Zufallsprozesse in der Architektur: Online-Quiz für Mathematik-Studierende

Question 1

Welcher Prozess entspricht der Definition eines Poisson-Prozesses?

Accepted Answer

Die Zeit zwischen Ereignissen ist unabhängig und Poisson-verteilt.

Answer

Die Zeit zwischen Ereignissen ist gleichmäßig verteilt.

Answer

Die Ereignisse treten in regelmäßigen Abständen auf.

Answer

Die Zeit zwischen Ereignissen ist normalverteilt.

Question 2

Was ist das Besondere an einem stochastischen Prozess?

Accepted Answer

Er besteht aus mehreren Zufallsvariablen, die miteinander verbunden sind.

Answer

Er ordnet jedem Zeitpunkt genau einen Wert zu.

Answer

Er zeigt, wie eine Zufallsvariable von einem Parameter abhängt.

Question 3

Welcher der folgenden Prozesse ist ein Poisson-Prozess mit einer konstanten Rate λ?

Accepted Answer

Die Anzahl der Anrufe bei einem Callcenter pro Stunde

Answer

Die Zeitspanne zwischen zwei Erdbeben

Answer

Die Anzahl der Kunden in einem Geschäft an einem bestimmten Tag

Answer

Die Wartezeit auf den Bus

Question 4

Welche Aussage beschreibt korrekt eine wesentliche Eigenschaft eines Markov-Prozesses?

Accepted Answer

Zukunftszustände hängen nur vom aktuellen Zustand ab.

Answer

Ereignisse treten unabhängig voneinander auf.

Answer

Prozess ist stationär.

Answer

Vergangenheit hat keinen Einfluss auf die Zukunft.

Question 5

Welcher Ausdruck gibt die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Poisson-verteilten Zufallsvariablen X mit dem Parameter λ korrekt wieder?

Accepted Answer

P(X = k) = (λ^k * e^-λ) / k!

Answer

P(X = k) = λ^k * (1 - λ)^k

Answer

P(X = k) = k * λ^k * e^-λ

Answer

P(X = k) = (k + 1) * λ^k * e^-λ

Question 6

Die Übergangsmatrix eines Markov-Prozesses ist eine:

Accepted Answer

Matrix, die die Wahrscheinlichkeiten für den Übergang von einem Zustand in einen anderen angibt

Answer

Matrix, die die Zeiten für den Übergang von einem Zustand in einen anderen angibt

Answer

Matrix, die die Kosten für den Übergang von einem Zustand in einen anderen angibt

Answer

Matrix, die die Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten eines Zustands angibt

Question 7

Wie kann die stationäre Verteilung eines Markov-Prozesses gefunden werden?

Accepted Answer

Berechnen der Eigenvektoren der Übergangsmatrix

Answer

Lösen der Chapman-Kolmogorov-Gleichungen

Answer

Ermitteln der Grenzwerte der Markov-Kette

Answer

Anwenden der Monte-Carlo-Simulation

Question 8

Wie lautet die Definition eines homogenen Markov-Prozesses?

Accepted Answer

Übergangswahrscheinlichkeiten sind unabhängig von der Zeit.

Answer

Übergangswahrscheinlichkeiten sind abhängig von der Zeit.

Answer

Anzahl der Zustände ist unendlich.

Answer

Prozess ist nicht-stationär.

Question 9

Welche Verteilungsfunktion beschreibt eine geometrisch verteilte Zufallsvariable X mit dem Parameter p korrekt?

Accepted Answer

F(x) = 1 - (1 - p)^x

Answer

F(x) = p^x - (1 - p)^x

Answer

F(x) = (p - 1)^x

Answer

F(x) = (1 + p)^x

Question 10

Welcher stochastische Prozess beschreibt korrekt die Bewegung eines Teilchens in Brownscher Bewegung?

