der Adjungierten Matrix durch die Determinante berechnen

Question 9

Welche der folgenden Aussagen über die LU-Zerlegung ist korrekt?

Accepted Answer

Sie zerlegt eine Matrix in eine untere und eine obere Dreiecksmatrix.

Answer

Sie kann nur für quadratische Matrizen angewendet werden.

Answer

Sie ist eine iterative Methode.

Answer

Sie ist numerisch immer stabil.

Question 10

Beurteilen Sie die numerische Stabilität der LU-Zerlegung. Nennen Sie eine Maßnahme, die zur Verbesserung ihrer Stabilität ergriffen werden kann.

Accepted Answer

Die LU-Zerlegung kann durch Pivoting numerisch stabiler gemacht werden.

Answer

Die LU-Zerlegung ist numerisch stabil, da sie auf der Gauß-Elimination basiert.

Answer

Die Stabilität der LU-Zerlegung kann durch die Verwendung einer höheren Genauigkeit verbessert werden.

Answer

Die LU-Zerlegung kann ersetzt werden durch die numerisch stabilere QR-Zerlegung.

Question 11

Was bedeutet die Kondition einer Matrix?

Accepted Answer

Sie ist ein Maß für die Empfindlichkeit der Lösung eines linearen Gleichungssystems gegenüber Änderungen der Koeffizienten.

Answer

Sie ist ein Maß für die Größe der Matrix.

Answer

Sie ist ein Maß für den Rang der Matrix.

Answer

Sie ist ein Maß für die Determinante der Matrix.

Question 12

Welche Aussage zur LU-Zerlegung ist falsch?

Accepted Answer

Sie kann verwendet werden, um lineare Gleichungssysteme mit einer singulären Koeffizientenmatrix zu lösen.

Answer

Sie kann verwendet werden, um die Inverse einer Matrix zu bestimmen.

Answer

Sie ist numerisch stabiler als die Gauß-Elimination für wohlkonditionierte Systeme.

Answer

Sie kann verwendet werden, um die Determinante einer Matrix zu bestimmen.

Question 13

Welche der folgenden Matrizen ist orthogonal?

Accepted Answer

Eine Matrix, deren Spaltenvektoren orthogonal zueinander sind.

Answer

Eine Matrix, deren Zeilenvektoren orthogonal zueinander sind.

Answer

Eine Matrix, deren Inverse ihre Transponierte ist.

Answer

Eine Matrix mit nur Einsen

Question 14

Welche Aussage über die QR-Zerlegung ist falsch?

Accepted Answer

Die QR-Zerlegung ist für alle Matrizen möglich.

Answer

Die Q-Matrix ist orthogonal.

Answer

Die R-Matrix ist eine obere Dreiecksmatrix.

Answer

Die QR-Zerlegung kann zur Lösung linearer Gleichungssysteme verwendet werden.

Question 15

Welcher Begriff beschreibt die Empfindlichkeit der Lösung eines linearen Gleichungssystems gegenüber Veränderungen in den Eingangsdaten?

Accepted Answer

Konditionierung

Answer

Stabilität

Answer

Genauigkeit

Answer

Fehlerfortpflanzung

Question 16

Welche Eigenschaft ist charakteristisch für gut konditionierte lineare Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Kleine Änderungen in den Eingangsdaten führen zu kleinen Änderungen in der Lösung.

Answer

Kleine Änderungen in den Eingangsdaten führen zu großen Änderungen in der Lösung.

Answer

Das System hat eindeutig eine Lösung.

Answer

Die Matrix hat keine Nulleigenwerte.

Question 17

Welches Auflösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme basiert auf der sukzessiven Elimination von Unbekannten, wodurch eine obere Dreiecksmatrix entsteht?

Accepted Answer

Gauß-Elimination

Answer

LU-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Answer

Jacobi-Iteration

Question 18

Welche Zerlegung eines Matrizenprodukts wird verwendet, um lineare Gleichungssysteme effizient zu lösen, indem eine Matrix in eine untere Dreiecksmatrix und eine obere Dreiecksmatrix zerlegt wird?

Accepted Answer

LU-Zerlegung

Answer

Cholesky-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Answer

SVD-Zerlegung

Question 19

Welche Zerlegung eignet sich insbesondere für die Lösung von Systemen mit einer symmetrischen positiv definiten Matrix?

