Reihenentwicklungen verstehen: Online-Quiz für Betriebswirtschaftslehre-Studierende

Question 1

Welche der folgenden Reihen ist eine teleskopische Reihe?

Accepted Answer

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 - 1 + 1 - 1 + ...

Answer

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

Question 2

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

∑ (-1)^(n+1) / n²

Answer

∑ 1/n

Answer

∑ n/(n+1)

Answer

∑ e^n/n

Question 3

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

∑ 1/(2^n)

Answer

∑ n/(n+1)

Answer

∑ n^2

Answer

∑ cos(n)

Question 4

Welche der folgenden Reihen ist eine p-Reihe?

Accepted Answer

∑ 1/n

Answer

∑ n/(n+1)

Answer

∑ 1/(n²)

Answer

∑ cos(n)

Question 5

Welche Aussage zur geometrischen Reihe ist korrekt?

Accepted Answer

Sie konvergiert genau dann, wenn |q| < 1.

Answer

Sie konvergiert genau dann, wenn |q| > 1.

Answer

Sie konvergiert immer.

Answer

Sie divergiert immer.

Question 6

Welche Reihe ist eine harmonische Reihe?

Accepted Answer

∑(n=1→∞) 1/n

Answer

∑(n=1→∞) (-1)^n n

Answer

∑(n=1→∞) (-1)^n 1/n

Answer

∑(n=1→∞) n²

Question 7

Welche Reihe ist eine p-Reihe?

Accepted Answer

∑(n=1→∞) 1/n

Answer

∑(n=1→∞) (-1)^n n

Answer

∑(n=1→∞) (-1)^n 1/n

Answer

∑(n=1→∞) n²

Question 8

Ermitteln Sie den Konvergenzradius der Taylor-Reihe für die Funktion f(x) = sin(x) um den Entwicklungspunkt x0 = 0.

Accepted Answer

Unendlich

Answer

0

Answer

1

Answer

π

Question 9

Welche Aussage über die Reihe Σ(n=1 bis ∞) 1 / (n(n+1)) ist richtig?

Accepted Answer

Die Reihe ist eine Teleskopreihe, die konvergiert.

Answer

Die Reihe konvergiert nach dem Quotientenkriterium, aber nicht nach dem Wurzelkriterium.

Answer

Die Reihe divergiert nach dem Quotientenkriterium, aber nicht nach dem Wurzelkriterium.

Answer

Die Reihe ist eine alternierende Reihe, die divergent ist.

Question 10

Welche der folgenden Reihen ist eine harmonische Reihe?

Accepted Answer

Σ(n=1 bis ∞) 1 / n

Answer

Σ(n=1 bis ∞) 1 / (n + 1)

Answer

Σ(n=1 bis ∞) 1 / (2n)

Answer

Σ(n=1 bis ∞) 1 / (n² + 1)

Question 11

Was ist der Restgliedsatz der Taylor-Formel?

Accepted Answer

R_n(x) = f^(n+1)(c) * (x-c)^(n+1)/(n+1)!

Answer

R_n(x) = f'''(x) * (x-c)^3/6

Answer

R_n(x) = f(c) + f'(c) * (x-c) + 1/2 f''(c) * (x-c)^2 + ...

Question 12

Welche Aussage zur Taylor-Reihe von f(x) = e^x um x = 0 ist korrekt?

Accepted Answer

Die Taylor-Reihe konvergiert für alle x

Answer

Die Taylor-Reihe konvergiert nur für x > 0

Answer

Die Taylor-Reihe konvergiert nur für x < 0

Answer

Die Taylor-Reihe konvergiert für x ≥ 0

Question 13

Welche Art von Singularität hat die Funktion f(x) = 1/(x-1) bei x = 1?

Accepted Answer

Pol erster Ordnung

Answer

Hebbare Singularität

Answer

Pol zweiter Ordnung

Answer

Wesentliche Singularität

Question 14

Welche Aussage zur Taylor-Reihe von f(x) = sin(x) um x = 0 ist korrekt?

