Numerische Integration: Online-Quizze für Architekturstudenten

Question 1

Welche der folgenden Aussagen zur Trapezregel beschreibt korrekt ihre Annäherung an eine Funktion?

Accepted Answer

Sie nähert die Funktion durch ein Trapez an.

Answer

Sie nähert die Funktion durch ein Rechteck an.

Answer

Sie nähert die Funktion durch einen Kreisbogen an.

Answer

Sie nähert die Funktion durch eine Parabel an.

Question 2

Wie berechnet man die Schrittweite h bei der Anwendung der Trapezregel auf das Intervall [a, b] mit n Teilintervallen?

Accepted Answer

h = (b - a) / n

Answer

h = (b - a) * n

Answer

h = n / (b - a)

Answer

h = (2 * n) / (b - a)

Question 3

Welche der folgenden Funktionen ist durch die Simpsonregel nicht exakt integrierbar?

Accepted Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x^2 + 1

Answer

f(x) = x^3 + 2x

Answer

f(x) = sin(x) * cos(x)

Question 4

Wie lautet der Fehlerterm der Simpsonregel für das Integral ∫[a, b] f(x) dx?

Accepted Answer

O(h^3)

Answer

O(h^2)

Answer

O(h^4)

Answer

O(h^5)

Question 5

Bestimmen Sie den Fehlerterm der Trapezregel für das Integral ∫[a, b] f(x) dx und erläutern Sie, wie er zur Einschätzung der Genauigkeit der Trapezregel-Näherung verwendet wird.

Accepted Answer

- (b-a)^3 / 12n^2 * f''(c) für ein beliebiges c in [a, b]

Answer

- (b-a)^4 / 12n^2 * f'''(c) für ein beliebiges c in [a, b]

Answer

- (b-a)^2 / 12n^2 * f'(c) für ein beliebiges c in [a, b]

Question 6

Wie beeinflusst die Schrittweite **h** die Konvergenzgeschwindigkeit numerischer Integrationsverfahren?

Accepted Answer

Kleinere Schrittweiten beschleunigen die Konvergenz.

Answer

Größere Schrittweiten führen zu genaueren Ergebnissen.

Answer

Die Schrittweite hat keinen Einfluss auf die Konvergenz.

Answer

Die Konvergenz ist unabhängig von der Schrittweite.

Question 7

Welche Funktion lässt sich mit der Simpsonregel nicht integrieren?

Accepted Answer

x^3

Answer

x^2

Answer

sin(x)

Answer

e^x

Question 8

Welche Integrationsmethode liefert allgemein genauere Ergebnisse?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Question 9

Bei der numerischen Integration einer periodischen Funktion sollten die Integrationsgrenzen so gewählt werden, dass:

Accepted Answer

sie ein ganzes Vielfaches der Periode umfassen.

Answer

sie den Beginn und das Ende der Periode einschließen.

Answer

sie die Maxima und Minima der Funktion einschließen.

Answer

sie ein Intervall mit möglichst geringem Funktionswert enthalten.

Question 10

Welche Aussage zur Konvergenz der numerischen Integration ist falsch?

Accepted Answer

Die Trapezregel konvergiert nur für stetige Funktionen gegen den wahren Wert des Integrals.

Answer

Die Simpsonregel hat eine höhere Konvergenzordnung als die Trapezregel.

Answer

Die Konvergenzrate hängt von der Stetigkeit der Funktion ab.

Answer

Die Konvergenzrate kann durch Verkleinern der Schrittweite verbessert werden.

Question 11

Welche der folgenden Methoden der numerischen Integration verwendet eine parabolische Interpolation, um das Integral anzunähern?

Accepted Answer

Simpsonregel

Answer

Trapezregel

Answer

Mittpunktregel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Question 12

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Trapezregel korrekt?

Accepted Answer

Sie unterteilt das Integrationsintervall in Trapeze und berechnet die Fläche jedes Trapezes.

Answer

Sie verwendet Polynome hohen Grades zur Approximation des Integranden.

Answer

Sie geht davon aus, dass der Integrand über das Intervall konstant ist.

Question 13

Welche der folgenden Anwendungen der numerischen Integration ist in der Architektur relevant?

Accepted Answer

Berechnung von Flächen und Volumen unregelmäßiger Formen

Answer

Analyse von Finanzdaten

Answer

Vorhersage von Wetterdaten

Question 14

Welche der folgenden Methoden hilft bei der Abschätzung des Fehlers der numerischen Integration?

