Lineare Algebra lernen: Online-Quizze und Übungen

Question 1

Welcher Untervektorraum charakterisiert den Kern einer linearen Abbildung?

Accepted Answer

Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden

Answer

Vektoren, die auf (1,0,0) abgebildet werden

Answer

Vektoren, die auf einen beliebigen Vektor abgebildet werden

Answer

Vektoren, die auf (0,1,0) abgebildet werden

Question 2

Welche Aussage trifft auf eine Menge von Vektoren zu, die sowohl linear unabhängig als auch ein Erzeugendensystem für einen Vektorraum ist?

Accepted Answer

Die Vektoren bilden eine Basis für den Vektorraum.

Answer

Die Vektoren sind Teil eines Untervektorraums.

Answer

Die Vektoren sind Lösungen eines linearen Gleichungssystems.

Answer

Die Vektoren sind linear abhängig.

Question 3

Welche Aussage über einen Vektorraum V ist falsch?

Accepted Answer

Die Summe zweier linear unabhängiger Vektoren ist linear abhängig.

Answer

V ist eine nichtleere Menge.

Answer

V ist unter Addition und skalaren Multiplikation abgeschlossen.

Answer

Der Nullvektor ist in jedem Vektorraum enthalten.

Question 4

Welche Aussage über Vektoren in einem Vektorraum V ist **falsch**?

Accepted Answer

{u, v} ist linear abhängig, wenn u oder v der Nullvektor ist.

Answer

Die Summe u + v ist ein Vektor in V.

Answer

Für jeden Skalar c ist c * u ein Vektor in V.

Question 5

Welcher Satz über den Zeilenrang eines linearen Gleichungssystems ist korrekt?

Accepted Answer

Der Zeilenrang ist gleich der Anzahl linear unabhängiger Gleichungen.

Accepted Answer

Der Zeilenrang ist immer kleiner oder gleich der Anzahl der Gleichungen.

Answer

Der Zeilenrang ist gleich der Anzahl der Variablen.

Answer

Der Zeilenrang ist gleich der Anzahl der Lösungen.

Question 6

In einem endlichdimensionalen K-Vektorraum V ist U ein Untervektorraum. Welche Aussage zur Dimension von U ist zutreffend?

Accepted Answer

Die Dimension von U ist kleiner oder gleich der Dimension von V.

Answer

Die Dimension von U ist gleich der Dimension von V.

Answer

Die Dimension von U ist größer als die Dimension von V.

Answer

Die Dimension von U ist nicht eindeutig bestimmbar.

Question 7

Was ist in der Linearen Algebra ein Untervektorraum?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren, die unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist und alle Vielfachen eines einzelnen Vektors enthält.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die einen Vektorraum aufspannen.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die linear unabhängig sind.

Question 8

Welche Aussage ist gleichbedeutend mit der Feststellung, dass die Vektoren {v1, ..., vn} eine Basis des Vektorraums V bilden?

Accepted Answer

Die Vektoren {v1, ..., vn} sind linear unabhängig und erzeugen V.

Answer

Die Vektoren {v1, ..., vn} sind linear unabhängig und erzeugen einen Untervektorraum von V.

Answer

Die Vektoren {v1, ..., vn} sind linear abhängig und erzeugen V.

Answer

Die Vektoren {v1, ..., vn} sind linear abhängig und erzeugen einen Untervektorraum von V.

Question 9

In einem endlichdimensionalen Vektorraum V über dem Körper K sei L: V → V eine lineare Abbildung. Welche Aussage über den Kern von L ist korrekt?

Accepted Answer

Der Kern von L ist ein Untervektorraum von V.

Answer

Die Dimension des Kerns von L ist gleich der Dimension des Bildes von L.

Answer

Der Kern von L ist gleich dem Bild von L, wenn L bijektiv ist.

Answer

Der Kern von L ist die Menge aller Vektoren in V.

Question 10

Welche Aussage über die Determinante einer invertierbaren Matrix A ist korrekt?

Accepted Answer

Die Determinante von A ist ungleich 0.

Answer

Die Determinante von A ist 0.

Answer

Die Determinante von A kann einen beliebigen Wert annehmen.

Question 11

Gegeben sei eine Matrix A, die aus den Vektoren v1, v2 und v3 gebildet wird. Wenn die Vektoren v1, v2 und v3 linear unabhängig sind, welche Aussage über die Determinante von A ist dann korrekt?

Accepted Answer

Die Determinante von A ist ungleich Null.

Answer

Die Determinante von A ist immer 0.

Answer

Die Determinante von A ist immer 1.

Answer

Die Determinante von A kann sowohl Null als auch ungleich Null sein.

