Numerische Mathematik für BWL-Studierende: Online-Quizzes und Übungen

Question 1

Welches Verfahren dient zur schrittweisen Bestimmung von Nullstellen von Funktionen?

Accepted Answer

Fixpunktverfahren

Answer

Gauß-Algorithmus

Answer

Finite-Elemente-Methode

Answer

Taylor-Entwicklung

Question 2

Welcher Kategorie von Verfahren gehört das Fixpunktverfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen an?

Accepted Answer

Iterative Verfahren

Answer

Lineare Verfahren

Answer

Direkte Verfahren

Answer

Algebraische Verfahren

Question 3

Welche Konvergenzordnung hat das Newton-Verfahren zur Nullstellensuche?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

Abhängig von der Anfangsnäherung

Answer

Konvergiert nicht immer

Question 4

Welches numerische Integrationsverfahren unterteilt das Integrationsintervall in Teilintervalle und berechnet den Flächeninhalt unter der Kurve mit Trapezen?

Accepted Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Answer

Romberg-Integration

Question 5

Welche Interpolationsmethode ist für die Approximation periodischer Funktionen durch Polynome am besten geeignet?

Accepted Answer

Trigonometrische Interpolation

Answer

Finite-Differenzen-Verfahren

Answer

Fixpunktverfahren

Answer

Gauß-Algorithmus

Question 6

Was beschreibt die Konvergenzordnung eines iterativen Verfahrens?

Accepted Answer

Die Geschwindigkeit, mit der sich die Anzahl der falschen Ziffern pro Iteration verringert.

Answer

Die Anzahl der Iterationen, um eine bestimmte Genauigkeit zu erreichen.

Answer

Die maximale Anzahl der Iterationen, die ein iteratives Verfahren ausführen kann.

Answer

Die Genauigkeit der Lösung, die durch ein iteratives Verfahren erreicht werden kann.

Question 7

Welches numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen benötigt bestimmte Startwerte, um gegen die Lösung zu konvergieren?

Accepted Answer

Newton-Verfahren

Answer

Bisektionsverfahren

Question 8

Welches numerische Verfahren zur Nullstellensuche konvergiert quadratisch?

Accepted Answer

Newtonverfahren

Answer

Fixpunktverfahren

Answer

Bisektionsverfahren

Answer

Sekantenverfahren

Question 9

Welche Aussage fasst das Picard-Lindelöf-Theorem am besten zusammen?

Accepted Answer

Es garantiert die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung für eine gewöhnliche Differentialgleichung, wenn die Funktion und ihre Ableitungen an einem Punkt stetig sind.

Answer

Es besagt, dass jede gewöhnliche Differentialgleichung eine eindeutige Lösung hat.

Answer

Es ist ein numerisches Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen.

Answer

Es gilt nur für lineare Differentialgleichungen erster Ordnung.

Question 10

Welche Methode zur numerischen Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme konvergiert quadratisch, wenn sie konvergiert?

Accepted Answer

Newton-Verfahren

Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Answer

Bisection-Verfahren

Answer

Jacobi-Verfahren

Question 11

Welche Aussage zur Taylor-Entwicklung einer stetig differenzierbaren Funktion f(x) um x = a ist richtig?

Accepted Answer

Die Taylor-Reihe konvergiert im Konvergenzradius gegen f(x).

Accepted Answer

Die Ordnung der Entwicklung gibt die Anzahl der verwendeten Ableitungen an.

Answer

Die Taylor-Reihe konvergiert nur für analytische Funktionen.

Answer

Der Konvergenzradius ist immer unendlich.

Question 12

Welche Interpolationsmethode wird verwendet, um eine Funktion f(x) durch ein Polynom p(x) vom Grad n zu approximieren, wobei n+1 Datenpunkte (x_i, f_i) verwendet werden?

Accepted Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Lineare Interpolation

Answer

Hermitesche Interpolation

Answer

Bikubische Interpolation

Question 13

Welches Verfahren der numerischen Integration nutzt die Taylor-Entwicklung, um ein Polynom zu erstellen, das über jedes Teilintervall integriert wird?

Accepted Answer

Taylor-Verfahren

Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Answer

Gauß-Quadratur

Question 14

Welches numerische Verfahren ist besonders geeignet, um Funktionen mit stark schwankendem Verlauf zu integrieren?

