Differentialrechnung lernen: Online-Quizze und Übungen für Studierende

Question 1

Identifizieren Sie die Funktion, die **nicht** stetig ist:

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = x³ - 2x² + 1

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = e^x

Question 2

In der Differentialrechnung beschäftigt man sich mit:

Accepted Answer

Grenzwerten, Stetigkeit, Ableitungen und deren Anwendungen

Answer

Algebraischen Gleichungen

Answer

Geometrischen Figuren

Answer

Wahrscheinlichkeitsrechnungen

Question 3

Die Ableitung einer Funktion beschreibt ihr:

Accepted Answer

Steigungsverhalten

Answer

Krümmungsverhalten

Answer

Wachstumsverhalten

Answer

Integrationsverhalten

Question 4

Die Regel von L'Hospital kann verwendet werden, um:

Accepted Answer

Grenzwerte unbestimmter Ausdrücke zu berechnen

Answer

Ableitungen höherer Ordnung zu berechnen

Answer

Integrale zu lösen

Answer

Differentialgleichungen zu lösen

Question 5

Bestimme die Ableitung von f(x) = sin(2x) + x³:

Accepted Answer

2cos(2x) + 3x²

Answer

cos(2x) + 3x²

Answer

sin(2x) + 3x

Answer

2sin(2x) + 3x

Question 6

Der Mittelwertsatz besagt, dass:

Accepted Answer

Zwischen zwei Punkten auf einer Kurve gibt es einen Punkt, an dem die Steigung gleich der durchschnittlichen Steigung ist.

Answer

Eine stetige Funktion auf einem Intervall ist auch differenzierbar.

Answer

Die Ableitung einer Funktion ist an allen Punkten konstant.

Answer

Die zweite Ableitung einer Funktion ist immer positiv.

Question 7

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 2x² + 5x - 7.

Accepted Answer

3x² - 4x + 5

Answer

x² - 4x + 5

Answer

3x² - 2x + 5

Answer

x² - 2x + 5

Question 8

Berechne den Grenzwert von lim (x → ∞) (x² + 2x - 3) / (x² - x + 1).

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

3

Answer

unendlich

Question 9

Welche geometrische Interpretation hat die erste Ableitung?

Accepted Answer

Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion

Answer

Fläche unter dem Graphen der Funktion

Answer

Länge des Graphen der Funktion

Answer

Krümmungsradius des Graphen der Funktion

Question 10

Welche Aussage über die zweite Ableitung ist korrekt?

Accepted Answer

Sie gibt die Krümmung des Graphen der Funktion an

Answer

Sie gibt die Beschleunigung an

Answer

Sie gibt einen Wendepunkt der Funktion an

Answer

Sie ist immer positiv

Question 11

Was ist die Taylor-Reihe?

Accepted Answer

Eine unendliche Reihe, die eine Funktion um einen Punkt lokal approximiert

Answer

Eine Methode zur numerischen Integration

Answer

Eine Technik zur Lösung von Differentialgleichungen

Answer

Eine Formel zur Berechnung des Volumens eines Körpers

Question 12

Welche der folgenden Differentialgleichungen erster Ordnung ist linear?

Accepted Answer

y' + y = sin(x)

Answer

y' + y² = x

Answer

y' + e^y = x

Answer

y' + xy = x²

Question 13

Welche der folgenden Ausdrücke ist die Ableitung von ln(x)?

Accepted Answer

1 / x

Answer

x

Answer

x / ln(x)

Answer

ln(x) / x

Question 14

Die Ableitung der Exponentialfunktion f(x) = e^x beträgt:

Accepted Answer

e^x

Answer

x * e^x

Answer

e^(-x)

Answer

Kein korrekter Ausdruck

Question 15

Welche Aussage beschreibt korrekt die Beziehung zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung?

Accepted Answer

Alle der oben genannten Aussagen

Answer

Die Ableitung gibt die Änderungsrate der Funktion an.

Answer

Die Funktion ist an einer Stelle wachsend, wenn ihre Ableitung positiv ist.

Answer

Die Ableitung entspricht dem Steigungsmaß der Tangente an der entsprechenden Stelle.

Question 16

Welche der folgenden Funktionen hat für alle x eine negative zweite Ableitung?

Accepted Answer

f(x) = -x^2

Answer

f(x) = x^3

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 17

Was stellt die Ableitung einer Funktion f(x) an der Stelle x0 geometrisch dar?

Accepted Answer

Die Steigung der Tangente an den Graphen von f(x) im Punkt (x0, f(x0)).

Answer

Die Steigung der Sekante durch die Punkte (x0, f(x0)) und (x0+h, f(x0+h)) für h gegen 0.

Answer

Die Änderungsrate von f(x) für x gegen x0.

Answer

Die Fläche unter dem Graphen von f(x) zwischen x0 und x0+h für h gegen 0.

Question 18

Welcher der folgenden Grenzwerte existiert: lim_{x->0} f(x) mit f(x) = sin(x)/x?

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

unendlich

Answer

minus unendlich

Question 19

Über welche Eigenschaft verfügt die Exponentialfunktion f(x) = e^x?