Accepted Answer

Kontinuierlicher stochastischer Prozess

Answer

Diskontinuierlicher stochastischer Prozess

Answer

Stationärer stochastischer Prozess

Answer

Nicht-stationärer stochastischer Prozess

Question 11

Welcher der folgenden Prozesse tritt zufällig und unabhängig von der Zeit auf und hat eine konstante mittlere Ankunftsrate pro Zeiteinheit?

Accepted Answer

Poisson-Prozess

Answer

Markov-Prozess

Answer

Brownsche Bewegung

Answer

Binomialverteilung

Question 12

Welche der folgenden Aussagen über den Markov-Prozess ist korrekt?

Accepted Answer

Die Wahrscheinlichkeit für den nächsten Zustand hängt nur vom aktuellen Zustand ab.

Answer

Das System kann zu jedem Zeitpunkt nur einen Zustand einnehmen.

Answer

Der Prozess ist immer stationär.

Answer

Die Übergangsmatrix ist nicht stochastisch.

Question 13

Die Wahrscheinlichkeit für k Ereignisse in einem Zeitintervall der Länge t bei einem Poisson-Prozess mit Rate λ wird durch welche Formel angegeben?

Accepted Answer

(λ^k * e^(-λt)) / k!

Answer

(e^(-λt) / (λ^k * k!

Answer

(λ^k * t) / k!

Answer

(e^(-λt) / (t^k * k!

Question 14

Welcher der folgenden Prozesse verändert sich im Zeitverlauf nicht?

Accepted Answer

Die Lebenserwartung in einem Land

Answer

Der Temperaturverlauf in einer Stadt im Laufe eines Jahres

Answer

Der Aktienkurs eines Unternehmens über einen langen Zeitraum

Answer

Die Anzahl bestätigter COVID-19-Fälle pro Tag

Question 15

Welche Eigenschaft haben die Zeilen der Übergangsmatrix eines Markov-Prozesses?

Accepted Answer

Die Summe aller Einträge einer Zeile ist 1.

Answer

Die Summe aller Einträge einer Spalte ist 1.

Answer

Alle Einträge einer Zeile sind gleich.

Answer

Alle Einträge einer Spalte sind gleich.

Question 16

Welcher der folgenden Prozesse ist ein kontinuierlicher stochastischer Prozess und nimmt kontinuierliche Werte an?

Accepted Answer

Die Höhe eines Aktienkurses

Answer

Die Anzahl der Kunden in einer Schlange

Answer

Die Anzahl der neugeborenen Babys in einem Krankenhaus pro Monat

Answer

Die Zeit bis zum nächsten Erdrutsch

Question 17

Was ist die mittlere Ankunftsrate bei einem Poisson-Prozess?

Accepted Answer

Die Rate des Prozesses

Answer

Der Kehrwert der Rate

Answer

Die Summe der Ankunftsraten

Answer

Die Differenz der Ankunftsraten

Question 18

Welcher der folgenden Prozesse beschreibt das zufällige Wachstum einer Population unter Berücksichtigung von Geburten und Todesfällen?

Accepted Answer

Geburt-Tod-Prozess

Answer

Poisson-Prozess

Answer

Markov-Prozess

Answer

Brownsche Bewegung

Question 19

**Definition eines stochastischen Prozesses**
Welcher der folgenden Prozesse ist ein stochastischer Prozess?

Accepted Answer

Die Anzahl der Kunden, die pro Stunde in einem Geschäft bedient werden

Answer

Die Farbe eines Autos

Answer

Die Höhe eines Kindes

Question 20

**Definition eines Markov-Prozesses**
Welches der folgenden Beispiele stellt einen Markov-Prozess dar?

Accepted Answer

Der Zustand eines Systems, das sich zufällig zwischen drei Zuständen bewegt

Answer

Die Flugroute eines Vogels

Answer

Die Entwicklung des Aktienmarktes

Question 21

**Eigenschaften der Übergangsmatrix**
Welche Aussage zur Übergangsmatrix eines Markov-Prozesses ist korrekt?

Accepted Answer

Die Summe der Zeilen ist gleich eins

Answer

Die Matrix ist symmetrisch

Answer

Die Matrix ist invertierbar

Answer

Die Diagonalelemente sind immer gleich eins

Question 22

**Anfangsverteilung von Markov-Prozessen**
Welcher Begriff beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Markov-Prozess in einem bestimmten Zustand beginnt?