Accepted Answer

Gauß-Legendre-Quadratur

Answer

Rechteckregel

Answer

Trapezregel

Question 15

Welche Aussage beschreibt die Konvergenzordnung eines Iterationsverfahrens ersten Grades korrekt?

Accepted Answer

Sie gibt an, wie schnell sich das Verfahren der Lösung nähert.

Answer

Sie ist immer eine ganze Zahl größer als 1.

Answer

Sie ist unabhängig von der Schrittweite des Verfahrens.

Question 16

Was sind Randwertprobleme?

Accepted Answer

Differentialgleichungen mit vorgegebenen Werten an den Endpunkten des Definitionsintervalls

Answer

Lösbar ausschließlich mit analytischen Methoden

Answer

Immer lineare Gleichungen

Answer

Nur in der Physik relevant

Question 17

Welcher ist der Hauptvorteil der Fehlerabschätzung bei numerischen Berechnungen?

Accepted Answer

Hilft bei der Beurteilung der Zuverlässigkeit numerischer Ergebnisse.

Answer

Ermöglicht die Bestimmung der exakten Ergebnisse numerischer Berechnungen.

Answer

Ermöglicht die Beschleunigung numerischer Berechnungen.

Answer

Ist immer für numerische Berechnungen erforderlich.

Question 18

Welche Eigenschaft kennzeichnet das Newton-Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Quadratische Konvergenzordnung

Answer

Lineare Konvergenzordnung

Answer

Garantierte Konvergenz für jede Anfangsnäherung

Question 19

Was sind Randwertprobleme?

Accepted Answer

Differentialgleichungen mit zusätzlichen Bedingungen an den Grenzen oder Anfangszuständen

Answer

Treten nur in der Physik auf

Answer

Immer linearer Natur

Answer

Lassen sich immer analytisch lösen

Question 20

Welche numerische Methode ist speziell für die schrittweise Lösung nichtlinearer Gleichungen geeignet?

Accepted Answer

Newton-Verfahren

Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Answer

Finite-Differenzen-Methode

Question 21

Welches numerische Verfahren verwendet eine schrittweise Annäherung an die Lösung einer nichtlinearen Gleichung, basierend auf einer rekursiven Definition?

Accepted Answer

Fixpunktverfahren

Answer

Regula-Falsi-Verfahren

Answer

Newton-Verfahren

Answer

Bisection-Verfahren

Question 22

Welche Interpolationsmethode nutzt trigonometrische Funktionen und minimiert den Fehler im Sinne der kleinsten Quadrate?

Accepted Answer

Trigonometrische Interpolation

Answer

Lineare Interpolation

Answer

Polynomiale Interpolation

Question 23

Welches Verfahren transformiert die Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems schrittweise in eine Dreiecksmatrix?

Accepted Answer

Gauß-Elimination

Answer

Iterationsverfahren

Answer

LU-Zerlegung

Question 24

Was ist ein wesentliches Merkmal der Finite-Elemente-Methode (FEM)?

Accepted Answer

Sie unterteilt den Berechnungsbereich in finite Elemente, die durch Knoten verbunden sind.

Answer

Sie nutzt ausschließlich lineare Basisfunktionen zur Lösungsapproximation.

Answer

Sie ist immer eine explizite Methode zur Lösung partieller Differentialgleichungen.

Answer

Sie garantiert immer eine exakte Lösung für partielle Differentialgleichungen.

Question 25

Welches Verfahren in der numerischen Mathematik nähert eine stetige Funktion durch eine Reihe von Polynomen an?

Accepted Answer

Polynominterpolation

Answer

Finite-Elemente-Methode

Answer

Taylor-Entwicklung

Question 26

Welche der folgenden Operationen ist **nicht** zulässig, um eine Koeffizientenmatrix in eine Dreiecksmatrix umzuwandeln?

Accepted Answer

Division einer Zeile durch eine Zahl ungleich 0

Answer

Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl ungleich 0

Answer

Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile

Question 27

Welcher der folgenden Sätze beschreibt den Gauß-Algorithmus?

Accepted Answer

Ein iteratives Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme durch Umwandlung der Koeffizientenmatrix in eine Dreiecksmatrix.

