Grenzwerte und Stetigkeit: Interaktive Lernquizze für Architekturstudenten

Question 1

Welche Bedingung muss eine Funktion erfüllen, damit sie im Intervall [a, b] Riemann-integrierbar ist?

Accepted Answer

Sie muss stückweise stetig sein.

Answer

Sie muss stetig sein.

Answer

Sie muss differenzierbar sein.

Answer

Sie muss konvex sein.

Question 2

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt die Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit einer Funktion f an einer Stelle a?

Accepted Answer

Für jedes positive ε > 0 existiert ein positives δ > 0, sodass für alle x mit |x - a| < δ gilt: |f(x) - f(a)| < ε.

Answer

Für jedes positive δ > 0 existiert ein positives ε > 0, sodass für alle x mit |f(x) - f(a)| < ε gilt: |x - a| < δ.

Answer

Für jedes positive ε > 0 existiert ein positives δ > 0, sodass für alle x gilt: |f(x) - f(a)| < ε genau dann, wenn |x - a| < δ.

Question 3

Nennen Sie das notwendige Kriterium für die Stetigkeit einer Funktion f(x) am Punkt x0.

Accepted Answer

f(x0) = lim x->x0 f(x).

Answer

f(x0) existiert.

Answer

lim x->x0 f(x) existiert.

Answer

f(x0) ≠ 0.

Question 4

Für welchen Wert von x ist die Funktion f(x) = 1/x nicht stetig?

Accepted Answer

x = 0

Answer

x = 1

Answer

x = -1

Answer

für alle x ≠ 0

Question 5

Berechnen Sie den Grenzwert lim x->1 für die Funktion f(x) = (x - 1)^2/(x - 1).

Accepted Answer

1

Answer

∞

Answer

-∞

Answer

existiert nicht

Question 6

Welche der folgenden Aussagen ist falsch?

Accepted Answer

Eine stetige Funktion muss differenzierbar sein.

Answer

Eine differenzierbare Funktion muss stetig sein.

Answer

Eine differenzierbare Funktion hat an jeder Stelle eine Tangente.

Answer

Eine stetige Funktion hat an jeder Stelle einen Grenzwert.

Question 7

Welche Eigenschaft einer Funktion f an der Stelle a impliziert ihre Stetigkeit an dieser Stelle?

Accepted Answer

f(a) = lim(x → a) f(x).

Answer

f(a) existiert.

Answer

lim(x → a) f(x) existiert.

Answer

f(x) ist differenzierbar in a.

Question 8

Welche Aussage über den Grenzwert von f(x) = x^2 - 1 für x → ∞ ist richtig?

Accepted Answer

Der Grenzwert ist ∞

Answer

Der Grenzwert ist 0.

Answer

Der Grenzwert ist 1.

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Question 9

Welche Aussage definiert den Grenzwert einer Funktion f(x)?

Accepted Answer

f(x) strebt an der betrachteten Stelle gegen einen bestimmten Wert

Answer

f(x) ist an der betrachteten Stelle definiert

Answer

f(x) ist an der betrachteten Stelle stetig

Question 10

Welcher Grenzwertsatz ermöglicht die Bestimmung des Grenzwertes einer Summe aus zwei Funktionen?

Accepted Answer

Summensatz

Answer

Differenzsatz

Answer

Quotientsatz

Question 11

Bei welcher Funktion liegt an der Stelle x = 2 eine Unstetigkeit vor?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Question 12

Welcher Grenzwert gilt für die Funktion f(x) = (x-2) / (x-1), wenn x gegen 1 strebt?

Accepted Answer

0

Answer

existiert nicht

Answer

1

Question 13

Welcher Grenzwertsatz bestimmt den Grenzwert der Potenzfunktion f(x) = x^n, wenn x gegen a strebt?

Accepted Answer

Potenzsatz

Answer

Wurzelsatz

Answer

Logarithmensatz

Question 14

Welche Funktion ist nicht auf dem Intervall [0, 2] stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x

Answer

f(x) = x^2

Question 15

Welcher Grenzwertsatz ermöglicht die Bestimmung des Grenzwertes einer zusammengesetzten Funktion?

Accepted Answer

Kettensatz

Answer

Summensatz

Answer

Differenzsatz

Question 16

Welcher Grenzwert ergibt sich für die Funktion f(x) = sin(x), wenn x gegen 0 strebt?

Accepted Answer

0

Answer

existiert nicht

Answer

1

Question 17

Welche der folgenden Funktionen ist bei x = 0 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x^2

Question 18

Welche Aussage zum Grenzwert von f(x) = (sin(x) - x) / (x^3 - x) für x, der gegen 0 strebt, ist korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich 1/6.

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

Der Grenzwert ist unendlich.

Answer

Der Grenzwert ist gleich 0.

Question 19

Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) = (1 - cos(x)) / x^2 für x, der gegen 0 strebt.

Accepted Answer

1/2

Answer

0

Answer

Unendlich

Answer

-1/2

Question 20

Welche Aussage zur Funktion f(x) = ln(x) ist zutreffend?

Accepted Answer

f(x) ist stetig für x > 0.

Answer

f(x) ist stetig für alle x.

Answer

f(x) ist bei x = 0 unstetig.