Accepted Answer

Cholesky-Zerlegung

Answer

LU-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Answer

SVD-Zerlegung

Question 20

Welche Norm misst die Abweichung einer Matrix von der Einheitsmatrix, indem sie die Summe der Quadrate aller Elemente berechnet?

Accepted Answer

Frobeniusnorm

Answer

Spektralnorm

Answer

2-Norm

Answer

Unendlichnorm

Question 21

Welcher Wert gibt Aufschluss darüber, wie empfindlich ein lineares Gleichungssystem gegenüber Rundungsfehlern ist?

Accepted Answer

Kondition

Answer

Rang

Answer

Determinante

Answer

Spur

Question 22

Welcher Algorithmus löst das lineare Gleichungssystem Ax = b, wobei A eine tridiagonale Matrix ist, effizient, indem er eine spezielle Struktur ausnutzt?

Accepted Answer

Thomas-Algorithmus

Answer

LU-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Answer

Jacobi-Iteration

Question 23

Welche Eigenschaft zeichnet eine positiv definite Matrix aus?

Accepted Answer

Alle Eigenwerte sind positiv

Answer

Alle Hauptunterdeterminanten sind positiv

Answer

Die Inverse existiert immer

Answer

Die Spur ist positiv

Question 24

Welcher Satz gibt Bedingungen an, die die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems garantieren oder ausschließen?

Accepted Answer

Satz von Rouché-Capelli

Answer

Satz von Cramer

Answer

Satz von Sylvester

Answer

Satz von Hadamard

Question 25

Beim Gauß-Eliminationsverfahren wird eine Matrix in eine Dreiecksmatrix umgewandelt. Welche Form hat diese Dreiecksmatrix?

Accepted Answer

Obere Dreiecksmatrix

Answer

Untere Dreiecksmatrix

Answer

Diagonalmatrix

Answer

Symmetrische Matrix

Question 26

Was beschreibt die Konditionierung eines Gleichungssystems?

Accepted Answer

Sensitivität der Lösung gegenüber Änderungen der Koeffizienten

Answer

Anzahl der Zeilen in der Matrix des Systems

Answer

Rang der Matrix des Systems

Answer

Determinante der Matrix des Systems

Question 27

Welche Aussage über numerische Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme ist falsch?

Accepted Answer

Sie liefern exakte Lösungen für alle Gleichungssysteme.

Answer

Sie sind immer stabil und zuverlässig.

Answer

Sie können Gleichungssysteme mit großen Matrizen lösen.

Answer

Sie sind nur für Gleichungssysteme mit reellen Koeffizienten geeignet.

Question 28

Welche Matrix ist singulär?

Accepted Answer

[[0, 1], [0, 0]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 1], [1, 1]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Question 29

Welches Verfahren eignet sich zur Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems?

Accepted Answer

Newton-Verfahren

Answer

Gauß-Eliminationsverfahren

Answer

LU-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Question 30

Welches der folgenden Verfahren löst ein lineares Gleichungssystem durch sukzessive Elimination von Variablen?

Accepted Answer

Gauß-Elimination

Answer

LU-Zerlegung

Answer

Jacobi-Iteration

Answer

QR-Zerlegung

Question 31

Welches Maß wird verwendet, um die Konditionierung eines linearen Gleichungssystems zu quantifizieren?

Accepted Answer

Konditionszahl

Answer

Rang

Answer

Determinante

Answer

Norm

Question 32

Welche der folgenden Aussagen zur QR-Zerlegung ist korrekt?

Accepted Answer

Sie zerlegt eine Matrix in eine orthogonale Matrix und eine obere Dreiecksmatrix.

Answer

Sie zerlegt eine Matrix in eine symmetrische Matrix und eine obere Dreiecksmatrix.

Answer

Sie ist immer eindeutig.

Question 33

Welche der folgenden Aussagen zur Gauß-Elimination ist falsch?

Accepted Answer

Sie kann zur Lösung linearer Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen verwendet werden.

Answer

Sie benötigt O(n³)-Rechenoperationen.

Answer

Sie führt zu einer oberen Dreiecksmatrix.

Question 34

Welches der folgenden Verfahren ist eine iterative Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Jacobi-Iteration

Answer

LU-Zerlegung

Answer

Gauß-Elimination

Answer

QR-Zerlegung

Question 35

Welche der folgenden Eigenschaften ist für gut konditionierte lineare Gleichungssysteme typisch?

