Algebra II Online-Quizzes: Teste dein Wissen!

Question 1

Welche Aussage über Eigenwerte einer Matrix ist zutreffend?

Accepted Answer

Eigenwerte sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung der Matrix.

Answer

Eigenwerte sind immer reell.

Answer

Eigenwerte sind immer positiv.

Answer

Die Anzahl der Eigenwerte einer Matrix ist gleich der Anzahl ihrer Spalten.

Question 2

Welche Gleichung ist eine quadratische Gleichung?

Accepted Answer

Die höchste Potenz der Unbekannten ist 2.

Answer

Die höchste Potenz der Unbekannten ist 1.

Answer

Sie enthält eine trigonometrische Funktion.

Answer

Sie enthält eine Exponentialfunktion.

Question 3

Die Matrix A = egin{pmatrix} 2 & 3  -1 & 2 end{pmatrix} hat die Eigenwerte lambda_1 = 1 + i und lambda_2 = 1 - i. Welcher der folgenden Vektoren ist ein Eigenvektor zu lambda_1?

Accepted Answer

egin{pmatrix} 1  i end{pmatrix}

Answer

egin{pmatrix} 1  -i end{pmatrix}

Answer

egin{pmatrix} 2  3 end{pmatrix}

Question 4

Sind die folgenden Vektoren linear abhängig?
(1, 2, 3), (2, 4, 6), (3, 6, 9)

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Question 5

Welche Aussage beschreibt die kanonische Form einer diagonalisierbaren Matrix?

Accepted Answer

Die kanonische Form einer diagonalisierbaren Matrix ist eine Diagonalmatrix mit ihren Eigenwerten auf der Diagonalen.

Answer

Eine diagonalisierbare Matrix hat eine Inverse.

Answer

Alle quadratischen Matrizen sind diagonalisierbar.

Answer

Die kanonische Form einer diagonalisierbaren Matrix ist immer symmetrisch.

Question 6

Was ist ein Homomorphismus in der Gruppentheorie? Erläutere das Konzept anhand eines Beispiels.

Accepted Answer

Ein Homomorphismus ist eine Abbildung zwischen zwei Gruppen (G, *) und (H, ∘), die die Gruppenoperationen bewahrt, d. h. für alle a, b ∈ G gilt: f(a * b) = f(a) ∘ f(b).

Answer

Ein Homomorphismus ist eine Untergruppe einer Gruppe.

Answer

Ein Homomorphismus ist ein Isomorphismus, wenn er bijektiv ist.

Question 7

Erläutern Sie die Grundlagen der Darstellungstheorie und ihre Bedeutung in verschiedenen Disziplinen wie Mathematik, Physik und Informatik.

Accepted Answer

Darstellungstheorie ist die mathematische Untersuchung der Repräsentation abstrakter Strukturen durch Matrizen oder Operatoren.

Answer

Darstellungstheorie wird ausschließlich in der Mathematik angewendet.

Answer

Darstellungstheorie ist nur für die Untersuchung von Gruppen relevant.

Question 8

Frage: Sei L ein Körper. Konstruieren Sie den endlichen Körper Fq der Ordnung q, wobei q eine Primzahlpotenz ist, und bestimmen Sie seine Multiplikationstabelle.

Accepted Answer

F_q = {0, 1, ..., q-1}

Answer

F_q = {0, 1, ..., q}

Answer

F_q = {a + bi | a, b ∈ L}

Question 9

Ist die Anzahl der Konjugationsklassen einer endlichen Gruppe mit n Elementen immer ein Teiler von n?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Question 10

Welche der folgenden Aussagen über Gruppen trifft zu?

Accepted Answer

Eine Gruppe ist eine Menge mit einer Operation, die assoziativ ist und ein inverses Element besitzt.

Answer

Eine Gruppe ist eine Menge mit einer Operation, die assoziativ und kommutativ ist.

Answer

Eine Gruppe ist eine Menge mit einer Operation, die assoziativ ist und ein neutrales Element besitzt.

Answer

Eine Gruppe ist eine Menge mit einer Operation, die kommutativ ist und ein inverses Element besitzt.

Question 11

Welche Aussage über Gruppen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Gruppe ist eine nichtleere Menge mit einer assoziativen und invertierbaren Verknüpfung.

Answer

Eine Gruppe ist eine Menge mit einer kommutativen Verknüpfung.

Answer

Eine Gruppe ist eine Menge mit einer distributiven Verknüpfung.

Question 12

Welche Aussage über Isomorphismen ist korrekt?

Accepted Answer

Zwei Strukturen sind isomorph, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen gibt, die die Operationen erhält.

Answer

Zwei Strukturen sind isomorph, wenn sie die gleiche Anzahl von Elementen haben.

Question 13

Welche Aussage über Ideale ist korrekt?

Accepted Answer

Ein Ideal ist eine Untergruppe eines Rings, die unter Multiplikation mit Elementen des Rings abgeschlossen ist.

Answer

Ein Ideal ist eine Teilmenge eines Rings, die unter Addition und Subtraktion abgeschlossen ist.

Question 14

Welcher Ring ist ein endlicher Körper?

Accepted Answer

Der Ring der ganzzahligen Modulo-Arithmetik Zp, wobei p eine Primzahl ist

Answer

Der Ring der ganzen Zahlen

Answer

Der Ring der rationalen Zahlen

Question 15

Welche Aussage über Gruppen trifft zu?

Accepted Answer

Eine Gruppe ist eine nicht-leere Menge mit einer assoziativen Verknüpfung, einem Identitätselement und inversen Elementen für jedes Element.

Answer

Eine Gruppe ist eine Menge mit einer kommutativen und assoziativen Verknüpfung.

Question 16

Welches Element ist das neutrale Element für die Addition in der Gruppe der ganzen Zahlen?

Accepted Answer

0

Answer

-1

Answer

2

Answer

1

Question 17

Welche Aussage über Ringe ist falsch?

Accepted Answer

Ein Ring hat zwei Verknüpfungen (+ und *), aber das Distributivgesetz gilt nicht.

Answer

In einem Ring ist die Addition kommutativ und die Multiplikation assoziativ.

Answer

Ein Ring ist eine nicht-leere Menge mit zwei Verknüpfungen (+ und *) und Identitätselementen für jede Verknüpfung.

Question 18

Welche Aussage über Körper trifft zu?

Accepted Answer

Ein Körper ist ein Ring, in dem jedes Element außer dem Nullelement ein multiplikatives Inverses besitzt.

Answer

Ein Körper ist ein Ring, in dem die Addition kommutativ ist.

Question 19

Welche der folgenden Aussagen über die Menge aller Matrizen mit n Zeilen und m Spalten ist korrekt?

Accepted Answer

Sie bildet einen Ring unter Matrixaddition und -multiplikation.

Answer

Sie bildet eine Gruppe unter Matrixaddition.

Answer

Sie bildet einen Körper unter Matrixaddition und -multiplikation.

Question 20

Welche der folgenden Aussagen über den Satz von Lagrange ist richtig?

Accepted Answer

Die Ordnung einer Untergruppe teilt die Ordnung der Gruppe.

Answer

Die Ordnung einer Gruppe ist gleich der Summe der Ordnungen ihrer Untergruppen.

Answer

Die Ordnung einer Untergruppe ist immer eine Primzahl.

Question 21

Welcher der aufgeführten Ringe ist ein Körper?

Accepted Answer

ℚ(√2)

Answer

M2(ℝ)

Answer

ℤ

Answer

ℤ[x]

Question 22

Welche Aussage zu Polynomringen ist korrekt?

Accepted Answer

Der Grad des Produkts zweier Polynome p(x) und q(x) entspricht der Summe der Grade von p(x) und q(x).

Answer

Jeder Polynomring ist ein Körper.

Question 23

Welche der folgenden Aussagen ist über einen Körper richtig?

Accepted Answer

Er ist ein kommutativer Ring mit Einselement und multiplikativem Inversen für jedes von Null verschiedene Element.

Answer

Er ist ein Ring ohne Einselement.

Answer

Er ist eine Gruppe mit Einselement.

Question 24

Welches der folgenden Beispiele ist ein zyklisches Untermodul eines Moduls M über einem Ring R?

Accepted Answer

Die Menge aller Vielfachen eines Elements a aus M

Answer

Die Menge aller Elemente von M, die größer als ein gegebenes Element sind

Answer

Die Menge aller Elemente von M, die gleich einem gegebenen Element sind

Answer

Die Menge aller Elemente von M, die kleiner als ein gegebenes Element sind

Question 25

Welche der folgenden Aussagen über eine endliche Gruppe richtig?

Accepted Answer

Die Ordnung einer endlichen Gruppe ist die Anzahl ihrer Elemente.

Answer

Jede endliche Gruppe ist zyklisch.

Answer

Jede endliche Gruppe ist abelsch.

Question 26

Welche der folgenden Aussagen über einen Isomorphismus zwischen zwei Gruppen richtig?

Accepted Answer

Er ist eine bijektive Abbildung, die die Verknüpfung der einen Gruppe auf die Verknüpfung der anderen Gruppe abbildet und umgekehrt.

Answer

Er ist eine surjektive Abbildung, die die Verknüpfung der einen Gruppe auf die Verknüpfung der anderen Gruppe abbildet.

Question 27

Eine Gruppe ist eine algebraische Struktur, die durch welche der folgenden Eigenschaften gekennzeichnet ist?

Accepted Answer

Assoziativität, neutrales Element, inverses Element für jedes Element

Answer

Distributivität, kommutative Addition, idempotente Elemente

Answer

Kommutativität, abgeschlossene Verknüpfung, Existenz eines Einselements

Question 28

Welche der folgenden Aussagen ist NICHT wahr für eine Gruppe (G, *)?

Accepted Answer

Die Operation * ist kommutativ.

Answer

Die Operation * ist assoziativ.

Answer

Es gibt ein neutrales Element in G.

Answer

Jedes Element in G hat ein inverses Element.

Question 29

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine abelsche Gruppe mit gewöhnlicher Addition?

Accepted Answer

{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}

Answer

{x ∈ ℝ | x ≥ 0}

Answer

{0, 1, 2, 3}

Question 30

Welche zusätzliche Eigenschaft muss ein Ring (R, +, *) erfüllen, um ein Körper zu sein?

Accepted Answer

Jedes Element in R  {0} hat ein multiplikatives Inverses.

Answer

Die Operation * ist distributiv über +.

Answer

Die Operation + ist kommutativ.

Question 31

Welches Element ist das Einselement des Körpers (ℤ/5ℤ, +, *)?

Accepted Answer

[1]

Answer

[2]

Answer

[4]

Answer

[0]

Question 32

In welchem Bereich der Informatik findet die Gruppentheorie Anwendung?

Accepted Answer

Kryptographie, insbesondere die Verwendung endlicher Körper in der RSA-Verschlüsselung.

Answer

Entwurf von Datenbanken und Datenschemata.

Answer

Entwicklung von Algorithmen für die Sortierung von Daten.

Question 33

Wie hoch ist der Grad des Polynoms x^3 + 2x^2 - 5x + 1?

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

2

Answer

4

Question 34

Welche der folgenden Definitionen einer Gruppe ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Gruppe ist eine nichtleere Menge mit einer assoziativen Verknüpfung, einem neutralen Element und zu jedem Element ein inverses Element.

Answer

Eine Gruppe ist eine Menge mit einer kommutativen Verknüpfung.

Question 35

Welche der folgenden Aussagen über Körper ist wahr?

Accepted Answer

Ein Körper ist ein Ring mit einem neutralen Element für die Multiplikation und jedes Element außer der Null hat ein multiplikatives Inverses.

Answer

Ein Körper hat keinen Nullteiler.

Question 36

Welche der folgenden Untergruppen der symmetrischen Gruppe S3 ist zyklisch?

Accepted Answer

Die Menge aller geraden Permutationen

Answer

Die Menge aller Permutationen, die das erste Element permutieren

Answer

Die Menge aller ungeraden Permutationen

Question 37

Welches der folgenden Polynome ist über dem Körper der rationalen Zahlen irreduzibel?

Accepted Answer

x^2 + 1

Answer

x^3 - 1

Answer

x^4 - 1

Answer

x^2 - 1

Question 38

Welche der folgenden Aussagen über die Galoisgruppe eines Polynoms ist falsch?

Accepted Answer

Die Galoisgruppe eines Polynoms ist immer eine abelsche Gruppe.

Answer

Die Ordnung der Galoisgruppe eines Polynoms ist gleich dem Grad des Polynoms.

Answer

Die Galoisgruppe eines Polynoms ist eine Untergruppe der Permutationsgruppe.

Question 39

Welche der folgenden Aussagen über endliche Körper ist korrekt?

Accepted Answer

Jeder endliche Körper ist ein Körper der Charakteristik p für eine Primzahl p.

Answer

Jeder endliche Körper hat eine Ordnung, die eine Potenz von 2 ist.

Answer

Jeder endliche Körper hat eine ungerade Primzahlcharakteristik.

Question 40

Welche der folgenden Matrizen ist diagonalisierbar über dem Körper der komplexen Zahlen?

Accepted Answer

Eine symmetrische Matrix

Answer

Eine quadratische Matrix

Answer

Eine hermitesche Matrix

Answer

Eine unsymmetrische Matrix

Question 41

Welches der folgenden Vektorräume ist isomorph zum Vektorraum R^3?

Accepted Answer

Der Vektorraum aller Polynome vom Grad kleiner oder gleich 2

Answer

Der Vektorraum aller rationalen Zahlen

Answer

Der Vektorraum aller komplexen Zahlen

Question 42

Welche der folgenden Aussagen über lineare Abbildungen ist falsch?

Accepted Answer

Eine lineare Abbildung ist immer bijektiv.

Answer

Eine lineare Abbildung bewahrt die linearen Abhängigkeiten.

Answer

Eine lineare Abbildung kann durch eine Matrix dargestellt werden.

Question 43

Welche der folgenden Aussagen über Gruppen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Gruppe ist eine nichtleere Menge mit einer Operation, die assoziativ, unitär und invers ist.

Answer

Eine Gruppe ist eine Menge, die kommutativ unter einer Operation ist.

Answer

Eine Gruppe ist eine Menge, die unter einer Operation abgeschlossen ist.

Question 44

Welches der folgenden Elemente ist das neutrale Element in der multiplikativen Gruppe der komplexen Zahlen?

Accepted Answer

1

Answer

-1

Answer

i

Answer

0

Question 45

Welche der folgenden Aussagen über Ringe ist falsch?

Accepted Answer

Ein Ring muss nicht kommutativ sein.

Answer

Ein Ring ist eine Menge mit zwei Operationen, Addition und Multiplikation.

Answer

Ein Ring muss eine multiplikative Einheit haben.

Answer

Ein Ring muss ein kommutatives Element für die Addition haben.

Question 46

Welches der folgenden ist ein Beispiel für einen Körper?

Accepted Answer

Die Menge der rationalen Zahlen

Answer

Die Menge der reellen Zahlen

Answer

Die Menge der komplexen Zahlen

Answer

Die Menge der ganzen Zahlen

Question 47

Welche der folgenden Aussagen über Homomorphismen ist korrekt?

Accepted Answer

Ein Homomorphismus ist eine Abbildung zwischen zwei algebraischen Strukturen, die die Struktur bewahrt.

Answer

Ein Homomorphismus ist eine surjektive Abbildung.

Question 48

Welcher der folgenden Homomorphismen ist ein Isomorphismus?

Accepted Answer

Die Abbildung f: (Z, +, 0) -> (2Z, +, 0), die jedes ganze Zahl auf ihre gerade Vielfachen abbildet.

Answer

Die Abbildung g: (R, +, 0) -> (R, *, 1), die jede reelle Zahl auf ihr Quadrat abbildet.

Answer

Die Abbildung h: (Z, +, 0) -> (Q, +, 0), die jede ganze Zahl auf ihren rationalen Bruchwert abbildet.

Question 49

Welcher der folgenden Sätze ist eine Gruppe?

Accepted Answer

Die Menge der Permutationen von drei Elementen unter Komposition.

Answer

Die Menge der reellen Zahlen unter Multiplikation.

Answer

Die Menge der geraden ganzen Zahlen unter Addition.

Question 50

Welcher der folgenden Ringe ist ein kommutativer Integritätsbereich?

Accepted Answer

Der Ring der Polynome mit rationalen Koeffizienten.

Answer

Der Ring der Matrizen der Ordnung 2x2 über den reellen Zahlen.

Answer

Der Ring der ganzen Zahlen modulo 6.

Question 51

Welcher der folgenden Körper ist algebraisch abgeschlossen?

Accepted Answer

Der Körper der komplexen Zahlen.

Answer

Der Körper der rationalen Zahlen.

Answer

Der Körper der endlichen Körper GF(p).

Answer

Der Körper der reellen Zahlen.

Question 52

Welche der folgenden Aussagen über endliche Körper ist korrekt?

Accepted Answer

Jeder endliche Körper hat eine Primzahl als Ordnung.

Answer

Jeder endliche Körper ist ein Integritätsbereich.

Answer

Jeder endliche Körper ist kommutativ.