Question 21

Welcher Ausdruck definiert den Grenzwert der Funktion f(x) im Punkt x = a?

Accepted Answer

lim_(x→a) f(x)

Answer

f(x) - f(a)

Answer

f(x) / x

Question 22

Eine Funktion f(x) heißt stetig an der Stelle x = b, wenn:

Accepted Answer

lim_(x→b) f(x) = f(b)

Answer

f(x) ist differenzierbar in x = b

Answer

f(b) ≠ 0

Answer

f(x) nimmt an der Stelle x = b ein Maximum an

Question 23

Welcher Grenzwertsatz besagt, dass der Grenzwert einer Summe gleich der Summe der Grenzwerte ist?

Accepted Answer

Linearitätsgesetz

Answer

Cauchy-Folge

Answer

Squeeze-Theorem

Answer

Mittelwertsatz der Integralrechnung

Question 24

Welche Funktion ist an der Stelle x = 0 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Question 25

Welche Aussage über den Grenzwert von f(x) = 1/x ist korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert nicht

Answer

Der Grenzwert ist 0

Answer

Der Grenzwert ist 1

Question 26

Welcher Satz besagt, dass eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall ein Maximum und ein Minimum annimmt?

Accepted Answer

Extremwertsatz der Analysis

Answer

Mittelwertsatz

Answer

Rollescher Satz

Answer

Cauchyscher Grenzwertsatz

Question 27

Welche Funktion hat eine Polstelle bei x = 0?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x^2

Question 28

Welche Aussage ist falsch?

Accepted Answer

Eine stetige Funktion muss differenzierbar sein

Answer

Eine Funktion kann an einem Punkt unstetig sein und trotzdem einen Grenzwert haben

Answer

Eine stetige Funktion hat keine Polstellen

Answer

Eine Funktion kann an einer Stelle stetig sein und an einer anderen unstetig

Question 29

Welche Aussage beschreibt die formale Definition des Grenzwerts von f(x) für x gegen a?

Accepted Answer

Für jedes ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass |f(x) - L| < ε gilt, wann immer 0 < |x - a| < δ

Answer

Es gibt eine Zahl M > 0, sodass |f(x) - L| < M für alle x gilt

Question 30

Welche Aussage ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Stetigkeit von f(x) bei x = a?

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert und ist gleich f(a).

Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert.

Answer

f(a) ist definiert.

Question 31

Ermitteln Sie den Grenzwert von e^(2x) für x gegen Unendlich.

Accepted Answer

Unendlich

Answer

2

Answer

1

Answer

0

Question 32

Welche der folgenden Aussagen über den Grenzwert einer Funktion ist **falsch**?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion existiert immer an jeder Stelle.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann an einer Stelle existieren, an der die Funktion nicht definiert ist.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann endlich oder unendlich sein.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann von der Richtung abhängen, aus der man sich dem Punkt nähert.

Question 33

Welche der folgenden Funktionen hat **keinen** Grenzwert an der Stelle x = 2?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x - 2)

Answer

f(x) = x^2 + 1

Answer

f(x) = |x - 2|

Answer

f(x) = sin(x)

Question 34

Welche Aussage beschreibt die Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle korrekt?

Accepted Answer

Eine Funktion ist an einer Stelle stetig, wenn der Grenzwert der Funktion an dieser Stelle existiert und gleich dem Funktionswert an dieser Stelle ist.

Answer

Eine Funktion ist an einer Stelle stetig, wenn der Grenzwert der Funktion an dieser Stelle existiert.

Answer

Eine Funktion ist an einer Stelle stetig, wenn sie an dieser Stelle definiert ist.

Question 35

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 **nicht** stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Question 36

Die Funktion f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2) hat an der Stelle x = 2...

Accepted Answer

einen hebbaren Sprung.

Answer

keine Unstetigkeit.

Answer

eine Sprungstelle.

Answer

einen Pol.

Question 37

Welche Aussage zu Grenzwertsätzen ist **falsch**?

Accepted Answer

Der Grenzwert der Summe zweier Funktionen ist immer gleich der Summe der Grenzwerte der beiden Funktionen, auch wenn einer der Grenzwerte nicht existiert.

Answer

Der Grenzwert des Produkts zweier Funktionen ist immer gleich dem Produkt der Grenzwerte der beiden Funktionen, wenn beide Grenzwerte existieren.

Question 38

Welchen Wert hat der Grenzwert von (x^2 - 9) / (x - 3) für x gegen 3?

Accepted Answer

6

Answer

3

Answer

Unendlich

Answer

0

Question 39

Welche der folgenden Funktionen ist **stetig** auf ihrem gesamten Definitionsbereich?

Accepted Answer

f(x) = x^3 - 2x + 1

Answer

f(x) = |x| / x

Answer

f(x) = 1 / (x - 1)

Answer

f(x) = tan(x)

Question 40

Welche Funktion hat an der Stelle x = 0 einen **hebbaren Sprung**?

Accepted Answer

f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1)

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 41

In welchem Bereich der Architektur können Grenzwerte sinnvoll eingesetzt werden?

Accepted Answer

Zur Analyse der Stabilität von Konstruktionen.

Answer

In der Planung von Gebäuden.

Answer

Grenzwerte sind in der Architektur nicht relevant.

Answer

Im Bereich des Innenausbaus.