Numerische lineare Algebra: Online-Quizze und Übungen

Question 1

Welche Haupteigenschaft beschreibt die Gauß-Elimination?

Accepted Answer

Wandelt die Koeffizientenmatrix in eine Dreiecksmatrix um, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.

Answer

Garantiert numerisch stabile Lösungen für alle linearen Gleichungssysteme.

Answer

Kann nur Gleichungssysteme mit quadratischen Koeffizientenmatrizen lösen.

Question 2

Bei welcher Art von Matrizen ist die Iterationsmethode zur Lösung linearer Gleichungssysteme besonders geeignet?

Accepted Answer

Schwach besetzte Matrizen

Answer

Dicht besetzte Matrizen

Answer

Symmetrisch definite Matrizen

Answer

Nicht-singuläre Matrizen

Question 3

Welche Aussage zu Eigenwerten symmetrischer Matrizen ist korrekt?

Accepted Answer

Sie sind immer reell.

Answer

Sie sind immer positiv.

Answer

Ihre Summe ist gleich der Spur der Matrix.

Answer

Ihr Produkt ist gleich der Determinante der Matrix.

Question 4

Welche Bedingung muss eine Matrix erfüllen, um positiv definit zu sein?

Accepted Answer

Ihre Eigenwerte sind alle positiv.

Answer

Ihre Determinante ist positiv.

Answer

Ihre Spur ist positiv.

Answer

Sie ist invertierbar.

Question 5

Was beschreibt die numerische Stabilität einer numerischen Methode?

Accepted Answer

Ihre Anfälligkeit für kleine Änderungen in den Eingabedaten.

Answer

Ihre Genauigkeit im Vergleich zu den Eingabedaten.

Answer

Ihre Konvergenzgeschwindigkeit.

Answer

Ihre Speicheranforderungen.

Question 6

Welche Matrixzerlegung eignet sich am besten zur Berechnung der Konditionszahl einer Matrix?

Accepted Answer

Singulärwertzerlegung

Answer

LU-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Answer

Eigenwertzerlegung

Question 7

Was ist der entscheidende Unterschied zwischen einer Cholesky-Zerlegung und einer LU-Zerlegung?

Accepted Answer

Die Cholesky-Zerlegung wird nur für symmetrisch positive definite Matrizen verwendet.

Answer

Die LU-Zerlegung ist numerisch stabiler als die Cholesky-Zerlegung.

Answer

Die Cholesky-Zerlegung ist schneller als die LU-Zerlegung.

Answer

Es gibt keinen Unterschied zwischen den beiden Zerlegungen.

Question 8

Was beschreibt die Konditionszahl einer Matrix?

Accepted Answer

Ihr Maß an numerischer Stabilität.

Answer

Ihre Größe.

Answer

Ihre Determinante.

Answer

Ihre Eigenwerte.

Question 9

Welches Ziel verfolgt die Eigenwertberechnung?

Accepted Answer

Ermittlung der charakteristischen Eigenschaften einer Matrix

Answer

Lösung des zugehörigen linearen Gleichungssystems

Answer

Berechnung der Spur der Matrix

Answer

Diagonalisierung der Matrix

Question 10

Was beschreibt die Bedingungszahl einer Matrix?

Accepted Answer

Das Verhältnis der Norm der größten zur Norm der kleinsten Eigenwert

Answer

Das Verhältnis der größten zur kleinsten Eigenwert

Answer

Das Verhältnis der Spektralnorm zur Frobeniusnorm

Answer

Das Verhältnis der Determinante zur Spur

Question 11

Was besagt der Gerschgorin-Kreissatz?

Accepted Answer

Jeder Eigenwert liegt innerhalb mindestens eines Kreises

Answer

Jeder Eigenwert liegt innerhalb höchstens eines Kreises

Answer

Die Summe der absoluten Eigenwerte entspricht der Spur der Matrix

Answer

Die Determinante entspricht dem Produkt der Eigenwerte

Question 12

Welche Aussage zur QR-Zerlegung ist korrekt?

Accepted Answer

Zerlegt eine Matrix in eine orthogonale und eine obere Dreiecksmatrix

Answer

Zerlegt eine Matrix in eine untere Dreiecksmatrix und eine orthogonale Matrix

Answer

Zerlegt eine Matrix in eine orthogonale und eine symmetrische Matrix

Answer

Zerlegt eine Matrix in eine symmetrische und eine orthogonale Matrix

Question 13

Welcher der folgenden Algorithmen wird zur Lösung eines linearen Gleichungssystems Ax = b verwendet?

Accepted Answer

Gauß-Elimination

Answer

Fixpunktiteration

Answer

K-Means

Answer

Bisektion

Question 14

Welche Aussage zur numerischen Stabilität ist korrekt?

