Mathematik für Informatiker II: Online-Quizze und Übungen

Question 1

Was sind Eigenwerte?

Accepted Answer

Skalare, die die Skalierungsrate des zugehörigen Eigenvektors bei einer linearen Transformation angeben.

Answer

Skalare, die die Größe des zugehörigen Eigenvektors angeben.

Answer

Vektoren, die die Richtung des zugehörigen Eigenvektors angeben.

Answer

Vektoren, die die Größe des zugehörigen Eigenvektors bei einer linearen Transformation angeben.

Question 2

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine quadratische Matrix **A** der Dimension **n x n** invertierbar ist?

Accepted Answer

Die Determinante von **A** ist ungleich 0.

Answer

Die Determinante von **A** ist gleich 0.

Answer

A ist eine symmetrische Matrix.

Answer

A ist eine diagonalisierbare Matrix.

Question 3

Welcher Satz über den Erwartungswert einer Zufallsvariablen X ist richtig?

Accepted Answer

Der Erwartungswert ist der gewichtete Mittelwert aller möglichen Werte.

Answer

Der Erwartungswert ist immer positiv.

Answer

Der Erwartungswert ist unabhängig von der Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Answer

Der Erwartungswert ist immer eine ganze Zahl.

Question 4

Welche Aussage über die Determinante der transponierten Matrix A^T ist korrekt, wenn A eine invertierbare Matrix ist?

Accepted Answer

det(A^T) = det(A)

Answer

det(A^T) = -det(A)

Answer

det(A^T) = 1/det(A)

Answer

det(A^T) = 0

Question 5

Welches Verfahren ist **nicht** geeignet, um ein lineares Gleichungssystem mit eindeutiger Lösung exakt zu lösen?

Accepted Answer

Jacobi-Iteration

Answer

Cramer-Regel

Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

LU-Zerlegung

Question 6

Welche Aussage über Eigenwerte symmetrischer Matrizen trifft zu?

Accepted Answer

Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen senkrecht aufeinander.

Accepted Answer

Die Summe der Eigenwerte entspricht der Spur der Matrix.

Answer

Eigenwerte sind immer komplexe Zahlen.

Answer

Eigenwerte hängen von der gewählten Basis ab.

Question 7

Welche Aussage ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass die Matrix A invertierbar ist?

Accepted Answer

Die Determinante von A ist ungleich 0.

Answer

A ist eine quadratische Matrix.

Answer

Alle Eigenwerte von A sind ungleich 0.

Answer

A ist diagonalisierbar.

Question 8

Welche Methode ermöglicht die analytische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen?

Accepted Answer

Separation der Variablen

Answer

Runge-Kutta-Verfahren

Answer

Euler-Verfahren

Answer

Adams-Bashforth-Verfahren

Question 9

In einem linearen Gleichungssystem ist die Anzahl der Variablen größer als die Anzahl der Gleichungen. Wie viele Lösungen hat dieses System?

Accepted Answer

Unendlich viele Lösungen

Answer

Keine Lösung

Answer

Eine Lösung

Question 10

Welche der folgenden Aussagen beschreibt ein zentrales Merkmal der Gauß-Jordan-Elimination?

Accepted Answer

Die Gauß-Jordan-Elimination wandelt ein lineares Gleichungssystem in eine Zeilenstufenform um, aus der sich die eindeutige Lösung direkt ablesen lässt.

Answer

Die Gauß-Jordan-Elimination kann zur Lösung linearer Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen verwendet werden.

Answer

Mit der Gauß-Jordan-Elimination lässt sich eine Matrix in ihre Inverse transformieren.

Answer

Die Gauß-Jordan-Elimination ist ein iterativer Algorithmus, der schrittweise zu Lösungen führt.

Question 11

Welche Aussage beschreibt korrekt die Rolle der Cauchy-Riemann-Gleichungen für holomorphe Funktionen in der komplexen Ebene?

Accepted Answer

Sie sind sowohl notwendig als auch hinreichend für Holomorphie.

Answer

Sie sind nur notwendig, nicht aber hinreichend für Holomorphie.

Answer

Sie sind nur hinreichend, nicht aber notwendig für Holomorphie.

Answer

Sie haben keinen Zusammenhang mit Holomorphie.