Accepted Answer

Richardson-Extrapolation

Answer

Markov-Ketten

Answer

Monte-Carlo-Simulation

Answer

Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Question 15

Welche der folgenden Methoden der numerischen Integration basiert auf einer zufälligen Stichprobennahme?

Accepted Answer

Monte-Carlo-Integration

Answer

Simpsonregel

Answer

Trapezregel

Answer

Gauß-Quadratur

Question 16

Welche der folgenden Aussagen zur Trapezregel ist **nicht** korrekt?

Accepted Answer

Sie gilt nur für lineare Funktionen.

Answer

Sie ist eine Näherungsmethode zur Berechnung des Integrals einer Funktion über ein Intervall.

Answer

Sie ist eine exakte Methode zur Berechnung des Integrals in speziellen Fällen.

Question 17

Welche Methode zur numerischen Integration ergibt **im Allgemeinen** die höchste Genauigkeit?

Accepted Answer

Gauß-Legendre-Quadratur

Answer

Trapezregel

Answer

Mittelpunktsregel

Answer

Simpsonregel

Question 18

Wie lautet die Formel für die Simpsonregel?

Accepted Answer

∫[a,b] f(x) dx ≈ (b-a) * (f(a) + 4f((a+b)/2) + f(b)) / 6

Answer

∫[a,b] f(x) dx ≈ (b-a) * (f'(a) + f'(b)) / 2

Answer

∫[a,b] f(x) dx ≈ (b-a) * (f(a) - f(b)) / 2

Answer

∫[a,b] f(x) dx ≈ (b-a) * (f(a) * f(b)) / 2

Question 19

Welche Annahmen werden bei der Anwendung der Trapezregel getroffen?

Accepted Answer

Die Funktion ist auf dem Integrationsintervall stetig.

Answer

Die Funktion ist auf dem Integrationsintervall linear.

Answer

Die Funktion ist auf dem Integrationsintervall zweimal stetig differenzierbar.

Question 20

Welche der folgenden Aussagen zur Gauß-Legendre-Quadratur ist korrekt?

Accepted Answer

Sie basiert auf einer orthogonalen Polynombasis.

Answer

Sie ist nur für Funktionen mit beschränktem Träger anwendbar.

Answer

Sie ist eine Iterationsmethode.

Question 21

Welche Rolle spielt die Schrittweite bei der numerischen Integration?

Accepted Answer

Sie bestimmt die Anzahl der Teilintervalle, in die das Integrationsintervall unterteilt wird.

Answer

Sie wird nur bei der Simpsonregel verwendet.

Answer

Sie hat keinen Einfluss auf die Genauigkeit.

Question 22

Wie funktioniert die Trapezregel zur Approximation eines Integrals?

Accepted Answer

Die Trapezregel approximiert das Integral, indem sie die Fläche unter der Kurve durch die Fläche eines Trapezes ersetzt, das durch die Endpunkte des Integrationsintervalls und die Funktionswerte an diesen Punkten definiert ist.

Answer

Die Trapezregel verwendet eine lineare Interpolation der Funktion über das gesamte Integrationsintervall.

Answer

Die Trapezregel berechnet die exakte Fläche unter der Kurve.

Question 23

Was ist das grundlegende Prinzip der Simpsonregel?

Accepted Answer

Die Simpsonregel approximiert das Integral, indem sie die Fläche unter der Kurve durch die Fläche eines Parabelbogens ersetzt, der durch drei Punkte auf der Funktion definiert ist.

Answer

Die Simpsonregel approximiert das Integral durch die Fläche unter einem Rechteck.

Answer

Die Simpsonregel verwendet eine lineare Interpolation der Funktion.

Question 24

Welche der beiden Integrationsmethoden, Trapezregel oder Simpsonregel, liefert in der Regel eine genauere Approximation?

Accepted Answer

Die Simpsonregel ist in der Regel genauer als die Trapezregel.

Answer

Die Trapezregel ist in der Regel genauer als die Simpsonregel.

Answer

Die Genauigkeit beider Methoden ist identisch.

Question 25

Wie beeinflusst die Anzahl der Teilintervalle die Genauigkeit der numerischen Integration mit der Trapez- oder Simpsonregel?

Accepted Answer

Eine größere Anzahl von Teilintervallen führt in der Regel zu einer genaueren Approximation des Integrals.

Answer

Eine größere Anzahl von Teilintervallen führt in der Regel zu einer weniger genauen Approximation.

Answer

Die Anzahl der Teilintervalle hat keinen Einfluss auf die Genauigkeit.

