Nichtlineare Optimierung: Online-Quizze für Studierende des Maschinenbaus

Question 1

Welche der folgenden Aussagen ist eine notwendige Optimalitätsbedingung erster Ordnung für ein lokales Minimum einer nichtlinearen Funktion?

Accepted Answer

Der Gradient an diesem Punkt ist null.

Answer

Der Gradient an diesem Punkt ist maximal.

Answer

Die Funktion ist an diesem Punkt konvex.

Answer

Die Funktion ist an diesem Punkt differenzierbar.

Question 2

Welches der folgenden Verfahren verwendet die Hesse-Matrix, um eine quadratische Approximation der Zielfunktion zu erstellen?

Accepted Answer

Newton-Verfahren

Answer

Quasi-Newton-Verfahren

Answer

Gradientenverfahren

Answer

Kongestionsverfahren

Question 3

Welche der folgenden Eigenschaften ist charakteristisch für Quasi-Newton-Verfahren?

Accepted Answer

Sie aktualisieren die Approximationen der Hesse-Matrix.

Answer

Sie benötigen keine Gradienteninformationen.

Answer

Sie verwenden eine exakte Hesse-Matrix.

Answer

Sie sind immer global konvergent.

Question 4

Welche Aussage ist eine hinreichende Optimalitätsbedingung zweiter Ordnung für ein lokales Minimum?

Accepted Answer

Die Hesse-Matrix an diesem Punkt ist positiv definit.

Answer

Die Hesse-Matrix an diesem Punkt ist negativ definit.

Answer

Die Gradientenmatrix an diesem Punkt ist positiv semidefinit.

Answer

Die Funktion ist an diesem Punkt konvex.

Question 5

Welche Konvergenzrate weist das Newton-Verfahren in der Regel auf?

Accepted Answer

Quadratisch

Answer

Linear

Answer

Kubisch

Answer

Exponential

Question 6

Welche der folgenden Aussagen über Optimierungsprobleme unter Nebenbedingungen ist korrekt?

Accepted Answer

Sie können mittels eines Lagrange-Problems gelöst werden.

Answer

Sie haben immer eine zulässige Lösung.

Answer

Sie sind immer konvex.

Answer

Sie können immer analytisch gelöst werden.

Question 7

Welches Verfahren verwendet eine Approximationsmatrix für die Hesse-Matrix?

Accepted Answer

Quasi-Newton-Verfahren

Answer

Steilster-Abstieg-Verfahren

Answer

Newton-Verfahren

Answer

Schnittflächenverfahren

Question 8

Was beschreibt die Konvergenzordnung eines Optimierungsverfahrens?

Accepted Answer

Die Rate, mit der sich das Verfahren der Lösung nähert

Answer

Die Anzahl der Iterationen bis zur Konvergenz

Answer

Die Genauigkeit der erzielten Lösung

Answer

Die Robustheit des Verfahrens gegenüber Störungen

Question 9

Was ist das Ziel der nichtlinearen Optimierung?

Accepted Answer

Minimierung oder Maximierung einer Zielfunktion unter Nebenbedingungen

Answer

Suche nach einem Sattelpunkt

Answer

Berechnung des Gradienten einer Funktion

Answer

Lösung linearer Gleichungssysteme

Question 10

*Welche Aussage über die Konvergenz von Gradientenverfahren trifft am ehesten zu?*

Accepted Answer

Sie konvergieren **gewöhnlich** gegen ein lokales Optimum.

Answer

Sie konvergieren immer gegen das globale Optimum.

Answer

Ihre Konvergenz hängt nicht von der Wahl der Schrittweite ab.

Answer

Sie konvergieren immer gegen einen Sattelpunkt.

Question 11

*Welches Verfahren der Quasi-Newton-Familie ist für seine schnelle Konvergenz bekannt?*

Accepted Answer

BFGS-Verfahren

Answer

DFP-Verfahren

Answer

SR1-Verfahren

Answer

Gilbert-Levinson-Verfahren

Question 12

*Welche Eigenschaft ist charakteristisch für das Newton-Verfahren?*

Accepted Answer

Es hat eine **superlineare** Konvergenzrate.

Answer

Es ist ein direktes Verfahren.

Answer

Es ist unempfindlich gegenüber schlecht konditionierten Matrizen.

Answer

Es kann nur für nichtlineare Maximierungsprobleme verwendet werden.

Question 13

*Was ist eine notwendige Bedingung für die Existenz eines lokalen Minimums in einem Optimierungsproblem?*

Accepted Answer

Die Hessian-Matrix ist **positiv semidefinit**.

Answer

Die Gradienten-Matrix ist gleich Null.

Answer

Die Zielfunktion ist konvex.

Answer

Die Nebenbedingungen sind streng konvex.

Question 14

*Welche Methode wird hauptsächlich verwendet, um Nebenbedingungen in Optimierungsproblemen zu behandeln?*

Accepted Answer

Lagrange-Multiplikatoren

Answer

Quadratische Programmierung

Answer

Lineare Programmierung

Answer

Nichtlineare Programmierung

Question 15

*Was ist das Hauptziel der nichtlinearen Optimierung?*

Accepted Answer

Die Minimierung oder Maximierung einer **nichtlinearen** Zielfunktion.

Answer

Die Lösung von Differentialgleichungssystemen.

Answer

Die Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren.

Answer

Die Interpolation und Approximation von Funktionen.

Question 16

*Welche Eigenschaft ist für eine nichtlineare Zielfunktion vorteilhaft?*

Accepted Answer

Konvexität

Answer

Nichtnegativität

Answer

Symmetrie

Answer

Periodizität

Question 17

Welches Verfahren bestimmt die Suchrichtung anhand der Gradienten der Zielfunktion?

Accepted Answer

Steilster Abstieg

Answer

Newton

Answer

Quasi-Newton

Answer

Konjugierte Gradienten

Question 18

Welches Verfahren approximiert die Hesse-Matrix durch Gradienteninformationen?

Accepted Answer

Quasi-Newton

Answer

Steilster Abstieg

Answer

Konjugierte Gradienten

Answer

Newton

Question 19

Welche Eigenschaft haben konjugierte Richtungen?

Accepted Answer

Sie sind orthogonal zueinander

Answer

Sie minimieren die Zielfunktion in jedem Schritt

Answer

Sie führen zu quadratischer Konvergenz

Answer

Sie sind unabhängig von der Hesse-Matrix

Question 20

Welche Aussage zur Konvergenz von Gradientenverfahren ist korrekt?

Accepted Answer

Sie konvergieren möglicherweise nicht zu einem Minimum

Answer

Sie konvergieren immer zu einem globalen Minimum

Answer

Sie konvergieren immer zu einem lokalen Minimum

Answer

Sie konvergieren quadratisch für alle Zielfunktionen

Question 21

Welche Methode ist für nicht differenzierbare Zielfunktionen geeignet?

Accepted Answer

Steilster Abstieg

Answer

Newton

Answer

Quasi-Newton

Answer

Konjugierte Gradienten

Question 22

Wie werden heuristische Algorithmen bei der Lösung nichtlinearer Optimierungsprobleme eingesetzt?

Accepted Answer

Sie nutzen Zufallsprozesse und natürliche Selektion, wie z. B. genetische Algorithmen.

Answer

Sie basieren auf der Lösung linearer Gleichungssysteme und der Berechnung von Gradienten.

Answer

Sie verwenden Lagrange-Multiplikatoren, um Nebenbedingungen zu berücksichtigen.

Question 23

Welches Verfahren der nichtlinearen Optimierung berechnet die Suchrichtung mithilfe der Hesse-Matrix?

Accepted Answer

Newton-Verfahren

Answer

Steilster-Abstieg-Verfahren

Answer

Quasi-Newton-Verfahren

Answer

Konjugierte-Gradienten-Verfahren

Question 24

Nenne ein bekanntes Quasi-Newton-Verfahren.

Accepted Answer

BFGS

Answer

Newton-Raphson-Verfahren

Answer

Steilster-Abstieg-Verfahren

Question 25

Was ist eine notwendige Bedingung für ein lokales Optimum eines nichtlinearen Optimierungsproblems?

Accepted Answer

Der Gradient der Zielfunktion verschwindet an diesem Punkt.

Answer

Die Nebenbedingungen sind an diesem Punkt aktiv.

Answer

Die Zielfunktion ist an diesem Punkt konkav.

Answer

Die Hesse-Matrix ist an diesem Punkt positiv definit.

Question 26

Welche Aussage zu Gradientenverfahren ist korrekt?

Accepted Answer

Sie benötigen lediglich die Berechnung des Gradienten.

Answer

Sie sind unempfindlich gegenüber Skalierung der Variablen.

Answer

Sie können nur globale Optima finden.

Answer

Sie sind immer konvergent.

Question 27

Was ist ein Vorteil von Quasi-Newton-Verfahren gegenüber Newton-Verfahren?

Accepted Answer

Sie benötigen keine Berechnung der Hesse-Matrix.

Answer

Sie konvergieren immer schneller.

Answer

Sie können globale Optima finden.

Answer

Sie sind unempfindlicher gegenüber Rauschen.

Question 28

Welche Aussage zu konvexen Optimierungsproblemen ist zutreffend?

Accepted Answer

Sie besitzen höchstens ein globales Optimum.

Answer

Sie sind immer leicht zu lösen.

Answer

Sie treten nur bei linearen Problemen auf.

Answer

Sie können mit jedem beliebigen Optimierungsverfahren gelöst werden.

Question 29

Welches der folgenden Verfahren gehört nicht zu den Gradientenverfahren?

Accepted Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Gradientenabstieg

Answer

Quasi-Newton-Verfahren

Answer

Newton-Verfahren

Question 30

Welche Ableitung wird im Gradientenabstieg verwendet?

Accepted Answer

Ableitung der Zielfunktion nach den Variablen

Answer

Ableitung der Nebenbedingungen nach den Variablen

Answer

Zweite Ableitung der Zielfunktion nach den Variablen

Answer

Zweite Ableitung der Nebenbedingungen nach den Variablen

Question 31

Welches Verfahren aktualisiert die Hesse-Matrix ohne explizite Berechnung?

Accepted Answer

Quasi-Newton-Verfahren

Answer

Gradientenabstieg

Answer

Newton-Verfahren

Question 32

Welche Aussage über nichtlineare Optimierungsprobleme ist korrekt?

Accepted Answer

Sie können mehrere lokale Minima haben

Answer

Sie haben immer ein globales Minimum

Answer

Sie können nur mit Gradientenverfahren gelöst werden

Answer

Sie sind immer konvex

Question 33

Welche der folgenden Anwendungen ist für nichtlineare Optimierung geeignet?

Accepted Answer

Strukturanalyse und -optimierung

Answer

Lineare Regression

Answer

Berechnung des Mittelwerts

Answer

Lösen von Differentialgleichungen

Question 34

Welches Verfahren ist eine iterative Methode zur Minimierung einer Funktion, die den Gradienten nutzt?

Accepted Answer

Gradientenverfahren

Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Quasi-Newton-Verfahren

Answer

Newton-Verfahren

Question 35

Welches Verfahren verwendet die exakte Hesse-Matrix, um die Suchrichtung zu bestimmen?

Accepted Answer

Newton-Verfahren

Answer

Gradientenverfahren

Answer

Powell-Verfahren

Answer

Quasi-Newton-Verfahren

Question 36

Welche Eigenschaft ist charakteristisch für Quasi-Newton-Verfahren?

Accepted Answer

Iterative Aktualisierung einer Approximationsmatrix der Hesse-Matrix

Answer

Immer schnellere Konvergenz als Gradientenverfahren

Answer

Verwendung der exakten Hesse-Matrix

Question 37

Welches ist eine grundsätzliche Einschränkung bei der Suche nach globalen Optima?

Accepted Answer

Nicht alle Verfahren garantieren die Konvergenz zu einem globalen Optimum

Answer

Gradientenverfahren

Answer

Newton-Verfahren

Question 38

Welche Eigenschaft der Hesse-Matrix ist eine Folge ihrer Symmetrie?

Accepted Answer

Die Eigenwerte sind reell

Answer

Sie ist immer negativ definit

Answer

Sie ist immer positiv definit

Question 39

Welches Quasi-Newton-Verfahren verwendet die BFGS-Formel zur Aktualisierung der Approximationsmatrix?

Accepted Answer

BFGS-Verfahren

Answer

SR1-Verfahren

Answer

DFP-Verfahren

Question 40

Welche Eigenschaft kennzeichnet das Newton-Verfahren?

Accepted Answer

Lokales Verfahren zweiter Ordnung

Answer

Immer stabil im Vergleich zum Gradientenverfahren

Answer

Garantie der Konvergenz zu einem globalen Optimum

Answer

Erfordert ausschließlich erste Ableitungen der Zielfunktion

Question 41

Welches Kriterium wird typischerweise zur Überprüfung der Konvergenz des Newton-Verfahrens herangezogen?

Accepted Answer

Norm des Gradienten oder Veränderung der Variablen

Answer

Wert der Zielfunktion

Answer

Norm der Hesse-Matrix

Question 42

Welches der folgenden Verfahren ist ein Gradientenverfahren, das die negative Richtung des Gradienten der Zielfunktion verwendet?

Accepted Answer

Steilster-Abstieg-Verfahren

Answer

Newton-Verfahren

Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Quasi-Newton-Verfahren

Question 43

Welche der folgenden Eigenschaften ist für nichtlineare Optimierungsprobleme typisch?

Accepted Answer

Die Zielfunktion kann mehrere lokale Optima aufweisen.

Answer

Die Zielfunktion ist immer konvex.

Answer

Die Ableitungen der Zielfunktion sind immer stetig.

Question 44

Welche der folgenden Techniken kann verwendet werden, um die Konvergenzrate von Gradientenverfahren zu verbessern?

Accepted Answer

Momentum

Answer

Strafen

Answer

Regularisierung

Answer

Beschränkungen

Question 45

Welche der folgenden Anwendungen ist ein typisches Einsatzgebiet für nichtlineare Optimierungsprobleme?

Accepted Answer

Strukturoptimierung

Answer

Datenanalyse

Answer

Lösen von Differentialgleichungen

Answer

Lineare Regression

Question 46

Welche der folgenden Aussagen über Gradientenverfahren ist zutreffend?

Accepted Answer

Sie erfordern nur die Berechnung von Funktionswerten und der Gradienten.

Answer

Sie benötigen Informationen über die Hesse-Matrix.

Answer

Sie sind immer konvergent.

Question 47

Welcher Begriff beschreibt die Eigenschaft eines Optimierungsproblems, bei dem sowohl die Zielfunktion als auch die Nebenbedingungen nichtlinear sind?

Accepted Answer

Nichtlineare Optimierung

Answer

Lineare Programmierung

Answer

Konvexe Optimierung

Question 48

Welcher der folgenden Schritte ist in der Regel der erste Schritt bei der numerischen Lösung eines nichtlinearen Optimierungsproblems?

Accepted Answer

Initialisierung des Startpunkts

Answer

Optimierung der Zielfunktion

Answer

Lösen der Optimalitätsbedingungen

Answer

Berechnen des Gradienten

Question 49

Was ist das Ziel von Quasi-Newton-Verfahren?

Accepted Answer

Approximation der Hesse-Matrix, um die Konvergenz zu beschleunigen.

Answer

Linearisierung der Nebenbedingungen.

Answer

Analytische Berechnung des Gradienten der Zielfunktion.

Question 50

Welche Methode kann verwendet werden, um die Konvergenz von nichtlinearen Optimierungsverfahren zu beschleunigen?

Accepted Answer

Liniensuche

Answer

Simulated Annealing

Answer

Genetische Algorithmen

Answer

Zufällige Suche

Question 51

Welche Rolle spielen zulässige Richtungen in der nichtlinearen Optimierung?

Accepted Answer

Sie schränken die Suchrichtung ein, um die Machbarkeit zu gewährleisten.

Answer

Sie konvertieren ein nichtlineares Problem in ein lineares Problem.

Answer

Sie liefern eine untere Schranke für die Zielfunktion.

Question 52

Welche der folgenden Eigenschaften ist typisch für nichtlineare Optimierungsprobleme?

Accepted Answer

Mehrere lokale Minima

Answer

Lineare Nebenbedingungen

Answer

Konvexität

Answer

Analytische Lösungen

Question 53

Was ist der Hauptunterschied zwischen Gradienten- und Newton-Verfahren?

Accepted Answer

Newton-Verfahren verwenden zusätzlich die Hesse-Matrix.

Answer

Newton-Verfahren sind für große Probleme effizienter.

Answer

Gradientenverfahren sind immer konvergent.

Question 54

Welches Verfahren gehört zu den Gradientenverfahren?

Accepted Answer

Steilster-Abstieg-Verfahren

Answer

Simplexverfahren

Answer

Quasi-Newton-Verfahren

Answer

Newton-Verfahren

Question 55

Welche Eigenschaft ist charakteristisch für das Newton-Verfahren?

Accepted Answer

Quadratische Konvergenz

Answer

Globale Konvergenz

Answer

Lineare Konvergenz

Answer

Superlineare Konvergenz

Question 56

Welche Methode wird zur Ermittlung der Schrittweite für ein Gradientenverfahren angewandt?

Accepted Answer

Backtracking-Linienoptimierung

Answer

Goldener Schnitt

Answer

Sekantenverfahren

Answer

Interpolation

Question 57

Bei welcher Art von Optimierungsproblem treten Nebenbedingungen auf?

Accepted Answer

Beschränkte Optimierung

Answer

Konvexe Optimierung

Answer

Unbeschränkte Optimierung

Answer

Nichtlineare Optimierung

Question 58

Welche Aussage über nichtlineare Optimierung ist zutreffend?

Accepted Answer

Verfügt möglicherweise über mehrere lokale Minima

Answer

Ist immer konvex

Answer

Kann mit linearen Programmierverfahren gelöst werden

Question 59

Welches ist der Zweck von Regularisierung in der nichtlinearen Optimierung?

Accepted Answer

Verhinderung von Überanpassung

Answer

Reduzierung der Rechenzeit

Answer

Verbesserung der Genauigkeit

Answer

Beschleunigung der Konvergenz

Question 60

Welches der aufgeführten Verfahren ist ein Quasi-Newton-Verfahren?

Accepted Answer

BFGS-Methode

Answer

Steilste-Abstiegs-Methode

Answer

Zufälliger Suchalgorithmus

Answer

Newton-Raphson-Methode

Question 61

Für welche Art von Optimierungsproblemen eignet sich die Newton-Methode besonders gut?

Accepted Answer

Probleme mit quadratischer Zielfunktion und linearen Nebenbedingungen

Answer

Probleme mit vielen lokalen Minima

Answer

Probleme mit hochdimensionalen Suchräumen

Question 62

Welches der aufgeführten Verfahren ist ein globaler Optimierungsalgorithmus?

Accepted Answer

Simulated Annealing

Answer

Newton-Methode

Answer

BFGS-Methode

Answer

Gradientenverfahren

Question 63

Welches der folgenden Verfahren ist KEIN Gradientenabstiegsverfahren?

Accepted Answer

Simplex-Algorithmus

Answer

Gradientenabstiegsverfahren mit Schrittweitensteuerung

Answer

Gradientenabstiegsverfahren mit fester Schrittweite

Answer

Konjugierte Gradientenmethode

Question 64

Welche Aussage über Quasi-Newton-Verfahren ist korrekt?

Accepted Answer

Sie approximieren die Hesse-Matrix oder deren Inverse, um die Konvergenz zu beschleunigen.

Answer

Sie benötigen die explizite Berechnung der Hesse-Matrix in jeder Iteration.

Answer

Sie konvergieren immer langsamer als Gradientenabstiegsverfahren.