Grenzwerte und Stetigkeit: Interaktive Übungen und Quizze für Klasse 10 Realschule

Question 1

Welche der folgenden Funktionen ist nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x - 1)

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = √(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 2

Welche Funktion ist stetig im gesamten Zahlenbereich?

Accepted Answer

f(x) = cos(x)

Answer

f(x) = x / (x - 1)

Answer

f(x) = sin(x) / x

Answer

f(x) = 1 / sin(x)

Question 3

Bestimme den Grenzwert von f(x) = (x - 2) / (x³ - 8) für x, das gegen 2 geht.

Accepted Answer

1/8

Answer

0

Answer

1/4

Answer

1/2

Question 4

Welche der folgenden Funktionen ist nicht für alle reellen Zahlen stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x - 1|

Answer

g(x) = √(x² + 1)

Answer

h(x) = cos(x) + sin(x)

Answer

k(x) = ln(x²) + 1

Question 5

Betrachte die Funktion f(x) = (x-2)/(x-1). An welcher Stelle ist f(x) unstetig?

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

3

Answer

Die Funktion ist für alle x stetig.

Question 6

Welche Aussage beschreibt eine kontinuierliche Funktion?

Accepted Answer

Ihr Graph kann ohne Lücken gezeichnet werden.

Answer

Ihre Ableitung ist an allen Stellen definiert.

Answer

Ihr Graph hat keine vertikalen Asymptoten.

Answer

Ihre Stammfunktion ist an allen Stellen definiert.

Question 7

Welche der folgenden Funktionen hat eine vertikale Asymptote bei x = 2?

Accepted Answer

f(x) = (x-1)/(x-2)

Answer

f(x) = x^2 - 4

Answer

f(x) = e^(x-2)

Answer

f(x) = sin(x-2)

Question 8

Welcher der folgenden Ausdrücke ist der Grenzwert von f(x) = (x² - 1) / (x - 1) für x gegen 1?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

unendlich

Question 9

Welche der folgenden Aussagen über den Grenzwert von f(x) = (x - 2) / (x - 1) für x gegen 1 ist richtig?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich 1.

Answer

Der Grenzwert existiert nicht, da die Funktion an der Stelle x = 1 einen Sprung hat.

Answer

Der Grenzwert ist gleich 2, da die Funktion an der Stelle x = 1 einen Pols hat.

Answer

Der Grenzwert ist unendlich, da die Funktion an der Stelle x = 1 eine senkrechte Asymptote hat.

Question 10

Welcher der folgenden Werte ist der Grenzwert von f(x) = (x - 1)² für x gegen 1?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

4

Question 11

Welche der folgenden Aussagen über den Grenzwert von f(x) = sin(x) / x für x gegen 0 ist richtig?

Accepted Answer

Der Grenzwert ist gleich 0.

Answer

Der Grenzwert ist gleich 1.

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

Der Grenzwert ist unendlich.

Question 12

Berechne den Grenzwert von f(x) = x² für x gegen 3.

Accepted Answer

9

Answer

3

Answer

lim x→3 x²

Answer

(3)²

Question 13

Welche Aussage trifft auf die Stetigkeit einer Funktion f(x) im Punkt x = a zu?

Accepted Answer

f(a) existiert und ist gleich lim x→a f(x).

Answer

f(a) ist ungleich lim x→a f(x).

Answer

lim x→a f(x) existiert.

Answer

f(a) ist gleich 0.

Question 14

Welche Aussage trifft auf die Funktion f(x) = |x| im Punkt x = 0 zu?

Accepted Answer

Sie ist an der Stelle x = 0 unstetig.

Answer

Sie ist an der Stelle x = 0 stetig.

Answer

Ihre Ableitung existiert an der Stelle x = 0.

Answer

Sie ist an der Stelle x = 0 differenzierbar.

Question 15

Welche der folgenden Funktionen ist nicht stetig im Punkt x = 0?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Question 16

Welche Funktion ist die Steigungsfunktion von f(x) = x³?

Accepted Answer

f'(x) = 3x²

Answer

f'(x) = x²

Answer

f'(x) = x

Answer

f'(x) = 3

Question 17

An welcher Stelle ist die Funktion f(x) = 1 / x unstetig?

Accepted Answer

x = 0

Answer

x = 1

Answer

x = -1

Answer

Die Funktion ist überall stetig.

Question 18

Untersuche die Funktion f(x) = 1 / (x - 3) auf Stetigkeit an der Stelle x = 3.

Accepted Answer

nicht stetig

Answer

stetig

Answer

rechtsseitig stetig

Answer

linksseitig stetig

Question 19

Bestimme den Grenzwert von f(x) = (x³ - 8) / (x - 2) für x gegen 2.