Accepted Answer

Die Koeffizienten der Taylor-Reihe sind alternierend in Vorzeichen

Answer

Die Koeffizienten der Taylor-Reihe sind alle ungerade

Answer

Die Koeffizienten der Taylor-Reihe sind alle gerade

Answer

Die Koeffizienten der Taylor-Reihe sind alle positiv

Question 15

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

Eine Reihe, in der sich die Vorzeichen der Terme abwechseln

Answer

Eine Reihe, in der alle Terme positiv sind

Answer

Eine Reihe, in der alle Terme negativ sind

Answer

Eine Reihe, in der sich die Terme nicht abwechseln

Question 16

Die Taylor-Reihe von f(x) = ln(1+x) um x = 0 konvergiert für:

Accepted Answer

|x| < 1

Answer

|x| > 1

Answer

x ≥ 0

Answer

x ≤ 0

Question 17

Bestimmen Sie, ob die folgende Doppelreihe konvergiert: ∑[m=1 bis unendlich] ∑[n=1 bis unendlich] 1/(m²+n²)

Accepted Answer

Konvergent

Answer

Divergent

Answer

Bedingt konvergent

Answer

Unbestimmt

Question 18

Welche der folgenden Aussagen ist ÄQUIVALENT zur Aussage, dass die Reihe ∑(n=1 bis ∞) (1/n) konvergiert?

Accepted Answer

Die Folge (an) = (1/n) strebt gegen 0.

Answer

Die Folge (bn) = (n) divergiert gegen ∞.

Answer

Die Folge (cn) = (-1)^n * (1/n) strebt gegen 0.

Answer

Die Folge (dn) = (n^2) * (1/n) divergiert gegen ∞.

Question 19

Welche der folgenden Taylor-Entwicklungen ist die Darstellung von f(x) = e^x um x = 0 mit n = 3?

Accepted Answer

1 + x + (x^2)/2 + (x^3)/3!

Answer

1 + x + (x^2)/2 + (x^3)/6

Answer

1 + x + (x^2)/2 + (x^3)/3

Answer

1 + x + x^2 + x^3

Question 20

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

∑(n=1 bis ∞) (1/2)^n

Answer

∑(n=1 bis ∞) (2n - 1) / n

Answer

∑(n=1 bis ∞) (n!)

Answer

∑(n=1 bis ∞) (1 / (n^2))

Question 21

Was ist der Grenzwert von lim(n→∞) (n/(n+1))?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

e

Answer

∞

Question 22

Berechne die Summe der Reihe ∑(n=1 bis 5) (n^2 - 1).

Accepted Answer

75

Answer

55

Answer

95

Answer

115

Question 23

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Konvergenz einer Reihe am besten?

Accepted Answer

Eine Reihe ist konvergent, wenn die Folge ihrer Partialsummen eine Cauchy-Folge ist.

Answer

Eine Reihe ist divergent, wenn die Folge ihrer Partialsummen nicht beschränkt ist.

Answer

Eine Reihe ist konvergent, wenn ihre Grenzwerte existieren.

Question 24

Welche der folgenden Aussagen zur Konvergenz der Taylor-Reihe ist richtig?

Accepted Answer

Die Konvergenz der Taylor-Reihe hängt von der Wahl des Entwicklungspunktes ab.

Answer

Die Taylor-Reihe konvergiert immer zu f(x) in einem bestimmten Intervall.

Answer

Die Taylor-Reihe konvergiert immer zu f(x) für alle x.

Question 25

Die Reihe ∑(n=1 bis ∞) n * e^(-n) ist:

Accepted Answer

Konvergent und ihr Grenzwert ist 1/e

Answer

Divergent aufgrund des Quotientenkriteriums

Question 26

Die alternierende Reihe ∑((-1)^(n-1) / n) ist:

Accepted Answer

Konvergent nach dem alternierenden Reihenkriterium

Answer

Konvergent nach dem Majorantenkriterium

Question 27

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

1 + x + x^2 + x^3 + ...

Answer

1 + 2 + 4 + 8 + 16

Answer

1 - 1 + 1 - 1 + ...

Answer

1 + 2 + 3 + 4 + ...

Question 28

Was ist die allgemeine Formel für den n-ten Term einer arithmetischen Reihe mit erstem Term a und Differenz d?