Accepted Answer

Numerisch stabile Algorithmen führen auch bei großen Eingabedaten zu kleinen Fehlern in den Ergebnissen.

Answer

Numerisch instabile Algorithmen sind immer effizienter als numerisch stabile Algorithmen.

Answer

Numerische Stabilität ist nur bei sehr großen Berechnungen relevant.

Question 15

Welche der folgenden Matrizen ist orthogonal?

Accepted Answer

Q = {{1/√2, 1/√2}, {-1/√2, 1/√2}}

Answer

B = {{1, 0}, {0, 1}}

Answer

C = {{1, 2}, {2, 4}}

Answer

D = {{1, 2}, {3, 6}}

Question 16

Welcher der folgenden Algorithmen wird zur Berechnung der Singulärwertzerlegung einer Matrix A verwendet?

Accepted Answer

QR-Algorithmus

Answer

K-Means

Answer

Jacobi-Iteration

Answer

Potenzmethode

Question 17

Welche Aussage über die Kondition einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Die Kondition einer Matrix misst die Empfindlichkeit der Lösung eines linearen Gleichungssystems gegenüber kleinen Änderungen in den Koeffizienten der Matrix.

Answer

Die Kondition einer Matrix ist immer kleiner oder gleich 1.

Question 18

Welcher der folgenden Algorithmen wird zur Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems f(x) = 0 verwendet?

Accepted Answer

Newton-Raphson-Verfahren

Answer

K-Means

Answer

Fixpunktiteration

Answer

Bisektion

Question 19

Welcher der folgenden Algorithmen wird zur Berechnung der Cholesky-Zerlegung einer Matrix A verwendet?

Accepted Answer

Cholesky-Algorithmus

Answer

QR-Algorithmus

Answer

K-Means

Answer

Jacobi-Iteration

Question 20

Welches iterative Verfahren wird zur Lösung eines linearen Gleichungssystems verwendet?

Accepted Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Answer

QR-Zerlegung

Answer

Cholesky-Zerlegung

Answer

LU-Zerlegung

Question 21

Was definiert den Eigenwert einer Matrix A?

Accepted Answer

Ein Skalar λ, für den es einen von Null verschiedenen Vektor x gibt, sodass Ax = λx

Answer

Ein Vektor v, für den Av = 0

Answer

Eine Matrix B, für die AB = BA

Question 22

Welches Kriterium beschreibt die numerische Stabilität eines Algorithmus?

Accepted Answer

Die Veränderung des Ergebnisses muss proportional zur Veränderung der Eingabe sein.

Answer

Der Algorithmus sollte immer ein eindeutiges Ergebnis liefern.

Answer

Der Algorithmus sollte für große Eingaben effizient sein.

Question 23

Welches Ziel verfolgt die QR-Zerlegung?

Accepted Answer

Zerlegung einer Matrix in eine orthogonale Matrix Q und eine obere Dreiecksmatrix R

Answer

Zerlegung einer Matrix in eine untere Dreiecksmatrix L und eine orthogonale Matrix R

Answer

Zerlegung einer Matrix in eine symmetrische Matrix D und eine orthogonale Matrix V

Question 24

Welcher Vorteil ergibt sich aus der Verwendung der Potenzmethode zur Berechnung des größten Eigenwerts einer Matrix?

Accepted Answer

Sie erfordert nur Matrix-Vektor-Multiplikationen.

Answer

Sie ist für große Matrizen effizient.

Answer

Sie ist für nicht-symmetrische Matrizen geeignet.

Answer

Sie liefert den genauesten Eigenwert.

Question 25

Welche Aussage über die Determinante einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist ungleich Null, wenn die Matrix invertierbar ist.

Answer

Sie ist gleich dem Produkt der Eigenwerte der Matrix.

Answer

Sie ist immer positiv.

Question 26

Welchem Zweck dient die Singulärwertzerlegung (SVD)?

Accepted Answer

Zerlegung einer Matrix in eine Matrix von Singulärvektoren, eine Diagonalmatrix von Singulärwerten und eine transponierte Matrix von Singulärvektoren.

Answer

Zerlegung einer Matrix in eine Eigenwertmatrix und eine Eigenvektormatrix.

Question 27

Welche der folgenden Aussagen beschreibt am besten den Schwerpunkt der numerischen linearen Algebra?

Accepted Answer

Sie befasst sich mit der numerischen Lösung von linearen Gleichungssystemen, der Berechnung von Eigenwerten und der Untersuchung der numerischen Stabilität.

Answer

Sie konzentriert sich ausschließlich auf die theoretische Analyse linearer Algebra.

Question 28

Welche Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme weist eine besondere numerische Stabilität auf?