Answer

Ein direktes Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren einer Matrix.

Answer

Ein Näherungsverfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen.

Question 28

Welches numerische Verfahren garantiert die exakte Lösung eines eindeutig lösbaren linearen Gleichungssystems?

Accepted Answer

Gauß-Elimination

Answer

Jacobi-Verfahren

Answer

Seidel-Verfahren

Answer

Relaxationsverfahren

Question 29

Welches numerische Verfahren wird zur schrittweisen Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems verwendet?

Accepted Answer

Iterationsverfahren (z. B. Newton-Verfahren)

Answer

Finite-Differenzen-Verfahren

Answer

Gauß-Algorithmus

Answer

Taylor-Entwicklung

Question 30

Welches numerische Verfahren eignet sich besonders für die Lösung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Gauß-Algorithmus

Answer

Fixpunktverfahren

Question 31

Welches numerische Verfahren ist für die näherungsweise Lösung der folgenden gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung am besten geeignet: $$ y' = f(x, y), quad y(x_0) = y_0 $$

Accepted Answer

Runge-Kutta-Verfahren

Answer

Gauß-Algorithmus

Answer

Finite-Elemente-Methode

Question 32

Welche Methode zur numerischen Problemlösung liefert eine Folge von Näherungswerten, die sich dem exakten Wert immer weiter annähert?

Accepted Answer

Iterative Verfahren (z. B. Fixpunktverfahren)

Answer

Direkte Verfahren (z. B. Gauß-Elimination)

Answer

Statistische Verfahren (z. B. Monte-Carlo-Simulation)

Question 33

Welches Merkmal trifft auf das Finite-Differenzen-Verfahren zu?

Accepted Answer

Es ist ein iteratives Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen.

Answer

Es verwendet trigonometrische Funktionen zur Interpolation.

Answer

Es löst partielle Differentialgleichungen direkt.

Answer

Es ist nur für nichtlineare Gleichungssysteme geeignet.

Question 34

Welche Aussage beschreibt das Fixpunktverfahren korrekt?

Accepted Answer

Es ist ein lokales Verfahren, das unter bestimmten Bedingungen gegen einen Fixpunkt konvergiert.

Answer

Es ist ein globales Verfahren, das immer den globalen Fixpunkt findet.

Answer

Es konvergiert immer gegen den Fixpunkt, unabhängig vom Startwert.

Question 35

Welche Aussage beschreibt Fehlerabschätzungen bei numerischen Verfahren zutreffend?

Accepted Answer

Sie berücksichtigen Rundungs- und Modellierungsfehler.

Answer

Sie liefern immer eine exakte Angabe des Fehlers.

Answer

Sie sind nur für nichtlineare Gleichungssysteme relevant.

Answer

Sie sind nur für iterative Verfahren anwendbar.

Question 36

Nenne zwei gängige numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer Optimierungsprobleme und erläutere ihre jeweiligen Vor- und Nachteile.

Accepted Answer

Gradientenverfahren: Iterativ, schnelle Konvergenz, anfällig für lokale Minima

Accepted Answer

Evolutionsalgorithmen: Stochastisch, globale Optima möglich, rechenintensiv

Answer

Simplexverfahren: Nur für lineare Optimierungsprobleme geeignet

Question 37

Wie wirkt sich eine höhere Konvergenzordnung bei einem Iterationsverfahren auf die Konvergenzgeschwindigkeit aus?

Accepted Answer

Die Anzahl der Iterationen zur Erzielung einer bestimmten Genauigkeit wird geringer.

Answer

Die Anzahl der Iterationen zur Erzielung einer bestimmten Genauigkeit wird größer.

Answer

Die Konvergenzgeschwindigkeit ist unabhängig von der Konvergenzordnung.

Question 38

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt den Einsatz von Hochleistungsrechnen in der numerischen Mathematik?

Accepted Answer

Ermöglicht parallele Berechnungen auf mehreren CPUs oder GPUs.

Answer

Ungeeignet für die Lösung großer linearer Gleichungssysteme.

Answer

Nur für stochastische Simulationen geeignet.

Answer

Primär für Approximationen, nicht für exakte Lösungen verwendet.

