Integralrechnung lernen: Online-Quizze und Übungen für Studierende der Architektur

Question 1

Die Stammfunktion von f(x) = sin(x) lautet:

Accepted Answer

-cos(x) + C

Answer

cos(x)

Answer

-cos(x)

Answer

cos(x) + C

Question 2

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt:

Accepted Answer

Das Integral einer differenzierbaren Funktion ist gleich der Stammfunktion.

Answer

Die Ableitung einer Stammfunktion ist die ursprüngliche Funktion.

Answer

Die Ableitung des Integrals einer Funktion ist die Stammfunktion.

Answer

Das Integral der Ableitung einer Funktion ist die Funktion selbst.

Question 3

Die Integrationsmethode durch Substitution gilt für Integrale der Form:

Accepted Answer

∫f(u(x))u'(x) dx

Answer

∫f(x)u'(x) dx

Answer

∫u(x)f'(x) dx

Answer

∫f'(x)u(x) dx

Question 4

Welche Anwendung des Integrals dient der Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers?

Accepted Answer

Volumenberechnung

Answer

Flächenberechnung

Answer

Bogenlängenberechnung

Answer

Arbeitsermittlung

Question 5

Welche Methode eignet sich zur Berechnung uneigentlicher Integrale?

Accepted Answer

Grenzwertvergleichstest

Answer

Quotientenregel

Answer

Substitution

Answer

Partielle Integration

Question 6

Welche Transformation wird verwendet, um ein Integral von einer Funktion von x in ein Integral von einer Funktion von u umzuwandeln?

Accepted Answer

u-Substitution

Answer

Integration durch Teile

Answer

Trigonometrische Substitution

Answer

Partielle Bruchauflösung

Question 7

Welche Anwendung des Integrals dient der Berechnung der Arbeit, die erforderlich ist, um ein Objekt gegen eine Federkraft zu bewegen?

Accepted Answer

Arbeitsermittlung

Answer

Flächenberechnung

Answer

Bogenlängenberechnung

Answer

Volumenberechnung

Question 8

Welche geometrische Figur stellt das Integral ∫[a, b] f(x) dx für eine nichtnegative Funktion f(x) dar?

Accepted Answer

Rechteck

Answer

Kreis

Answer

Quadrat

Answer

Dreieck

Question 9

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

e^(x^2)

Answer

x*e^x

Answer

sin(e^x)

Question 10

Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

Accepted Answer

Die Integralrechnung ist eine mächtige Technik, die in vielen Bereichen der Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaften Anwendung findet.

Answer

Die Integralrechnung ist nur für fortgeschrittene Mathematiker geeignet.

Question 11

Welche der folgenden Anwendungen ist ein Beispiel für die Integration in der Physik?

Accepted Answer

Berechnung der Arbeit, die durch eine Kraft über einen Weg geleistet wird.

Answer

Berechnung der Geschwindigkeit eines Objekts

Answer

Berechnung des Volumens eines Körpers

Question 12

Welches Integral liefert die Fläche unter der Funktion y = sin(x) im Intervall [0, π/2]?

Accepted Answer

-cos(x) |_[0, π/2] = 1

Answer

sin(x) |_[0, π/2] = 0

Answer

-sin(x) |_[0, π/2] = -1

Answer

cos(x) |_[0, π/2] = 0

Question 13

Ermitteln Sie die Arbeit, die aufgewendet werden muss, um ein Objekt mit der Masse m von x = 0 nach x = a zu bewegen, wenn die auf das Objekt wirkende Kraft durch f(x) beschrieben wird:

Accepted Answer

∫[0, a] f(x) dx

Answer

-∫[0, a] f(x) dx

Answer

∫[a, 0] f(x) dx

Answer

-∫[a, 0] f(x) dx

Question 14

Berechnen Sie die Oberfläche des Rotationskörpers, der entsteht, wenn die Fläche unter der Funktion y = sin(x) im Intervall [0, π] um die y-Achse rotiert wird:

Accepted Answer

2π ∫[0, π] sin(x) √(1 + cos²(x)) dx

Answer

π ∫[0, π] cos²(x) dx

Answer

π ∫[0, π] sin²(x) dx

Answer

2π ∫[0, π] cos(x) √(1 + sin²(x)) dx

Question 15

Welches der folgenden Integrale ist ein trigonometrisches Integral?

