Determinanten und Eigenwerte: Interaktive Lernquizzes für Elektrotechnik-Studierende

Question 1

Berechne die Determinante der Matrix A = ((3, 2), (1, 4)).

Accepted Answer

10

Answer

6

Answer

8

Answer

0

Question 2

Berechne den Eigenvektor für den Eigenwert λ = 2 der Matrix [[3, -1], [2, 1]].

Accepted Answer

[[1], [2]]

Answer

[[2], [1]]

Answer

[[1], [-2]]

Answer

[[2], [1]]

Question 3

Was ist die geometrische Interpretation eines Eigenvektors?

Accepted Answer

Eine Gerade im Vektorraum

Answer

Ein Punkt im Vektorraum

Answer

Eine Ebene im Vektorraum

Answer

Eine Kurve im Vektorraum

Question 4

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist richtig?

Accepted Answer

Eigenwerte können komplex sein.

Answer

Eigenwerte sind immer reell.

Answer

Eigenwerte sind immer positiv.

Answer

Eigenwerte sind immer negativ.

Question 5

Welche der folgenden Aussagen über Determinanten ist falsch?

Accepted Answer

Die Determinante einer Matrix ist unabhängig von der Reihenfolge ihrer Zeilen.

Answer

Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt ihrer Diagonalelemente.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist gleich der Determinante ihrer Transponierten.

Answer

Die Determinante einer invertierbaren Matrix ist ungleich Null.

Question 6

Wie berechnet man die Determinante einer Matrix der Ordnung 2x2?

Accepted Answer

ad - bc

Answer

ab - cd

Answer

bc - ad

Answer

ac - bd

Question 7

Was ist ein Eigenwert einer Matrix?

Accepted Answer

Eine Zahl, für die die Matrix einen Eigenvektor besitzt.

Answer

Eine Zahl, für die die Matrix singulär wird.

Answer

Eine Zahl, für die die Matrix invertierbar wird.

Answer

Eine Zahl, für die die Matrix eine Einheitsmatrix wird.

Question 8

Wie berechnet man die Eigenwerte einer Matrix?

Accepted Answer

Durch Lösen der charakteristischen Gleichung.

Answer

Durch Invertieren der Matrix.

Answer

Durch Multiplizieren der Matrix mit sich selbst.

Answer

Durch Subtrahieren der Einheitsmatrix von der Matrix.

Question 9

Was ist ein Eigenvektor einer Matrix?

Accepted Answer

Ein Vektor, der von der Matrix auf ein Vielfaches von sich selbst abgebildet wird.

Answer

Ein Vektor, der von der Matrix auf den Nullvektor abgebildet wird.

Answer

Ein Vektor, der von der Matrix auf die Einheitsmatrix abgebildet wird.

Answer

Ein Vektor, der von der Matrix auf einen Permutationsvektor abgebildet wird.

Question 10

Wie findet man die Eigenvektoren einer Matrix?

Accepted Answer

Durch Lösen des linearen Gleichungssystems (A - λE)v = 0.

Answer

Durch Lösen des homogenen Gleichungssystems Av = 0.

Answer

Durch Lösen des inhomogenen Gleichungssystems Av = b.

Answer

Durch Lösen des charakteristischen Gleichungssystems A = 0.

Question 11

Welche Eigenschaft hat eine symmetrische Matrix hinsichtlich ihrer Eigenwerte?

Accepted Answer

Sie sind immer reell.

Answer

Sie sind immer komplex.

Answer

Sie können sowohl reell als auch komplex sein.

Answer

Sie sind immer positiv.

Question 12

Wie hängen die Determinante einer Matrix und ihre Eigenwerte zusammen?

Accepted Answer

Die Determinante ist das Produkt aller Eigenwerte.

Answer

Die Determinante ist die Summe aller Eigenwerte.

Answer

Die Determinante ist gleich dem größten Eigenwert.

Answer

Die Determinante ist unabhängig von den Eigenwerten.

Question 13

Welche der folgenden Aussagen ist korrekt für die Matrix C = [[5, 0], [0, 1]]? **(Hinweis: Diagonalisierbarkeit ist eine Eigenschaft von Matrizen, die aussagt, ob sie in eine Diagonalmatrix umgewandelt werden können.)**

Accepted Answer

**C ist diagonalisierbar mit Eigenwerten 5 und 1**

Answer

**C ist diagonalisierbar mit Eigenwerten 1 und 6**

Answer

**C hat den Eigenwert 0**

Answer

**C ist nicht diagonalisierbar**

Question 14

Berechnen Sie die Determinante der Matrix E = [[a, b], [c, d]] **(Hinweis: Die Determinante einer Matrix ist eine Zahl, die aus den Elementen der Matrix berechnet wird.)**

Accepted Answer

**ad - bc**

Answer

**(a - b)(c - d)**

Answer

**(a + b)(c + d)**

Answer

**ac - bd**

Question 15

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist korrekt?