Accepted Answer

Anfangsverteilung

Answer

Stationäre Verteilung

Answer

Erwartungswert

Answer

Übergangswahrscheinlichkeit

Question 23

**Fehlererkennung beim Poisson-Prozess**
Welche Aussage zum Poisson-Prozess ist falsch?

Accepted Answer

Die Anzahl der Ereignisse in zwei nicht überlappenden Intervallen ist abhängig

Answer

Die Wartezeiten zwischen den Ereignissen sind exponentialverteilt

Answer

Der Prozess ist stationär

Question 24

Welcher stochastische Prozess ist durch zufällige Ankünfte mit einer konstanten Rate λ gekennzeichnet?

Accepted Answer

Poisson-Prozess

Answer

Bernoulli-Prozess

Answer

Normalverteilungsprozess

Answer

Binomial-Prozess

Question 25

Welche Eigenschaft charakterisiert einen Markov-Prozess?

Accepted Answer

Die zukünftige Entwicklung hängt nur vom aktuellen Zustand ab

Answer

Die Varianz des Prozesses ist konstant

Answer

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Prozesses ändert sich nicht im Laufe der Zeit

Question 26

Welcher Begriff beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines Zustandswechsels von Zustand i zu Zustand j in einem Markov-Prozess?

Accepted Answer

Übergangswahrscheinlichkeit

Answer

Zustandsverteilung

Answer

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Answer

Anfangswahrscheinlichkeit

Question 27

Welche Größe entspricht der erwarteten Anzahl von Ereignissen in einem Poisson-Prozess mit Rate λ während eines Zeitintervalls der Länge t?

Accepted Answer

λt

Answer

λ/t

Answer

1/λt

Answer

t/λ

Question 28

Welche Eigenschaft kennzeichnet einen stetigen Markov-Prozess?

Accepted Answer

Stetige Übergangswahrscheinlichkeiten bezogen auf die Zeit

Answer

Exponentialverteilte Verweilzeiten

Answer

Endliche Anzahl von Zuständen

Question 29

Wie wird die Matrix bezeichnet, die die Übergangswahrscheinlichkeiten eines Markov-Prozesses enthält?

Accepted Answer

Übergangsmatrix

Answer

Anfangsmatrix

Answer

Wahrscheinlichkeitsmatrix

Answer

Zustandsmatrix

Question 30

Welche Bedingung ist hinreichend für die Reversibilität eines Markov-Prozesses?

Accepted Answer

Erfüllung der detaillierten Bilanzgleichungen

Answer

Ergodische Kette

Answer

Stationäre Zustandsverteilung

Answer

Symmetrische Übergangsmatrix

Question 31

Welchem Zweck dient die Mastergleichung in einem Markov-Prozess?

Accepted Answer

Beschreibung der zeitlichen Entwicklung der Zustandsverteilung

Answer

Vorhersage zukünftiger Zustände

Answer

Berechnung der Übergangswahrscheinlichkeiten

Question 32

Welches der folgenden Paare von stochastischen Prozessen ist Markovsch?

Accepted Answer

Markov-Prozess und Wiener-Prozess

Answer

Alle aufgeführten Paare sind Markovsch.

Answer

Poisson-Prozess und Brownsche Bewegung

Answer

Gaußscher Prozess und Markov-Kette

Question 33

Welche der folgenden Größen ist beim Markov-Prozess eine Markov-Größe?