Question 26

Für welche Art von Funktion ist die Simpsonregel besonders gut geeignet?

Accepted Answer

Für Funktionen, die sich über das Integrationsintervall glatt und kontinuierlich verhalten.

Answer

Für Funktionen mit vielen scharfen Kanten und Unstetigkeiten.

Answer

Für Funktionen, die stark oszillieren.

Question 27

Welche Formel beschreibt die Trapezregel zur Approximation des Integrals von f(x) über das Intervall [a, b] mit n Teilintervallen?

Accepted Answer

h/2 * (f(a) + 2 * Σ(f(x_i)) + f(b))

Answer

h/3 * (f(a) + 4 * Σ(f(x_i)) + f(b))

Answer

h * (f(a) + f(b))

Question 28

Welche Formel beschreibt die Simpsonregel zur Approximation des Integrals von f(x) über das Intervall [a, b] mit n Teilintervallen?

Accepted Answer

h/3 * (f(a) + 4 * Σ(f(x_i)) + 2 * Σ(f(x_i+1)) + f(b))

Answer

h/2 * (f(a) + 2 * Σ(f(x_i)) + f(b))

Answer

h * (f(a) + f(b))

Question 29

Vergleichen Sie die Trapezregel und die Simpsonregel bezüglich Genauigkeit und Rechenaufwand.

Accepted Answer

Die Simpsonregel ist in der Regel genauer, erfordert aber mehr Berechnungen als die Trapezregel.

Answer

Die Simpsonregel ist weniger genau, aber einfacher zu berechnen.

Answer

Die Trapezregel ist immer genauer als die Simpsonregel.

Question 30

Welche der folgenden Methoden zur numerischen Integration liefert die genauesten Ergebnisse?

Accepted Answer

Simpsonregel

Answer

Mittelpunktsregel

Answer

Trapezregel

Question 31

Bei der Anwendung der Trapezregel auf das Integral ∫[0,1] x^2 dx beträgt die Schrittweite h = 0,5. Wie lautet die Formel für die numerische Approximation?

Accepted Answer

(0,5) * (0 + 1)

Answer

(0,5) * (0^2 + 1^2)

Answer

(0,5) * (0 - 1)

Question 32

Welche der folgenden Aussagen über die Simpsonregel ist korrekt?

Accepted Answer

Sie verwendet eine parabolische Interpolation, um das Integral zu approximieren.

Answer

Sie liefert bei jeder Funktion genauere Ergebnisse als die Trapezregel.

Answer

Sie ist eine exakte Integrationsmethode.

Question 33

Welche der folgenden Funktionen ist für die numerische Integration mit der Simpsonregel am besten geeignet?

Accepted Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = ln(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 34

Welcher Fehlerterm tritt bei der Trapezregel auf?

Accepted Answer

-h^3 * f''(ξ) / 12

Answer

-h^2 * f''(ξ) / 12

Answer

h^3 * f''(ξ) / 12

Question 35

Welche der folgenden Anwendungen nutzt die numerische Integration?

Accepted Answer

Berechnung von Flächeninhalten und Volumen

Answer

Erstellung von 3D-Modellen

Answer

Lösen von Gleichungssystemen

Question 36

Welcher der folgenden Faktoren beeinflusst die Genauigkeit der numerischen Integration?

Accepted Answer

Schrittweite

Answer

Anzahl der Iterationen

Answer

Wahl der Integrationsmethode

Question 37

Welche der folgenden Aussagen über Software für numerische Integration ist korrekt?

Accepted Answer

Sie kann die Berechnung komplexer Integrale vereinfachen und beschleunigen.

Answer

Sie ist für die Verwendung auf allen Betriebssystemen geeignet.

Answer

Sie liefert immer exakte Ergebnisse.

Question 38

Welche der folgenden Aussagen zur numerischen Integration ist **falsch**?

Accepted Answer

Die Simpsonregel ist immer genauer als die Trapezregel.

Answer

Die Trapezregel und die Simpsonregel sind Beispiele für numerische Integrationsmethoden.

Answer

Die numerische Integration dient zur Approximation von Integralen.

Question 39

Welches numerische Integrationsverfahren basiert auf der Approximation der Funktion durch eine Gerade?

Accepted Answer

Trapezregel

Answer

Monte-Carlo-Methode

Answer

Simpsonregel

Question 40

Wie lautet die Formel für die Trapezregel zur Approximation des Integrals von f(x) von a bis b mit n Teilintervallen?

