Eigenwerte und Eigenvektoren: Interaktive Übungen und Quizfragen

Question 1

Bestimmen Sie einen Eigenvektor der Matrix B = [[0, 1], [-1, 0]] zum Eigenwert λ = 1

Accepted Answer

v = [1, 1]

Answer

v = [1, -1]

Answer

v = [-1, 1]

Answer

v = [-1, -1]

Question 2

Welche geometrische Bedeutung hat der Eigenwert einer Matrix?

Accepted Answer

Skalierung des Vektors

Answer

Größe des Vektors

Answer

Richtung des Vektors

Answer

Verschiebung des Vektors

Question 3

Was ist die Spur einer Matrix?

Accepted Answer

Summe der Hauptdiagonalelemente

Answer

Summe der Nebendiagonalelemente

Answer

Produkt der Hauptdiagonalelemente

Answer

Differenz der Haupt- und Nebendiagonalelemente

Question 4

Welche Aussage zu Eigenvektoren trifft zu?

Accepted Answer

Ihre Richtung kann beliebig sein.

Answer

Sie sind immer parallel zueinander.

Answer

Sie sind immer orthogonal zueinander.

Answer

Ihre Länge beträgt immer 1.

Question 5

Welche Aussage über den Eigenraum zu einem Eigenwert ist falsch?

Accepted Answer

Er ist immer eindimensional.

Answer

Er ist ein Untervektorraum des Vektorraums.

Answer

Er ist orthogonal zum Eigenraum eines anderen Eigenwerts.

Answer

Er wird durch den zugehörigen Eigenvektor aufgespannt.

Question 6

Was ist eine **charakteristische Gleichung** einer Matrix?

Accepted Answer

Eine Gleichung, deren Lösungen die Eigenwerte der Matrix sind.

Answer

Eine Gleichung, deren Lösungen die Eigenvektoren der Matrix sind.

Answer

Eine Gleichung, deren Lösungen die Determinante der Matrix sind.

Answer

Eine Gleichung, deren Lösungen die Spur der Matrix sind.

Question 7

Berechnen Sie den **Eigenraum** zum Eigenwert λ = 2 der Matrix A = [[3, 2], [-2, 1]]

Accepted Answer

Span{[-2, 1]}

Answer

Span{[1, -2]}

Answer

Span{[2, -1]}

Answer

Span{[1, 2]}

Question 8

Welche der folgenden Matrizen ist **diagonalisierbar**?

Accepted Answer

[[2, 1], [0, 2]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[0, 1], [0, 0]]

Answer

[[1, 0], [1, 1]]

Question 9

Unter welchen Bedingungen ist eine Matrix diagonalisierbar?

Accepted Answer

Wenn alle ihre Eigenwerte verschieden sind

Answer

Wenn sie invertierbar ist

Answer

Wenn ihre Spur ungleich Null ist

Answer

Wenn ihre Determinante ungleich Null ist

Question 10

Welche der folgenden Aussagen über das charakteristische Polynom einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Es ist ein Polynom vom Grad n.

Answer

Es ist ein Polynom vom Grad n+1.

Answer

Es ist ein Polynom vom Grad n-1.

Question 11

Um die Eigenwerte einer Matrix A zu bestimmen, welche Gleichung muss gelöst werden?

Accepted Answer

det(A - λI) = 0

Answer

Aλ = I

Answer

A - λI = 0

Answer

Aλ = 0

Question 12

Gegeben ist eine Matrix A mit dem Eigenwert λ = 2 und dem zugehörigen Eigenvektor v = [1, 2]. Welche der folgenden Aussagen ist korrekt?

Accepted Answer

Av = 2v

Answer

Av = 0

Answer

Av = v

Question 13

Welche der folgenden Matrizen besitzt **keine** reellen Eigenwerte?