Accepted Answer

Zustand des Systems zum aktuellen Zeitpunkt

Answer

Wahrscheinlichkeit des aktuellen Zustands

Answer

Die Übergangsmatrix des Prozesses

Answer

Vergangene und zukünftige Zustände des Systems

Question 34

Wie lautet die Verteilungsfunktion des Poisson-Prozesses mit Rate λ?

Accepted Answer

P(X = k) = (λ^k * e^-λ) / k!

Answer

P(X = k) = λ^k * e^-λ

Answer

P(X = k) = (λ * e^-λ) / k

Answer

P(X = k) = k * λ^k * e^-λ

Question 35

Was ist eine Übergangswahrscheinlichkeit im Kontext stochastischer Prozesse?

Accepted Answer

Wahrscheinlichkeit, von einem bestimmten Zustand zu einem anderen zu wechseln.

Answer

Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in einem bestimmten Intervall eintritt.

Answer

Wahrscheinlichkeit, dass der Prozess in einem gegebenen Zustand startet.

Answer

Wahrscheinlichkeit, in einem bestimmten Zustand zu verharren.

Question 36

Welches der folgenden Beispiele ist ein stochastischer Prozess?

Accepted Answer

Temperaturänderungen in einer Stadt

Answer

Fixer Wert

Answer

Algebraische Gleichung

Answer

Mathematische Funktion

Question 37

Was ist der Unterschied zwischen einem stochastischen Prozess und einer Zufallsvariablen?

Accepted Answer

Ein stochastischer Prozess ist eine Zufallsfunktion, während eine Zufallsvariable ein einzelner Zufallswert ist.

Answer

Ein stochastischer Prozess ist deterministisch, während eine Zufallsvariable stochastisch ist.

Answer

Ein stochastischer Prozess ist kontinuierlich, während eine Zufallsvariable diskret ist.

Question 38

Welche der folgenden Verteilungen ist die Grenzdichte der binomialen Verteilung für n -> ∞ und p -> 0?

Accepted Answer

Poisson-Verteilung

Answer

Exponentielle Verteilung

Answer

Binomial-Verteilung

Answer

Normalverteilung

Question 39

Welche Aussage definiert einen stochastischen Prozess?

Accepted Answer

Eine Folge von Zufallsvariablen, die zeitlich oder räumlich geordnet sind.

Answer

Eine Funktion, die Zufallsvariablen Zahlen zuordnet.

Answer

Ein Wahrscheinlichkeitsmaßraum, der die Entwicklung eines Systems beschreibt.

Question 40

Welche Eigenschaft ist charakteristisch für einen Markov-Prozess?

Accepted Answer

Die Zukunft hängt ausschließlich vom gegenwärtigen Zustand ab, nicht von der Vergangenheit.

Answer

Die Zufallsvariablen sind unabhängig voneinander.

Answer

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ändert sich über die Zeit.

Question 41

Welche Formel beschreibt die Wahrscheinlichkeitsfunktion eines Poisson-Prozesses mit Rate λ?

Accepted Answer

P(X=k) = (λ^k * e^-λ) / k!

Answer

P(X=k) = (1/λ)^k * e^-1/λ

Answer

P(X=k) = λ^k * e^-λ

Question 42

Welche Anwendung ist NICHT für die Modellierung mit einem Markov-Prozess geeignet?

Accepted Answer

Modellierung des Verhaltens von Aktienkursen.

Answer

Modellierung des Kundenverhaltens.

Answer

Modellierung der Warteschlangenbildung in einem Supermarkt.

Answer

Modellierung des Wetters.

Question 43

Was ist eine Übergangsmatrix in einem Markov-Prozess?

Accepted Answer

Eine Matrix, die die Übergangswahrscheinlichkeiten von einem Zustand in einen anderen darstellt.

Answer

Eine Matrix, die die Zustände des Prozesses definiert.

Question 44

Welche Aussage über stationäre stochastische Prozesse ist falsch?

