Numerische Mathematik lernen: Interaktive Quizze und Übungen

Question 1

Welches der folgenden Verfahren eignet sich zur iterativen Lösung nichtlinearer Gleichungen?

Accepted Answer

Newton-Verfahren

Answer

Gauß-Elimination

Answer

LU-Zerlegung

Answer

Trapezregel

Question 2

Welches Merkmal ist charakteristisch für die Gauß-Elimination?

Accepted Answer

Überführt eine Matrix durch Zeilenoperationen in eine Dreiecksmatrix

Answer

Iteratives numerisches Verfahren

Answer

Nur für quadratische lineare Gleichungssysteme geeignet

Answer

Ermittelt die Determinante einer Matrix

Question 3

Was beschreibt die Gauß-Elimination?

Accepted Answer

Ein Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme durch Umwandlung der Koeffizientenmatrix in eine Dreiecksmatrix.

Answer

Ein Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme.

Answer

Ein Verfahren, das keine Pivotauswahl erfordert.

Answer

Ein Verfahren, das immer eine exakte Lösung liefert.

Question 4

Welches Approximationsverfahren basiert auf der Taylor-Entwicklung und dient zur numerischen Lösung von Differentialgleichungen?

Accepted Answer

Runge-Kutta-Verfahren

Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Answer

Monte-Carlo-Verfahren

Question 5

Wie lautet die mathematische Definition der QR-Zerlegung einer Matrix?

Accepted Answer

A = QR, wobei Q orthogonal (Q^T Q = I) und R eine obere Dreiecksmatrix ist.

Answer

A = SQ, wobei S symmetrisch (S^T = S) und Q orthogonal ist.

Answer

A = RQ, wobei R eine obere Dreiecksmatrix und Q orthogonal ist.

Answer

A = QL, wobei Q orthogonal und L eine untere Dreiecksmatrix ist.

Question 6

Welche Methode nutzt das Prinzip der Monte-Carlo-Simulation zur numerischen Berechnung von bestimmten Integralen?

Accepted Answer

Monte-Carlo-Integration

Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Answer

Gauß-Quadratur

Question 7

Welches Verfahren ist das effizienteste, um eine n x n-Matrix A in eine Dreiecksmatrix umzuwandeln, um das lineare Gleichungssystem Ax = b zu lösen?

Accepted Answer

LU-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Answer

Singulärwertzerlegung

Answer

Eigenwertzerlegung

Question 8

Welche der folgenden Methoden ist **nicht** für die numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen geeignet?

Accepted Answer

Gauß-Elimination

Answer

Newton-Verfahren

Answer

Sekantenverfahren

Answer

Regula-Falsi-Verfahren

Question 9

Welche numerische Methode bietet die höchste Konvergenzrate für die Lösung nichtlinearer Gleichungen?

Accepted Answer

Newton-Verfahren

Answer

Festpunkt-Iteration

Answer

Regula-Falsi-Verfahren

Answer

Sekantenverfahren

Question 10

Welches numerische Integrationsverfahren nutzt stückweise lineare Segmente zur Annäherung der Integrandenfunktion?

Accepted Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Answer

Runge-Kutta-Verfahren

Question 11

Welche Methode zur Lösung nichtlinearer Gleichungen konvergiert am schnellsten, wenn die Ableitung der Funktion gut angenähert werden kann?

Accepted Answer

Newton-Verfahren

Answer

Regula-Falsi-Verfahren

Answer

Sekantenverfahren

Answer

Bipartitionsverfahren

Question 12

Welche Eigenschaft trifft auf die Matrix Q in der QR-Zerlegung von A = QR zu?

Accepted Answer

Q ist orthogonal mit orthonormalen Spaltenvektoren.

Answer

Q ist symmetrisch.

Answer

Q ist die Inverse von R.

Answer

Q ist diagonal.

Question 13

Welche Aussage zur LU-Zerlegung einer regulären Matrix ist **nicht** korrekt?

Accepted Answer

Die LU-Zerlegung ist eindeutig.

Answer

Die LU-Zerlegung ist eine Faktorisierung in eine untere und eine obere Dreiecksmatrix.