Question 39

Beschreibe die mathematische Grundlage von Wavelets und erläutere ihre Anwendungen in der Datenkompression und -analyse.

Accepted Answer

Wavelets sind Funktionen mit lokaler Unterstützung und schmalbandigem Frequenzbereich, die durch Skalierung und Translation einer Mutter-Wavelet entstehen.

Answer

Wavelets werden durch Fourier-Transformation aus trigonometrischen Funktionen erzeugt.

Answer

Wavelets finden nur in der Bildverarbeitung Anwendung.

Answer

Wavelets können aufgrund ihrer breitbandigen Frequenzverteilung nicht komprimiert werden.

Question 40

Welches ist das Hauptmerkmal der Tikhonov-Regularisierung bei der Lösung inverser Probleme?

Accepted Answer

Minimierung des Fehlers zwischen geschätzter und wahrer Lösung unter Berücksichtigung der Lösungsgüte

Answer

Iterative Lösung des inversen Problems durch sukzessive Verbesserungen

Answer

Immer optimale Wahl für inverse Probleme unabhängig von ihren Eigenschaften

Question 41

Welches der nachstehenden Verfahren ist ein iteratives Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen?

Accepted Answer

Iterationsverfahren

Answer

Direktes Lösungsverfahren

Answer

Gauß-Verfahren

Answer

QR-Zerlegung

Question 42

Welches der folgenden Optimierungsverfahren ist ein Gradientenverfahren?

Accepted Answer

Steilster Abstieg

Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Nelder-Mead-Verfahren

Answer

Powell-Verfahren

Question 43

Welcher der folgenden Schritte ist im Rahmen der numerischen Optimierung nicht enthalten?

Accepted Answer

Statistische Auswertung der Ergebnisse

Answer

Problemformulierung

Answer

Auswahl eines Optimierungsverfahrens

Answer

Implementierung der Methode

Question 44

Welche Methode wird zur Lösung linearer Optimierungsprobleme mit Beschränkungen verwendet?

Accepted Answer

Simplex-Algorithmus

Answer

Analytische Methoden

Answer

Beschränkungen nur in Gleichungsform

Answer

Lagrange-Multiplikatoren-Methode nur für konvexe Probleme

Question 45

Was ist der grundlegende Unterschied zwischen der Finite-Elemente-Methode (FEM) und der Finite-Volumen-Methode (FVM) bei der Lösung partieller Differentialgleichungen?

Accepted Answer

FEM unterteilt das Gebiet in Elemente, während FVM es in Volumina unterteilt.

Answer

FEM eignet sich für komplexe Geometrien, während FVM für einfache Geometrien geeignet ist.

Answer

FVM ist genauer als FEM, insbesondere bei nichtlinearen Gleichungen.

Answer

FEM und FVM sind in Genauigkeit und Effizienz gleichwertig.

Question 46

Wie beeinflusst die Wahl der Programmiersprache die praktische Anwendung numerischer Algorithmen?

Accepted Answer

Auswirkungen auf Umsetzung und Effizienz

Answer

Keine Auswirkungen

Answer

Auswirkungen auf die Umsetzung, aber nicht auf die Effizienz

Answer

Auswirkungen auf die Effizienz, aber nicht auf die Umsetzung

Question 47

Erläutern Sie die Konditionalanalyse und ihre Bedeutung für die Bewertung der Zuverlässigkeit numerischer Algorithmen.

Accepted Answer

Die Konditionalanalyse untersucht die Empfindlichkeit eines Algorithmus gegenüber Änderungen in den Eingabedaten.

Answer

Die Konditionalanalyse ist nur für lineare Gleichungssysteme anwendbar.

Answer

Die Konditionalanalyse ist für die praktische Anwendung numerischer Algorithmen irrelevant.

Question 48

Welche der folgenden Methoden ist ein iteratives Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen?

Accepted Answer

Newton-Verfahren

Answer

Bisection-Methode

Answer

Gauß-Elimination

Answer

Potenzreihen-Expansion

Question 49

Welches Optimierungsverfahren verwendet eine Zielfunktion und lineare Nebenbedingungen?

Accepted Answer

Lineare Programmierung

Answer

Quadratische Optimierung

Answer

Nichtlineare Programmierung

Answer

Dynamische Programmierung

Question 50

Welcher Algorithmus bestimmt das Minimum einer Funktion innerhalb eines gegebenen Intervalls?