Accepted Answer

Eigenwerte sind Lösungen der charakteristischen Gleichung.

Answer

Eigenwerte sind die Diagonalelemente einer Matrix.

Answer

Eigenwerte geben die Größe der Matrix an.

Question 16

Berechne die Charakteristische Gleichung der Matrix $$A = \begin{pmatrix} 2 & -3 \ 1 & 4 end{pmatrix}$$.

Accepted Answer

$$x^2 - 6x + 11 = 0$$

Answer

$$x^2 - 2x + 5 = 0$$

Answer

$$x^2 + 6x + 11 = 0$$

Answer

$$x^2 - 4x + 7 = 0$$

Question 17

Was ist die Definition eines Eigenwertes einer Matrix A?

Accepted Answer

Ein Skalar λ, für den es einen nichttrivialen Vektor x gibt, sodass Ax = λx gilt.

Answer

Ein Vektor x, für den es einen nichttrivialen Skalar λ gibt, sodass Ax = λx gilt.

Answer

Ein Matrixwert M, für den es einen nichttrivialen Vektor x gibt, sodass Mx = Mx gilt.

Question 18

Was ist die Definition eines Eigenvektors einer Matrix A?

Accepted Answer

Ein nichttrivialer Vektor x, für den es einen Eigenwert λ gibt, sodass Ax = λx gilt.

Answer

Ein trivialer Vektor x, für den es einen Eigenwert λ gibt, sodass Ax = λx gilt.

Answer

Ein Wert x, für den es einen Eigenwert λ gibt, sodass Ax = λx gilt.

Question 19

Welche Aussage über Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig.

Answer

Die Eigenvektoren zu einem Eigenwert sind linear abhängig.

Answer

Die Eigenwerte zu verschiedenen Eigenvektoren sind linear abhängig.

Question 20

Nennen Sie eine Anwendung von Determinanten in der Elektrotechnik.

Accepted Answer

Berechnung von Impedanzen und Übertragungsfunktionen.

Answer

Berechnung von Strömen und Spannungen.

Answer

Berechnung von Widerständen und Kapazitäten.

Question 21

Wie lautet die charakteristische Gleichung einer Matrix A?

Accepted Answer

|A - λI| = 0

Answer

|I - λA| = 0

Answer

|λA - I| = 0

Answer

|A + λI| = 0

Question 22

Welche der folgenden Aussagen über Eigenvektoren ist richtig?

Accepted Answer

Ein Eigenvektor ist eine von Null verschiedene Richtung im Vektorraum.

Answer

Eigenvektoren sind immer senkrecht zueinander.

Answer

Eigenvektoren müssen nicht linear unabhängig sein.

Question 23

Welche der folgenden Matrizen hat einen Eigenwert von 0?

Accepted Answer

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{pmatrix}$$

Answer

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ -1 & 3 end{pmatrix}$$

Answer

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$$

Question 24

Welche Aussage über Eigenwerte ist **wahr**?

Accepted Answer

Ein Eigenvektor behält seine Richtung bei der Anwendung der linearen Transformation, die durch die Matrix definiert ist.

Answer

Jeder Vektor ist ein Eigenvektor.

Answer

Eigenvektoren werden bei Multiplikation mit der Matrix immer gestreckt.

Question 25

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn...

Accepted Answer

...sie eine Basis aus linear unabhängigen Eigenvektoren besitzt.

Answer

...ihre Determinante ungleich Null ist.

Answer

...alle ihre Eigenwerte unterschiedlich sind.

Question 26

Eine Matrix ist singulär, wenn...

Accepted Answer

...ihre Determinante Null ist.

Answer

...sie quadratisch ist.

Answer

...sie diagonalisierbar ist.

Answer

...alle ihre Einträge Null sind.

Question 27

Welche Aussage über die Determinante einer Matrix ist **falsch**?

Accepted Answer

Die Determinante einer Matrix ist immer eine positive Zahl.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist eine reelle Zahl.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist gleich Null, wenn die Matrix singulär ist.