Accepted Answer

∫sin(x) cos(x) dx

Answer

∫e^(x) dx

Answer

∫x³ dx

Question 16

Welche Aussage über uneigentliche Integrale ist zutreffend?

Accepted Answer

Uneigentliche Integrale können konvergieren oder divergieren.

Answer

Uneigentliche Integrale divergieren immer.

Answer

Uneigentliche Integrale konvergieren immer.

Question 17

Welcher Ausdruck repräsentiert die Fläche unter der Kurve y = sin(x) zwischen x = 0 und x = π?

Accepted Answer

∫[0,π] sin(x) dx

Answer

∫[0,π] e^(x) dx

Answer

∫[0,π] cos(x) dx

Answer

∫[0,π] tan(x) dx

Question 18

Berechnen Sie das Integral von f(x) = x² + 2x über das Intervall [0, 2].

Accepted Answer

6

Answer

10

Answer

8

Answer

4

Question 19

Welcher Hauptsatz stellt den Zusammenhang zwischen Differentialrechnung und Integralrechnung her?

Accepted Answer

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Answer

Integralformel

Answer

Satz von Pythagoras

Answer

Ableitungsregel

Question 20

Berechnen Sie das Integral von f(x) = e^x über das Intervall [-1, 1].

Accepted Answer

e - 1/e

Answer

e + 1/e

Answer

e - 1

Answer

e² - 1

Question 21

Welche der folgenden Optionen beschreibt die geometrische Interpretation des bestimmten Integrals  ∫_a^b f(x) dx?

Accepted Answer

Die Fläche zwischen dem Graphen von f(x), der x-Achse und den vertikalen Linien x = a und x = b.

Answer

Die Länge des Graphen von f(x) zwischen x = a und x = b.

Answer

Der Wert der Steigung des Graphen von f(x) im Punkt x = b.

Question 22

Welches Integrationsverfahren eignet sich am besten zur Berechnung des Integrals ∫ x^2 * sin(x) dx?

Accepted Answer

Partielle Integration

Answer

Integration durch Substitution

Answer

Direkte Integration

Answer

Substitution

Question 23

Was ist das unbestimmte Integral von f(x) = 1/x?

Accepted Answer

ln|x| + C

Answer

-1/x^2 + C

Answer

x + C

Answer

1/x^2 + C

Question 24

Welches Integrationsverfahren wird verwendet, um die Länge einer Kurve zwischen zwei Punkten zu bestimmen?

Accepted Answer

Integration der Bogenlänge

Answer

Direkte Integration

Answer

Partielle Integration

Answer

Integration durch Substitution

Question 25

Welche Aussage über das Integral einer Funktion f(x) ist falsch?

Accepted Answer

Das Integral von f(x) über ein Intervall [a, b] ist immer positiv.

Answer

Das unbestimmte Integral von f(x) ist eine Familie von Funktionen.

Answer

Das bestimmte Integral von f(x) ist eine Zahl.

Answer

Die Stammfunktion von f(x) muss stetig sein.

Question 26

Berechnen Sie das Integral von ∫(x³ + 2x²) dx.

Accepted Answer

x⁴/4 + x³ + C

Answer

2x⁴ + 4x³ + C

Answer

x²/2 + x + C

Answer

x⁵/5 + 2x³ + C

Question 27

Welcher der folgenden Integrale stellt das Volumen des Körpers dar, der durch die Drehung des Bereichs unter der Kurve f(x) = x um die x-Achse entsteht?

Accepted Answer

∫[0, 1] πx³ dx

Answer

∫[1, 0] πx dx

Answer

∫[0, 1] 2πx dx

Answer

∫[0, 1] πx dx

Question 28

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt:

Accepted Answer

Wenn F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist, dann ∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a).