Answer

Die LU-Zerlegung kann zur Lösung linearer Gleichungssysteme eingesetzt werden.

Question 14

Welche numerische Integrationsmethode liefert die präziseste Annäherung für ein Integral, wenn die Funktion stetig und ohne Sprünge ist?

Accepted Answer

Simpsonregel

Answer

Trapezregel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Question 15

Welches Verfahren zur iterativen Lösung nichtlinearer Gleichungen konvergiert mit quadratischer Konvergenz?

Accepted Answer

Newton-Verfahren

Answer

Sekantenverfahren

Answer

Regula-Falsi-Verfahren

Answer

Bisektionsverfahren

Question 16

Welches Verfahren dient iterativ zur Lösung nichtlinearer Gleichungen?

Accepted Answer

Newton-Verfahren

Answer

Gauß-Verfahren

Answer

QR-Zerlegung

Question 17

Welches Verfahren wird zur numerischen Annäherung der Ableitung einer Funktion eingesetzt?

Accepted Answer

Numerische Differenziation

Answer

Numerische Integration

Answer

Finite-Elemente-Methode

Answer

Monte-Carlo-Methode

Question 18

Welche Aussage trifft auf die Stabilität impliziter Finite-Differenzen-Methoden für die numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen zu?

Accepted Answer

Implizite Methoden sind in der Regel stabiler als explizite Methoden.

Accepted Answer

Implizite Methoden erfordern bei jedem Zeitschritt die Lösung eines linearen Gleichungssystems.

Answer

Implizite Methoden sind nicht für die Lösung nichtlinearer Differentialgleichungen geeignet.

Answer

Die Schrittweite hat keinen Einfluss auf die Stabilität der numerischen Lösung.

Question 19

Welche numerische Integrationsmethode verwendet Zufallszahlen, um den Flächeninhalt unter einer Kurve zu schätzen?

Accepted Answer

Monte-Carlo-Integration

Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Question 20

Welche Basispolynome werden bei der Hermite-Interpolation eingesetzt?

Accepted Answer

Hermite-Basispolynome

Answer

Lagrange-Basispolynome

Question 21

Welche der folgenden Methoden ist eine Simulationsmethode, die zur Lösung stochastischer Probleme verwendet wird?

Accepted Answer

Monte-Carlo-Simulation

Answer

Finite-Differenzen-Verfahren

Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

Newton-Raphson-Verfahren

Question 22

Was ist das Hauptziel der linearen Programmierung?

Accepted Answer

Lineare Zielfunktionen unter linearen Nebenbedingungen optimieren.

Answer

Lineare Gleichungssysteme lösen.

Answer

Quadratische Zielfunktionen optimieren.

Answer

Die Summe der Variablen in einer linearen Gleichung minimieren.

Question 23

Welche Methode verwendet elementare Zeilenumformungen, um ein System linearer Gleichungen in eine obere Dreiecksmatrix zu transformieren?

Accepted Answer

Gauß-Elimination

Answer

LU-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Question 24

Welche der folgenden Methoden eignet sich zur numerischen Berechnung der Ableitung einer Funktion?

Accepted Answer

Vorwärtsdifferenzenquotient

Accepted Answer

Rückwärtsdifferenzenquotient

Accepted Answer

Zentraler Differenzenquotient

Answer

Fünfter Differenzenquotient

Question 25

Wie lässt sich die Newton-Iteration zur Lösung nichtlinearer Gleichungen am besten beschreiben?

Accepted Answer

Iteratives Verfahren, das die Lösung durch lineare Näherungen annähert

Answer

Lineares Verfahren, das eine exakte Lösung findet

Answer

Konvergiert immer quadratisch, unabhängig von Funktion und Startwert

Question 26

Wie wird bei der Regula-Falsi-Methode das Intervall in jedem Iterationsschritt reduziert?

Accepted Answer

Durch Entfernen des Teils des Intervalls, der die Nullstelle nicht enthält

Answer

Durch Halbierung des Intervalls

Question 27

Was ist der entscheidende Unterschied zwischen Gauß-Elimination und Gauß-Jordan-Elimination?