Question 12

Welche Eigenschaft bleibt **nicht** unverändert, wenn zwei Matrizen A und B ähnlich sind?

Accepted Answer

Eigenvektoren

Answer

Determinante

Answer

Eigenwerte

Answer

Spur

Question 13

Eine quadratische Matrix A der Dimension (3 x 3) hat die Eigenwerte (lambda_1), (lambda_2) und (lambda_3). Wie lautet die Spur von A?

Accepted Answer

Summe der Eigenwerte: (lambda_1 + lambda_2 + lambda_3)

Answer

Produkt der Eigenwerte: (lambda_1 * lambda_2 * lambda_3)

Answer

Summe der Quadrate der Eigenwerte: (lambda_1^2 + lambda_2^2 + lambda_3^2)

Answer

Durchschnitt der Eigenwerte: ((lambda_1 + lambda_2 + lambda_3) / 3)

Question 14

Gegeben sei eine invertierbare Matrix A mit der Größe n x n. Welcher der folgenden Ausdrücke ist korrekt?

Accepted Answer

A^-1 * A = A * A^-1 = I

Answer

A^-1 * A = 0

Answer

A * A^-1 = 0

Answer

A^-1 * A = A * A^-1 = A

Question 15

Wie berechnet man die Determinante einer 2x2-Matrix A mit Elementen a_{ij}?

Accepted Answer

det(A) = a_{11} * a_{22} - a_{12} * a_{21}

Answer

det(A) = a_{11} * a_{21} + a_{12} * a_{22}

Answer

det(A) = a_{11} ^ 2 + a_{12} ^ 2 + a_{21} ^ 2 + a_{22} ^ 2

Answer

det(A) = (a_{11} + a_{12}) * (a_{21} + a_{22})

Question 16

In einem Vektorraum V über einem Körper K ist u ein Vektor ungleich dem Nullvektor. Welchen Rang hat der von u erzeugte Teilvektorraum U?

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

3

Answer

4

Question 17

Was ist das Ergebnis des Kurvenintegrals ∫ f(x) dx für eine Kurve y = f(x)?

Accepted Answer

Die Fläche unter der Kurve y = f(x) auf einem Intervall [a, b].

Answer

Die Länge der Kurve y = f(x) auf einem Intervall [a, b].

Answer

Das Volumen des Rotationskörpers, der durch Drehung der Kurve y = f(x) um die x-Achse entsteht.

Answer

Die Arbeit, die verrichtet wird, wenn ein Objekt entlang der Kurve y = f(x) bewegt wird.

Question 18

Was ist die Definition eines symmetrischen Differentialoperators zweiter Ordnung?

Accepted Answer

Ein linearer, isotroper und homogener Differentialoperator zweiter Ordnung.

Answer

Ein Differentialoperator, der bezüglich einer Gewichtsfunktion isotrop ist.

Answer

Ein nichtlinearer, anisotroper und inhomogener Differentialoperator zweiter Ordnung.

Answer

Ein Differentialoperator, der partielle Ableitungen bis zur zweiten Ordnung enthält.

Question 19

Wie berechnet man den Erwartungswert einer Zufallsvariablen?

Accepted Answer

Summe der Werte dividiert durch die Anzahl der möglichen Ausgänge

Answer

Median der Zufallsvariablen

Answer

Modus der Zufallsvariablen

Question 20

Unter welchen Bedingungen kann die Cramer-Regel zur Lösung eines linearen Gleichungssystems angewendet werden?

Accepted Answer

Die Koeffizientenmatrix ist quadratisch und invertierbar.

Answer

Die Koeffizientenmatrix ist rechteckig und invertierbar.

Answer

Die Koeffizientenmatrix ist quadratisch und nicht invertierbar.

Answer

Die Koeffizientenmatrix ist rechteckig und nicht invertierbar.

Question 21

Welche der folgenden Aussagen definiert eine Gruppe in der Gruppentheorie korrekt?

Accepted Answer

Eine Gruppe ist eine nichtleere Menge mit einer Verknüpfung, die assoziativ ist, ein neutrales Element besitzt und für jedes Element ein Inverses aufweist.

Answer

Eine Gruppe ist eine Menge, die unter einer Operation abgeschlossen ist und für die das Assoziativgesetz gilt.