Accepted Answer

Ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung ändert sich über die Zeit.

Answer

Sie können Poisson-Prozesse oder Markov-Prozesse sein.

Answer

Ihre statistischen Eigenschaften bleiben über die Zeit konstant.

Question 45

Wie lautet der Erwartungswert eines Poisson-Prozesses mit Rate λ?

Accepted Answer

λ

Answer

λ^2

Answer

e^-λ

Answer

1/λ

Question 46

Was ist ein wesentlicher Vorteil der Modellierung realer Phänomene mit stochastischen Prozessen?

Accepted Answer

Sie berücksichtigen Unsicherheit und Zufälligkeit in Systemen.

Answer

Sie liefern immer präzise Vorhersagen.

Answer

Sie sind einfach zu implementieren.

Question 47

Welcher der folgenden Vorgänge kann am besten durch einen stochastischen Prozess modelliert werden?

Accepted Answer

Die Entwicklung des Wasserstands eines Sees über die Zeit

Answer

Die Flugbahn eines Fußballs bei einem Elfmeter ohne Torwart

Answer

Die Innentemperatur eines ideal isolierten Raumes

Answer

Das Volumen eines Würfels mit gegebener Kantenlänge

Question 48

Ein Callcenter erhält Anrufe mit einer durchschnittlichen Rate von 10 Anrufen pro Stunde. Unter Annahme eines Poisson-Prozesses, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb der nächsten 15 Minuten genau zwei Anrufe eingehen?

Accepted Answer

0,2052

Answer

0,1251

Answer

0,3437

Answer

0,0819

Question 49

Welche Eigenschaft zeichnet einen Markov-Prozess aus?

Accepted Answer

Die zukünftige Entwicklung des Prozesses hängt ausschließlich vom aktuellen Zustand ab, nicht von der Vergangenheit.

Answer

Die Zufallsvariablen, die den Prozess beschreiben, sind unabhängig voneinander.

Answer

Der Prozess erreicht immer nach endlicher Zeit einen stabilen Gleichgewichtszustand.

Answer

Der Prozess kann durch eine deterministische Funktion der Zeit beschrieben werden.

Question 50

Ein stochastischer Prozess hat einen Erwartungswert von 8 und eine Varianz von 16. Wie hoch ist die Standardabweichung dieses Prozesses?

Accepted Answer

4

Answer

2

Answer

64

Answer

24

Question 51

Welches der folgenden Szenarien ist ein Beispiel für die Anwendung eines stochastischen Prozesses?

Accepted Answer

Simulation der Preisentwicklung einer Aktie über die nächsten Monate

Answer

Entwicklung eines Algorithmus zur Sortierung einer Zahlenliste

Answer

Berechnung der Spannweite einer Brücke mit bekannten Materialeigenschaften

Answer

Bestimmung der optimalen Route für eine Zugverbindung zwischen zwei Städten

Question 52

Ein stochastischer Prozess gilt als stationär, wenn...

Accepted Answer

seine statistischen Eigenschaften über die Zeit konstant bleiben.

Answer

er periodische Schwankungen aufweist.

Answer

sein Erwartungswert über die Zeit linear ansteigt.

Answer

seine Varianz über die Zeit abnimmt.

Question 53

Ein ergodischer Prozess zeichnet sich dadurch aus, dass...

Accepted Answer

sich seine zeitlichen Mittelwerte und Ensemblemittelwerte im Langzeitverhalten annähern.

Answer

er keine periodischen Schwankungen aufweist.

Answer

seine Verteilungsfunktion unabhängig von der Zeit ist.

Answer

sein Erwartungswert über die Zeit konstant ist.

Question 54

Welche Aussage über Markov-Prozesse ist im Allgemeinen nicht korrekt?

Accepted Answer

Jeder Markov-Prozess ist auch ein stationärer Prozess.