Accepted Answer

Die Gauß-Jordan-Elimination erzeugt eine Diagonalmatrix, während die Gauß-Elimination nur eine obere Dreiecksmatrix erzeugt.

Answer

Die Gauß-Elimination nutzt Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen, während die Gauß-Jordan-Elimination nur Vorwärtseinsetzen verwendet.

Answer

Die Gauß-Elimination ist aufwendiger als die Gauß-Jordan-Elimination.

Question 28

Welche Eigenschaft trifft auf die Q-Matrix in der QR-Zerlegung einer Matrix zu?

Accepted Answer

Sie ist orthogonal.

Answer

Sie kann singulär sein.

Answer

Sie enthält nur positive Einträge.

Answer

Sie ist diagonal.

Question 29

Welche Methode garantiert unter der Voraussetzung einer hinreichend nahen Anfangsnäherung die Konvergenz gegen eine Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems?

Accepted Answer

Newton-Verfahren

Answer

Steffensen-Verfahren

Answer

Bisektionsverfahren

Answer

Regula-Falsi-Verfahren

Question 30

Welche Aussage trifft auf die Konvergenz des Newton-Verfahrens zur Lösung nichtlinearer Gleichungen zu?

Accepted Answer

Das Newton-Verfahren konvergiert quadratisch, wenn die zweite Ableitung an der Lösung ungleich null ist.

Answer

Das Newton-Verfahren konvergiert immer zur Lösung.

Answer

Das Newton-Verfahren konvergiert linear, wenn die Funktion differenzierbar ist.

Answer

Das Newton-Verfahren divergiert immer, wenn die Funktion nicht differenzierbar ist.

Question 31

Welche der folgenden Eigenschaften sind wesentliche Merkmale linearer Optimierungsprobleme?

Accepted Answer

Die Zielfunktion ist linear.

Accepted Answer

Die Nebenbedingungen sind linear.

Answer

Die Entscheidungsvariablen sind binär.

Question 32

Frage zur Laplace-Transformation
Wie hilft die Laplace-Transformation bei der Lösung von Anfangswertproblemen linearer Differentialgleichungen?

Accepted Answer

Sie wandelt die Differentialgleichung in eine algebraische Gleichung um, die leichter zu lösen ist.

Answer

Sie ist nur für lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten anwendbar.

Answer

Sie ist nur für die Lösung von Anfangswertproblemen geeignet.

Answer

Sie ist eine numerische Methode zur Lösung von Differentialgleichungen.

Question 33

Welche Methode wird zur Stabilitätsanalyse numerischer Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen verwendet?

Accepted Answer

Von-Neumann-Analyse

Answer

Fehlerabschätzung

Answer

Konvergenzanalyse

Answer

Runge-Kutta-Verfahren

Question 34

Welche numerische Methode ist optimal zur Bestimmung des Eigenwertspektrums einer symmetrischen Matrix?

Accepted Answer

QR-Algorithmus

Answer

LU-Zerlegung

Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Answer

Monte-Carlo-Simulation

Question 35

Welche Aussage beschreibt die Konvergenzrate des Newton-Verfahrens?

Accepted Answer

Quadratische Konvergenz

Answer

Lineare Konvergenz

Answer

Kubische Konvergenz

Question 36

Wie wird die Trapezregel zur numerischen Berechnung der Fläche unter dem Graphen einer Kurve angewendet?

Accepted Answer

Durch Aufteilung der Fläche in trapezförmige Teilflächen.

Answer

Durch Integration der Funktion, die den Graphen beschreibt.

Answer

Durch Annäherung der Kurve durch eine Polynomfunktion.

Answer

Durch Bestimmung des Schnittpunkts zwischen Kurve und x-Achse.

Question 37

Wie werden Eigenwertprobleme in der Praxis zur Analyse von Schwingungen und Stabilität gelöst?

Accepted Answer

Iterative numerische Methoden (z. B. Potenzverfahren)

Answer

Exakte analytische Methoden

Answer

Direkte Matrixinversion

Answer

Monte-Carlo-Simulation

Question 38

Welches numerische Integrationsverfahren ist für Funktionen mit stark oszillierenden Ableitungen am besten geeignet?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Question 39

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

$rac{dy}{dx} + y^2 = 0$

Answer

$rac{d^2y}{dx^2} + y = 0$

Answer

$rac{partial^2 y}{partial x^2} + rac{partial^2 y}{partial t^2} = 0$

Answer

$rac{d^3y}{dx^3} = 0$

Question 40

Welche der folgenden Methoden zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung ist implizit?