Question 28

Welche der folgenden Matrizen hat die Determinante 0?

Accepted Answer

[[1, 2], [2, 4]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[2, 1], [1, 2]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Question 29

Welche Aussage über Eigenwerte und Eigenvektoren ist **wahr**?

Accepted Answer

Eigenvektoren einer Matrix bleiben bei Multiplikation mit der Matrix in dieselbe Richtung.

Answer

Eigenwerte einer Matrix sind immer positiv.

Answer

Eigenvektoren einer Matrix werden bei Multiplikation mit der Matrix gestreckt oder gestaucht, aber nicht gedreht.

Question 30

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt die Eigenwerte einer Matrix A?

Accepted Answer

det(A - λI) = 0

Answer

det(A + λI) = 0

Answer

A + λI = 0

Answer

A - λI = 0

Question 31

Gegeben ist eine Matrix A mit Eigenwert λ und Eigenvektor v. Welche Aussage über die Multiplikation von A mit v ist **korrekt**?

Accepted Answer

Av = λv

Answer

Av = v

Answer

Av = 0

Answer

Av = -λv

Question 32

Welche Aussage über die Eigenvektoren einer Matrix ist **falsch**?

Accepted Answer

Eigenvektoren einer Matrix sind immer linear abhängig.

Answer

Eigenvektoren einer Matrix können verwendet werden, um die Matrix zu diagonalisieren.

Answer

Eigenvektoren einer Matrix sind immer linear unabhängig, wenn die Eigenwerte verschieden sind.

Question 33

Welche der folgenden Anwendungen von Determinanten und Eigenwerten ist in der Elektrotechnik relevant?

Accepted Answer

Analyse von linearen Systemen und Stabilitätsbestimmung

Answer

Lösung von Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Answer

Berechnung von komplexen Zahlen

Question 34

Ein System von linearen Gleichungen hat genau dann eine eindeutige Lösung, wenn:

Accepted Answer

Die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich Null ist.

Answer

Die Determinante der Koeffizientenmatrix gleich Null ist.

Answer

Die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der Variablen ist.

Question 35

Welche der folgenden Matrizen ist diagonalisierbar?

Accepted Answer

[[2, 1], [0, 2]]

Answer

[[1, 2], [0, 1]]

Answer

[[1, 1], [1, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Question 36

Ein Eigenwert einer Matrix A ist 0. Welche Aussage über die Matrix A ist WAHR?

Accepted Answer

Die Matrix A ist singulär.

Answer

Die Matrix A ist invertierbar.

Answer

Die Determinante von A ist ungleich Null.

Answer

Die Matrix A ist eine Diagonalmatrix.

Question 37

Welche der folgenden Aussagen über Determinanten ist **falsch**?

Accepted Answer

Die Determinante einer Matrix ist immer positiv.

Answer

Die Determinante einer Matrix gibt den Faktor an, um den sich das Volumen eines durch die Matrix transformierten Körpers verändert.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist null, wenn die Matrix singulär ist.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist gleich dem Produkt ihrer Eigenwerte.

Question 38

Gegeben sei die Matrix A = [[2, 1], [4, 3]]. Berechnen Sie die Determinante von A.

Accepted Answer

2

Answer

6

Answer

1

Answer

-2

Question 39

Was ist ein Eigenwert einer Matrix?

Accepted Answer

Ein Skalar, der die Richtung eines Vektors bei einer linearen Transformation durch die Matrix nicht ändert.

Answer

Ein Vektor, der bei einer linearen Transformation durch die Matrix seine Richtung ändert.

Question 40

Welche der folgenden Gleichungen stellt die charakteristische Gleichung einer Matrix A dar?

Accepted Answer

det(A - λI) = 0

Answer

tr(A - λI) = 0

Answer

det(A + λI) = 0

Answer

tr(A + λI) = 0

Question 41

Gegeben sei die Matrix A = [[3, 2], [1, 4]]. Bestimmen Sie die Eigenwerte von A.

Accepted Answer

λ1 = 2, λ2 = 5

Answer

λ1 = -1, λ2 = 8

Answer

λ1 = 3, λ2 = 4

Answer

λ1 = 1, λ2 = 6

Question 42

Was ist ein Eigenvektor einer Matrix?

Accepted Answer

Ein Vektor, der bei einer linearen Transformation durch die Matrix seine Richtung nicht ändert.