Accepted Answer

[[0, 1], [-1, 0]]

Answer

[[2, 1], [0, 2]]

Answer

[[1, 1], [1, 1]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Question 14

Welche Aussage über die Eigenwerte einer Diagonalmatrix ist **richtig**?

Accepted Answer

Die Eigenwerte einer Diagonalmatrix entsprechen den Diagonalelementen.

Answer

Eine Diagonalmatrix hat keine Eigenwerte.

Answer

Alle Eigenwerte einer Diagonalmatrix sind gleich.

Question 15

Welche der folgenden Anwendungen verwendet **nicht** das Konzept der Eigenwerte und Eigenvektoren?

Accepted Answer

Lösung von Differentialgleichungen.

Answer

Analyse von Netzwerken.

Answer

Bildverarbeitung.

Question 16

Welcher Schritt ist **nicht** Teil der Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren einer Matrix?

Accepted Answer

Berechnung der Inversen der Matrix.

Answer

Lösung der charakteristischen Gleichung.

Answer

Berechnung der charakteristischen Gleichung.

Answer

Berechnung der Eigenvektoren.

Question 17

Gegeben sind zwei Matrizen A und B mit den gleichen Eigenwerten. Welche Aussage ist **falsch**?

Accepted Answer

A und B sind identische Matrizen.

Answer

A und B sind ähnliche Matrizen.

Answer

A und B haben die gleichen Eigenvektoren.

Answer

A und B können unterschiedliche Eigenvektoren haben.

Question 18

Welche Aussage über die algebraische und geometrische Vielfachheit von Eigenwerten ist **korrekt**?

Accepted Answer

Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts kann niemals größer als die algebraische Vielfachheit sein.

Answer

Die algebraische Vielfachheit ist immer größer als die geometrische Vielfachheit.

Question 19

Welche der folgenden Matrizen hat den Eigenwert λ = 0?

Accepted Answer

[[0, 0], [0, 0]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 1], [1, 1]]

Answer

[[2, 1], [0, 2]]

Question 20

Welche Aussage über Eigenwerte ist immer **wahr**?

Accepted Answer

Ein Eigenwert kann Null sein.

Answer

Eigenwerte sind immer reelle Zahlen.

Answer

Eine Matrix hat nur einen eindeutigen Eigenwert.

Answer

Eine Matrix hat immer so viele Eigenwerte wie Zeilen.

Question 21

Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix A = [[2, 1], [1, 2]].

Accepted Answer

λ1 = 1, λ2 = 3

Answer

λ1 = -1, λ2 = 3

Answer

λ1 = 1, λ2 = -3

Answer

λ1 = 2, λ2 = 2

Question 22

Was ist ein Eigenvektor einer Matrix A?

Accepted Answer

Ein Vektor, der nach der Multiplikation mit A in denselben Vektor, jedoch skaliert, transformiert wird.

Answer

Ein Vektor, der orthogonal zu allen Spalten von A ist.

Answer

Ein Vektor, der die Determinante von A nicht verändert.

Answer

Ein Vektor, der die Richtung der linearen Transformation von A nicht verändert.

Question 23

Eine Matrix A hat den Eigenwert λ = 2 mit dem Eigenvektor v = [1, 1]. Was ist das Ergebnis der Multiplikation A*v?

Accepted Answer

[2, 2]

Answer

[3, 3]

Answer

Kann nicht bestimmt werden.

Answer

[1, 1]

Question 24

Welche Bedeutung haben Eigenwerte und Eigenvektoren bei der Analyse linearer Transformationen?

Accepted Answer

Sie beschreiben die Richtungen und Skalierungsfaktoren, die durch die Transformation bewirkt werden.

Answer

Sie berechnen die Determinante der Transformationsmatrix.

Answer

Sie stellen die Basisvektoren des Vektorraums dar, auf dem die Transformation operiert.

Answer

Sie bestimmen die Inverse der Transformationsmatrix.

Question 25

Eine Matrix A hat die Eigenwerte λ1 = 2 und λ2 = -1. Was ist die Determinante von A?