Accepted Answer

Variation der Konstanten

Answer

Euler-Verfahren

Answer

Runge-Kutta-Verfahren

Answer

Finite-Differenzen-Methode

Question 41

Welche der folgenden Aussagen zum Jacobi-Algorithmus ist korrekt?

Accepted Answer

Der Jacobi-Algorithmus ist ein iteratives Verfahren, das für unsymmetrische Matrizen geeignet ist.

Answer

Der Jacobi-Algorithmus ist ein direktes Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme.

Answer

Der Jacobi-Algorithmus ist numerisch stabil.

Answer

Der Jacobi-Algorithmus konvergiert immer.

Question 42

Welches ist der Hauptzweck der Spaltenpivotisierung bei der Gauß-Elimination?

Accepted Answer

Numerische Stabilität erhöhen

Answer

Rechenaufwand verringern

Answer

Konvergenz sicherstellen

Answer

Lösbarkeit prüfen

Question 43

Welche Vor- und Nachteile haben die folgenden Methoden der numerischen Integration: Trapezregel, Simpsonsche Regel und Gauß-Quadratur?

Accepted Answer

Trapezregel: Einfach zu berechnen, aber weniger genau.

Accepted Answer

Simpsonsche Regel: Genauer als die Trapezregel, aber aufwändiger zu berechnen.

Accepted Answer

Gauß-Quadratur: Am genauesten, aber am aufwändigsten zu berechnen.

Answer

Alle Methoden sind gleich gut.

Question 44

Welche Funktion ist eine stetige Funktion?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = 1 / x

Question 45

Welche Aussage über Differentialgleichungen ist korrekt?

Accepted Answer

Die Lösung einer Differentialgleichung hängt von den Anfangs- oder Randbedingungen ab.

Answer

Eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung kann immer mit konstanten Koeffizienten gelöst werden.

Question 46

Welche Aussage zur Gauß-Elimination ist zutreffend?

Accepted Answer

Löst lineare Gleichungssysteme

Answer

Transformiert eine Matrix in eine Diagonalmatrix

Answer

Berechnet Eigenwerte von Matrizen

Answer

Approximiert Funktionen

Question 47

Welches Verfahren ist ein iteratives Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Jacobi-Iteration

Answer

LU-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Answer

Cholesky-Zerlegung

Question 48

Welche Aussage zu numerischen Differentialgleichungen ist korrekt?

Accepted Answer

Sie liefern Näherungslösungen für Differentialgleichungen

Answer

Sie lösen Differentialgleichungen exakt

Answer

Sie sind nur für lineare Differentialgleichungen geeignet

Answer

Sie benötigen keine Anfangs- oder Randbedingungen

Question 49

Was ist der Zweck der QR-Zerlegung?

Accepted Answer

Orthogonalisierung von Vektoren

Answer

Berechnung der Eigenwerte einer Matrix

Answer

Lösung von linearen Gleichungssystemen

Answer

Approximation von Funktionen

Question 50

Was beschreibt die Kondition einer Matrix?

Accepted Answer

Ihre Sensitivität gegenüber Störungen

Answer

Ihre Größe

Answer

Ihre Bestimmtheit

Answer

Ihre Rang

Question 51

Welche Aussage über Monte-Carlo-Methoden ist korrekt?

Accepted Answer

Sie basieren auf Zufall

Answer

Sie sind deterministische Methoden

Answer

Sie liefern exakte Lösungen

Answer

Sie sind nur für einfache Probleme geeignet

Question 52

Was ist der Hauptvorteil der Finite-Elemente-Methode?

Accepted Answer

Sie kann komplexe Geometrien verarbeiten

Answer

Sie ist sehr genau

Answer

Sie ist einfach zu implementieren

Answer

Sie ist immer stabil

Question 53

Welche Methode wird zur numerischen Lösung linearer Gleichungssysteme verwendet, bei der sukzessive Zeilenoperationen angewendet werden, um die Matrix in eine Dreiecksmatrix zu transformieren?

