Lineare Abbildungen: Interaktive Quizfragen für Studierende der Architektur

Question 1

Welche Aussage trifft NICHT auf lineare Abbildungen zu?

Accepted Answer

Sie sind immer injektiv.

Answer

Sie bewahren die Struktur zwischen Vektorräumen.

Answer

Sie bilden Linearkombinationen auf Linearkombinationen ab.

Answer

Der Nullvektor wird auf den Nullvektor abgebildet.

Question 2

Der Rang einer linearen Abbildung entspricht:

Accepted Answer

Der Dimension des Bildraums.

Answer

Der Dimension des Kernraums.

Answer

Der Dimension des Vektorraums, in den abgebildet wird.

Answer

Der Dimension des Vektorraums, aus dem abgebildet wird.

Question 3

Welche Aussage über den Nullraum einer linearen Abbildung ist falsch?

Accepted Answer

Er ist immer trivial.

Answer

Er ist ein Untervektorraum des Definitionsbereichs.

Answer

Er besteht aus allen Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Seine Dimension ist dim(Ker(A)) = n - rang(A).

Question 4

Geben Sie die Umkehrabbildung der linearen Abbildung A: R² → R², (x, y) ↦ (2x - y, x + y) an:

Accepted Answer

((x, y) ↦ (y, x))

Answer

((x, y) ↦ (x, 2y - x))

Answer

((x, y) ↦ (2x + y, x - y))

Answer

Existiert nicht.

Question 5

Welche Matrix stellt die lineare Abbildung dar, die jeden Vektor auf den Vektor (1, 2) abbildet?

Accepted Answer

[[1, 0], [2, 0]]

Answer

[[0, 1], [0, 2]]

Answer

[[1, 2], [0, 0]]

Question 6

Welcher Vektorraum ist der Nullraum der linearen Abbildung f(x, y) = (2x - y, x + y)?

Accepted Answer

{(x, y) | x = y}

Answer

{(0, 0)}

Answer

{(1, -1)}

Question 7

Welche Aussage über den Kern einer linearen Abbildung ist falsch?

Accepted Answer

Er ist immer die Nullmenge.

Answer

Er ist ein Untervektorraum des Definitionsbereichs.

Answer

Er kann die Dimension 0 haben.

Question 8

Welche Abbildung ist linear?

Accepted Answer

f(x, y) = x - y

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x, y, z) = xyz

Question 9

Welcher Rang ist nicht möglich für eine lineare Abbildung von R² nach R³?

Accepted Answer

3

Answer

0

Answer

1

Answer

2

Question 10

Welche der folgenden Aussagen über lineare Abbildungen ist falsch?

Accepted Answer

Sie sind eindeutig durch ihre Matrixdarstellung bestimmt.

Answer

Sie erhalten die Vektorraumstruktur.

Answer

Ihr Bildraum ist ein Untervektorraum des Zielvektorraums.

Answer

Ihr Kernraum ist ein Untervektorraum des Quellvektorraums.

Question 11

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert eine lineare Abbildung, die einen dreidimensionalen Vektor auf einen zweidimensionalen Vektor abbildet?

Accepted Answer

3x2

Answer

2x3

Answer

3x3

Answer

2x2

Question 12

Welche der folgenden Matrizen ist nicht invertierbar?

Accepted Answer

[[1, 1], [1, 0]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Question 13

Welche der folgenden Abbildungen ist eine Isometrie?

Accepted Answer

f(x) = 2x

Answer

f(x) = x + 1

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 14

Welche der folgenden Aussagen über ähnliche Matrizen ist falsch?

Accepted Answer

Sie haben die gleichen Eigenvektoren auf einer Einheitskugel.

Answer

Sie haben die gleichen Eigenwerte.

Answer

Sie haben die gleiche Spur.

Answer

Sie haben die gleiche Determinante.

Question 15

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert die lineare Abbildung f(x) = 2x - 3?

Accepted Answer

[2 -3]

Answer

[2 0]

Answer

[0 2]

Answer

[-3 2]

Question 16

Berechnen Sie den Rang der linearen Abbildung, die durch die Matrix [1 2; 3 6] gegeben ist.

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

4

Question 17

Welche Eigenschaft von linearen Abbildungen ist für die Invertierbarkeit entscheidend?

Accepted Answer

Bijektivität

Answer

Injektivität

Answer

Surjektivität

Answer

Stetigkeit

Question 18

Welcher der aufgeführten Vektoren gehört dem Nullraum der linearen Abbildung an, die durch die Matrix [[1, 2], [3, 4]] repräsentiert wird?