Answer

Eine Gruppe ist eine Menge mit einer bestimmten Symmetrie.

Answer

Eine Gruppe ist eine Menge mit einer bestimmten Ordnung.

Question 22

Welche Gleichung beschreibt den folgenden Datensatz am besten durch lineare Regression?

X: [1, 2, 3, 4, 5]
Y: [2, 4, 5, 4, 5]

Accepted Answer

Y = 1 + 0,5X

Answer

Y = 0,5X + 1

Answer

Y = 0,5 + X

Question 23

Welche Verteilung ist symmetrisch?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Poissonverteilung

Answer

Hypergeometrische Verteilung

Question 24

Mit welchem Test lässt sich feststellen, ob zwei unabhängige Stichproben aus derselben Grundgesamtheit stammen?

Accepted Answer

χ²-Test

Answer

t-Test

Answer

z-Test

Answer

Fisher-Exact-Test

Question 25

Welches Maß gibt die Streuung einer Stichprobe an?

Accepted Answer

Varianz

Answer

Mittelwert

Answer

Modus

Answer

Median

Question 26

Welcher Satz garantiert, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse in einem Ereignisraum gleich 1 ist?

Accepted Answer

Laplacescher Satz

Answer

Bernoullischer Satz

Answer

Satz von Bayes

Answer

Satz von Pythagoras

Question 27

Welches Diagramm eignet sich am besten zur Darstellung von Häufigkeitsverteilungen?

Accepted Answer

Balkendiagramm

Answer

Kreisdiagramm

Answer

Streudiagramm

Answer

Boxplot

Question 28

Welche Gleichung beschreibt die Normalverteilung?

Accepted Answer

f(x) = (1 / √(2πσ²)) * exp(-(x - μ)² / (2σ²))

Answer

f(x) = (μ / σ) * x²

Answer

f(x) = 1 / (σ√(2π)) * exp(-(x - μ)² / (2σ²))

Answer

f(x) = 1 / σ * exp(-(x - μ)² / (2σ²))

Question 29

Welches Konfidenzintervall ist am zuverlässigsten?

Accepted Answer

99 %

Answer

90 %

Answer

95 %

Answer

Alle sind gleich zuverlässig

Question 30

Welche der folgenden Eigenschaften trifft auf die Normalverteilung zu?

Accepted Answer

Symmetrisch um ihren Mittelwert

Accepted Answer

Erwartungswert gleich Median

Accepted Answer

Glockenform (unimodal)

Answer

Varianz kleiner als Standardabweichung

Question 31

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x) einer Exponentialverteilung mit dem Parameter λ = 2.

Accepted Answer

f(x) = 2e^(-2x) für x ≥ 0

Answer

f(x) = e^(-2x) für x ≥ 0

Answer

f(x) = 2e^(-x) für x ≥ 0

Answer

f(x) = e^(-x) für x ≥ 0

Question 32

Wie bestimmt man das Eigenwertspektrum einer symmetrischen Matrix mithilfe ihrer QR-Zerlegung?

Accepted Answer

Zerlegung in eine orthogonale Matrix und eine obere Dreiecksmatrix

Answer

Multiplikation mit der transponierten Matrix

Answer

Multiplikation mit dem Adjungierten

Question 33

Erläutern Sie die Beziehung zwischen Rang und Nullität einer Matrix und diskutieren Sie ihre Bedeutung in der linearen Algebra.

Accepted Answer

Der Rang einer Matrix ist die Anzahl ihrer linear unabhängigen Zeilen/Spalten. Die Nullität einer Matrix ist die Anzahl ihrer linear abhängigen Zeilen/Spalten. Rang plus Nullität einer Matrix ergeben die Anzahl ihrer Zeilen/Spalten.

Answer

Der Rang einer Matrix kann größer als ihre Nullität sein.

Answer

Die Nullität einer Matrix kann größer als ihr Rang sein.

Answer

Der Rang einer Matrix ist ein Maß für ihren Grad an Linearität.

Question 34

Welche Visualisierungstechnik ist für die Darstellung von Veränderungen in Zeitreihendaten am geeignetsten?

Accepted Answer

Liniendiagramm

Answer

Balkendiagramm

Answer

Streudiagramm

Answer

Kreisdiagramm

Question 35

Welche Aussage über die Normalverteilung ist zutreffend?