Accepted Answer

Gauß-Elimination

Answer

Gradientenverfahren

Answer

Newton-Verfahren

Answer

Jacobi-Iteration

Question 54

Welches Verfahren verwendet ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung, um gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung zu lösen?

Accepted Answer

Runge-Kutta-Verfahren

Answer

Euler-Verfahren

Answer

Finite-Elemente-Methode

Answer

Monte-Carlo-Methode

Question 55

Welche Stabilitätsbedingung muss für explizite Runge-Kutta-Verfahren erfüllt sein, um numerische Stabilität zu gewährleisten?

Accepted Answer

r ≤ 1

Answer

r ≤ 2

Answer

r ≥ 1

Answer

r ≥ 2

Question 56

Wie lautet die allgemeine Form einer Gauß-Quadraturformel, die eine numerische Integration mit Stützstellen und Gewichten ermöglicht?

Accepted Answer

∫[a,b] f(x) dx ≈ ∑ᵢ wᵢ f(xᵢ)

Answer

∫[a,b] f(x) dx ≈ ∑ᵢ f(xᵢ)

Answer

∫[a,b] f(x) dx ≈ ∫[a,b] p(x) f(x) dx

Answer

∫[a,b] f(x) dx ≈ ∑ᵢ pᵢ f(xᵢ)

Question 57

Welches Verfahren wird zur numerischen Lösung linearer Gleichungssysteme eingesetzt?

Accepted Answer

Gauß-Elimination mit Rückwärtseinsetzen

Answer

Gradientenverfahren

Answer

Euklidischer Algorithmus

Answer

Monte-Carlo-Simulation

Question 58

Wie lautet die allgemeine Formel für die Trapezregel zur numerischen Integration?

Accepted Answer

∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)/2 * [f(a) + f(b)]

Answer

∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a) * [f(a) + f(b)]

Answer

∫[a,b]f(x)dx ≈ (b+a)/2 * [f(a) + f(b)]

Question 59

Welcher der folgenden Ausdrücke definiert die Konditionszahl einer Matrix?

Accepted Answer

κ(A) = ‖A‖₂ * ‖A⁻¹‖₂

Answer

κ(A) = ‖A‖₂

Answer

κ(A) = ‖A⁻¹‖₂

Answer

κ(A) = ‖A‖₂ + ‖A⁻¹‖₂

Question 60

Welcher der folgenden Ausdrücke ist das Taylor-Polynom erster Ordnung von f(x) = e^x?

Accepted Answer

1 + x

Answer

x*e^0

Answer

e^0

Answer

x^2

Question 61

Welche der folgenden Aussagen über die Konvergenz von Reihen ist richtig?

Accepted Answer

Wenn ∑[n=1]∞ a_n absolut konvergent ist, dann ist auch ∑[n=1]∞ |a_n| konvergent.

Answer

Wenn ∑[n=1]∞ |a_n| konvergent ist, dann ist auch ∑[n=1]∞ a_n konvergent.

Answer

Wenn ∑[n=1]∞ a_n konvergent ist, dann ist auch ∑[n=1]∞ |a_n| konvergent.

Question 62

Welches der folgenden Verfahren ist ein iteratives Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen?

Accepted Answer

Newton-Raphson-Verfahren

Answer

Integration

Answer

Bisection-Verfahren

Answer

Gauß-Elimination

Question 63

Welche der folgenden Funktionen ist eine kubische Spline?

Accepted Answer

f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)² + a_3(x-x_0)³

Answer

f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)²

Answer

f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)³

Question 64

Welche der folgenden Aussagen über die Stetigkeit einer Funktion ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Funktion f(x) ist an einem Punkt x_0 stetig, wenn lim[x->x_0]f(x) = f(x_0) gilt.

Answer

Eine Funktion f(x) ist an einem Punkt x_0 stetig, wenn f(x_0) existiert.

Answer

Eine Funktion f(x) ist an einem Punkt x_0 stetig, wenn f'(x) an x_0 existiert.