Answer

Ein Skalar, der die Richtung eines Vektors bei einer linearen Transformation durch die Matrix nicht ändert.

Answer

Ein Vektor, der bei einer linearen Transformation durch die Matrix seine Länge verdoppelt.

Question 43

Wie findet man den Eigenvektor zu einem bestimmten Eigenwert λ einer Matrix A?

Accepted Answer

Lösen Sie das Gleichungssystem (A - λI)v = 0.

Answer

Berechnen Sie die Determinante der Matrix (A - λI).

Answer

Lösen Sie das Gleichungssystem (A + λI)v = 0.

Answer

Berechnen Sie die Spur der Matrix (A - λI).

Question 44

Welche der folgenden Aussagen über Eigenvektoren ist **richtig**?

Accepted Answer

Jeder Eigenvektor ist ein linear unabhängiger Vektor.

Answer

Jeder Eigenvektor ist ein linear abhängiger Vektor.

Answer

Eigenvektoren können nur für quadratische Matrizen gefunden werden.

Question 45

Welche Anwendung hat die Eigenwertzerlegung einer Matrix in der Elektrotechnik?

Accepted Answer

Analyse von Schwingkreisen und Resonanzfrequenzen

Answer

Steuerung von Robotern

Answer

Berechnung der Leistung in einem Gleichstromkreis

Answer

Simulation von elektromagnetischen Feldern

Question 46

Gegeben sei eine Matrix A mit Eigenwert λ = 2 und Eigenvektor v = [1, 2]. Welche der folgenden Aussagen ist **falsch**?

Accepted Answer

Der Eigenvektor v wird durch die Transformation mit A um den Faktor 3 gestreckt.

Answer

Die Multiplikation von Av ergibt den Vektor [2, 4].

Answer

Der Eigenvektor v behält seine Richtung bei der Transformation mit A bei.

Question 47

Welche der folgenden Matrizen hat die Determinante 0?

Accepted Answer

A = [[1, 2], [0, 0]]

Answer

A = [[5, 0], [1, 5]]

Answer

A = [[2, 1], [1, 2]]

Answer

A = [[3, 0], [0, 4]]

Question 48

Berechnen Sie den Eigenwert der Matrix A = [[2, 1], [3, 2]]

Accepted Answer

λ = 3

Answer

λ = 2

Answer

λ = 1

Answer

λ = 0

Question 49

Was ist der Rang der Matrix A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]?

Accepted Answer

Rang 2

Answer

Rang 1

Answer

Rang 3

Answer

Rang 0

Question 50

Welche der folgenden Aussagen ist über Eigenwerte und Eigenvektoren richtig?

Accepted Answer

Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig.

Answer

Eigenvektoren zum gleichen Eigenwert sind orthogonal.

Answer

Alle Matrizen haben Eigenwerte.

Question 51

Berechnen Sie den Eigenvektor zu dem Eigenwert λ = 2 der Matrix A = [[3, -1], [2, 4]]

Accepted Answer

[[-1], [1]]

Answer

[[1], [-1]]

Answer

[[2], [-1]]

Answer

[[1], [1]]

Question 52

Welche der folgenden Matrizen ist diagonalisierbar?

Accepted Answer

A = [[2, 0], [0, 3]]

Answer

A = [[0, 1], [-1, 0]]

Answer

A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]

Answer

A = [[2, 1], [1, 2]]

Question 53

Was ist die Determinante der Matrix A = [[1, 2], [3, 4]]?

Accepted Answer

-2

Answer

4

Answer

0

Answer

2

Question 54

Welche der folgenden Eigenschaften gilt für eine symmetrische Matrix?

Accepted Answer

Alle Eigenwerte sind reell.

Answer

Die Determinante ist immer positiv.

Answer

Die Spur ist gleich der Summe der Eigenwerte.

Answer

Alle Elemente auf der Hauptdiagonalen sind gleich.

Question 55

Berechnen Sie den Eigenwert der Matrix A = [[1, 1], [-1, 1]]

Accepted Answer

λ = 2

Answer

λ = 1

Answer

λ = -1

Answer

λ = 0

Question 56

Was ist die geometrische Interpretation der Eigenvektoren einer Matrix?

Accepted Answer

Sie geben die Richtungen im Raum an, in denen die Matrix Objekte streckt oder staucht.

Answer

Sie geben die Werte an, für die die Matrix invertierbar ist.

Answer

Sie geben die Punkte an, an denen die Matrix Singularität aufweist.