Accepted Answer

Goldener Schnitt

Answer

Sekantenverfahren

Answer

Gradientenverfahren

Answer

Steigungsverfahren

Question 51

Welche Matrix enthält die Eigenwerte einer Matrix?

Accepted Answer

Eigenwertmatrix

Answer

Diagonalmatrix

Answer

Transformationsmatrix

Answer

Kovarianzmatrix

Question 52

Welches Verfahren löst ein System linearer Gleichungen durch Umformungen in eine obere Dreiecksmatrix?

Accepted Answer

Gauß-Elimination

Answer

LU-Zerlegung

Answer

Jacobi-Iteration

Answer

Gauss-Seidel-Iteration

Question 53

Welcher Algorithmus generiert eine Folge von scheinbar zufälligen Zahlen?

Accepted Answer

Pseudozufallsgenerator

Answer

Kongruenzgenerator

Answer

Fibonacci-Generator

Answer

Monte-Carlo-Generator

Question 54

Welche Methode beschreibt ein reales Phänomen durch ein System von Gleichungen?

Accepted Answer

Simulation

Answer

Approximation

Answer

Extrapolation

Answer

Interpolation

Question 55

Welches Verfahren wird dazu verwendet, nichtlineare Gleichungen iterativ zu lösen?

Accepted Answer

Newton-Verfahren (auch Newton-Raphson-Verfahren)

Answer

Regression

Answer

Gauß-Elimination

Answer

Bisection-Methode

Question 56

Bei welcher der folgenden Optimierungsmethoden wird die Zielfunktion durch eine quadratische Funktion approximiert?

Accepted Answer

Quadratische Programmierung

Answer

Gemischt-ganzzahlige Programmierung

Answer

Lineare Programmierung

Answer

Dynamische Programmierung

Question 57

Welche der folgenden Approximationsmethoden interpoliert Datenpunkte durch eine Reihe von Polynomen mit stückweise kontinuierlichen Ableitungen?

Accepted Answer

Spline-Interpolation

Answer

Taylor-Reihen

Answer

Fourier-Reihen

Answer

Regressionsanalyse

Question 58

Welche der folgenden Eigenschaften ist für Verfahren zur numerischen Integration nicht wünschenswert?

Accepted Answer

Instabilität (starke Abhängigkeit von kleinen Änderungen in den Eingabedaten)

Answer

Effizienz

Answer

Genauigkeit

Question 59

Welche der folgenden Datenstrukturen wird verwendet, um Gleichungssysteme mit vielen Nullen effizient zu lösen?

Accepted Answer

Sparse Matrix

Answer

Stack

Answer

Verknüpfte Liste

Answer

Array mit festem Indexbereich

Question 60

Welcher der folgenden Algorithmen berechnet den Eigenwert einer Matrix mit dem größten Betrag?

Accepted Answer

Power-Iteration

Answer

QR-Zerlegung

Answer

Jacobi-Iteration

Question 61

Welche der folgenden Methoden wird häufig zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen verwendet?

Accepted Answer

Finite-Elemente-Methode

Answer

Runge-Kutta-Methode

Answer

Gauß-Seidel-Methode

Answer

Euler-Methode

Question 62

Welcher der folgenden Begriffe beschreibt die Genauigkeit einer numerischen Approximation?

Accepted Answer

Fehler (Abweichung vom exakten Wert)

Answer

Residual (Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Iterationen)

Answer

Konvergenzrate

Answer

Stabilität (Robustheit gegenüber Störungen in den Eingabedaten)

Question 63

Welche der folgenden Bibliotheken wird häufig für numerische Berechnungen in Python verwendet?

Accepted Answer

NumPy (Numerical Python)

Answer

Pandas (Datenmanipulation)

Answer

Scikit-learn (maschinelles Lernen)

Answer

Matplotlib (Datenvisualisierung)

Question 64

Welcher der folgenden Algorithmen findet das Minimum einer eindimensionalen unimodalen Funktion?

Accepted Answer

Golden-Section-Suche

Answer

K-Means-Clustering

Answer

Monte-Carlo-Simulation

Answer

Simplex-Algorithmus