Accepted Answer

2

Answer

0

Answer

4

Answer

unendlich

Question 20

Welche Funktion hat an der Stelle x = 0 einen Sprung?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin x

Answer

f(x) = e^x

Question 21

Für welchen Wert von a ist die Funktion f(x) = { x^2 + a für x < 1, 2x - a für x >= 1 } stetig? Es handelt sich um eine stückweise definierte Funktion.

Accepted Answer

a = 1

Answer

a = 0

Answer

a = -1

Answer

a = 2

Question 22

Was bedeutet die folgende Aussage über eine Funktion f(x): lim(x -> a) f(x) = unendlich? Es geht hier um die Interpretation von Grenzwerten.

Accepted Answer

Die Funktion hat an der Stelle x = a einen senkrechten Asymptoten.

Answer

Die Funktion hat an der Stelle x = a eine Nullstelle.

Answer

Die Funktion hat an der Stelle x = a einen waagerechten Asymptoten.

Answer

Die Funktion hat an der Stelle x = a einen Wendepunkt.

Question 23

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar? Hier geht es um die Differenzierbarkeit von Funktionen an einer bestimmten Stelle.

Accepted Answer

y = |x|

Answer

y = x^2

Answer

y = e^x

Answer

y = sin(x)

Question 24

Welches der folgenden Verfahren zur Grenzwertberechnung ist nicht allgemein gültig? Es geht hier um die verschiedenen Verfahren zur Berechnung von Grenzwerten.

Accepted Answer

Einsetzen des Grenzwerts in die Funktion

Answer

Zerlegung in Faktoren

Answer

Erweitern mit konjugiert komplexen Ausdrücken

Answer

Anwenden der Regel von de l'Hospital

Question 25

Welche Aussage über Grenzwerte von Funktionen ist falsch?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion ist immer eindeutig bestimmt.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann unendlich sein.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann nicht existieren.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion ist der Wert, dem sich die Funktionswerte unendlich nähern.

Question 26

Welche der folgenden Eigenschaften gilt für eine stetige Funktion?

Accepted Answer

Der Graph der Funktion hat an jeder Stelle eine Tangente.

Answer

Der Graph der Funktion ist immer monoton steigend oder fallend.

Answer

Die Ableitung der Funktion existiert an jeder Stelle.

Answer

Die Funktion ist an jeder Stelle differenzierbar.

Question 27

Welche der folgenden Funktionen ist an keiner Stelle stetig?

Accepted Answer

f(x) = { 1, falls x rational; 0, falls x irrational }

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = x^2

Question 28

Welcher der folgenden Grenzwerte ist gleich 0?

Accepted Answer

lim (x -> 0) (sin(x) / x)

Answer

lim (x -> ∞) (e^x - 1) / x

Answer

lim (x -> 1) (1 / (x - 1))

Answer

lim (x -> -2) (x² - 4) / (x + 2)

Question 29

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 2 unstetig?

Accepted Answer

f(x) = |x - 2|

Answer

f(x) = eˣ

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x²

Question 30

Welche Eigenschaft ist eine notwendige Bedingung für die Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle?

Accepted Answer

Der Grenzwert der Funktion an dieser Stelle existiert und ist gleich dem Funktionswert an dieser Stelle.

Answer

Die Funktion ist an dieser Stelle differenzierbar.

Answer

Die Ableitung der Funktion ist an dieser Stelle definiert.

Question 31

Welche der folgenden Funktionen ist an allen Stellen stetig?

Accepted Answer

f(x) = sin²(x) + cos²(x)

Answer

f(x) = tan(x)

Answer

f(x) = 1 / (x - 1)

Answer

f(x) = |x| + 1

Question 32

Welcher der folgenden Grenzwerte ist nicht definiert?

Accepted Answer

lim (x → 0) (sin(x) / x²)

Answer

lim (x → 1) (x³ - 1)

Answer

lim (x → ∞) (eˣ)

Answer

lim (x → -2) (x² + 4x + 4)

Question 33

Welche der folgenden Aussagen über die Funktion f(x) = { x für x rational, 0 für x irrational } ist richtig?

Accepted Answer

Die Funktion ist nirgends stetig.

Answer

Die Funktion ist nur an rationalen Stellen stetig.

Answer

Die Funktion ist überall stetig.

Answer

Die Funktion ist nur an irrationalen Stellen stetig.

Question 34

Welcher der folgenden Grenzwerte ist gleich dem Wert der Funktion an der Stelle x = 2?

Accepted Answer

lim (x → 2) (x² - 3x + 2)

Answer

lim (x → 2) (1 / x)

Answer

lim (x → 2) (sin(x))

Answer

lim (x → 2) (eˣ)

Question 35

Berechne den Grenzwert von f(x) = (x² - 4) / (x - 2) für x gegen 2.

Accepted Answer

4

Answer

unendlich

Answer

0

Answer

-4

Question 36

Welche Funktion ist an der Stelle x = 1 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x - 1)

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x² - 1

Question 37

Für welchen Wert von a ist die Funktion f(x) = (x² - a²) / (x - a) für alle x stetig?

Accepted Answer

a = 0

Answer

a = 2

Answer

a = 1

Answer

a = -1

Question 38

Bestimme den Grenzwert von f(x) = sin(x) / x für x gegen 0.

Accepted Answer

1

Answer

Der Grenzwert existiert nicht

Answer

0

Answer

unendlich

Question 39

Welche Funktion hat an der Stelle x = 0 einen Sprung?

Accepted Answer

f(x) = { x, falls x > 0; 0, falls x ≤ 0 }

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 40

Für welchen Wert von b ist die Funktion f(x) = (x² - b²) / (x² - 4) stetig?

Accepted Answer

b = 0

Answer

b = -2

Answer

b = 2

Answer

b = 1

Question 41

Welche Aussage zum Graphen der Funktion f(x) = 1 / x² ist richtig?

Accepted Answer

Der Graph hat eine vertikale Asymptote bei x = 0.

Answer

Der Graph hat eine horizontale Asymptote bei y = 0.

Answer

Der Graph hat eine schiefe Asymptote.

Answer

Der Graph hat keine Asymptoten.

Question 42

Welche Funktion hat an der Stelle x = 1 eine hebbare Unstetigkeit?

Accepted Answer

f(x) = (x² - 1) / (x - 1)

Answer

f(x) = |x - 1|

Answer

f(x) = 1 / (x - 1)

Answer

f(x) = { 1, falls x ≠ 1; 0, falls x = 1 }

Question 43

Für welchen Wert von c ist die Funktion f(x) = |x - c| für alle x stetig?

Accepted Answer

c = 0

Answer

c = 1

Answer

c = 2

Answer

c = -1

Question 44

Berechne den Grenzwert von f(x) = (√(x² + 1) - 1) / x für x gegen 0.

Accepted Answer

1/2

Answer

Der Grenzwert existiert nicht

Answer

unendlich

Answer

0

Question 45

Berechne den Grenzwert von f(x) = (x² - 1) / (x - 1) für x gegen 1.

Accepted Answer

2

Answer

0

Answer

1

Answer

unendlich

Question 46

Welche Aussage trifft auf die Funktion f(x) = 1 / |x| zu?

Accepted Answer

Sie ist unstetig in x = 0.

Answer

Sie ist nirgends stetig.

Answer

Sie ist stetig in x = 0.

Answer

Sie ist überall stetig.

Question 47

Berechne den Grenzwert von g(x) = (√(x + 4) - 2) / (x - 4) für x gegen 4.

Accepted Answer

1/4

Answer

1/2

Answer

unendlich

Answer

1

Question 48

Welche Funktion ist stetig für alle x?

Accepted Answer

f(x) = x² + 1

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = 1 / x

Question 49

Welche Funktion ist unstetig in x = 2?

Accepted Answer

f(x) = { x² - 4, x ≤ 2; x + 2, x > 2 }

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = 1 / (x - 2)

Answer

f(x) = |x - 2| + 1

Question 50

Berechne den Grenzwert von k(x) = (x³ - 8) / (x - 2) für x gegen 2.

Accepted Answer

16

Answer

2

Answer

8

Answer

unendlich

Question 51

Welche Aussage trifft auf die Funktion f(x) = 1 / sin(x) zu?

Accepted Answer

Sie hat Hebungsstellen bei allen Vielfachen von π.

Answer

Sie hat keine Polstellen oder Hebungsstellen.

Answer

Sie hat Polstellen bei allen Vielfachen von π.

Answer

Sie hat Nullstellen bei allen Vielfachen von π.

Question 52

Berechne den Grenzwert von l(x) = (e^x - 1) / x für x gegen 0.

Accepted Answer

1

Answer

e

Answer

0

Answer

unendlich

Question 53

Welche Funktion ist stetig und differenzierbar für alle x?

Accepted Answer

f(x) = x^3 + 2x - 1

Answer

f(x) = 1 / x²

Answer

f(x) = |x| + 1

Answer

f(x) = sin(x) + cos(x)