Answer

Wenn f(x) eine differenzierbare Funktion ist, dann ist die Ableitung von f(x) ihr Integral.

Answer

Wenn f(x) eine stetige Funktion ist, dann existiert ein Integral von f(x) über jedes Intervall.

Question 29

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von cos(x)?

Accepted Answer

sin(x) + C

Answer

-sin(x) + C

Answer

cos(x) + C

Answer

-cos(x) + C

Question 30

Welche der folgenden Integrale stellt die Arbeit dar, die beim Bewegen eines Objekts entlang eines Weges s(t) gegen eine Kraft F(t) geleistet wird?

Accepted Answer

∫[a, b] F(t) ds/dt dt

Answer

∫[a, b] F(s(t)) ds/dt dt

Answer

∫[a, b] F(t) s(t) dt

Question 31

Welche der folgenden Integrale stellt die Länge des Bogens einer Kurve y = f(x) auf dem Intervall [a, b] dar?

Accepted Answer

∫[a, b] √(1 + (dy/dx)²) dx

Answer

∫[a, b] √(dx/dy)² + dy²

Answer

∫[a, b] (dy/dx)² dx

Answer

∫[a, b] dy/dx dx

Question 32

Welche der folgenden Substitutionen ist bei der Berechnung des Integrals ∫[0, 1] x√(1 + x²) dx hilfreich?

Accepted Answer

u = 1 + x², du = 2x dx

Answer

u = x², du = 2x dx

Answer

u = x, du = dx

Question 33

Welche der folgenden Integrale stellt die Fläche der Region dar, die durch die Kurven y = x² und y = 4 begrenzt wird?

Accepted Answer

∫[0, 2] (4 - x²) dx

Answer

∫[0, 2] (x² - 4) dx

Answer

∫[2, 0] (4 - x²) dx

Answer

∫[0, 2] (x² + 4) dx

Question 34

Welche der folgenden Integrale ist gleich dem Flächeninhalt unter der Kurve f(x) = sin(x) im Intervall [0, π/2]?

Accepted Answer

∫₀^(π/2) sin(x) dx

Answer

∫₀¹ sin(x) dx

Answer

∫₁^(π/2) sin(x) dx

Answer

∫₀^(π/2) cos(x) dx

Question 35

Welcher Satz beschreibt den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung?

Accepted Answer

Ist eine Funktion f(x) auf dem Intervall [a, b] stetig, dann ist das Integral von f(x) über [a, b] gleich F(b) - F(a), wobei F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist.

Answer

Die Stammfunktion einer Funktion ist eindeutig.

Answer

Die Ableitung einer Funktion ist die Fläche unter ihrer Kurve.

Answer

Die Ableitung des Integrals einer Funktion entspricht der Funktion selbst.

Question 36

Berechne das unbestimmte Integral ∫(x³ + 2x) dx.

Accepted Answer

x⁴/4 + x² + C

Answer

x⁴ + 2x + C

Answer

x³/3 + x² + C

Answer

3x² + 2 + C

Question 37

Welche Anwendung der Integralrechnung wird in der Physik verwendet, um die zurückgelegte Strecke eines Objekts zu berechnen?

Accepted Answer

Berechnung der Fläche unter einer Geschwindigkeits-Zeit-Kurve.

Answer

Berechnung der Kraft, die auf ein Objekt wirkt.

Answer

Berechnung der potentiellen Energie eines Objekts.

Answer

Berechnung der Beschleunigung eines Objekts.

Question 38

Welche Anwendung der Integralrechnung wird in der Geometrie verwendet, um das Volumen eines Rotationskörpers zu berechnen?

Accepted Answer

Die Rotationsmethode.

Answer

Die Berechnung der Länge einer Kurve.

Answer

Die Berechnung der Oberfläche einer Kugel.

Answer

Die Berechnung des Umfangs eines Kreises.