Accepted Answer

[[-2, 1]]

Answer

[[0, 1]]

Answer

[[1, 1]]

Answer

[[1, 0]]

Question 19

Welches der folgenden Vektorpaare ist linear unabhängig?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 1], [1, 1]]

Answer

[[1, 0], [1, 0]]

Question 20

Welcher der aufgeführten Begriffe beschreibt die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren in einer Menge von Vektoren?

Accepted Answer

Rang

Answer

Spur

Answer

Dimension

Question 21

Welche der aufgeführten Aussagen über die Dimension des Bildraums einer linearen Abbildung ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist kleiner oder gleich der Dimension des Definitionsbereichs.

Answer

Sie ist immer größer als die Dimension des Definitionsbereichs.

Answer

Sie entspricht immer der Dimension des Definitionsbereichs.

Question 22

Welche der aufgeführten Abbildungen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2

Question 23

Welche der aufgeführten Aussagen über injektive lineare Abbildungen ist korrekt?

Accepted Answer

Sie verfügen über ein eindeutiges Inverses.

Answer

Sie besitzen immer einen Rang von 1.

Answer

Sie bilden den Nullvektor stets auf den Nullvektor ab.

Answer

Sie sind immer surjektiv.

Question 24

Welche der aufgeführten Abbildungen ist eine surjektive lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = [x, y, z] für x, y, z ∈ R

Answer

f(x) = x^2 für x ∈ R

Answer

f(x) = sin(x) für x ∈ R

Answer

f(x) = |x| für x ∈ R

Question 25

Welche der folgenden Definitionen beschreibt eine lineare Abbildung am besten?

Accepted Answer

Eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die eine Linearkombination der Eingaben auf die Linearkombination der Ausgaben abbildet

Answer

Eine Abbildung, die Flächeninhalte bewahrt

Answer

Eine Abbildung, die Abstände zwischen Punkten erhält

Answer

Eine Abbildung, die Winkel zwischen Vektoren beibehält

Question 26

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert die lineare Abbildung f(x) = 2x - 3?

Accepted Answer

[2 -3]

Answer

[-3 2]

Answer

[2 3]

Answer

[3 2]

Question 27

Sei f(x) eine lineare Abbildung mit der Matrixdarstellung [a b; c d]. Welcher der folgenden Ausdrücke repräsentiert die Determinante von f?

Accepted Answer

ad - bc

Answer

a * b * c * d

Answer

a - b - c + d

Answer

a + b + c + d

Question 28

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung von R^2 nach R^3?

Accepted Answer

f(x, y) = [x, y, x+y]

Answer

f(x, y) = [x, y, e^(x+y)]

Answer

f(x, y) = [x^2, y^2, x+y]

Answer

f(x, y) = [x, y, sin(x+y)]

Question 29

Welche der folgenden Abbildungen erfüllt die folgenden Eigenschaften einer linearen Abbildung: Additivität und Homogenität?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 3

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Question 30

Welcher der folgenden Ränge ist für eine lineare Abbildung von R^3 nach R^2 möglich?

Accepted Answer

1 oder 2

Answer

0

Answer

3

Answer

4

Question 31

Welche der folgenden Aussagen über lineare Abbildungen ist korrekt?

Accepted Answer

Sie bilden Geraden auf Geraden ab.

Answer

Sie sind immer umkehrbar.

Answer

Sie sind immer injektiv.

Answer

Sie sind immer surjektiv.

Question 32

Welche der folgenden Aussagen über den Nullraum einer linearen Abbildung ist korrekt?

Accepted Answer

Er ist ein Untervektorraum des Definitionsbereichs.

Answer

Er ist ein Übervektorraum des Definitionsbereichs.

Answer

Er ist immer ein eindimensionaler Raum.

Question 33

Welche der folgenden Eigenschaften trifft auf lineare Abbildungen zu?

Accepted Answer

Sie erhalten Linearkombinationen.

Answer

Sie invertieren Matrixprodukte.

Answer

Sie berechnen Winkel zwischen Vektoren.

Question 34

Welche Matrix repräsentiert die lineare Abbildung, die den Vektor (x, y) auf (2x - y, x + y) abbildet?

Accepted Answer

[[2, -1], [1, 1]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 0], [0, -1]]

Answer

[[0, -1], [1, 0]]

Question 35

Der Rang einer linearen Abbildung ist definiert als:

Accepted Answer

Die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten ihrer Matrixdarstellung.

Answer

Die Anzahl der Zeilen ihrer Matrixdarstellung.

Answer

Die Anzahl der Spalten ihrer Matrixdarstellung.

Question 36

Welche der folgenden Abbildungen ist NICHT linear?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x, y) = x - y

Answer

f(x, y, z) = x + y + z

Answer

f(x) = 2x + 1

Question 37

Welche der folgenden Aussagen über injektive lineare Abbildungen ist wahr?