Accepted Answer

(b - a) / (2n) * [f(a) + 2 * (f(a + h) + f(a + 2h) + ... + f(a + (n-1)h)) + f(b)]

Answer

(b - a) / (3n) * [f(a) + 4 * (f(a + h) + f(a + 3h) + ... + f(a + (n-1)h)) + 2 * (f(a + 2h) + f(a + 4h) + ... + f(a + (n-2)h)) + f(b)]

Answer

(b - a) / n * [f(a) + f(b)]

Question 41

Welches numerische Integrationsverfahren basiert auf der Approximation der Funktion durch eine Parabel?

Accepted Answer

Simpsonregel

Answer

Trapezregel

Answer

Monte-Carlo-Methode

Answer

Gauß-Quadratur

Question 42

Wie lautet die Formel für die Simpsonregel zur Approximation des Integrals von f(x) von a bis b mit n Teilintervallen (n muss gerade sein)?

Accepted Answer

(b - a) / (3n) * [f(a) + 4 * (f(a + h) + f(a + 3h) + ... + f(a + (n-1)h)) + 2 * (f(a + 2h) + f(a + 4h) + ... + f(a + (n-2)h)) + f(b)]

Answer

(b - a) / n * [f(a) + f(b)]

Question 43

Welches Integrationsverfahren ist in der Regel genauer, die Trapezregel oder die Simpsonregel?

Accepted Answer

Simpsonregel

Answer

Trapezregel

Answer

Es hängt von der Funktion ab.

Answer

Beide Verfahren haben die gleiche Genauigkeit.

Question 44

Sie möchten das Integral von f(x) = x² von 0 bis 1 approximieren. Welches numerische Integrationsverfahren würden Sie verwenden und warum?

Accepted Answer

Simpsonregel, da sie die Funktion mit einer Parabel approximiert und somit für Polynomfunktionen eine höhere Genauigkeit erzielt.

Answer

Trapezregel, da sie einfacher zu berechnen ist.

Question 45

Wie beeinflusst die Anzahl der Teilintervalle die Genauigkeit der numerischen Integration?

Accepted Answer

Je mehr Teilintervalle, desto genauer wird die Approximation.

Answer

Je weniger Teilintervalle, desto genauer wird die Approximation.

Answer

Die Anzahl der Teilintervalle hat keinen Einfluss auf die Genauigkeit.

Question 46

Welche der folgenden Aussagen über den Fehler der numerischen Integration ist **richtig**?

Accepted Answer

Der Fehler der numerischen Integration kann durch Erhöhung der Anzahl der Teilintervalle verringert werden.

Answer

Der Fehler der numerischen Integration ist immer gleich groß, unabhängig von der Anzahl der Teilintervalle.

Question 47

Sie haben das Integral von f(x) = sin(x) von 0 bis π/2 mit der Trapezregel mit n = 4 Teilintervallen approximiert. Wie würden Sie die Genauigkeit der Approximation verbessern?

Accepted Answer

Die Anzahl der Teilintervalle erhöhen.

Answer

Die Integrationsgrenzen ändern.

Answer

Die Funktion mit einer anderen Funktion approximieren.

Answer

Die Simpsonregel verwenden.

Question 48

Welche der folgenden Aussagen trifft auf die Trapezregel zur numerischen Integration zu?

Accepted Answer

Die Trapezregel approximiert die Fläche unter der Kurve mit einer Reihe von Trapezen.

Answer

Die Trapezregel ist immer genauer als die Simpsonregel.

Answer

Die Trapezregel erfordert die Kenntnis der Ableitung der Funktion.

Question 49

Berechnen Sie die Näherung des Integrals von f(x) = x² von 0 bis 1 mit der Trapezregel und n = 2.

Accepted Answer

0.5

Answer

0.333

Answer

0.667

Answer

1

Question 50

Welche der folgenden Aussagen trifft auf die Simpsonregel zur numerischen Integration zu?

Accepted Answer

Die Simpsonregel approximiert die Fläche unter der Kurve mit einer Reihe von Parabeln.

Answer

Die Simpsonregel ist immer weniger genau als die Trapezregel.

Answer

Die Simpsonregel erfordert die Kenntnis der zweiten Ableitung der Funktion.

Question 51

Berechnen Sie die Näherung des Integrals von f(x) = x³ von 0 bis 2 mit der Simpsonregel und n = 2.

Accepted Answer

4

Answer

2

Answer

6

Answer

8

Question 52

Welche Aussage beschreibt den Fehler der numerischen Integration am besten?

Accepted Answer

Der Fehler ist die Differenz zwischen dem exakten Wert des Integrals und der Näherung.