Accepted Answer

streng monoton wachsend

Answer

streng monoton fallend

Answer

hat ein Maximum bei x = 0

Answer

hat ein Minimum bei x = 0

Question 20

Welche Gleichung beschreibt die Tangente an den Graphen der Funktion f(x) = x^2 - 3x + 2 im Punkt (1,0)?

Accepted Answer

y = 2x - 1

Answer

y = x - 1

Answer

y = -x + 1

Answer

y = -2x + 1

Question 21

Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = cos(x)?

Accepted Answer

cos(x) + C

Answer

sin(x)

Answer

-sin(x)

Answer

cos(x) - C

Question 22

Mit Hilfe welcher Integralrechnung wird die Fläche unter dem Graphen der Funktion f(x) = x^2 zwischen x = 0 und x = 2 berechnet?

Accepted Answer

Integral über f(x) von 0 bis 2

Answer

Integral über f'(x) von 0 bis 2

Answer

Integral über f''(x) von 0 bis 2

Answer

Diese Aufgabe ist nicht mit der Integralrechnung lösbar.

Question 23

Welche Anwendung der Differentialrechnung ist in der Betriebswirtschaftslehre von Bedeutung?

Accepted Answer

Optimierung von Produktionsfunktionen

Answer

Lösen linearer Gleichungssysteme

Answer

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

Answer

Modellierung von Differentialgleichungen

Question 24

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = e^(2x).

Accepted Answer

2e^(2x)

Answer

e^(2x)

Answer

xe^(2x)

Answer

0

Question 25

Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f(x) = sin(x) im Punkt (0,0).

Accepted Answer

y = x

Answer

y = -x

Answer

y = sin(x)

Answer

y = cos(x)

Question 26

Die Optimierungsaufgabe "Maximierung von f(x) = x^2 - 2x + 3" führt zu:

Accepted Answer

x = 1, y = 2

Answer

x = 0, y = 3

Answer

x = -1, y = 4

Answer

x = -2, y = 5

Question 27

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 2x² + 5.

Accepted Answer

f'(x) = 3x² - 4x

Answer

f'(x) = 3x² - 2x

Answer

f'(x) = x² - 4x + 5

Answer

f'(x) = x² - 2x + 5

Question 28

Ermittle den Grenzwert von lim_(x->2) (x² - 4) / (x - 2).

Accepted Answer

0

Answer

2

Answer

4

Answer

unendlich

Question 29

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = 2x?

Accepted Answer

x² + C

Answer

x²

Answer

2x + C

Answer

x + C

Question 30

Berechne das Integral von ∫(x² - 3x + 2) dx über das Intervall [0, 2].

Accepted Answer

6

Answer

0

Answer

4

Answer

8

Question 31

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3.

Accepted Answer

f'(x) = 6x^2 - 10x

Answer

f'(x) = 6x^2 + 5x

Answer

f'(x) = 2x^2 - 5

Answer

f'(x) = 6x + 3

Question 32

Welche Ableitungsregel wird zur Berechnung der Ableitung der Funktion f(x) = ln(x) angewandt?

Accepted Answer

Kettenregel

Answer

Quotientenregel

Answer

Produktregel

Answer

Potenzregel

Question 33

Bestimme die Fläche unterhalb des Funktionsgraphen f(x) = x² im Intervall [0, 2].

Accepted Answer

8/3

Answer

4/3

Answer

2

Answer

4

Question 34

Welche Aussage über die Funktion f(x) = (x - 1)² - 4 ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist eine Parabel mit Scheitelpunkt (1, -3).

Answer

Sie ist eine Gerade mit Steigung 2.

Answer

Sie ist eine Hyperbel mit Asymptoten y = -1 und y = 3.

Question 35

Welche Funktion hat eine positive zweite Ableitung?

Accepted Answer

f(x) = x^4 + 3x^2 + 1

Answer

f(x) = sin(x) + cos(x)

Answer

f(x) = ln(1 + x²)

Answer

f(x) = e^(-x)

Question 36

Welche Aussage zur Funktion f(x) = (x-1)² + 2 ist richtig?

Accepted Answer

Sie beschreibt eine nach oben geöffnete Parabel.

Answer

Sie beschreibt keine Parabel.

Answer

Sie beschreibt eine gerade Linie.

Answer

Sie beschreibt eine nach unten geöffnete Parabel.

Question 37

Welche Ableitung hat die Funktion f(x) = e^(2x + 1)?

Accepted Answer

2e^(2x + 1)

Answer

(2x + 1)e^(2x + 1)

Answer

e²x

Answer

e^(2x)

Question 38

Berechnen Sie die erste Ableitung der Funktion f(x) = x^3 - 2x^2.

Accepted Answer

3x^2 - 4x

Answer

x^2 - 2

Answer

3x - 2

Answer

x^3 - 4x^2

Question 39

Berechnen Sie die Steigung der Tangente an die Funktion f(x) = x^2 + 2x - 3 im Punkt x = 1.

Accepted Answer

4

Answer

8

Answer

2

Answer

6

Question 40

Nennen Sie einen Anwendungsbereich der Differentialrechnung in der Betriebswirtschaftslehre.