Answer

Ein Markov-Prozess kann diskrete oder kontinuierliche Zustandsräume besitzen.

Answer

Unter bestimmten Bedingungen kann ein Markov-Prozess ergodisch sein.

Answer

Markov-Prozesse finden Anwendung in Bereichen wie Warteschlangentheorie oder Finanzmathematik.

Question 55

Ein Poisson-Prozess modelliert die Ankünfte von Kunden in einem Geschäft mit einer Rate von durchschnittlich 8 Kunden pro Stunde. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb der nächsten 30 Minuten kein Kunde das Geschäft betritt?

Accepted Answer

0,0183

Answer

0,25

Answer

0,1353

Answer

0,5

Question 56

Was ist ein zentrales Merkmal von stochastischen Prozessen?

Accepted Answer

Sie beinhalten zufällige Einflüsse und erlauben somit die Modellierung von Unsicherheiten.

Answer

Sie sind nur für die Modellierung von Systemen mit sehr wenigen Komponenten geeignet.

Answer

Sie dienen ausschließlich der Beschreibung von periodischen Vorgängen.

Answer

Sie lassen sich stets durch deterministische Gleichungen vollständig beschreiben.

Question 57

Ein Poisson-Prozess mit Parameter λ beschreibt die Anzahl von Ereignissen in einem Zeitintervall. Welche der folgenden Aussagen über den Poisson-Prozess ist FALSCH?

Accepted Answer

Die Ereignisse müssen gleichmäßig verteilt sein.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in einem kleinen Zeitintervall eintritt, ist proportional zur Länge des Zeitintervalls.

Answer

Die Ereignisse sind unabhängig voneinander.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als ein Ereignis in einem sehr kleinen Zeitintervall eintritt, ist vernachlässigbar.

Question 58

Eine Maschine produziert defekte Teile mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,05. Welches Modell ist am besten geeignet, um die Anzahl der defekten Teile in einer Stichprobe von 100 Teilen zu modellieren?

Accepted Answer

Binomialverteilung

Answer

Normalverteilung

Answer

Exponentialverteilung

Answer

Poisson-Verteilung

Question 59

Welche Eigenschaft zeichnet einen Markov-Prozess aus?

Accepted Answer

Die zukünftige Entwicklung des Prozesses hängt nur vom aktuellen Zustand ab, nicht von der Vergangenheit.

Answer

Der Prozess muss stetig sein.

Question 60

Ein Markov-Prozess hat folgende Übergangsmatrix: 
 [[0.6, 0.4], [0.2, 0.8]]. 
 Welches ist die Wahrscheinlichkeit, sich im Zustand 1 zu befinden, nachdem man zwei Schritte vom Zustand 0 aus gemacht hat?

Accepted Answer

0.44

Answer

0.6

Answer

0.8

Answer

0.2

Question 61

Welche der folgenden Aussagen über den Erwartungswert eines stochastischen Prozesses ist RICHTIG?

Accepted Answer

Der Erwartungswert kann für jeden Zeitpunkt des Prozesses berechnet werden.

Answer

Der Erwartungswert ist immer konstant.

Answer

Der Erwartungswert kann nur für stationäre Prozesse berechnet werden.

Question 62

Ein stochastischer Prozess wird als stationär bezeichnet, wenn...

Accepted Answer

seine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Zeit konstant bleibt.

Answer

er eine konstante Varianz besitzt.

Answer

er eine konstante Drift besitzt.

Question 63

Welches Modell beschreibt die Zeitspanne zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen in einem Poisson-Prozess?

Accepted Answer

Exponentialverteilung

Answer

Normalverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Gleichverteilung

Question 64

Ein stochastischer Prozess wird als Wiener-Prozess bezeichnet, wenn...

Accepted Answer

seine Zuwächse normalverteilt, unabhängig und stationär sind.

Answer

er eine konstante Drift besitzt.

Answer

er diskrete Zustände annimmt.