Accepted Answer

Alle genannten Aussagen sind korrekt.

Answer

Sie ist symmetrisch um ihren Mittelwert.

Answer

Sie besitzt eine Glockenform.

Answer

Ihre Fläche unter der Kurve beträgt 1.

Question 36

Welchen Erwartungswert besitzt eine Poisson-Verteilung mit dem Parameter λ?

Accepted Answer

λ

Answer

0

Answer

λ²

Answer

e^λ

Question 37

Welche Aussage über die Kovarianz von X und Y ist richtig?

Accepted Answer

Cov(X, Y) = E[(X - E(X)) * (Y - E(Y))]

Answer

Cov(X, Y) = Var(X) + Var(Y)

Answer

Cov(X, Y) = Var(X - Y)

Answer

Cov(X, Y) = E[(X + E(X)) * (Y + E(Y))]

Question 38

Welche Kennzahl für die zentrale Tendenz ist am empfindlichsten gegenüber Ausreißern?

Accepted Answer

Mittelwert

Answer

Median

Answer

Modus

Question 39

Welche der folgenden Verteilungen eignet sich zur Modellierung von Ereigniszeiten?

Accepted Answer

Exponentialverteilung

Answer

Normalverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Poisson-Verteilung

Question 40

Welche der folgenden Alternativhypothesen ist für einen zweiseitigen Hypothesentest geeignet?

Accepted Answer

H1: μ ≠ μ0

Answer

H1: μ < μ0

Answer

H1: μ > μ0

Answer

H1: μ = μ0

Question 41

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) korrekt?

Accepted Answer

Sie gibt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A unter der Voraussetzung an, dass Ereignis B bereits eingetreten ist.

Answer

Sie gibt die gemeinsame Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Eintretens von A und B an.

Answer

Sie gibt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses B unter der Voraussetzung an, dass Ereignis A bereits eingetreten ist.

Question 42

Seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen mit den Verteilungsfunktionen F(x) und G(y). Wie lautet die Verteilungsfunktion von Z = X + Y?

Accepted Answer

H(z) = ∫F(z-y)dG(y)

Answer

H(z) = F(z) + G(z)

Answer

H(z) ist nicht berechenbar.

Answer

H(z) = F(z) * G(z)

Question 43

Welche Methode wird zur Schätzung der Populationsvarianz verwendet?

Accepted Answer

Stichprobenvarianz

Answer

Korrelationskoeffizient

Answer

Chi-Quadrat-Test

Answer

Stichprobenmittelwert

Question 44

Welchen Zweck hat ein Kolmogorow-Smirnow-Test?

Accepted Answer

Er testet, ob zwei Stichproben aus derselben Verteilung stammen.

Answer

Er schätzt den Mittelwert einer Grundgesamtheit.

Answer

Er prüft, ob zwei Stichproben unabhängig sind.

Question 45

Was beschreibt die lineare Regression am besten?

Accepted Answer

Sie modelliert den Zusammenhang zwischen einer abhängigen Variablen und einer oder mehreren unabhängigen Variablen.

Answer

Sie ist eine nichtparametrische Methode.

Question 46

Welche Aussage zur Stichprobengröße ist korrekt?

Accepted Answer

Sie beeinflusst die Genauigkeit von Hypothesentests und Konfidenzintervallen.

Answer

Sie ist immer größer als die Grundgesamtheit.

Answer

Sie muss immer repräsentativ für die Grundgesamtheit sein.

Question 47

Welcher der folgenden Tests ist ein **parametrischer** Test?

Accepted Answer

t-Test

Answer

Chi-Quadrat-Test

Answer

Kruskal-Wallis-Test

Answer

Wilcoxon-Test

Question 48

Welche Formel berechnet die **Standardabweichung** einer Stichprobe?

Accepted Answer

σ = √(Σ(xi - x)² / (n-1))

Answer

σ = Σ(xi - x) / n

Answer

σ² = Σ(xi - x²) / n

Answer

σ = Σ(xi²) / n

Question 49

Welches Wahrscheinlichkeitsmaß ist **stetig**?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Hypergeometrische Verteilung

Answer

Poissonverteilung

Answer

Binomialverteilung

Question 50

Welche Funktion ist eine **Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion**?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (2πσ²) * e^(-(x-μ)² / (2σ²))

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = x

Question 51

Welche Formel berechnet den **Erwartungswert** einer Zufallsvariablen?