Answer

Der Fehler ist proportional zur Schrittweite der Integration.

Answer

Der Fehler ist immer positiv.

Question 53

Welche Methode zur numerischen Integration ist in der Regel genauer, die Trapezregel oder die Simpsonregel?

Accepted Answer

Die Simpsonregel ist in der Regel genauer.

Answer

Die Trapezregel ist in der Regel genauer.

Answer

Die Genauigkeit hängt von der Funktion ab.

Answer

Beide Methoden haben die gleiche Genauigkeit.

Question 54

Was passiert mit dem Fehler der numerischen Integration, wenn die Schrittweite der Integration verringert wird?

Accepted Answer

Der Fehler wird in der Regel kleiner.

Answer

Der Fehler wird in der Regel größer.

Answer

Der Fehler bleibt gleich.

Answer

Der Fehler kann sich in beide Richtungen verändern.

Question 55

Welche der folgenden Funktionen ist am besten geeignet für die Näherung mit der Simpsonregel?

Accepted Answer

Eine Funktion mit einer glatten Kurve.

Answer

Eine Funktion mit vielen lokalen Maxima und Minima.

Answer

Eine Funktion mit einer starken Krümmung.

Answer

Eine Funktion mit vielen Sprüngen.

Question 56

Welche numerische Integrationsmethode ist am besten geeignet für die Berechnung des Flächeninhalts eines unregelmäßigen, komplex geformten Gebiets?

Accepted Answer

Eine adaptive Integrationsmethode.

Answer

Die Simpsonregel.

Answer

Eine Monte-Carlo-Methode.

Answer

Die Trapezregel.

Question 57

Welche der folgenden Aussagen zur Trapezregel ist korrekt?

Accepted Answer

Die Trapezregel approximiert das Integral durch die Fläche eines Trapezes, das durch die Funktion und die x-Achse begrenzt wird.

Answer

Die Trapezregel ist immer genauer als die Simpsonregel.

Question 58

Was ist der Hauptunterschied zwischen der Trapezregel und der Simpsonregel?

Accepted Answer

Die Simpsonregel approximiert die Funktion durch ein quadratisches Polynom, während die Trapezregel eine lineare Approximation verwendet.

Answer

Die Trapezregel ist immer genauer als die Simpsonregel.

Question 59

Wie lautet die Formel für die Simpsonregel zur Approximation des Integrals einer Funktion f(x) über das Intervall [a, b]?

Accepted Answer

(b-a)/6 * (f(a) + 4f((a+b)/2) + f(b))

Answer

(b-a)/2 * (f(a) + f(b))

Answer

(b-a) * (f(a) + f(b)) / 2

Answer

(b-a)/3 * (f(a) + 2f((a+b)/2) + f(b))

Question 60

Welche der folgenden Aussagen ist FALSCH bezüglich der Genauigkeit der numerischen Integration?

Accepted Answer

Die Trapezregel ist immer genauer als die Simpsonregel.

Answer

Die Genauigkeit der numerischen Integration kann durch die Anzahl der Stützstellen erhöht werden.

Answer

Die Simpsonregel liefert in der Regel eine genauere Approximation als die Trapezregel.

Question 61

Sie möchten das Integral der Funktion f(x) = x^2 im Intervall [0, 2] mithilfe der Trapezregel approximieren. Wie viele Stützstellen benötigen Sie, um eine Genauigkeit von 0,01 zu erreichen?

Accepted Answer

Es ist nicht möglich, eine exakte Anzahl von Stützstellen zu bestimmen, da die Genauigkeit von der Funktion und dem Intervall abhängt.

Answer

2

Question 62

Welche numerische Integrationsmethode ist am besten geeignet für die Approximation des Integrals einer Funktion mit einer starken Krümmung?

Accepted Answer

Simpsonregel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Answer

Trapezregel

Answer

Riemannsumme

Question 63

Welche der folgenden Anwendungen ist NICHT ein typisches Anwendungsbeispiel für numerische Integration?

Accepted Answer

Berechnung der Geschwindigkeit eines sich bewegenden Objekts

Answer

Berechnung der Fläche eines unregelmäßigen Gebiets

Answer

Berechnung des Volumens eines komplexen Körpers

Question 64

Welche der folgenden Aussagen ist KORREKT bezüglich der numerischen Integration?

Accepted Answer

Numerische Integration bietet eine Möglichkeit, Integrale zu approximieren, die sich analytisch nicht lösen lassen.

Answer

Numerische Integration ist immer genauer als analytische Integration.