Accepted Answer

Kleine Konditionszahl

Answer

Niedriger Rang

Answer

Hohe Norm

Answer

Große Determinante

Question 36

Welche der folgenden Aussagen zur QR-Zerlegung ist falsch?

Accepted Answer

Sie ist immer numerisch stabil.

Answer

Sie kann zur Berechnung von Eigenwerten verwendet werden.

Answer

Sie ist für dünn besetzte Matrizen effizient.

Question 37

Welches der folgenden Verfahren eignet sich am besten zur Lösung großer und spärlicher linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Iterative Methoden

Answer

QR-Zerlegung

Answer

Gauß-Elimination

Answer

LU-Zerlegung

Question 38

Welche der folgenden Aussagen über die Gauß-Elimination beschreibt ihren Zweck präzise?

Accepted Answer

Transformiert eine Matrix in eine Matrix in Zeilenstufenform.

Answer

Ermittelt den Rang einer Matrix.

Answer

Berechnet die Determinante einer Matrix.

Question 39

Was beschreibt die Kondition einer Matrix?

Accepted Answer

Sensitivität der Lösung gegenüber geringfügigen Änderungen in der Matrix.

Answer

Rang der Matrix

Answer

Größe der Matrix

Question 40

Welche Aussage über die QR-Zerlegung ist korrekt?

Accepted Answer

Zerlegt eine Matrix in eine orthogonale Matrix und eine obere Dreiecksmatrix.

Answer

Ist nur für quadratische Matrizen geeignet.

Answer

Kann nur für die Lösung überbestimmter Systeme verwendet werden.

Question 41

Welche Methode kann verwendet werden, um die Genauigkeit der Lösung eines linearen Gleichungssystems zu verbessern?

Accepted Answer

Iterative Verfeinerung

Answer

Jacobi-Iteration

Answer

Cholesky-Verfahren

Answer

Gauß-Seidel-Iteration

Question 42

Welche Methode kann zur Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems verwendet werden?

Accepted Answer

Newton-Verfahren

Answer

Gauß-Elimination

Answer

Cholesky-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Question 43

Welches Verfahren ist geeignet, um ein lineares Gleichungssystem mit einer tridiagonalen Matrix zu lösen?

Accepted Answer

Thomas-Algorithmus

Answer

Gauß-Elimination

Answer

LU-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Question 44

Was beschreibt die Kondition einer Matrix?

Accepted Answer

Maß für die Empfindlichkeit der Lösung eines linearen Gleichungssystems gegenüber Änderungen in den Matrixelementen

Answer

Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems

Question 45

Was bewirkt die LU-Zerlegung einer Matrix?

Accepted Answer

Zerlegung in eine untere und eine obere Dreiecksmatrix

Answer

Berechnung der Determinante

Answer

Reduktion auf eine Diagonalmatrix

Question 46

Was ist das Ziel der iterativen Verfeinerung?

Accepted Answer

Verbesserung der Genauigkeit der Lösung eines linearen Gleichungssystems

Answer

Reduzierung der Kondition des Gleichungssystems

Answer

Berechnung des Residuums

Question 47

Welche Methode ist ein direktes Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Gauß-Elimination

Answer

Gauß-Seidel-Iteration

Answer

Jacobi-Iteration

Answer

Konjugierte Gradientenmethode

Question 48

Welches Kriterium bestimmt, ob ein lineares Gleichungssystem überbestimmt ist?

Accepted Answer

Anzahl der Gleichungen größer als Anzahl der Variablen

Answer

Anzahl der Gleichungen kleiner als Anzahl der Variablen

Answer

Anzahl der Variablen größer als Anzahl der Gleichungen

Answer

Anzahl der Gleichungen gleich Anzahl der Variablen

Question 49

Welches Verfahren wird zur Lösung überbestimmter linearer Gleichungssysteme eingesetzt?

Accepted Answer

Methode der kleinsten Quadrate

Answer

Gauß-Elimination

Answer

QR-Zerlegung

Answer

Jacobi-Verfahren

Question 50

Welche der folgenden Matrizen ist eine obere Dreiecksmatrix?