Accepted Answer

-2

Answer

2

Answer

1

Answer

3

Question 26

Was ist ein Eigenraum?

Accepted Answer

Der Untervektorraum, der alle Eigenvektoren zu einem bestimmten Eigenwert sowie den Nullvektor enthält.

Answer

Der Vektorraum, der von den Spalten der Matrix aufgespannt wird.

Question 27

Was ist die algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts?

Accepted Answer

Die Anzahl der Male, die der Eigenwert als Nullstelle des charakteristischen Polynoms der Matrix auftritt.

Answer

Die Anzahl der linear unabhängigen Eigenvektoren zum Eigenwert.

Answer

Die Dimension des Eigenraums des Eigenwerts.

Question 28

Was ist die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts?

Accepted Answer

Die Dimension des Eigenraums des Eigenwerts.

Answer

Die Anzahl der Male, die der Eigenwert als Nullstelle des charakteristischen Polynoms auftritt.

Answer

Die Anzahl der linear unabhängigen Eigenvektoren zum Eigenwert.

Answer

Der Betrag des Eigenwerts.

Question 29

Welche der folgenden Aussagen ist im Allgemeinen **falsch** bezüglich Eigenwerten und Eigenvektoren?

Accepted Answer

Jeder Vektor ungleich dem Nullvektor, der ein Vielfaches eines Eigenvektors ist, ist auch ein Eigenvektor.

Answer

Die Summe der Eigenwerte einer Matrix ist gleich ihrer Spur.

Question 30

Gegeben sei die Matrix A = [[2, 1], [1, 2]]. Welches der folgenden Paare stellt einen Eigenwert und einen dazugehörigen Eigenvektor von A dar?

Accepted Answer

Eigenwert: 3, Eigenvektor: [1, 1]

Answer

Eigenwert: 0, Eigenvektor: [0, 1]

Answer

Eigenwert: 2, Eigenvektor: [1, 0]

Answer

Eigenwert: 1, Eigenvektor: [1, -1]

Question 31

Was ist die geometrische Interpretation eines Eigenvektors?

Accepted Answer

Ein Eigenvektor behält seine Richtung bei, wenn die zugehörige lineare Transformation angewendet wird.

Answer

Ein Eigenvektor wird auf den Nullvektor abgebildet.

Question 32

Eine Matrix A hat die Eigenwerte 2 und 3. Welches sind die Eigenwerte von A²?

Accepted Answer

4 und 9

Answer

Es kann nicht aus den gegebenen Informationen bestimmt werden.

Answer

2 und 3

Answer

4 und 6

Question 33

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Matrix diagonalisierbar ist?

Accepted Answer

Die Matrix muss n linear unabhängige Eigenvektoren haben, wobei n die Dimension der Matrix ist.

Answer

Die Matrix muss symmetrisch sein.

Answer

Die Matrix muss invertierbar sein.

Question 34

Was ist die Bedeutung von Eigenwerten und Eigenvektoren bei der Lösung linearer Differentialgleichungssysteme?

Accepted Answer

Sie ermöglichen es, das System in entkoppelte Gleichungen zu zerlegen, die einfacher zu lösen sind.

Answer

Sie bestimmen die Ordnung des Differentialgleichungssystems.

Answer

Sie liefern die Anfangsbedingungen für das System.

Question 35

Was ist ein Eigenraum?

Accepted Answer

Die Menge aller Eigenvektoren, die zu einem bestimmten Eigenwert gehören, zusammen mit dem Nullvektor.

Answer

Die Menge aller Eigenwerte einer Matrix.

Question 36

Welche Aussage trifft auf die Eigenwerte einer symmetrischen Matrix zu?

Accepted Answer

Alle Eigenwerte sind reell.

Answer

Alle Eigenwerte sind positiv.

Answer

Es kann keine Aussage über die Eigenwerte getroffen werden.

Answer

Alle Eigenwerte sind paarweise verschieden.