Question 12

Welche Dimension hat ein Erzeugendensystem eines Vektorraums V über einem Körper K, das alle Vektoren von V enthält?

Accepted Answer

Dimension von V

Answer

0

Answer

1

Answer

Anzahl der Vektoren im Erzeugendensystem

Question 13

Was bedeutet lineare Unabhängigkeit im Zusammenhang mit Matrizen? Erkläre, wie die Überprüfung dieser Eigenschaft hilft, die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme zu beurteilen.

Accepted Answer

Eine Matrix ist linear unabhängig, wenn keine ihrer Zeilen eine Linearkombination der anderen Zeilen ist.

Answer

Die Überprüfung der linearen Unabhängigkeit einer Matrix ist nur für quadratische Matrizen sinnvoll.

Answer

Eine Matrix ist linear abhängig, wenn ihre Determinante ungleich Null ist.

Answer

Die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems hängt nicht von der linearen Unabhängigkeit der zugehörigen Matrix ab.

Question 14

Beschreiben Sie anhand eines Beispiels aus der Bildverarbeitung, wie Eigenvektoren verwendet werden, um ein Bild in seine wesentlichen Bestandteile zu zerlegen.

Accepted Answer

Durch die Berechnung der Eigenvektoren der Kovarianzmatrix eines Bildes können die Hauptkomponenten des Bildes identifiziert werden, die die dominanten Merkmale im Bild darstellen.

Answer

Die Eigenwerte der Kovarianzmatrix eines Bildes geben die Bedeutung der einzelnen Hauptkomponenten an.

Answer

Die Eigenvektoren einer Bildmatrix bestimmen die Pixelwerte des Bildes.

Answer

Die Eigenwerte einer Bildmatrix geben die Helligkeit des Bildes an.

Question 15

Wie trägt die lineare Algebra zur Modellierung dynamischer Systeme bei?

Accepted Answer

Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung von Systemen.

Answer

Sie spielt keine Rolle bei der Modellierung dynamischer Systeme.

Answer

Sie dient nur zur Lösung linearer Gleichungssysteme.

Question 16

Welche Rolle spielt die lineare Algebra bei der Modellierung und Analyse von Daten in Bereichen wie maschinellem Lernen und Datenwissenschaft?

Accepted Answer

Sie hilft, große Datenmengen zu analysieren und versteckte Muster und Trends zu erkennen.

Answer

Sie ist nur in der theoretischen Mathematik anwendbar.

Answer

Sie dient ausschließlich zur Lösung linearer Gleichungssysteme.

Answer

Sie ist ein überholtes Konzept, das in modernen Bereichen keine Anwendung findet.

Question 17

Wie wird die lineare Algebra eingesetzt, um Systeme partieller Differentialgleichungen (PDE) zu lösen?

Accepted Answer

PDEs in eine Matrixform umwandeln, um ihre Lösung zu vereinfachen.

Answer

Lösungen mithilfe der Matrixinversion berechnen.

Question 18

Erläutere das Konzept der Matrixähnlichkeit. Nenne die Bedingungen, unter denen zwei Matrizen als ähnlich gelten.

Accepted Answer

Zwei Matrizen A und B sind ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix P gibt, sodass A = P^-1 * B * P gilt.

Answer

Zwei Matrizen A und B sind ähnlich, wenn sie die gleichen Eigenwerte haben.

Answer

Zwei Matrizen A und B sind ähnlich, wenn sie die gleiche Determinante haben.

Answer

Zwei Matrizen A und B sind ähnlich, wenn sie den gleichen Rang haben.

Question 19

Ein Vektorraum ist definiert als eine Menge von Vektoren zusammen mit zwei Operationen:

Accepted Answer

Addition und Multiplikation mit einem Skalar

Answer

Addition und Multiplikation mit einem Vektor

Answer

Multiplikation mit einem Skalar und einem Vektor

Answer

Multiplikation mit einem Skalar und einem Vektor und einer Multiplikation mit einer Matrix

Question 20

Welche der folgenden Matrizen ist nicht invertierbar?

Accepted Answer

Eine Matrix mit einer Nullzeile

Answer

Eine Matrix mit vollen Rang

Answer

Eine Matrix mit einer inversen Matrix

Answer

Eine quadratische Matrix mit einer Determinante ungleich null

Question 21

Was ist die Determinante einer Diagonalmatrix?

Accepted Answer

Das Produkt der Diagonalelemente

Answer

Die Summe der Diagonalelemente

Answer

Der Kehrwert des Produkts der Diagonalelemente

Answer

Der Kehrwert der Summe der Diagonalelemente

Question 22

Was ist eine orthogonale Matrix?

