Grenzwerte und Stetigkeit: Interaktive Lernquizze für Elektrotechnik-Studierende

Question 1

Welche Aussage beschreibt präzise den Begriff des Grenzwerts?

Accepted Answer

Der Wert, dem sich die Funktion für beliebige x-Werte immer weiter annähert

Answer

Der Wert, den die Funktion exakt an einer gegebenen Stelle annimmt

Answer

Der Wert, den die Funktion für x gegen unendlich erreicht

Answer

Der Wert, bei dem die Funktion undefiniert wird

Question 2

Welche Aussage ist eine notwendige Bedingung für die Stetigkeit einer Funktion an einem Punkt?

Accepted Answer

Der Grenzwert der Funktion existiert an diesem Punkt

Answer

Die Funktion ist an diesem Punkt differenzierbar

Answer

Die Funktion ist an diesem Punkt integrierbar

Answer

Die Funktion ist an diesem Punkt monoton

Question 3

Welche Aussage ist eine hinreichende Bedingung für die Stetigkeit einer Funktion an einem Punkt?

Accepted Answer

Die Funktion ist an diesem Punkt differenzierbar

Answer

Die Funktion ist an diesem Punkt integrierbar

Answer

Die Funktion ist an diesem Punkt monoton

Answer

Die Funktion ist an diesem Punkt beschränkt

Question 4

Welche Aussage beschreibt die Stetigkeit einer Funktion im Unendlichen?

Accepted Answer

Der Grenzwert der Funktion existiert an unendlich

Answer

Die Funktion ist an unendlich differenzierbar

Answer

Die Funktion ist an unendlich integrierbar

Answer

Die Funktion ist an unendlich monoton

Question 5

Wie hilft eine Cauchy-Folge dabei, den Grenzwert einer Folge zu bestimmen?

Accepted Answer

Eine Cauchy-Folge konvergiert gegen einen Grenzwert, wenn die Abstände zwischen den Folgengliedern beliebig klein werden.

Answer

Der Grenzwert einer Cauchy-Folge ist gleich dem Mittelwert der Cauchy-Folge.

Answer

Der Grenzwert einer Cauchy-Folge ist immer das erste Glied der Cauchy-Folge.

Answer

Die Summe einer Cauchy-Folge ist immer eine Cauchy-Folge.

Question 6

Welches Kriterium ist eine notwendige Bedingung für die Stetigkeit einer Funktion?

Accepted Answer

Der Grenzwert der Funktion an der Stelle muss existieren

Answer

Die Funktion muss an der Stelle definiert sein

Answer

Die Ableitung der Funktion an der Stelle muss existieren

Answer

Die Funktion muss in einer Umgebung der Stelle differenzierbar sein

Question 7

Welche Funktion hat an der Stelle x = 1 eine Sprungdiskontinuität?

Accepted Answer

f(x) = |x - 1|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = 1 / x

Question 8

Berechne den Grenzwert: lim (x -> ∞) ((1 + 1/x)^x)

Accepted Answer

e

Answer

0

Answer

1

Answer

Unendlich

Question 9

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Definition eines Grenzwertes korrekt?

Accepted Answer

Ein Grenzwert beschreibt das Verhalten einer Funktion, wenn ihr Argument gegen einen bestimmten Wert strebt.

Answer

Ein Grenzwert existiert immer, wenn die Funktion an der entsprechenden Stelle definiert ist.

Answer

Ein Grenzwert kann nur eine endliche Zahl sein.

Answer

Alle drei Aussagen sind korrekt.

Question 10

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Stetigkeit der Funktion f(x) = 1 / (x - a) korrekt?

Accepted Answer

f(x) ist für alle x ungleich a stetig.

Answer

f(x) ist für alle x stetig.

Answer

f(x) ist nur für x = a stetig.

Answer

Keine der Aussagen ist korrekt.

Question 11

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 12

Welche der folgenden Aussagen über die Stetigkeit einer stückweise definierten Funktion ist korrekt?