Accepted Answer

E(X) = Σ(xi * Pi)

Answer

E(X) = √(Σ(xi - x)² / n)

Answer

E(X) = (x1 + x2 + ... + xn) / n

Answer

E(X) = Σ(xi²) / n

Question 52

Welche Aussage über die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen X ist richtig?

Accepted Answer

Für alle x aus dem Wertebereich von X ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion nicht negativ.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Wertes von X kann größer als 1 sein.

Answer

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion kann beliebig viele Maxima haben.

Question 53

Welche der folgenden Aussagen ist eine korrekte Interpretation einer Wahrscheinlichkeit von 0?

Accepted Answer

Das Ereignis tritt mit absoluter Sicherheit nicht ein.

Answer

Das Ereignis tritt kaum ein.

Answer

Das Ereignis tritt am ehesten ein.

Question 54

Welche der folgenden Größen ist ein Maß für die Abweichung einer Zufallsvariablen?

Accepted Answer

Standardabweichung

Answer

Median

Answer

Mittelwert

Question 55

Welche der folgenden Aussagen über den Median einer Zufallsvariablen ist richtig?

Accepted Answer

Er teilt die Wahrscheinlichkeitsverteilung in zwei gleich große Hälften.

Answer

Er ist immer positiv.

Answer

Er ist immer gleich dem Erwartungswert.

Question 56

Welche der folgenden Aussagen über die Binomialverteilung ist richtig?

Accepted Answer

Sie ist eine diskrete Verteilung, die die Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer bestimmten Anzahl von Erfolgen in einer festen Anzahl unabhängiger Versuche modelliert.

Answer

Ihre Standardabweichung ist immer gleich dem Erwartungswert.

Answer

Sie ist eine stetige Verteilung.

Answer

Sie kann nur negative Werte annehmen.

Question 57

Welche der folgenden Konfidenzintervalle ist ein zweiseitiges Intervall?

Accepted Answer

(μ - Z * σ / √n, μ + Z * σ / √n)

Answer

(μ, μ + Z * σ / √n)

Answer

(μ - Z * σ / √n, ∞)

Answer

(0, μ + Z * σ / √n)

Question 58

Welche der folgenden Regressionstypen ist geeignet, um eine nichtlineare Beziehung zwischen zwei Variablen zu modellieren?

Accepted Answer

Nichtlineare Regression

Answer

Lineare Regression

Answer

Poisson-Regression

Answer

Logistische Regression

Question 59

Welche der folgenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist dadurch gekennzeichnet, dass alle möglichen Werte mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten?

Accepted Answer

Gleichverteilung

Answer

Poisson-Verteilung

Answer

Normalverteilung

Answer

Binomialverteilung

Question 60

Was beschreibt die Standardabweichung einer Zufallsvariablen?

Accepted Answer

Das Ausmaß der Streuung der Werte um den Mittelwert

Answer

Den maximalen Wert der Zufallsvariablen

Answer

Den minimalen Wert der Zufallsvariablen

Question 61

Welche Teststatistik wird verwendet, um zu prüfen, ob zwei Stichproben aus derselben Normalverteilung stammen?

Accepted Answer

t-Test

Answer

Kolmogorov-Smirnow-Test

Answer

Chi-Quadrat-Test

Question 62

Welches ML-Modell eignet sich für die Vorhersage numerischer Werte?

Accepted Answer

Lineare Regression

Answer

Logistische Regression

Answer

Support Vector Machines

Answer

Entscheidungsbäume

Question 63

Was beschreibt einen Algorithmus, der aus Daten lernt, ohne explizit programmiert zu werden?

Accepted Answer

Maschinelles Lernen

Answer

Optimierung

Answer

Computervision

Answer

Statistik

Question 64

Was ist das primäre Ziel der Dimensionsreduktion?

Accepted Answer

Verringerung der Anzahl von Merkmalen in einem Datensatz

Answer

Normalisierung von Merkmalen

Answer

Erhöhung der Varianz von Merkmalen