Accepted Answer

a + (n - 1)d

Answer

a - (n - 1)d

Answer

d + (n - 1)a

Answer

a - (n + 1)d

Question 29

Welche der folgenden Aussagen über Taylor-Reihen ist richtig?

Accepted Answer

Sie sind Polynome, die eine Funktion lokal annähern.

Answer

Sie sind immer konvergent.

Answer

Sie können nur für analytische Funktionen entwickelt werden.

Answer

Sie sind nur für Funktionen mit endlich vielen Ableitungen anwendbar.

Question 30

Wie lautet das Prinzip von Cauchys Grenzwertsatz?

Accepted Answer

Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn ihre Folge von Partialsummen konvergiert.

Answer

Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn ihre Folge von Partialsummen beschränkt ist.

Answer

Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn ihre Folge von Partialsummen monoton ist.

Answer

Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn ihre Folge von Partialsummen alternierend ist.

Question 31

Was besagt das Majorantenkriterium?

Accepted Answer

Eine Reihe konvergiert, wenn sie von einer konvergenten Reihe majorisiert wird.

Answer

Eine Reihe konvergiert, wenn sie von einer divergierenden Reihe majorisiert wird.

Answer

Eine Reihe divergiert, wenn sie von einer konvergenten Reihe majorisiert wird.

Answer

Eine Reihe divergiert, wenn sie von einer divergierenden Reihe majorisiert wird.

Question 32

Welche der folgenden Reihen ist eine harmonische Reihe?

Accepted Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 - 1 + 1 - 1 + ...

Answer

1 + 2 + 3 + 4 + ...

Answer

1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...

Question 33

Was ist die Ordnung eines Taylor-Polynoms?

Accepted Answer

Die höchste Ableitung, die im Polynom vorkommt

Answer

Die Anzahl der Terme im Polynom

Answer

Der Grad des Polynoms

Answer

Die Anzahl der Nullstellen des Polynoms

Question 34

Welche der folgenden Funktionen lässt sich nicht in eine Taylor-Reihe um den Punkt x = 0 entwickeln?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = 1/(1+x)

Question 35

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

Σ (n=1 to ∞) (1/2)^n

Answer

Σ (n=1 to ∞) (1/n²)

Answer

Σ (n=1 to ∞) (n/(n+1))

Answer

Σ (n=1 to ∞) (e^-n) cos(n)

Question 36

Welche der folgenden Reihen ist eine teleskopische Reihe?

Accepted Answer

Σ (n=1 to ∞) (1 - 1/(n+1))

Answer

Σ (n=1 to ∞) (1/n²)

Answer

Σ (n=1 to ∞) (n/(n+1))

Answer

Σ (n=1 to ∞) (e^-n) cos(n)

Question 37

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Konvergenz einer Reihe zutreffend?

Accepted Answer

Eine Reihe konvergiert, wenn ihr Grenzwert existiert.

Answer

Eine Reihe konvergiert, wenn ihre Summe endlich ist.

Answer

Eine Reihe konvergiert, wenn ihre Terme gegen Null streben.

Answer

Eine Reihe konvergiert, wenn ihre Glieder abwechselnd positiv und negativ sind.

Question 38

Welche der folgenden Reihen konvergiert nicht?

Accepted Answer

∑ (von n=1 bis ∞) 1/n

Answer

∑ (von n=1 bis ∞) (-1)^n

Answer

∑ (von n=1 bis ∞) 1/(2n)

Answer

∑ (von n=1 bis ∞) n/(n+1)

Question 39

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

∑ (von n=1 bis ∞) (-1)^n * 1/n

Answer

∑ (von n=1 bis ∞) 1/n

Answer

∑ (von n=1 bis ∞) 1/(2n+1)

Answer

∑ (von n=1 bis ∞) n/(n+1)

Question 40

Welche Aussage über den Restterm der Taylor-Reihe ist korrekt?

Accepted Answer

Er liefert eine Abschätzung des Approximationsfehlers.

Answer

Er liefert den exakten Funktionswert am Entwicklungspunkt.

Answer

Er ist immer positiv.

Answer

Er ist immer null.