Question 37

Was ist die algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts?

Accepted Answer

Die Anzahl, wie oft der Eigenwert als Nullstelle des charakteristischen Polynoms vorkommt.

Answer

Die Anzahl der linear unabhängigen Eigenvektoren zum Eigenwert.

Answer

Die Dimension des zugehörigen Eigenraums.

Question 38

Was ist die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts?

Accepted Answer

Die Dimension des zugehörigen Eigenraums.

Answer

Die Anzahl, wie oft der Eigenwert als Nullstelle des charakteristischen Polynoms vorkommt.

Answer

Die Anzahl der linear unabhängigen Eigenvektoren zum Eigenwert.

Answer

Der Betrag des Eigenwerts.

Question 39

Gegeben sei die Matrix A = ((2, 1), (-1, 2)). Bestimmen Sie die Eigenwerte von A.

Accepted Answer

λ1 = 1,5 und λ2 = 2,5

Answer

λ1 = 1,5 und λ2 = 1,5

Answer

λ1 = 1 und λ2 = 2

Answer

λ1 = 2 und λ2 = 3

Question 40

Berechnen Sie die Eigenvektoren zur Eigenwert λ = 2 der Matrix A = ((3, 4), (-1, 1)).

Accepted Answer

(1, 1)

Answer

(2, 2)

Answer

(2, 1)

Answer

(1, 2)

Question 41

Welche Aussage über die Matrix B = ((1, 2), (2, 1)) ist richtig?

Accepted Answer

B ist symmetrisch und positiv definit.

Answer

B ist symmetrisch, aber nicht positiv definit.

Answer

B ist weder symmetrisch noch positiv definit.

Answer

B ist nicht symmetrisch, aber positiv definit.

Question 42

Welche der folgenden Aussagen ist eine Eigenschaft von diagonalisierbaren Matrizen?

Accepted Answer

Sie können als Produkt ihrer Eigenvektoren und Eigenwerte dargestellt werden.

Answer

Sie haben nur reelle Eigenwerte.

Answer

Sie sind immer quadratische Matrizen.

Question 43

Gegeben sei die Matrix C = ((2, -1), (1, 2)). Welche der folgenden Matrizen ist zu C ähnlich?

Accepted Answer

((2, 0), (0, 1))

Answer

((2, -1), (1, 2))

Answer

((1, 0), (0, 2))

Answer

((1, 2), (1, 2))

Question 44

Welche Aussage über den Nullraum einer Matrix ist richtig?

Accepted Answer

Er ist der Lösungsraum der homogenen Gleichung Ax = 0.

Answer

Er ist der Lösungsraum der inhomogenen Gleichung Ax = b.

Answer

Er ist immer ein eindimensionaler Unterraum.

Question 45

Berechnen Sie die Dimension des Eigenraums zum Eigenwert λ = 2 der Matrix D = ((3, 2), (-1, 1)).

Accepted Answer

1

Answer

3

Answer

2

Answer

4

Question 46

Welche Aussage über die Spur einer Matrix ist richtig?

Accepted Answer

Sie ist gleich der Summe der Eigenwerte.

Answer

Sie ist gleich der Determinante der Matrix.

Answer

Sie ist gleich der Differenz der Eigenwerte.

Answer

Sie ist gleich dem Produkt der Eigenwerte.

Question 47

Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix E = ((2, 0, 0), (0, 3, 0), (0, 0, 4)).

Accepted Answer

λ1 = 2, λ2 = 3, λ3 = 4

Answer

λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 4

Answer

λ1 = 2, λ2 = 3, λ3 = 5

Answer

λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3

Question 48

Welche Aussage über die Eigenwerte einer orthogonalen Matrix ist richtig?

Accepted Answer

Sie haben den Absolutwert 1.

Answer

Sie sind immer paarweise konjugiert komplex.

Answer

Sie sind immer reell.

Answer

Sie sind immer negativ.