Question 39

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

ln(e^x)

Answer

x * e^x

Answer

1/e^x

Question 40

Welches der folgenden Integrale ist ein uneigentliches Integral?

Accepted Answer

∫₀∞ 1/(x²) dx

Answer

∫₀¹ e^(-x) dx

Answer

∫₀² x³ dx

Answer

∫₁⁵ sin(x) dx

Question 41

Welche Aussage über uneigentliche Integrale ist korrekt?

Accepted Answer

Ein uneigentliches Integral konvergiert, wenn der Grenzwert des Integrals für x gegen unendlich einen endlichen Wert hat.

Answer

Ein uneigentliches Integral konvergiert immer, wenn der Integrand an der oberen Grenze stetig ist.

Answer

Ein uneigentliches Integral kann nur konvergieren, wenn die obere Grenze endlich ist.

Answer

Ein uneigentliches Integral divergiert immer, wenn der Integrand an der oberen Grenze unstetig ist.

Question 42

Welches der folgenden Integrale ist ein bestimmtes Integral?

Accepted Answer

∫₀² f(x) dx

Answer

∫∞ f(x) dx

Answer

∫₀∞ f(x) dx

Answer

∫ f(x) dx

Question 43

Was ist das Ergebnis der Integration von f(x) = 2x + 1 von x = 0 bis x = 2?

Accepted Answer

6

Answer

4

Answer

8

Answer

10

Question 44

Welches Integral stellt die Fläche zwischen der Kurve f(x) = x² und der x-Achse von x = 1 bis x = 3 dar?

Accepted Answer

∫₁³ x² dx

Answer

∫₁³ (x² - 1) dx

Answer

∫₁³ (1 - x²) dx

Answer

∫₀³ x² dx

Question 45

Was ist die Ableitung der Funktion F(x) = ∫₁ˣ t² dt?

Accepted Answer

x²

Answer

x³ / 3

Answer

2x

Answer

t²

Question 46

Welches Integral stellt das Volumen des Rotationskörpers dar, der durch die Drehung der Kurve f(x) = √x um die x-Achse von x = 0 bis x = 4 erzeugt wird?

Accepted Answer

π∫₀⁴ (√x)² dx

Answer

∫₀⁴ (√x)² dx

Answer

∫₀⁴ x dx

Answer

π∫₀⁴ x² dx

Question 47

Was ist die Stammfunktion von f(x) = cos(x)?

Accepted Answer

sin(x) + C

Answer

-cos(x) + C

Answer

-sin(x) + C

Answer

cos(x) + C

Question 48

Welches der folgenden Integrale ist eine uneigentliche Integration?

Accepted Answer

∫₁∞ 1/x² dx

Answer

∫₀² sin(x) dx

Answer

∫₁² (x² + 1) dx

Answer

∫₀¹ x² dx

Question 49

Was ist der Wert des bestimmten Integrals ∫₀² (x³ + 2x) dx?

Accepted Answer

6

Answer

8

Answer

4

Answer

10

Question 50

Welches der folgenden Integrale repräsentiert die Arbeit, die erforderlich ist, um einen Gegenstand von x = 0 bis x = 5 entlang einer Kraftlinie F(x) = x² zu bewegen?

Accepted Answer

∫₀⁵ x² dx

Answer

∫₀⁵ (x² + 1) dx

Answer

∫₀⁵ (x² - 1) dx

Answer

∫₀⁵ x dx

Question 51

Welches der folgenden Integrale berechnet die Bogenlänge der Kurve f(x) = x² von x = 0 bis x = 2?

Accepted Answer

∫₀² √(1 + (2x)²) dx

Answer

∫₀² √(1 + (x²)²) dx

Answer

∫₀² √(1 + x²) dx

Answer

∫₀² √(1 + 4x) dx

Question 52

Welche Integrationsmethode ist am besten geeignet, um das Integral ∫ x sin(x) dx zu lösen?

Accepted Answer

Partielle Integration

Answer

Trigonometrische Substitution

Answer

Substitution

Answer

Direkte Integration