Accepted Answer

Die Funktion muss links und rechts von allen Stützstellen stetig sein.

Answer

Die Funktion muss an allen Stützstellen stetig sein.

Answer

Die Funktion muss nur an den inneren Stützstellen stetig sein.

Answer

Die Stetigkeit ist nicht von den Stützstellen abhängig.

Question 13

Welche der folgenden Aussagen über Grenzwerte ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Ein Grenzwert einer Funktion kann an einer Stelle existieren, auch wenn die Funktion dort definiert ist.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion ist der Wert, dem sich die Funktion nähert, wenn das Argument einer bestimmten Zahl zustrebt.

Question 14

Berechnen Sie den Grenzwert von lim (x -> 0) (sin(x) / x).

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

Unendlich

Answer

Nicht existent

Question 15

Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) für x gegen c. Welcher der folgenden Ausdrücke beschreibt diesen Grenzwert?

Accepted Answer

lim[x->c] f(x)

Answer

f(c)

Answer

∫[a->b] f(x) dx

Answer

f'(c)

Question 16

Berechnen Sie den Grenzwert von (x^2 - 1) / (x - 1) für x gegen 1.

Accepted Answer

2

Answer

unendlich

Answer

0

Answer

1

Question 17

Welche der folgenden Funktionen ist nicht stetig an der Stelle x = 2?

Accepted Answer

f(x) = x^2 - 4 / x - 2

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^3 - 8

Question 18

Welche der folgenden Aussagen ist falsch über die Grenzwertdefinition?

Accepted Answer

Der Grenzwert muss immer existieren.

Answer

Der Grenzwert kann durch Einsetzen des Grenzwertes in die Funktion berechnet werden.

Answer

Der Grenzwert kann endlich oder unendlich sein.

Answer

Der Grenzwert muss eindeutig sein.

Question 19

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt die Definition des Grenzwertes einer Funktion f(x) an der Stelle x = a?

Accepted Answer

Für jedes ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass für alle x mit 0 < |x - a| < δ gilt |f(x) - L| < ε

Answer

Für jedes x existiert ein ε > 0, sodass für alle δ > 0 gilt |f(x) - L| < ε

Answer

Es existiert ein δ > 0, sodass für alle ε > 0 gilt |f(x) - L| < δ

Question 20

Welche der folgenden Aussagen ist korrekt für Grenzwerte?

Accepted Answer

Existiert der Grenzwert von f(x) an der Stelle x = a und der Grenzwert von g(x) an der Stelle x = a, so existiert auch der Grenzwert von f(x) + g(x) an der Stelle x = a.

Answer

Sind die Grenzwerte von f(x) und g(x) an der Stelle x = a beide gleich L, so existiert auch der Grenzwert von f(x) / g(x) an der Stelle x = a und ist gleich L.

Question 21

Welche der folgenden Aussagen trifft auf eine stetige Funktion f(x) zu?

Accepted Answer

Der Graph von f(x) hat keine Sprünge oder Lücken.

Answer

Der Graph von f(x) hat keine Wendepunkte.

Answer

Die erste Ableitung von f(x) existiert an jeder Stelle.

Question 22

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 1 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x - 1|

Answer

f(x) = ln(x)

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 23

Welche der folgenden Funktionen hat eine vertikale Asymptote bei x = 2?

Accepted Answer

f(x) = (x - 2)^-1

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x^2

Question 24

Welche Aussage trifft auf eine Funktion f(x) zu, die an der Stelle x = a eine horizontale Asymptote y = L hat?

Accepted Answer

lim_(x->∞) f(x) = L

Answer

f''(a) = 0

Answer

f(a) = L

Answer

f'(a) = L

Question 25

Welche der folgenden Funktionen hat einen Wendepunkt an der Stelle x = 0?

Accepted Answer

f(x) = x^3 - 2x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 26

An welcher Stelle ist die Funktion f(x) = |x| stetig?