Accepted Answer

Sie haben einen trivialen Nullraum.

Answer

Sie sind immer surjektiv.

Answer

Sie haben immer einen Rang von n.

Question 38

Welche der folgenden Aussagen über surjektive lineare Abbildungen ist wahr?

Accepted Answer

Ihr Bildraum ist der gesamte Zielraum.

Answer

Sie haben immer einen Rang von n.

Answer

Sie sind immer invertierbar.

Answer

Sie sind immer injektiv.

Question 39

Welche Eigenschaft muss eine lineare Abbildung erfüllen, um invertierbar zu sein?

Accepted Answer

Sie muss sowohl injektiv als auch surjektiv sein.

Answer

Ihre Matrixdarstellung muss quadratisch sein.

Answer

Ihr Nullraum muss trivial sein.

Answer

Ihr Rang muss n sein.

Question 40

Welche der folgenden Eigenschaften trifft auf lineare Abbildungen zu?

Accepted Answer

Sie erhalten Linearkombinationen von Vektoren.

Answer

Sie sind nur für Vektoren im dreidimensionalen Raum definiert.

Answer

Sie erzeugen nur skalare Vielfache von Vektoren.

Answer

Sie verändern die Länge von Vektoren.

Question 41

Welche Matrix stellt die lineare Abbildung dar, die jeden Vektor [x, y] auf [2x - y, x + 2y] abbildet?

Accepted Answer

[2 -1; 1 2]

Answer

[-1 2; 1 2]

Answer

[-2 1; 1 -2]

Answer

[2 1; -1 2]

Question 42

Welche der folgenden linearen Abbildungen ist invertierbar?

Accepted Answer

Die Abbildung, die jeden Vektor [x, y] auf [2x, y] abbildet.

Answer

Die Abbildung, die jeden Vektor [x, y] auf [x + y, x - y] abbildet.

Answer

Die Abbildung, die jeden Vektor [x, y] auf [x, 0] abbildet.

Answer

Die Abbildung, die jeden Vektor [x, y] auf [0, y] abbildet.

Question 43

Welche Aussage über affine Abbildungen ist korrekt?

Accepted Answer

Sie lassen sich als eine lineare Abbildung gefolgt von einer Translation darstellen.

Answer

Sie erhalten die Orientierung von Dreiecken.

Answer

Sie sind nur für Vektoren im dreidimensionalen Raum definiert.

Answer

Sie sind immer umkehrbar.

Question 44

Welche der folgenden Abbildungen ist *keine* lineare Abbildung?

Accepted Answer

Die Abbildung, die jeden Vektor [x, y] auf [|x|, |y|] abbildet.

Answer

Die Abbildung, die jeden Vektor [x, y] auf [x, 0] abbildet.

Answer

Die Abbildung, die jeden Vektor [x, y] auf [2x, y] abbildet.

Answer

Die Abbildung, die jeden Vektor [x, y] auf [x + y, x - y] abbildet.

Question 45

Welche der folgenden Aussagen über lineare Abbildungen ist korrekt?

Accepted Answer

Sie sind Funktionen zwischen Vektorräumen, die lineare Operationen bewahren.

Answer

Ihre Matrizen sind immer symmetrisch.

Answer

Sie sind immer surjektiv.

Answer

Sie sind nur für Vektoren im dreidimensionalen Raum definiert.

Question 46

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert eine lineare Abbildung vom R² zum R³?

Accepted Answer

[1 2 3; 4 5 6]

Answer

[1 2; 3 4]

Answer

[1 2 3; 4 5 6 7]

Answer

[1 2 3; 4 5]

Question 47

Wie lautet der Rang der linearen Abbildung mit der Matrixdarstellung [1 2; 3 4]?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

4

Answer

3

Question 48

Welcher der folgenden Vektoren liegt im Nullraum der linearen Abbildung mit der Matrixdarstellung [1 2; 3 4]?

Accepted Answer

[-2; 1]

Answer

[1; 1]

Answer

[0; 0]

Answer

[2; 1]

Question 49

Welche Aussage über die Umkehrbarkeit linearer Abbildungen ist korrekt?

Accepted Answer

Sie sind genau dann umkehrbar, wenn ihr Rang gleich der Dimension des Vektorraums ist.

Answer

Sie sind immer umkehrbar.

Answer

Sie sind nur umkehrbar, wenn ihre Matrixdarstellung die Einheitsmatrix ist.

Answer

Sie sind nur invertierbar, wenn ihre Matrixdarstellung eine Diagonalmatrix ist.

Question 50

Welche der folgenden Eigenschaften trifft auf alle linearen Abbildungen zu?

Accepted Answer

Sie sind homogen und additiv.