Accepted Answer

Eine Matrix, deren Inverse ihre Transponierte ist

Answer

Eine Matrix, deren Determinante 1 ist

Answer

Eine Matrix, deren Diagonalelemente alle 1 sind

Answer

Eine Matrix, deren Zeilen linear abhängig sind

Question 23

Was ist die Dimension eines Vektorraums?

Accepted Answer

Die Anzahl linear unabhängiger Vektoren, die den Vektorraum aufspannen

Answer

Die Anzahl aller Vektoren im Vektorraum

Answer

Die Summe der Dimensionen aller Teilräume

Answer

Die Determinante der Matrix, die den Vektorraum darstellt

Question 24

Wie wird die Singulärwertzerlegung (SVD) in der Bildkomprimierung eingesetzt und welche Vorteile bietet sie?

Accepted Answer

Die SVD identifiziert redundante Bildinformationen und komprimiert so die Bilddaten.

Answer

Die SVD reduziert Bildrauschen.

Answer

Die SVD verbessert Bilder durch Erhöhung von Kontrast und Schärfe.

Answer

Die SVD bietet keine Vorteile gegenüber anderen Komprimierungsmethoden.

Question 25

In welchem Raum sind Vektoraddition und Skalarmultiplikation definiert?

Accepted Answer

Vektorraum

Answer

Matrizenraum

Answer

Determinantenraum

Answer

Skalarraum

Question 26

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[1 0
0 1]

Answer

[0 1
1 0]

Answer

[1 2
3 4]

Answer

[0 0
0 0]

Question 27

Welche der folgenden Anwendungen der Linearen Algebra ist in der Informatik relevant?

Accepted Answer

Bildverarbeitung

Answer

Finanzmathematik

Answer

Quantenmechanik

Answer

Maschinenbau

Question 28

Bestimme die Dimension des folgenden Vektorraums: $$V = \{(x, y, z) in mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0\}$$.

Accepted Answer

2

Answer

4

Answer

Unendlich

Answer

3

Question 29

Was beschreibt den Kern einer linearen Transformation?

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf einen festen Vektor abgebildet werden.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf sich selbst abgebildet werden.

Question 30

Welche Aussage über die Determinante einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Die Determinante einer quadratischen Matrix gibt das Volumen des von ihren Spaltenvektoren aufgespannten Parallelepipeds an.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist die Summe ihrer Diagonalelemente.

Answer

Die Determinante einer Matrix gibt die Anzahl der Zeilen oder Spalten an.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist immer positiv.

Question 31

Welche Aussage ist **falsch** bezüglich Vektorräumen?

Accepted Answer

Ein Vektorraum muss mindestens zwei Vektoren enthalten.

Answer

Die Nullvektor ist immer ein Element eines Vektorraums.

Answer

Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar ist assoziativ.

Answer

Die Addition von Vektoren in einem Vektorraum ist kommutativ.

Question 32

Ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 4 Variablen kann:

Accepted Answer

keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen haben.

Answer

nur unendlich viele Lösungen haben.

Answer

keine Lösung haben, aber niemals unendlich viele.

Answer

nur genau eine Lösung haben.

Question 33

Welche Matrix ist die Inverse der Matrix A = [[2, 1], [1, 1]]?

Accepted Answer

[[1, -1], [-1, 2]]

Answer

[[2, -1], [-1, 1]]

Answer

[[2, 1], [1, 1]]

Answer

[[1, 1], [1, 2]]

Question 34

Die Determinante einer 2x2-Matrix A = [[a, b], [c, d]] ist:

Accepted Answer

ad - bc

Answer

ab - cd

Answer

ac - bd

Answer

a + d - b - c

Question 35

Welche Aussage beschreibt die lineare Unabhängigkeit von Vektoren korrekt?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn keine lineare Kombination der Vektoren mit nicht-trivialen Koeffizienten den Nullvektor ergibt.

Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn alle Vektoren orthogonal zueinander sind.

Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn alle Vektoren die gleiche Richtung haben.

Question 36

Welches ist das Ergebnis der Multiplikation der folgenden Matrizen: A = [[1, 2], [3, 4]] und B = [[5, 6], [7, 8]]?

Accepted Answer

[[19, 22], [43, 50]]

Answer

[[1, 14], [9, 32]]

Answer

[[5, 12], [21, 32]]

Answer

[[6, 8], [14, 16]]

Question 37

Eine quadratische Matrix ist invertierbar, wenn:

Accepted Answer

ihre Determinante ungleich Null ist.

Answer

sie eine Diagonalmatrix ist.

Answer

ihre Determinante gleich Null ist.

Answer

sie eine symmetrische Matrix ist.

Question 38

Welche Operation ist **keine** lineare Transformation?

Accepted Answer

Quadrieren jedes Elements einer Matrix.