Accepted Answer

QR-Zerlegung

Answer

Jacobi-Iteration

Answer

Gauß-Seidel-Iteration

Answer

Gauss-Jordan-Elimination

Question 29

Was versteht man unter dem Eigenwert einer Matrix?

Accepted Answer

Einen Skalar, der eine Richtung im Vektorraum festlegt und die Skalierung der zugehörigen Eigenvektoren bestimmt

Answer

Eine Spur, die die Summe der Diagonalelemente angibt

Answer

Eine Determinante, die die Matrix charakterisiert

Answer

Einen Vektor, der die Matrix diagonalisiert

Question 30

Welcher Algorithmus wird typischerweise zur iterativen Berechnung des größten Eigenwerts einer Matrix verwendet?

Accepted Answer

Power-Iteration

Answer

QR-Algorithmus

Answer

Singulärwertzerlegung

Answer

Jacobi-Methode

Question 31

Was beschreibt die Bedingungszahl einer Matrix?

Accepted Answer

Ein Maß für die Empfindlichkeit der Matrix gegenüber kleinen Änderungen in ihren Elementen

Answer

Eine Determinante, die die Matrix charakterisiert

Answer

Eine Maßnahme für den Rang einer Matrix

Question 32

Welche Aussage zur QR-Zerlegung trifft zu?

Accepted Answer

Sie zerlegt eine Matrix in eine orthogonale Matrix und eine obere Dreiecksmatrix.

Answer

Sie zerlegt eine Matrix in eine unitäre Matrix und eine Diagonalmatrix.

Answer

Sie zerlegt eine Matrix in eine symmetrische Matrix und eine untere Dreiecksmatrix.

Question 33

Nennen Sie einen Vorteil der Verwendung der Singulärwertzerlegung.

Accepted Answer

Sie ermöglicht die Lösung sowohl invertierbarer als auch singulärer linearer Gleichungssysteme.

Answer

Sie kann nur zur Lösung singulärer linearer Gleichungssysteme verwendet werden.

Answer

Sie kann nur zur Lösung invertierbarer linearer Gleichungssysteme verwendet werden.

Question 34

Wie lautet der wesentliche Unterschied zwischen einer schwach besetzten und einer dicht besetzten Matrix?

Accepted Answer

Eine schwach besetzte Matrix enthält viele Nullelemente, während eine dicht besetzte Matrix nur wenige Nullelemente aufweist.

Answer

Eine schwach besetzte Matrix ist immer symmetrisch, während eine dicht besetzte Matrix nicht symmetrisch ist.

Question 35

In welchen Anwendungsbereichen findet numerische lineare Algebra typischerweise Anwendung?

Accepted Answer

Bildverarbeitung, Finite-Elemente-Analyse, maschinelles Lernen und Optimierung

Answer

Geschichte, Philosophie und Soziologie

Answer

Buchhaltung, Finanzen und Marketing

Question 36

Welcher Fehler tritt bei der numerischen Berechnung von Eigenwerten auf?

Accepted Answer

Rundungsfehler

Answer

Diskretisierungsfehler

Answer

Messfehler

Answer

Modellierungsfehler

Question 37

Welche Eigenschaft besitzen die Eigenwerte einer symmetrischen Matrix?

Accepted Answer

Sie sind immer reell.

Answer

Ihre Summe ist immer Null.

Answer

Sie sind immer positiv.

Answer

Sie können komplex sein.

Question 38

Was beschreibt die Kondition einer Matrix?

Accepted Answer

Empfindlichkeit der Lösung linearer Gleichungssysteme gegenüber Matrixänderungen.

Answer

Größe des größten Eigenwerts der Matrix

Answer

Rang der Matrix

Answer

Determinante der Matrix

Question 39

Welches Verfahren berechnet die Singularwertzerlegung einer Matrix?

Accepted Answer

QR-Algorithmus

Answer

LU-Zerlegung

Answer

Jacobi-Verfahren

Answer

Cholesky-Zerlegung

Question 40

Welche der folgenden Methoden wird zur direkten Lösung linearer Gleichungssysteme eingesetzt?

Accepted Answer

Gauß-Elimination

Answer

Iterationsverfahren

Answer

QR-Zerlegung mit Rückwärtseinsetzen

Answer

Potenzmethode

Question 41

Welche der folgenden Aussagen über numerische Stabilität ist korrekt?

Accepted Answer

Numerische Instabilität kann dazu führen, dass kleine Änderungen der Eingabedaten zu großen Änderungen der Ausgabedaten führen

Answer

Numerisch stabile Algorithmen sind immer effizienter als instabile Algorithmen

Question 42

Wie lautet die Bedingungszahl einer Matrix?

Accepted Answer

Das Verhältnis der Norm der größten Eigenwert zur Norm der kleinsten Eigenwert

Answer

Die Differenz zwischen den Eigenwerten

Answer

Das Produkt der Eigenwerte

Question 43

Welche der folgenden Aussagen über die QR-Zerlegung ist korrekt?