Answer

Sie sind nichtlinear.

Answer

Sie sind immer injektiv.

Answer

Sie sind multiplikativ.

Question 51

Welche der folgenden Aussagen über die Komposition linearer Abbildungen ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Die Komposition zweier umkehrbarer linearer Abbildungen ist nicht unbedingt umkehrbar.

Answer

Der Rang der Komposition ist gleich der Summe der Ränge der einzelnen Abbildungen.

Answer

Die Komposition zweier linearer Abbildungen ist immer eine lineare Abbildung.

Question 52

Welche der folgenden Anwendungen linearer Abbildungen findet sich in der Architektur?

Accepted Answer

Transformation von 3D-Modellen in verschiedene Koordinatensysteme

Answer

Modellierung von Lichtverhältnissen

Answer

Berechnung von statischen Belastungen

Question 53

Welche der folgenden Aussagen über lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen ist falsch?

Accepted Answer

Sie sind stets injektiv und surjektiv.

Answer

Ihre Matrizen sind immer quadratisch.

Answer

Ihre Umkehrabbildung ist ebenfalls linear.

Answer

Ihre Dimension ist gleich der Dimension des Bildraums.

Question 54

Welche der folgenden Bedingungen ist notwendig und hinreichend für die Umkehrbarkeit einer linearen Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen?

Accepted Answer

Ihre Matrixdarstellung hat vollen Rang.

Answer

Ihre Determinante ist ungleich Null.

Answer

Ihr Nullraum hat die Dimension Null.

Answer

Ihr Bildraum hat die gleiche Dimension wie ihr Definitionsraum.

Question 55

Welche der folgenden Eigenschaften ist NICHT charakteristisch für eine lineare Abbildung f: V → W zwischen Vektorräumen V und W?

Accepted Answer

f(u + v) = f(u) + f(v) + f(u) · f(v) für alle u, v ∈ V

Answer

f(u + v) = f(u) + f(v) für alle u, v ∈ V

Answer

f(λu) = λf(u) für alle λ ∈ ℝ und u ∈ V

Question 56

Was ist der Rang der linearen Abbildung f: ℝ³ → ℝ² gegeben durch f(x, y, z) = (x + y, 2z)?

Accepted Answer

2

Answer

3

Answer

1

Answer

0

Question 57

Welche der folgenden Aussagen über den Nullraum einer linearen Abbildung f: V → W ist FALSCH?

Accepted Answer

Der Nullraum ist immer ein Vektorraum der Dimension 1.

Answer

Der Nullraum ist ein Untervektorraum von V.

Answer

Der Nullraum enthält alle Vektoren aus V, die auf den Nullvektor in W abgebildet werden.

Question 58

Welche der folgenden linearen Abbildungen ist INJEKTIV?

Accepted Answer

f: ℝ² → ℝ³ gegeben durch f(x, y) = (x, y, 0)

Answer

f: ℝ³ → ℝ² gegeben durch f(x, y, z) = (x + y, z)

Answer

f: ℝ² → ℝ gegeben durch f(x, y) = x - y

Answer

f: ℝ² → ℝ² gegeben durch f(x, y) = (x + y, x + y)

Question 59

Welche der folgenden linearen Abbildungen ist SURJEKTIV?

Accepted Answer

f: ℝ² → ℝ² gegeben durch f(x, y) = (x + y, y)

Answer

f: ℝ³ → ℝ² gegeben durch f(x, y, z) = (x, y)

Answer

f: ℝ² → ℝ³ gegeben durch f(x, y) = (x, y, 0)

Question 60

Sei f: V → W eine lineare Abbildung. Welche Aussage über die Dimension des Bildraums von f ist korrekt?

Accepted Answer

Die Dimension des Bildraums ist gleich dem Rang von f.

Answer

Die Dimension des Bildraums ist gleich der Dimension von W.

Answer

Die Dimension des Bildraums ist gleich der Dimension von V.

Question 61

Sei f: V → W eine lineare Abbildung. Welche der folgenden Aussagen über die Beziehung zwischen Rang, Nullität und Dimension von V ist korrekt?

Accepted Answer

Rang(f) + Nullität(f) = dim(V)

Answer

Rang(f) - Nullität(f) = dim(V)

Answer

Rang(f) - Nullität(f) = dim(W)

Answer

Rang(f) + Nullität(f) = dim(W)

Question 62

Welche der folgenden Aussagen über die Inverse einer linearen Abbildung f: V → W ist korrekt?

Accepted Answer

Eine lineare Abbildung ist genau dann invertierbar, wenn sie bijektiv ist.

Answer

Eine lineare Abbildung ist immer invertierbar.

Answer

Die Inverse einer linearen Abbildung ist immer eine lineare Abbildung.