Answer

Transponieren einer Matrix.

Answer

Addieren einer Konstanten zu jedem Element einer Matrix.

Answer

Multiplizieren jedes Elements einer Matrix mit einer Konstanten.

Question 39

Welche Aussage über die Eigenwerte einer Matrix ist **richtig**?

Accepted Answer

Eigenwerte sind die Skalare, die die Richtung eines Eigenvektors nicht verändern, wenn die Matrix auf den Eigenvektor angewendet wird.

Answer

Eigenwerte sind die Vektoren, die durch eine lineare Transformation nicht verändert werden.

Answer

Eigenwerte sind die Skalare, die die Länge eines Eigenvektors verdoppeln.

Answer

Eigenwerte sind die Skalare, die die Richtung eines Eigenvektors um 90 Grad drehen.

Question 40

Ein lineares Gleichungssystem hat keine Lösung, wenn:

Accepted Answer

die Determinante der Koeffizientenmatrix Null ist und die rechte Seite des Systems nicht Null ist.

Answer

die Determinante der Koeffizientenmatrix Null ist und die rechte Seite des Systems Null ist.

Answer

die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich Null ist und die rechte Seite des Systems Null ist.

Question 41

Welche der folgenden Aussagen über Vektorräume ist **falsch**?

Accepted Answer

Ein Vektorraum muss mindestens einen Vektor enthalten.

Answer

Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar ist wieder ein Vektor in diesem Raum.

Answer

Die Summe zweier Vektoren in einem Vektorraum ist wieder ein Vektor in diesem Raum.

Question 42

Welche der folgenden Matrizen ist die Inverse der Matrix A = [[2, 1], [4, 3]]?

Accepted Answer

[[3/2, -1/2], [-2, 1]]

Answer

[[1/2, 1/4], [1/3, 1/2]]

Answer

[[3, -1], [-4, 2]]

Answer

[[2, 1], [-4, -3]]

Question 43

Welcher der folgenden Vektoren ist **keine** Linearkombination der Vektoren v = [1, 2] und w = [3, 1]?

Accepted Answer

[4, 3]

Answer

[0, 0]

Answer

[7, 4]

Answer

[2, 5]

Question 44

Die Determinante einer 2x2-Matrix A = [[a, b], [c, d]] wird berechnet als:

Accepted Answer

ad - bc

Answer

ac - bd

Answer

a² + b² - c² - d²

Answer

a + d - b - c

Question 45

Welches der folgenden Gleichungssysteme hat **keine** eindeutige Lösung?

Accepted Answer

x + y = 2, 2x + 2y = 4

Answer

x + y = 2, 2x + y = 3

Answer

x + 2y = 3, 2x - y = 1

Question 46

Welche der folgenden Aussagen über die Eigenwerte einer Matrix ist **korrekt**?

Accepted Answer

Eigenvektoren, die zu verschiedenen Eigenwerten gehören, sind linear unabhängig.

Answer

Eine Matrix kann immer diagonalisiert werden, indem man sie in eine Matrix aus ihren Eigenvektoren transformiert.

Answer

Die Summe der Eigenwerte einer Matrix ist immer gleich der Determinante der Matrix.

Question 47

Welcher der folgenden Vektorräume ist ein Untervektorraum des Vektorraums R³?

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren der Form [x, 0, z], wobei x und z beliebige reelle Zahlen sind.

Answer

Die Menge aller Vektoren der Form [x, y, z], wobei x, y und z beliebige positive reelle Zahlen sind.

Answer

Die Menge aller Vektoren der Form [x, y, 1], wobei x und y beliebige reelle Zahlen sind.

Question 48

Welche der folgenden Matrizen ist eine Diagonalmatrix?

Accepted Answer

[[2, 0, 0], [0, 3, 0], [0, 0, -1]]

Answer

[[1, 1, 1], [0, 1, 1], [0, 0, 1]]

Answer

[[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]

Answer

[[1, 2, 3], [0, 4, 5], [0, 0, 6]]

Question 49

Ein lineares Gleichungssystem mit mehr Variablen als Gleichungen hat...

Accepted Answer

Entweder unendlich viele Lösungen oder keine Lösung.

Answer

Immer unendlich viele Lösungen.

Answer

Immer genau eine Lösung.

Question 50

Welche der folgenden Aussagen über die Rang einer Matrix ist **falsch**?

Accepted Answer

Der Rang einer Matrix entspricht immer der Anzahl ihrer Zeilen.

Answer

Der Rang einer Matrix entspricht der Anzahl ihrer linear unabhängigen Spalten.

Answer

Der Rang einer Matrix kann nicht größer sein als die Anzahl ihrer Zeilen.