Mathematik für Informatiker I: Online-Quizze und Übungen

Question 1

Die Determinante einer quadratischen Matrix A ist det(A) = 4. Wie groß ist die Determinante der transponierten Matrix A^T?

Accepted Answer

4

Answer

8

Answer

-4

Answer

16

Question 2

Welche Eigenschaft trifft auf lineare Abbildungen zu?

Accepted Answer

Sie erhalten Linearkombinationen.

Answer

Sie sind immer injektiv.

Answer

Sie sind immer surjektiv.

Answer

Sie sind immer invertierbar.

Question 3

Welche Aussage über die Determinante einer invertierbaren Matrix ist richtig?

Accepted Answer

Die Determinante ist ungleich Null.

Answer

Die Determinante ist gleich Null.

Answer

Die Determinante ist größer als Eins.

Answer

Die Determinante ist kleiner als Null.

Question 4

Welche Aussage über Matrizen ist falsch?

Accepted Answer

Nicht jede Matrix kann in eine Diagonalmatrix umgewandelt werden.

Answer

Eine Matrix ist ein zweidimensionales Zahlenfeld.

Answer

Die Determinante einer quadratischen Matrix ist eine Zahl, die von ihren Elementen abhängt.

Answer

Eine Matrix ist invertierbar, wenn ihre Determinante nicht null ist.

Question 5

Was ist eine Determinante einer quadratischen Matrix?

Accepted Answer

Ein Skalarwert, der von den Elementen der Matrix abhängt.

Answer

Ein positiver Wert.

Answer

Abhängig von der Anzahl der Zeilen und Spalten der Matrix.

Answer

Nur für rechteckige Matrizen definiert.

Question 6

Welche Aussage über die Determinante einer nxn-Matrix A ist richtig?

Accepted Answer

Wenn die Determinante von A ungleich 0 ist, ist A invertierbar.

Accepted Answer

Wenn die Determinante von A 0 ist, ist A nichtinvertierbar.

Answer

Die Determinante von A ist immer 0.

Question 7

Eine quadratische Matrix A mit Eigenwerten λ1, ..., λn besitzt die Determinante det(A). Wie lautet det(A)?

Accepted Answer

det(A) = λ1 * ... * λn

Answer

det(A) = λ1 + ... + λn

Answer

det(A) = Produkt der Eigenvektoren

Answer

det(A) ist immer positiv, wenn alle Eigenwerte ungleich 0 sind

Question 8

Welche Aussage zur Determinante einer reellen 3x3-Matrix A ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist gleich dem Produkt aus Kofaktoren- und Adjungiertermatrix.

Answer

Sie ist gleich dem Produkt der Eigenwerte.

Answer

Sie ist gleich der Summe der Elemente in der ersten Zeile.

Question 9

Wie lässt sich ein Vektor im dreidimensionalen Raum geometrisch am besten beschreiben?

Accepted Answer

Ein Vektor ist ein Pfeil mit Länge und Richtung, der an einem beliebigen Punkt im Raum beginnt.

Answer

Ein Vektor ist ein Punkt im dreidimensionalen Raum, der durch seine drei Koordinaten bestimmt wird.

Answer

Ein Vektor ist eine Linie im dreidimensionalen Raum, die durch zwei Punkte festgelegt wird.

Answer

Ein Vektor kann nur parallel zu einer der Koordinatenachsen liegen.

Question 10

Wie lautet die korrekte Aussage zur Beziehung zwischen der Determinante einer Matrix A und ihren Eigenwerten?

Accepted Answer

Die Determinante von A ist gleich dem Produkt ihrer Eigenwerte.

Answer

Die Determinante von A ist gleich der Summe ihrer Eigenwerte.

Question 11

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die grundlegenden Eigenschaften von Matrizen?

Accepted Answer

Matrizen sind rechteckige Anordnungen von Zahlen, die Operationen wie Addition und Multiplikation ermöglichen.

Answer

Matrizen sind geometrische Darstellungen von Objekten im dreidimensionalen Raum.

Answer

Matrizen sind Datenstrukturen, die in der Informatik zur Speicherung und Verarbeitung großer Datenmengen verwendet werden.

Question 12

Unter welchen Bedingungen kann das Produkt zweier Matrizen A und B berechnet werden?

Accepted Answer

Die Anzahl der Spalten von A entspricht der Anzahl der Zeilen von B.

Answer

Die Anzahl der Zeilen von A entspricht der Anzahl der Spalten von B.

Answer

A und B haben die gleiche Anzahl an Zeilen.

Answer

A und B haben die gleiche Anzahl an Spalten.

Question 13

Die Determinante einer regulären Matrix A ist 5. Wie lautet die Determinante der inversen Matrix A^{-1}?

Accepted Answer

1/5

Answer

-5

Answer

5

Question 14

Welche Informationen sind in der Normalform einer Geradengleichung enthalten?

Accepted Answer

Normaleneinheitsvektor und Abstand zum Ursprung

Answer

Normaleneinheitsvektor und Abstand zu einem beliebigen Punkt

Answer

Steigungsvektor und Abstand zum Ursprung

Answer

Steigungsvektor und Abstand zu einem beliebigen Punkt

Question 15

Welche Aussage beschreibt den Satz von Laplace zutreffend?

Accepted Answer

Ermöglicht die Berechnung der Determinante einer nxn-Matrix als Summe der Produkte aus Zeileneinträgen und ihren Kofaktoren.

Answer

Besagt, dass die Determinante einer nxn-Matrix dem Produkt ihrer Eigenwerte entspricht.

Answer

Gibt an, dass die Determinante einer nxn-Matrix die Summe ihrer Diagonalelemente ist.

Answer

Legt fest, dass die Determinante einer nxn-Matrix dem Produkt ihrer Nebendiagonalen entspricht.

Question 16

Welche Eigenschaft charakterisiert eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

Sie bildet die Summe zweier Vektoren auf die Summe ihrer Bilder ab.

Answer

Sie ist eine Abbildung zwischen beliebigen Mengen.

Answer

Sie bildet das Quadrat eines Vektors auf das Quadrat seines Bildes ab.

Question 17

Welche Eigenschaft trifft nicht auf eine lineare Abbildung (f: V → W) zu?

Accepted Answer

Sie ist injektiv.

Answer

Sie erhält die Summe zweier Vektoren.

Answer

Sie erhält das Produkt eines Vektors mit einem Skalar.

Question 18

Betrachten wir ein homogenes lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten x und y und zwei Gleichungen:
x + 2y = 0
-3x - 6y = 0
Welche Aussage beschreibt die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems?

Accepted Answer

Die Lösungsmenge ist ein Untervektorraum von R^2 und enthält unendlich viele Elemente.

Answer

Die Lösungsmenge ist leer.

Answer

Die Lösungsmenge besteht aus genau einem Element.

Question 19

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion (f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1).

Accepted Answer

(f'(x) = 3x^2 + 4x - 5)

Answer

(f'(x) = 3x + 4)

Answer

(f'(x) = x^2 + 2x - 5)

Answer

(f'(x) = 3x^2 - 4x + 5)

Question 20

Welches der folgenden Aussagen trifft auf das lineare Gleichungssystem 2x + 3y = 5 und 3x + 4y = 7 zu?

Accepted Answer

Das Gleichungssystem hat eine eindeutige Lösung.

Answer

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.

Answer

Das Gleichungssystem hat keine Lösung.

Answer

Das Gleichungssystem ist widersprüchlich.

Question 21

Wie können Sie beweisen, dass die Funktion f(x) = x^2 + 1 für alle reellen Zahlen x streng monoton wachsend ist?

Accepted Answer

Berechnen Sie die erste Ableitung von f(x) und zeigen Sie, dass sie für alle x positiv ist.

Answer

Berechnen Sie die zweite Ableitung von f(x) und zeigen Sie, dass sie für alle x positiv ist.

Answer

Zeigen Sie, dass f(x) für alle x eine positive zweite Ableitung hat.

Answer

Zeigen Sie, dass f(x) für alle x eine negative erste Ableitung hat.

Question 22

Welche Aufgabe hat die deskriptive Statistik in der Datenanalyse?

Accepted Answer

Muster und Trends in Daten erkennen

Answer

Zukünftige Ereignisse vorhersagen

Answer

Hypothesen testen

Question 23

Was ist die beste Beschreibung des Gauß-Jordan-Algorithmus?

Accepted Answer

Ein Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme durch Zeilenumformungen.

Answer

Ein Verfahren zur Berechnung der Determinante einer Matrix.

Answer

Ein Verfahren zur Invertierung einer Matrix.

Answer

Ein Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme.

Question 24

Was ist eine Turing-Maschine und warum ist sie für die Informatik wichtig?

Accepted Answer

Ein mathematisches Modell eines Computers, das alle berechenbaren Funktionen berechnen kann.

Answer

Ein physischer Computer für praktische Anwendungen.

Answer

Ein Algorithmus zur Lösung bestimmter Aufgaben.

Answer

Ein Compiler zur Übersetzung von Hochsprachen in Maschinencode.

Question 25

Erläutern Sie die Bedeutung von Konvergenztests für unendliche Reihen in der Informatik und nennen Sie ein konkretes Beispiel für ihren Einsatz.

Accepted Answer

Ermitteln, ob eine Reihe konvergiert oder divergiert, um die Laufzeit von Algorithmen zu bestimmen.

Answer

Ausschließlich zum Berechnen von Grenzwerten und Näherungswerten von Funktionen verwendet.

Answer

Nur anwendbar auf geometrische Reihen mit konstantem Verhältnis.

Question 26

Erläutere die Trapezregel zur numerischen Integration und diskutiere ihre Vor- und Nachteile im Vergleich zu anderen Integrationsverfahren.

Accepted Answer

Die Trapezregel teilt das Integrationsintervall in gleich breite Teilintervalle und nähert die Kurve durch Trapeze an.

Answer

Die Trapezregel ist immer genauer als die Simpson-Regel.

Answer

Die Trapezregel ist nur für Integrale mit unendlichen Grenzen anwendbar.

Answer

Die Trapezregel ist eine analytische Integrationsmethode.

Question 27

Welche Rolle spielen formale Sprachen in der Informatik? Erläutere ihre Bedeutung in Bereichen wie Compilerbau, Programmanalyse und maschinellem Lernen.

Accepted Answer

Formelle Sprachen sind entscheidend für den Entwurf von Compilern, die Programmanalyse und das maschinelle Lernen.

Answer

Formelle Sprachen sind nur für die theoretische Forschung relevant.

Answer

Formelle Sprachen werden hauptsächlich für die Entwicklung von Webanwendungen eingesetzt.

Answer

Formelle Sprachen sind unerlässlich für den Aufbau von Datenbanken.

Question 28

Welche der folgenden Aussagen beschreibt zutreffend die Beziehung zwischen Informatik und Mathematik?

Accepted Answer

Mathematik ist eine grundlegende Voraussetzung für das Verständnis der Informatik.

Answer

Alle Informatiker sind Mathematiker.

Answer

Informatik ist ein Teilgebiet der Mathematik.

Answer

Mathematik hat keine Anwendung in der Informatik.

Question 29

Welche der folgenden Datenstrukturen ist eine lineare Datenstruktur?

Accepted Answer

Array

Answer

Baum

Answer

Graph

Answer

Hashtabelle

Question 30

Welcher der folgenden Algorithmen ist ein Sortieralgorithmus?

Accepted Answer

Quicksort

Answer

Breadth-First-Search

Answer

Dijkstra

Answer

Bellman-Ford

Question 31

Welche der folgenden Programmiersprachen ist eine objektorientierte Programmiersprache?

Accepted Answer

Java

Answer

C

Answer

Python

Answer

Matlab

Question 32

Welches der folgenden Betriebssysteme ist ein Open-Source-Betriebssystem?

Accepted Answer

Linux

Answer

Windows

Answer

macOS

Answer

iOS

Question 33

Was ist die Laplace-Transformation und wie wird sie zur Lösung linearer Differentialgleichungen eingesetzt?

Accepted Answer

Sie wandelt eine Funktion f(t) in eine Funktion F(s) um, wobei s eine komplexe Variable ist.

Answer

Sie ist eine Ableitungstransformation, die f(t) in f'(t) umwandelt.

Answer

Sie ist identisch mit der Fourier-Transformation.

Answer

Sie kann nicht zur Lösung linearer Differentialgleichungen verwendet werden.

Question 34

Welche der folgenden Aussagen zu Mengen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine unendliche Menge hat immer eine unendliche Teilmenge.

Answer

Eine endliche Menge hat immer eine gerade Anzahl von Elementen.

Answer

Die Summe zweier Primzahlen ist immer eine Primzahl.

Answer

Die Fakultät einer positiven ganzen Zahl ist immer kleiner als die Zahl selbst.

Question 35

Welcher der folgenden Sortieralgorithmen ist stabil?

Accepted Answer

Mergesort

Answer

Quicksort

Answer

Heapsort

Answer

Bubblesort

Question 36

Welche der folgenden Aussagen über die Menge aller natürlichen Zahlen ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist eine abzählbar unendliche Menge.

Answer

Sie ist eine Menge negativer Zahlen.

Answer

Sie ist eine endliche Menge.

Answer

Sie ist eine leere Menge.

Question 37

Welche Schlussfolgerung ist aus dem gegebenen Syllogismus gültig abzuleiten?:

Wenn es regnet, wird die Straße nass.
Es regnet nicht.
Daher:

Accepted Answer

Die Straße ist nicht nass.

Answer

Die Sonne scheint.

Answer

Die Straße ist nass.

Answer

Es kann nicht bestimmt werden.

Question 38

Welche Funktion ist streng monoton wachsend?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = -x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Question 39

Welche der folgenden Python-Funktionen ist eine rekursive Funktion?

Accepted Answer

def fakultaet(n):
  if n == 0:
    return 1
  else:
    return n * fakultaet(n-1)

Answer

def summe(n):
  sum = 0
  for i in range(n+1):
    sum += i
  return sum

Answer

def quadrieren(x):
  return x * x

Question 40

Welche Komplexitätsklasse beschreibt die Laufzeiteffizienz des Bubblesort-Algorithmus?

Accepted Answer

Im besten Fall O(n), im schlimmsten Fall O(n^2)

Answer

Konstant O(1)

Answer

Logarithmisch O(log n)

Answer

Im besten Fall O(n^2), im schlimmsten Fall O(n)

Question 41

Welche Datenstruktur entspricht der folgenden Beschreibung:
Eine lineare Sammlung von Elementen, wobei jedes Element auf das vorherige und das folgende Element verweist?

Accepted Answer

Verkettete Liste

Answer

Tabelle

Answer

Baum

Question 42

Welche der folgenden Programmiersprachen unterstützt das objektorientierte Programmierparadigma?

Accepted Answer

Java

Answer

C

Answer

HTML

Answer

SQL

Question 43

Welches der folgenden Betriebssysteme ist quelloffen und frei zugänglich?

Accepted Answer

Linux

Answer

iOS

Answer

macOS

Answer

Windows

Question 44

Welche der folgenden Aussagen über die Menge der natürlichen Zahlen ℕ ist wahr?

Accepted Answer

Sie ist abzählbar unendlich, das heißt sie lässt sich in eine eineindeutige Zuordnung zu den ganzen Zahlen bringen.

Answer

Sie ist leer, das heißt sie enthält keine Elemente.

Answer

Sie ist endlich, das heißt sie enthält nur eine begrenzte Anzahl von Elementen.

Answer

Sie ist überabzählbar, das heißt sie ist größer als die Menge der ganzen Zahlen.

Question 45

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Vektoren haben sowohl eine Größe als auch eine Richtung.

Answer

Vektoren haben nur eine Größe.

Answer

Vektoren haben nur eine Richtung.

Answer

Vektoren haben weder eine Größe noch eine Richtung.

Question 46

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[1 0; 0 1]

Answer

[1 1; 1 1]

Answer

[0 1; 1 0]

Answer

[0 0; 0 0]

Question 47

Welches der folgenden Konzepte ist für die Informatik von zentraler Bedeutung?

Accepted Answer

Abstraktion

Answer

Poetik

Answer

Quantenmechanik

Answer

Photosynthese

Question 48

Welche der folgenden Aussagen ist eine logisch gültige Schlussfolgerung aus den Prämissen "Alle Informatiker sind logisch denkend" und "Paul ist ein Informatiker"?

Accepted Answer

Paul ist logisch denkend

Answer

Paul ist ein Mensch

Answer

Einige Informatiker sind logisch denkend

Answer

Alle Menschen sind logisch denkend

Question 49

Welche der folgenden Mengen ist eine Teilmenge der Menge {1, 3, 5, 7}?

Accepted Answer

{1, 3}

Answer

{1, 3, 5, 7}

Answer

{2, 4, 6}

Answer

{7, 9, 11}

Question 50

Welche der folgenden Funktionen ist eine lineare Funktion?

Accepted Answer

f(x) = 2x - 1

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2 + 1

Question 51

Welche der folgenden Aussagen über unendliche Reihen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine alternierende Reihe mit abnehmendem Betrag konvergiert

Answer

Eine bedingte konvergente Reihe ist immer absolut konvergent

Answer

Eine divergente Reihe kann durch Multiplikation mit einer Konstanten konvergent gemacht werden

Question 52

Welcher der folgenden Algorithmen ist am effizientesten für die Suche nach einem Element in einem sortierten Array?

Accepted Answer

Binäre Suche

Answer

Interpolationssuche

Answer

Lineare Suche

Answer

Hash-Tabelle

Question 53

Welche der folgenden Programmiersprachen ist eine stark typisierte Sprache?

Accepted Answer

Java

Answer

JavaScript

Answer

PHP

Answer

Python

Question 54

Welcher der folgenden Algorithmen hat die beste asymptotische Worst-Case Laufzeit?

Accepted Answer

O(n log n)

Answer

O(n^2)

Answer

O(2^n)

Answer

O(n!)

Question 55

Welche der folgenden Datenstrukturen wird zur Implementierung einer Queue verwendet?

Accepted Answer

Queue

Answer

Stack

Answer

Binary Search Tree

Answer

Hash Table

Question 56

Welcher der folgenden Begriffe beschreibt die Fähigkeit eines Systems, mit Fehlern umzugehen?

Accepted Answer

Robustheit

Answer

Skalierbarkeit

Answer

Effizienz

Answer

Wartbarkeit

Question 57

Welche Aussage beschreibt korrekt die leere Menge?

Accepted Answer

Sie enthält keine Elemente.

Answer

Sie besteht aus unendlich vielen Elementen.

Answer

Sie beinhaltet genau ein Element.

Answer

Sie ist identisch mit der Menge aller natürlichen Zahlen.

Question 58

Welche Definition ist rekursiv?

Accepted Answer

f(0) = 1, f(n+1) = n + f(n)

Answer

f(x) = Integral von 0 bis x von f(t) dt

Answer

f(x,y) = x + y

Answer

f(x) = x^2 - 1

Question 59

Welcher Begriff beschreibt die Fähigkeit eines Systems, mit unerwarteten Änderungen umzugehen?

Accepted Answer

Robustheit

Answer

Effizienz

Answer

Skalierbarkeit

Answer

Portabilität

Question 60

Welche der folgenden Funktionen ist eine Bijektion von den reellen Zahlen in die reellen Zahlen?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2

Question 61

Welche Datenstruktur wird verwendet, um eine Menge eindeutiger Elemente effizient zu speichern und zu verwalten?

Accepted Answer

Menge

Answer

Baum

Answer

Liste

Answer

Array

Question 62

Welcher Algorithmus weist für die Suche eines Elements in einer sortierten Liste die beste Zeitkomplexität auf?

Accepted Answer

Binäre Suche

Answer

Lineare Suche

Answer

Interpolationssuche

Answer

Hashing

Question 63

Welches der folgenden Probleme ist NP-vollständig?

Accepted Answer

SAT

Answer

Sortierung

Answer

Primzahltest

Question 64

Welches der folgenden Betriebssysteme basiert auf einer Mikrokernel-Architektur?

Accepted Answer

L4

Answer

Linux

Answer

macOS

Answer

Windows