Accepted Answer

x = 0

Answer

-1

Answer

2

Answer

1

Question 27

Welche der folgenden Aussagen ist eine Konsequenz aus dem Satz von L'Hospital?

Accepted Answer

Wenn lim_(x->a) f(x) = lim_(x->a) g(x) = 0 und lim_(x->a) f'(x) / g'(x) existiert, dann ist lim_(x->a) (f(x) / g(x)) = lim_(x->a) (f'(x) / g'(x)).

Answer

Wenn lim_(x->a) f(x) = lim_(x->a) g(x) = ∞, dann ist lim_(x->a) (f(x) / g(x)) = 0.

Question 28

Berechne den Grenzwert von (1 + 1 / n)^(n²) für n gegen unendlich.

Accepted Answer

e

Answer

unendlich

Answer

1

Answer

0

Question 29

An welcher Stelle ist die Funktion f(x) = |x - 1| nicht differenzierbar?

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = -1

Answer

Die Funktion ist überall differenzierbar.

Answer

x = 0

Question 30

Welche Bedingung ist für die Stetigkeit einer Funktion f(x) an der Stelle x = a notwendig?

Accepted Answer

lim_(x->a) f(x) = f(a)

Answer

f'(a) ≠ 0

Answer

f(a) = 0

Question 31

Welche der folgenden Aussagen über den Grenzwert einer Funktion ist FALSCH?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion existiert immer, unabhängig von der Stelle, an der er berechnet wird.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann von beiden Seiten der Stelle des Grenzwerts unterschiedlich sein.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann einen endlichen Wert oder unendlich annehmen.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann existieren, obwohl die Funktion an der Stelle des Grenzwerts nicht definiert ist.

Question 32

Bestimmen Sie den Grenzwert der Funktion f(x) = (x² - 4) / (x - 2) für x → 2.

Accepted Answer

4

Answer

0

Answer

Die Funktion ist nicht definiert an der Stelle x = 2.

Answer

2

Question 33

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 stetig?

Accepted Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = |x| / x

Answer

f(x) = x² / (x - 1)

Question 34

Welche der folgenden Bedingungen MUSS erfüllt sein, damit eine Funktion f(x) an der Stelle x = a stetig ist?

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) für x → a muss existieren und gleich f(a) sein.

Answer

Die Funktion f(x) muss an der Stelle x = a definiert sein.

Answer

Die Funktion f(x) muss an der Stelle x = a einen endlichen Wert annehmen.

Answer

Die Funktion f(x) muss an der Stelle x = a differenzierbar sein.

Question 35

Betrachten Sie die Funktion f(x) = { x² falls x < 1, 2x falls x ≥ 1 }. Ist diese Funktion an der Stelle x = 1 stetig?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein, weil die Funktion an der Stelle x = 1 nicht definiert ist.

Answer

Nein, weil der Grenzwert von f(x) für x → 1 nicht gleich f(1) ist.

Answer

Nein, weil der Grenzwert von f(x) für x → 1 nicht existiert.

Question 36

Welche der folgenden Aussagen über den Grenzwert einer Funktion für x → ∞ ist FALSCH?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion für x → ∞ kann immer nur 0 oder ∞ sein.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion für x → ∞ kann einen endlichen Wert annehmen.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion für x → ∞ kann nicht existieren.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion für x → ∞ kann verwendet werden, um das Verhalten der Funktion für große Werte von x zu untersuchen.

Question 37

Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge a_n = (n² + 1) / (n² - 1) für n → ∞.

Accepted Answer

1

Answer

-1

Answer

∞

Answer

0

Question 38

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x²

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = cos(x)

Answer

f(x) = sin(x)

Question 39

Welche der folgenden Aussagen über die Stetigkeit einer Funktion ist RICHTIG?

Accepted Answer

Eine Funktion kann an einer Stelle stetig sein, ohne an dieser Stelle differenzierbar zu sein.