Question 41

Eine Reihe heißt konvergent, wenn:

Accepted Answer

Die Folgenglieder gegen einen endlichen Wert streben.

Answer

Die Folgenglieder gegen unendlich streben.

Answer

Die Folgenglieder alternierend positive und negative Vorzeichen haben.

Answer

Die Folgenglieder sich unregelmäßig verhalten.

Question 42

Was ist die Taylor-Reihe einer Funktion f(x) um den Punkt a?

Accepted Answer

Eine unendliche Reihe, die f(x) in der Umgebung von a durch Polynome approximiert.

Answer

Eine Reihe, die den Grenzwert von f(x) darstellt.

Answer

Eine Reihe, die die Ableitungen von f(x) enthält.

Answer

Eine Reihe, die die Integrale von f(x) darstellt.

Question 43

Der Restterm der Taylor-Reihe ist:

Accepted Answer

Der Fehler, der entsteht, wenn die Taylor-Reihe abgebrochen wird.

Answer

Der Wert, gegen den die Taylor-Reihe konvergiert.

Answer

Die Summe der ersten n Terme der Taylor-Reihe.

Answer

Der Koeffizient des höchsten Termes der Taylor-Reihe.

Question 44

Welcher Test wird verwendet, um die Konvergenz einer alternierenden Reihe zu prüfen?

Accepted Answer

Leibniz-Test.

Answer

Cauchy-Test.

Answer

Vergleichstest.

Answer

Wurzeltest.

Question 45

Die Bedingung für die Konvergenz des Wurzeltests lautet:

Accepted Answer

lim (n->∞) √(a_n) < 1.

Answer

lim (n->∞) √(a_n) = 1.

Answer

lim (n->∞) √(a_n) > 1.

Answer

lim (n->∞) √(a_n) = 0.

Question 46

Eine absolut konvergente Reihe hat die Eigenschaft, dass:

Accepted Answer

Ihre positive und negative Teilreihe konvergieren.

Answer

Ihre Summe nicht konvergiert.

Answer

Ihre Konvergenz nicht garantiert ist.

Answer

Sie immer eine geometrische Reihe ist.

Question 47

Ermitteln Sie die korrekte Aussage zur Konvergenz der Reihe ∑(n=1 bis ∞) (1/n^2).

Accepted Answer

Sie konvergiert nach dem Quotientenkriterium.

Answer

Sie divergiert nach dem Cauchy-Kriterium.

Answer

Sie konvergiert nach dem Majorantenkriterium.

Answer

Sie divergiert nach dem Vergleichstest.

Question 48

Welche Taylor-Reihe repräsentiert die Funktion f(x) = e^x am Entwicklungspunkt x=0?

Accepted Answer

∑(n=0 bis ∞) (x^n/n!)

Answer

∑(n=1 bis ∞) (x^n/n)

Answer

∑(n=0 bis ∞) (x^n)

Answer

∑(n=1 bis ∞) (n*x^n)

Question 49

Welche Aussage über den Konvergenzradius einer Taylor-Reihe ist zutreffend?

Accepted Answer

Er bezeichnet die maximale Entfernung, in der die Reihe konvergiert.

Answer

Er bezeichnet die minimale Entfernung, in der die Reihe divergiert.

Answer

Er bezeichnet die Entfernung, in der die Reihe absolut konvergiert.

Answer

Er bezeichnet die Entfernung, in der die Reihe gleichmäßig konvergiert.

Question 50

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

∑(n=1 bis ∞) (-1)^n * (1/n)

Answer

∑(n=1 bis ∞) (n^2 + 1)

Answer

∑(n=1 bis ∞) (1/n^3)

Answer

∑(n=1 bis ∞) (n * e^n)

Question 51

Welche Aussage zur Abschätzung des Restfehlers einer Taylor-Reihe ist korrekt?

Accepted Answer

Der Restfehler ist kleiner als der Betrag des ersten vernachlässigten Terms.

Answer

Der Restfehler ist gleich dem Funktionswert am Entwicklungspunkt.

Answer

Der Restfehler ist größer als der Betrag des ersten vernachlässigten Terms.

Answer

Der Restfehler ist gleich dem Betrag des ersten vernachlässigten Terms.