Accepted Answer

[[1, 2, 3], [0, 4, 5], [0, 0, 6]]

Answer

[[1, 2, 0], [0, 1, 2], [0, 0, 1]]

Answer

[[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]

Answer

[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

Question 51

Welche Aussage über die Gauß-Elimination ist korrekt?

Accepted Answer

Sie führt eine Reihe von Zeilenoperationen durch, um eine Matrix in eine Zeilenstufenform zu bringen.

Answer

Sie löst ein lineares Gleichungssystem direkt, ohne Zeilenoperationen zu verwenden.

Question 52

Welche Zerlegung wird verwendet, um eine Matrix in eine untere und eine obere Dreiecksmatrix zu zerlegen?

Accepted Answer

LU-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Answer

LDL-Zerlegung

Answer

Cholesky-Zerlegung

Question 53

Welches Konzept beschreibt das Ausmaß, in dem die Lösung eines linearen Gleichungssystems von kleinen Änderungen in den Koeffizienten beeinflusst wird?

Accepted Answer

Konditionierung

Answer

Empfindlichkeit

Answer

Stabilität

Answer

Genauigkeit

Question 54

Welche Aussage über die QR-Zerlegung ist falsch?

Accepted Answer

Sie ist immer möglich.

Answer

Sie kann zur Lösung linearer Gleichungssysteme verwendet werden.

Answer

Sie zerlegt eine Matrix in eine orthogonale und eine obere Dreiecksmatrix.

Answer

Sie ist numerisch stabiler als die LU-Zerlegung.

Question 55

Welche Aussage ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems?

Accepted Answer

Der Rang der Koeffizientenmatrix ist gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix.

Answer

Der Rang der Koeffizientenmatrix ist größer als der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix.

Answer

Die Koeffizientenmatrix ist invertierbar.

Question 56

Welches Kriterium kann verwendet werden, um den Konditionsgrad einer Matrix zu messen?

Accepted Answer

Konditionszahl

Answer

Spur

Answer

Eigenwerte

Answer

Determinante

Question 57

Welches Lösungsverfahren eignet sich besonders für große, spärliche lineare Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Iterative Verfahren

Answer

Zerlegungsverfahren

Answer

Matrixinversion

Answer

Direkte Verfahren

Question 58

Welche Aussage zur Kondition einer Matrix ist zutreffend?

Accepted Answer

Eine schlecht konditionierte Matrix kann zu numerisch instabilen Lösungen führen.

Answer

Eine gut konditionierte Matrix garantiert eine exakte Lösung.

Answer

Die Kondition einer Matrix ist unabhängig von der Größe des Gleichungssystems.

Question 59

Was ist das primäre Ziel der LU-Zerlegung?

Accepted Answer

Zerlegung einer Matrix in eine untere und eine obere Dreiecksmatrix

Answer

Berechnung der Determinante der Matrix

Answer

Umformung des Gleichungssystems in eine äquivalente Form

Question 60

Welche der folgenden Aussagen zur QR-Zerlegung ist falsch?

Accepted Answer

Die QR-Zerlegung ist nur auf quadratische Matrizen anwendbar.

Answer

Die Q-Matrix ist orthogonal

Answer

Die R-Matrix ist eine obere Dreiecksmatrix

Question 61

Welches Kriterium wird zur Bestimmung der Konvergenz iterativer Verfahren herangezogen?

Accepted Answer

Residuenorm

Answer

Spurenorm

Answer

Eigenwerte

Answer

Konditionszahl

Question 62

Welcher der folgenden Ansätze ist am besten geeignet, um ein nichtlineares Gleichungssystem zu lösen?

Accepted Answer

Iterative Verfahren

Answer

Grafische Methoden

Answer

Analytische Methoden

Answer

Direkte Verfahren

Question 63

Welche Aussage zur Stabilität numerischer Methoden ist korrekt?

Accepted Answer

Eine numerisch stabile Methode führt bei kleinen Störungen der Eingabedaten zu kleinen Störungen in den Ergebnissen.

Answer

Eine numerisch instabile Methode garantiert immer genaue Ergebnisse.

Question 64

Welche Methode wird verwendet, um eine Matrix in eine obere und eine untere Dreiecksmatrix zu zerlegen?

Accepted Answer

LU-Zerlegung

Answer

LU-Zerlegung mit partieller Pivotisierung

Answer

Cholesky-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung