Numerische Differentiation: Online-Quiz für Studierende im Maschinenbau

Question 1

Welche der folgenden Aussagen über Finite Differenzen ist falsch?

Accepted Answer

Sie können nicht für Funktionen mit unstetigen Ableitungen verwendet werden.

Answer

Sie sind eine diskrete Annäherung an die Ableitung einer Funktion.

Answer

Sie sind bei der numerischen Lösung von Differentialgleichungen nützlich.

Answer

Sie erfordern nur die Kenntnis der Funktionswerte an diskreten Punkten.

Question 2

Welche der folgenden Interpolationsmethoden ist am besten geeignet, um eine glatte Funktion aus vielen Datenpunkten zu erzeugen?

Accepted Answer

Spline-Interpolation

Answer

Lineare Interpolation

Answer

Quadratische Interpolation

Answer

Kubische Interpolation

Question 3

Welche der folgenden Ableitungsformeln verwendet eine rückwärtsgerichtete Differenz?

Accepted Answer

(f'(x) ≈ (f(x) - f(x - h)) / h)

Answer

(f'(x) ≈ (f(x + h) - f(x)) / h)

Answer

(f'(x) ≈ (f(x + h) - f(x - h)) / (2h))

Answer

(f'(x) ≈ (-f(x + 2h) + 8f(x + h) - 8f(x - h) + f(x - 2h)) / (12h))

Question 4

Welche der folgenden Randbedingungen muss für ein Interpolationspolynom n-ten Grades erfüllt sein, damit es eindeutig bestimmt ist?

Accepted Answer

n+1 Funktionswerte

Answer

n+2 Funktionswerte

Answer

n+3 Funktionswerte

Answer

n Funktionswerte

Question 5

Welche Interpolationsmethode verwendet eine Parabel, um einen Funktionswert an einem gegebenen Punkt zu schätzen?

Accepted Answer

Newton-Interpolation

Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Splineapproximation

Answer

Hermite-Interpolation

Question 6

Welche Ableitungsformel verwendet die erste und zweite Ableitung an einem Punkt, um die Ableitung an einem nahegelegenen Punkt zu approximieren?

Accepted Answer

Taylor-Formel 2. Ordnung

Answer

Taylor-Formel 1. Ordnung

Answer

Newton-Formel

Answer

Simpson-Formel

Question 7

Welche der folgenden Aussagen über numerische Differentiation ist korrekt?

Accepted Answer

Numerische Differentiation erfordert keine Kenntnis der Ableitungsfunktion.

Answer

Numerische Differentiation ist immer genauer als analytische Differentiation.

Answer

Numerische Differentiation kann nur für Polynome verwendet werden.

Answer

Numerische Differentiation ist immer rechenintensiver als analytische Differentiation.

Question 8

Welche Fehlerschätzung wird bei der Berechnung der Ableitung einer Funktion f(x) mit der Zentraldifferenzenformel verwendet?

Accepted Answer

O(h^2)

Answer

O(h)

Answer

O(h^3)

Answer

O(h^4)

Question 9

Welche der folgenden Methoden kann zur stabilen numerischen Differentiation verwendet werden?

Accepted Answer

RICHARDSON-Extrapolation

Answer

Vorwärtsdifferenzen

Answer

Rückwärtsdifferenzen

Answer

Zentraldifferenzen

Question 10

Welche der folgenden Aussagen über numerische Differentiation ist falsch?

Accepted Answer

Numerische Differentiation ist eine exakte Methode.

Answer

Numerische Differentiation ist abhängig von der Schrittweite h.

Answer

Numerische Differentiation kann nur für glatte Funktionen verwendet werden.

Answer

Numerische Differentiation ist ein wichtiges Werkzeug in der numerischen Analyse.

Question 11

Welche Ableitungsformel ist zweiter Ordnung genau?

Accepted Answer

Zentraldifferenz

Answer

Rückwärtsdifferenz

Question 12

Welche Aussage über die Wahl des Schrittweiten h bei der numerischen Differentiation ist korrekt?

Accepted Answer

Alle der oben genannten Aussagen sind korrekt.

Answer

Je kleiner h, desto genauer die Näherung.

Answer

Je größer h, desto stabiler die Näherung.

Answer

Die optimale Schrittweite h hängt von der spezifischen Funktion ab.

Question 13

Welche Methode wird verwendet, um den Fehler der numerischen Differentiation abzuschätzen?

Accepted Answer

Richardson-Extrapolation

Answer

Kausale Analyse

Question 14

Welche Anwendung der numerischen Differentiation findet sich häufig im Maschinenbau?

Accepted Answer

Alle der oben genannten Anwendungen

Answer

Strukturanalyse

Question 15

Welche Fehlerabschätzung gilt für die Ableitungsformel (f(x₀+h) - f(x₀-h)) / 2h?

Accepted Answer

O(h²)

Answer

O(h)

Answer

O(h³)

Answer

O(h⁴)

Question 16

Welche Funktion ist nicht interpolierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x²

Question 17

Welche der folgenden Formeln wird zur numerischen Berechnung der ersten Ableitung einer Funktion f(x) am Gitterpunkt x = x_i unter Verwendung endlicher Differenzen verwendet?

Accepted Answer

(f(x_i + h) - f(x_i - h)) / 2h

Answer

(f'(x_i + h) - f'(x_i - h)) / 2h

Answer

((f(x_i + h) - f(x_i)) + (f(x_i) - f(x_i - h))) / h

Answer

(f(x_i + h) - f(x_i)) / h

Question 18

Welche Ableitungsordnung wird durch die folgende Formel berechnet: f''(x_i) = (f(x_i + h) + f(x_i - h) - 2f(x_i)) / h^2?

Accepted Answer

Zweite Ordnung

Answer

Erste Ordnung

Answer

Dritte Ordnung

Answer

Vierte Ordnung

Question 19

Welche der folgenden Formeln wird zur Berechnung der zweiten Ableitung f''(x_i) einer Funktion f(x) unter Verwendung der zentralen Differenzen verwendet?

Accepted Answer

(f(x_i + h) - 2f(x_i) + f(x_i - h)) / h^2

Answer

((f(x_i + h) - f(x_i - h)) / 2h)^2

Answer

((f(x_i + h) - f(x_i)) / h) - ((f(x_i) - f(x_i - h)) / h)

Answer

(f(x_i + h) - f(x_i - h)) / 2h^2

Question 20

Welche der folgenden Bedingungen muss eine Funktion erfüllen, damit kubische Spline-Interpolation anwendbar ist?

Accepted Answer

Sie muss dreimal stetig differenzierbar sein.

Answer

Sie muss zweimal stetig differenzierbar sein.

Answer

Sie muss nur einmal stetig differenzierbar sein.

Answer

Keine der oben genannten Bedingungen

Question 21

Welche Methode zur numerischen Differentiation minimiert die Rundungsfehler?

Accepted Answer

Zentrale Differenzen

Answer

Vorwärtsdifferenzen

Answer

Rückwärtsdifferenzen

Answer

Zentrale Quotienten

Question 22

Gegeben ist die Funktion f(x) = x^3. Welche der folgenden Interpolationsmethoden eignet sich am besten zur Approximation der Ableitung von f(x) bei x = 1?

Accepted Answer

Kubische Interpolation

Answer

Lineare Interpolation

Answer

Quadratische Interpolation

Answer

Hermitesche Interpolation

Question 23

Wie lautet die Formel für die Rückwärtsdifferenz der ersten Ableitung?

Accepted Answer

f'(x_i) ≈ (f(x_i) - f(x_{i-1})) / h

Answer

f'(x_i) ≈ (f(x_{i+1}) - f(x_i)) / h

Answer

f'(x_i) ≈ (f(x_{i+1}) - f(x_{i-1})) / (2h)

Answer

f'(x_i) ≈ (f(x_{i+2}) - f(x_i)) / (2h)

Question 24

Wie hängen Interpolation und numerische Differentiation zusammen? Wie können Interpolationsmethoden verwendet werden, um Ableitungen numerisch zu schätzen?

Accepted Answer

Interpolationspolynome approximieren die Ableitungsfunktion, aus der numerische Ableitungen berechnet werden können.

Answer

Interpolation liefert exakte Ableitungswerte an diskreten Punkten.

Answer

Numerische Differentiation berechnet Ableitungen für jeden Punkt im Intervall mithilfe von Interpolation.

Answer

Numerische Differentiation ist unabhängig von Interpolationsmethoden.

Question 25

Welche Aussage beschreibt die Rückwärtsdifferenz korrekt?

Accepted Answer

Sie berechnet die Ableitung eines Funktionswerts durch Verwendung von Funktionswerten vor diesem Punkt.

Answer

Sie liefert genauere Ergebnisse als die Vorwärtsdifferenz.

Answer

Sie ist nur für äquidistante Gitterpunkte anwendbar.

Answer

Sie liefert exakte Ableitungen für lineare Funktionen.

Question 26

Welche Interpolationsmethode verwendet Polynome mit dem niedrigsten Grad?

Accepted Answer

Lineare Interpolation

Answer

Quadratische Interpolation

Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Hermite-Interpolation

Question 27

Welche Methode eignet sich am besten für die Interpolation von Funktionen mit starken Schwankungen?

Accepted Answer

Spline-Interpolation

Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Hermite-Interpolation

Answer

Kubische Interpolation

Question 28

Welche Methode eignet sich für die numerische Differentiation komplexwertiger Funktionen?

Accepted Answer

Cauchy-Riemann-Gleichungen

Answer

Sobel-Operator

Answer

Canny-Algorithmus

Answer

Sobel-Feld

Question 29

Wie beeinflussen Randbedingungen die Auswahl der Ableitungsformel bei der numerischen Differentiation?

Accepted Answer

Randbedingungen können die Genauigkeit der numerischen Differentiation beeinträchtigen.

Answer

Randbedingungen haben keinen Einfluss auf die Wahl der Ableitungsformel.

Answer

Randbedingungen erfordern immer einseitige Ableitungsformeln.

Answer

Randbedingungen werden bei der numerischen Differentiation immer ignoriert.

Question 30

Welche der folgenden Formeln ist eine Zentraldifferenzformel erster Ordnung zur numerischen Berechnung der Ableitung an der Stelle x?

Accepted Answer

(f(x+h) - f(x-h)) / (2h)

Answer

(f(x+h) - f(x)) / h

Answer

(f(x+h) + f(x-h)) / (2h)

Answer

(f(x) - f(x-h)) / h

Question 31

Welche Ableitungsformel verwendet den folgenden Differenzquotienten zur Approximation der Ableitung an der Stelle x?: (f(x+h) - f(x)) / h

Accepted Answer

Vorwärtsdifferenzformel

Answer

Zentraldifferenzformel

Answer

Gliedweise Differentiation

Answer

Rückwärtsdifferenzformel

Question 32

Welche der folgenden Annahmen muss für die Lagrange-Interpolation an gegebenen Stützstellen erfüllt sein?

Accepted Answer

Die Stützstellen sind eindeutig (nicht identisch)

Answer

Die Funktion ist monoton

Answer

Die Funktion ist stetig

Answer

Die Funktion ist differenzierbar

Question 33

Welche Ableitungsformel verwendet den folgenden Differenzquotienten zur Approximation der Ableitung an der Stelle x?: (f(x+2h) - f(x)) / (2h)

Accepted Answer

Mitteldedifferenzformel

Answer

Rückwärtsdifferenzformel

Answer

Vorwärtsdifferenzformel

Question 34

Welche der folgenden Methoden kann verwendet werden, um die optimale Schrittweite h für die numerische Differentiation zu bestimmen?

Accepted Answer

Richardson-Extrapolation

Answer

Bisektion

Answer

Regula-Falsi

Answer

Steigungsschätzung

Question 35

Welche der folgenden Interpolationsmethoden verwendet eine stückweise lineare Approximation?

Accepted Answer

Lineare Interpolation

Answer

Hermite-Interpolation

Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Spline-Interpolation

Question 36

Welche der folgenden Differenzverfahren liefert eine einseitige Approximation der Ableitung auf der linken Seite des betrachteten Punktes?

Accepted Answer

Rückwärtsdifferenz

Answer

Symmetrische Differenz

Answer

Zentraldifferenz

Answer

Vorwärtsdifferenz

Question 37

Welche Interpolationsmethode verwendet lokale Polynome, um die Werte zwischen gegebenen Datenpunkten zu schätzen und approximiert die Funktion lokal durch ein Polynom?

Accepted Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Spline-Interpolation

Answer

Lineare Interpolation

Answer

Hermitesche Interpolation

Question 38

Welche der folgenden Ableitungsformeln ergibt die Ableitung einer Funktion f(x) unter Verwendung der vorwärtsgerichteten Differenz?

Accepted Answer

(f(x+h) - f(x))/h

Answer

(-f(x+h) + 2f(x) - f(x-h))/(2h^2)

Answer

(f(x) - f(x-h))/h

Answer

(f(x+h) - f(x-h))/(2h)

Question 39

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = sin(x) im Punkt x = π/2 mit der Vorwärtsdifferenz bei einer Schrittweite von h = 0,01.

Accepted Answer

-1,00

Answer

-0,99

Answer

-1,01

Question 40

Welche Aussage über die Zentraldifferenz ist korrekt?

Accepted Answer

Sie liefert eine zweiseitige Approximation der Ableitung am betrachteten Punkt.

Answer

Sie ist immer genauer als die Vorwärtsdifferenz

Answer

Sie eignet sich nicht für die Berechnung von Ableitungen von Randwerten

Question 41

Welche der folgenden Methoden ist die gängigste Methode zur numerischen Differentiation?

Accepted Answer

Finite Differenzen

Answer

Ableitung der Stammfunktion

Answer

Taylor-Entwicklung

Answer

Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Question 42

Welche der folgenden Formeln ist die zentrale Differenzenformel für die erste Ableitung?

Accepted Answer

(f(x+h) - f(x-h)) / (2h)

Answer

(f(x+h) + f(x)) / (2h)

Answer

(f(x+h) - f(x)) / h

Answer

(f(x) - f(x-h)) / h

Question 43

Welche der folgenden Interpolationsmethoden verwendet eine parabolische Funktion zur Schätzung des Funktionswertes?

Accepted Answer

Quadratische Interpolation

Answer

Lineare Interpolation

Answer

Kubische Interpolation

Question 44

Welche der folgenden Aussagen über die Verwendung der numerischen Differentiation zur Lösung von Differentialgleichungen ist korrekt?

Accepted Answer

Sie kann zur Approximation von Lösungen sowohl linearer als auch nichtlinearer Differentialgleichungen verwendet werden.

Answer

Sie ist immer genauer als die analytische Lösung.

Answer

Sie kann nur zur Lösung linearer Differentialgleichungen verwendet werden.

Question 45

Welche Formel beschreibt die erste Vorwärtsdifferenz?

Accepted Answer

f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x)) / h

Answer

f'(x) ≈ (f(x+h) + f(x)) / 2h

Answer

f'(x) ≈ (f(x) - f(x-h)) / h

Answer

f'(x) ≈ (f(x) - f(x-2h)) / 2h

Question 46

Welche Interpolationsmethode verwendet gleichmäßig verteilte Stützpunkte und Polynome niedrigen Grades?

Accepted Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Spline-Interpolation

Answer

B-Spline-Interpolation

Answer

Hermite-Interpolation

Question 47

Welche der folgenden Ableitungsformeln ist zentriert?

Accepted Answer

f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h)) / 2h

Answer

f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x)) / h

Answer

f'(x) ≈ (f(x) - f(x-h)) / h

Question 48

Welche Ableitungsformel nähert die zweite Ableitung an?

Accepted Answer

f''(x) ≈ (f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)) / h²

Answer

f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x)) / h

Answer

f'(x) ≈ (f(x) - f(x-h)) / h

Answer

f'(x) ≈ (f(x+2h) - f(x)) / 2h

Question 49

Welche Bedingungen müssen für die Konvergenz der Hermite-Interpolation erfüllt sein?

Accepted Answer

Eindeutige Stützpunkte und bekannte Werte der Funktion und ihrer ersten Ableitung an diesen Stützpunkten

Answer

Gleichmäßig verteilte Stützpunkte

Question 50

Für die Funktion f(x) = x³ soll die Ableitung f'(x) mit einer Schrittweite h = 0,2 numerisch berechnet werden. Welche der folgenden Differenzenformeln eignet sich am besten?

Accepted Answer

Zentrale Differenzenformel

Answer

Symmetrische Differenzenformel

Answer

Vorwärtsdifferenzenformel

Answer

Rückwärtsdifferenzenformel

Question 51

Bei der numerischen Differentiation mithilfe der Vorwärtsdifferenzenformel ist die Fehlerordnung:

Accepted Answer

O(h)

Answer

O(h³)

Answer

O(h⁴)

Answer

O(h²)

Question 52

Welche der folgenden Anwendungen der numerischen Differentiation ist NICHT korrekt?

Accepted Answer

Datenextrapolation

Answer

Modellierung physikalischer Prozesse

Answer

Regressionsanalyse

Answer

Optimierung

Question 53

Bei der Interpolation einer Funktion f(x) mit Stützstellen x₁, x₂, ..., xn werden die folgenden Bedingungen verwendet:

Accepted Answer

P(xi) = f(xi), i = 1, 2, ..., n

Answer

P'(xi) = f'(xi), i = 1, 2, ..., n

Answer

P''(xi) = f''(xi), i = 1, 2, ..., n

Answer

P(0) = f(0)

Question 54

Welche der folgenden Formeln repräsentiert die zentrale Differenzenapproximation der ersten Ableitung einer Funktion f(x) an der Stelle x?

Accepted Answer

f'(x) ≈ (f(x + h) - f(x - h)) / (2h)

Answer

f'(x) ≈ (f(x) - f(x - h)) / h

Answer

f'(x) ≈ (f(x + h) - f(x)) / h

Question 55

Welche Ordnung der Genauigkeit hat die zentrale Differenzenapproximation der ersten Ableitung?

Accepted Answer

Zweite Ordnung

Answer

Erste Ordnung

Answer

Dritte Ordnung

Answer

Vierte Ordnung

Question 56

Welche der folgenden Aussagen zur numerischen Differentiation ist FALSCH?

Accepted Answer

Numerische Differentiation ist immer genauer als analytische Differentiation.

Answer

Numerische Differentiation kann verwendet werden, um die Ableitung einer Funktion an einer gegebenen Stelle zu approximieren.

Answer

Numerische Differentiation kann für Funktionen verwendet werden, die keine analytische Ableitung besitzen.

Question 57

Wie kann man die Genauigkeit einer numerischen Differentiation verbessern?

Accepted Answer

Die Schrittweite h reduzieren.

Answer

Eine höhere Ordnung der Approximationsformel verwenden.

Answer

Die Schrittweite h erhöhen.

Question 58

Welche Formel wird verwendet, um die zweite Ableitung einer Funktion f(x) an der Stelle x mit der zentralen Differenzenapproximation zu approximieren?

Accepted Answer

f''(x) ≈ (f(x + h) - 2f(x) + f(x - h)) / h²

Answer

f''(x) ≈ (f(x + h) - f(x)) / h²

Answer

f''(x) ≈ (f(x) - f(x - h)) / h²

Question 59

Was ist der Hauptvorteil der Verwendung von Interpolationspolynomen für die numerische Differentiation?

Accepted Answer

Sie ermöglichen die Approximation der Ableitung an beliebigen Stellen im Interpolationsintervall.

Answer

Sie sind einfacher zu implementieren als andere Methoden.

Answer

Sie sind immer genauer als andere Methoden der numerischen Differentiation.

Question 60

Welche der folgenden Aussagen über die numerische Differentiation mit Hilfe von Interpolationspolynomen ist KORREKT?

Accepted Answer

Die Genauigkeit der Approximation hängt von der Ordnung des Interpolationspolynoms ab.

Answer

Interpolationspolynome können nur für stetige Funktionen verwendet werden.

Answer

Die Genauigkeit der Approximation ist unabhängig von der Ordnung des Interpolationspolynoms.

Question 61

Welches Verfahren wird verwendet, um die Ableitung einer Funktion an einer Stelle zu approximieren, die nicht durch einen Datenpunkt des Interpolationspolynoms definiert ist?

Accepted Answer

Interpolation

Answer

Integration

Answer

Regression

Answer

Extrapolation

Question 62

Was ist ein möglicher Nachteil der Verwendung der Vorwärtsdifferenzenapproximation für die numerische Differentiation?

Accepted Answer

Sie ist weniger genau als die zentrale Differenzenapproximation.

Answer

Sie ist nur für Funktionen mit bekannten Ableitungen anwendbar.

Answer

Sie ist nur für stetige Funktionen anwendbar.

Question 63

Welche der folgenden Ableitungsformeln ist eine Formel für die numerische Differentiation zweiter Ordnung?

Accepted Answer

f'(x) ≈ (-f(x + 2h) + 4f(x + h) - 3f(x)) / (2h)

Answer

f'(x) ≈ (f(x + h) - f(x - h)) / (2h)

Answer

f'(x) ≈ (f(x + h) - f(x)) / h

Answer

f'(x) ≈ (f(x) - f(x - h)) / h

Question 64

Welche der folgenden Formeln ist die zentrale Differenzenapproximation erster Ordnung für die Ableitung einer Funktion f(x) an der Stelle x?

Accepted Answer

f'(x) ≈ (f(x + h) - f(x - h)) / (2h)

Answer

f'(x) ≈ (f(x + 2h) - f(x)) / (2h)

Answer

f'(x) ≈ (f(x) - f(x - h)) / h

Answer

f'(x) ≈ (f(x + h) - f(x)) / h