Accepted Answer

Optimierung von Produktionsmengen zur Gewinnmaximierung

Answer

Numerische Integration

Answer

Lösen linearer Gleichungssysteme

Answer

Erstellen von Grafiken

Question 41

Welche Aussage zum Differenzenquotienten ist zutreffend?

Accepted Answer

Er nähert sich für immer kleiner werdendes Δx dem Wert der Ableitung an.

Answer

Er ist nur an Wendepunkten definiert.

Answer

Er ist immer größer als die Ableitung.

Question 42

Welche Formel beschreibt die Produktregel?

Accepted Answer

(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)

Answer

(f(x) * g(x))' = g'(x)

Answer

(f(x) * g(x))' = f'(x) + g'(x)

Answer

(f(x) * g(x))' = f(x) * g(x)'

Question 43

Welche Grenzwertregel gilt für die Summe von Grenzwerten?

Accepted Answer

lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)

Answer

lim (f(x) + g(x)) = lim max(f(x), g(x))

Answer

lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) * lim g(x)

Answer

lim (f(x) + g(x)) = lim min(f(x), g(x))

Question 44

Was beschreibt die Steigung der Tangente an den Graphen einer Funktion im Punkt (x0, f(x0))?

Accepted Answer

f'(x0)

Answer

f''(x0)

Answer

0

Answer

f(x0)

Question 45

Welche Aussage zur Ableitung der Umkehrfunktion ist korrekt?

Accepted Answer

(f^-1)'(x) = 1/f'(f^-1(x))

Answer

(f^-1)'(x) = f'(x^-1)

Answer

(f^-1)'(x) = -f'(x^-1)

Answer

(f^-1)'(x) = 0

Question 46

Welche Anwendung der Differentialrechnung dient zur Bestimmung von Maxima und Minima?

Accepted Answer

Ableitungssatz

Answer

Mittelwertsatz

Answer

Kettensatz

Answer

Grenzwertsatz

Question 47

Was beschreibt die zweite Ableitung einer Funktion?

Accepted Answer

Sie misst die Krümmung des Graphen der Funktion.

Answer

Sie misst die Steigung des Graphen der Funktion.

Answer

Sie misst die Konvexität des Graphen der Funktion.

Answer

Sie misst die Asymptoten des Graphen der Funktion.

Question 48

Welche Aussage über die Funktion f(x) = |x| ist korrekt?

Accepted Answer

f(x) ist stetig, aber an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar.

Answer

f(x) ist differenzierbar an der Stelle x = 0.

Answer

f(x) ist weder stetig noch differenzierbar an der Stelle x = 0.

Question 49

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = 3x² - 2x + 1.

Accepted Answer

f'(x) = 6x - 2

Answer

f'(x) = 3x - 2

Answer

f'(x) = 6x + 1

Answer

f'(x) = 9x² - 2

Question 50

Eine Kugel wird in die Luft geworfen. Ihre Höhe h(t) in Metern nach t Sekunden ist gegeben durch h(t) = -5t² + 20t + 2. Bestimme die maximale Höhe der Kugel.

Accepted Answer

h = 22 m

Answer

h = 17 m

Answer

h = 12 m

Answer

h = 20 m

Question 51

Auf welcher Menge ist die Funktion f(x) = 1/x stetig?

Accepted Answer

ℝ \ {0}

Answer

(-∞, 0]

Answer

ℝ

Answer

[0, ∞)

Question 52

Welche der folgenden Aussagen ist KEINE gültige Formulierung der Kettenregel?

Accepted Answer

d/dx [f(g(x))] = f'(x) * g'(x)

Answer

d/du [f(u)] * du/dx = d/dx [f(g(x))], wobei u = g(x)

Answer

(f∘g)'(x) = f'(g(x)) * g'(x)

Answer

d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) * g'(x)

Question 53

Welche der folgenden Funktionen ist überall stetig, aber nicht überall differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x - 2|

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x²

Question 54

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2 - 1

Answer

f(x) = sin(1/x)

Answer

f(x) = 1/x

Question 55

Welche der folgenden Funktionen hat einen Wendepunkt bei x = 0?

Accepted Answer

f(x) = x^3 - 3x

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2 - 1

Question 56

Welche der folgenden Anwendungen der Differentialrechnung ist in der Wirtschaft relevant?

Accepted Answer

Optimierung des Gewinns einer Funktion

Answer

Berechnung von Integralen

Answer

Lösen von Differentialgleichungen

Answer

Berechnung von Vektorfeldern

Question 57

Welche der folgenden Funktionen hat eine horizontale Tangente an der Stelle x = 2?

Accepted Answer

f(x) = x^2 - 4x + 4

Answer

f(x) = sin(x) + 1

Answer

f(x) = x^3 - 2x^2 + 1

Answer

f(x) = e^x

Question 58

Welche der folgenden Aussagen über die Differentialrechnung ist richtig?

Accepted Answer

Sie ist ein grundlegendes Werkzeug in der Mathematik und ihren Anwendungen in den Naturwissenschaften und der Wirtschaft.

Answer

Sie befasst sich nur mit der Ableitung von Funktionen.