Answer

Eine Funktion kann an einer Stelle differenzierbar sein, ohne an dieser Stelle stetig zu sein.

Answer

Eine Funktion kann an einer Stelle nicht stetig sein, ohne an dieser Stelle differenzierbar zu sein.

Answer

Wenn eine Funktion an einer Stelle stetig ist, muss sie auch an dieser Stelle differenzierbar sein.

Question 40

Welche der folgenden Aussagen beschreibt den Mittelwertsatz der Differentialrechnung?

Accepted Answer

Wenn eine Funktion f(x) auf einem Intervall [a, b] stetig und auf dem offenen Intervall (a, b) differenzierbar ist, dann gibt es mindestens einen Punkt c ∈ (a, b), an dem die Steigung der Tangente an den Graphen von f(x) gleich der Steigung der Sekante durch die Punkte (a, f(a)) und (b, f(b)) ist.

Answer

Wenn eine Funktion f(x) auf einem Intervall [a, b] stetig und auf dem offenen Intervall (a, b) differenzierbar ist, dann ist die Ableitung von f(x) gleich dem Grenzwert der Sekanten durch die Punkte (a, f(a)) und (b, f(b)) für b → a.

Answer

Wenn eine Funktion f(x) auf einem Intervall [a, b] stetig und auf dem offenen Intervall (a, b) differenzierbar ist, dann gibt es genau einen Punkt c ∈ (a, b), an dem die Steigung der Tangente an den Graphen von f(x) gleich der Steigung der Sekante durch die Punkte (a, f(a)) und (b, f(b)) ist.

Question 41

Sei ( f(x)=x^2-4x+3 ). Bestimme den Grenzwert von ( f(x) ) für ( x 	o 2 ).

Accepted Answer

-1

Answer

2

Answer

1

Answer

-2

Question 42

Welche der folgenden Aussagen über die Funktion ( f(x) = rac{x-1}{x-2} ) ist korrekt?

Accepted Answer

Die Funktion ist stetig für alle x ≠ 2.

Answer

Die Funktion ist stetig für alle x.

Answer

Die Funktion ist unstetig an der Stelle x = 2.

Answer

Die Funktion ist unstetig an der Stelle x = 1.

Question 43

Sei ( f(x) = |x-2| ). An welcher Stelle ist die Funktion nicht differenzierbar?

Accepted Answer

x = 2

Answer

x = 0

Answer

x = 1

Answer

Die Funktion ist überall differenzierbar.

Question 44

Sei ( f(x) = rac{1}{x} ). Bestimme den Grenzwert von ( f(x) ) für ( x 	o 0 ).

Accepted Answer

±∞

Answer

Die Funktion hat keinen Grenzwert.

Answer

0

Answer

1

Question 45

Welche der folgenden Funktionen ist stetig auf dem Intervall [0, 1]?

Accepted Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(1/x)

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = |x|

Question 46

Sei ( f(x) = sqrt{x} ). Bestimme den Grenzwert von ( f(x) ) für ( x 	o 4 ).

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

0

Answer

4

Question 47

Welche der folgenden Aussagen über die Funktion ( f(x) = e^x ) ist korrekt?

Accepted Answer

Die Funktion ist stetig und differenzierbar für alle x.

Answer

Die Funktion ist nur differenzierbar für x > 0.

Answer

Die Funktion ist nur stetig für x ≠ 0.

Question 48

Sei ( f(x) = rac{x^2-1}{x-1} ). An welcher Stelle ist die Funktion unstetig?

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = 2

Answer

Die Funktion ist überall stetig.

Answer

x = 0

Question 49

Welche der folgenden Funktionen hat einen hebbaren Sprung an der Stelle x = 0?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 50

Sei ( f(x) = ln(x) ). Bestimme den Grenzwert von ( f(x) ) für ( x 	o 0^+ ).

Accepted Answer

-∞

Answer

∞

Answer

0

Answer

1