Question 52

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

∑(n=1 bis ∞) (2^n)

Answer

∑(n=1 bis ∞) (n^2 + 1)

Answer

∑(n=1 bis ∞) (1/n^3)

Answer

∑(n=1 bis ∞) (n * e^n)

Question 53

Welche der folgenden Reihen ist eine Potenzreihe?

Accepted Answer

∑(n=0 bis ∞) (x^n)

Answer

∑(n=1 bis ∞) (n^2 + 1)

Answer

∑(n=1 bis ∞) (1/n^3)

Answer

∑(n=1 bis ∞) (n * e^n)

Question 54

Welche der folgenden Aussagen über Reihen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Reihe ist eine unendliche Folge von Termen, bei denen jeder Term aus dem vorherigen Term berechnet wird.

Answer

Eine Reihe ist ein Produkt von Termen.

Answer

Eine Reihe ist eine endliche Folge von Termen, bei denen jeder Term aus dem vorherigen Term berechnet wird.

Answer

Eine Reihe ist ein Quotient von Termen.

Question 55

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

∑((-1)^n / n)

Answer

∑(n)

Answer

∑(1/n)

Answer

∑(n^2)

Question 56

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

∑(2^n)

Answer

∑(n^2)

Answer

∑(1/n)

Answer

∑((-1)^n)

Question 57

Welche der folgenden Aussagen über Taylor-Reihen ist korrekt?

Accepted Answer

Taylor-Reihen sind eine Möglichkeit, Funktionen als unendliche Summen von Potenzen zu darstellen.

Answer

Taylor-Reihen sind nur für lineare Funktionen gültig.

Answer

Taylor-Reihen sind nicht für Funktionen mit Singularitäten gültig.

Question 58

Welche der folgenden Aussagen über den Konvergenzradius einer Taylor-Reihe ist korrekt?

Accepted Answer

Der Konvergenzradius ist der maximale Abstand zum nächsten Singularitätspunkt, bei dem die Reihe konvergiert.

Answer

Der Konvergenzradius ist immer gleich 1.

Answer

Der Konvergenzradius ist unabhängig von der Funktion.

Question 59

Welche der folgenden Reihen ist eine Fourier-Reihe?

Accepted Answer

∑(a_n sin(nx) + b_n cos(nx))

Answer

∑(1/n)

Answer

∑(x^n)

Answer

∑(e^(x^n))

Question 60

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

∑ (n=1 bis ∞) (1/2)^n

Answer

∑ (n=1 bis ∞) 1/n!

Answer

∑ (n=1 bis ∞) sin(n)

Answer

∑ (n=1 bis ∞) n^2

Question 61

Welche Aussage über die Taylor-Reihe für f(x) = e^x ist richtig?

Accepted Answer

Sie konvergiert für alle Werte von x.

Answer

Sie konvergiert nur für Werte von x größer als 0.

Answer

Sie konvergiert nur für Werte von x nahe bei 0.

Answer

Sie konvergiert nur für Werte von x kleiner als 0.

Question 62

Welche Aussage beschreibt eine konvergente Reihe korrekt?

Accepted Answer

Die Grenzwerte der Partialsummen existieren und sind endlich.

Answer

Die Reihe alterniert zwischen positiven und negativen Werten.

Answer

Die Partialsummen wachsen unendlich an.

Question 63

Welche Aussage über Taylor-Reihen ist korrekt?

Accepted Answer

Sie können Funktionen lokal approximieren.

Answer

Sie sind nur für Polynomfunktionen definiert.

Answer

Sie konvergieren immer gegen die Funktion.

Answer

Sie sind immer gleich der Funktion.

Question 64

Welche der folgenden Reihen stellt die Taylor-Reihe der Funktion f(x) = sin(x) um x = π/4 dar?

Accepted Answer

√2/2 + √2/2 * (x - π/4) - √2/4 * (x - π/4)² + ...

Answer

√2/2 - √2/2 * (x - π/4) + √2/4 * (x - π/4)² + ...

Answer

-1 + (x - π/4) - (x - π/4)²/2! + ...

Answer

1 + (x - π/4) - (x - π/4)²/2! + ...