Accepted Answer

Sie zerlegt eine Matrix in eine orthogonale Matrix und eine obere Dreiecksmatrix

Answer

Sie wird nur zur Lösung linearer Gleichungssysteme verwendet

Answer

Sie ist eine symmetrische Zerlegung

Question 44

Welche der folgenden Methoden wird zur Berechnung der Spur einer Matrix verwendet?

Accepted Answer

Summieren der Diagonalelemente

Answer

Rang der Matrix bestimmen

Answer

Determinante der Matrix bestimmen

Answer

Multiplikation der Eigenwerte

Question 45

Was ist der Rang einer Matrix?

Accepted Answer

Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten

Answer

Die Spur der Matrix

Answer

Die Determinante der Matrix

Question 46

Welche der folgenden Aussagen über die Jacobi-Iteration zur Lösung linearer Gleichungssysteme trifft nicht zu?

Accepted Answer

Sie ist immer konvergent.

Answer

Sie ist eine spaltenweise Methode.

Answer

Sie ist anwendbar auf symmetrisch positive definite Matrizen.

Answer

Sie ist eine stationäre Iterationsmethode.

Question 47

Welches Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten nutzt die QR-Zerlegung?

Accepted Answer

QR-Algorithmus

Answer

Jacobi-Methode

Answer

Potenzmethode

Answer

Singulärwertzerlegung

Question 48

Welches Verfahren eignet sich zur Lösung dünnbesetzter linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Sparse-LU-Zerlegung

Answer

Jacobi-Iteration

Answer

QR-Zerlegung

Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Question 49

Wie lautet die Bedingung, damit eine Matrix symmetrisch ist?

Accepted Answer

A = A^T

Answer

A = A^-1

Answer

A = -A^T

Answer

A = 0

Question 50

Was ist das Ergebnis der Multiplikation zweier regulärer Matrizen?

Accepted Answer

Eine reguläre Matrix

Answer

Eine singuläre Matrix

Answer

Eine symmetrische Matrix

Answer

Eine quadratische Matrix

Question 51

Welcher Begriff beschreibt die Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten einer Matrix?

Accepted Answer

Rang

Answer

Spur

Answer

Eigenwert

Answer

Determinante

Question 52

Mit welcher Methode lassen sich die Singulärwerte einer Matrix berechnen?

Accepted Answer

Singulärwertzerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

LU-Zerlegung

Question 53

Welcher Algorithmus eignet sich zur Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b, wenn A eine große und dünnbesetzte Matrix ist?

Accepted Answer

Iterative Verfahren wie das CG-Verfahren

Answer

QR-Zerlegung

Answer

Direkte Verfahren wie die Gaußsche Elimination

Answer

Singulärwertzerlegung

Question 54

Welche Matrixeigenschaft gewährleistet die numerische Stabilität eines Verfahrens?

Accepted Answer

Gut konditioniert

Answer

Orthogonal

Answer

Diagonalisierbar

Answer

Symmetrisch

Question 55

Welches Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme ist bei großen dünnbesetzten Matrizen effizient?

Accepted Answer

Iterative Verfahren

Answer

QR-Zerlegung

Answer

LDL-Zerlegung

Answer

Direkte Verfahren

Question 56

Welches Verfahren zur numerischen Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren ist am robustesten?

Accepted Answer

QR-Algorithmus

Answer

Inverse Iteration

Answer

Jacobi-Methode

Answer

Potenzmethode

Question 57

Welche Aussage über schlecht konditionierte Matrizen trifft zu?

Accepted Answer

Kleine Änderungen in den Eingabedaten führen zu großen Änderungen in den Ergebnissen

Answer

Sie sind immer numerisch stabil

Answer

Sie können effizient gelöst werden

Question 58

Welches Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme nutzt Sparsity (Dünnbesetztheit) aus?

Accepted Answer

Gauß-Seidel-Verfahren mit Sparsity Pattern

Answer

QR-Zerlegung mit Householder-Transformationen

Answer

Singulärwertzerlegung

Answer

LU-Zerlegung mit Pivotisierung

Question 59

Welche Aussage über die QR-Zerlegung einer Matrix trifft zu?

Accepted Answer

Sie ist immer eindeutig, wenn die Matrix regulär ist

Answer

Sie ist immer numerisch stabil

Answer

Sie kann verwendet werden, um Eigenwerte zu berechnen

Question 60

Welches Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme ist am effizientesten für symmetrisch positive definite Matrizen?

Accepted Answer

Cholesky-Zerlegung

Answer

LU-Zerlegung mit Pivotisierung

Answer

QR-Zerlegung

Answer

Gauss-Seidel-Verfahren