Integrale lernen: Grundlagen, Regeln und Anwendungen

Question 1

Welche der folgenden Aussagen über Integrale ist **richtig**?

Accepted Answer

Die Stammfunktion einer Potenzfunktion mit dem Exponenten **n** ist eine Potenzfunktion mit dem Exponenten **n+1**.

Answer

Die Stammfunktion einer Konstanten ist eine Parabel.

Answer

Die Stammfunktion einer Sinusfunktion ist eine Kosinusfunktion.

Answer

Die Stammfunktion einer Exponentialfunktion ist eine Logarithmusfunktion.

Question 2

Welche der folgenden Flächen wird durch das Integral **∫[0,4] (2x + 5) dx** dargestellt?

Accepted Answer

Ein Trapez

Answer

Ein Dreieck

Answer

Ein Rechteck

Answer

Ein Kreis

Question 3

Welches ist das indefinite Integral von **f(x) = e^x**?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

e^x

Answer

x*e^x

Answer

x*e^x + C

Question 4

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Fläche unter der Kurve **f(x)** im Intervall **[a, b]**?

Accepted Answer

∫[a,b] f(x) dx

Answer

∫[a,b] x f(x) dx

Answer

∫[a,b] f'(x) dx

Answer

∫[a,b] (f'(x))² dx

Question 5

Welche Formel beschreibt die partielle Integration?

Accepted Answer

∫u dv = uv - ∫v du

Answer

∫u dv = u∫dv - ∫v du

Answer

∫u dv = uv + ∫v du

Answer

∫u dv = u∫dv + ∫v du

Question 6

Welche Anwendung von Integralen ermöglicht die Berechnung von Flächeninhalten?

Accepted Answer

Riemann-Summen

Answer

Partielle Integration

Answer

Produktregel

Answer

Kettenregel

Question 7

Welches Verfahren dient zur numerischen Bestimmung von Integralen?

Accepted Answer

Trapezregel

Answer

Substitution

Answer

Partielle Integration

Answer

Integration durch Partialbruchzerlegung

Question 8

Welche Voraussetzung muss für die Integrationstechnik der Substitution erfüllt sein?

Accepted Answer

Die Ableitung der Substitutionsvariablen muss bekannt sein

Answer

Die Substitutionsvariable muss eine trigonometrische Funktion sein

Answer

Die Funktion muss eine Polynomfunktion sein

Answer

Die Funktion muss eine rationale Funktion sein

Question 9

Welche Funktion ist eine Stammfunktion von f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

x e^x

Answer

x² e^x

Answer

e^(x²) + C

Question 10

Wie lautet die Integrationsformel für logarithmische Funktionen?

Accepted Answer

∫log(x) dx = x log(x) - x + C

Answer

∫log(x) dx = log(x) + C

Answer

∫log(x) dx = x² log(x) - x + C

Answer

∫log(x) dx = (1/x) log(x) + C

Question 11

Welche Aussage über Integrale ist richtig?

Accepted Answer

Integrale sind Funktionen, die Flächeninhalte zwischen Kurven berechnen.

Answer

Integrale sind nur für Polynomfunktionen definiert.

Answer

Integrale sind immer positiv.

Answer

Integrale sind immer gleich Null.

Question 12

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = x² ?

Accepted Answer

x³/3 + C

Answer

x³/3

Answer

x³

Answer

x³ + C

Question 13

Welche der folgenden Aussagen über Integrale ist richtig?

Accepted Answer

Das Integral einer Funktion gibt die Fläche unter ihrem Graphen an.

Answer

Das Integral einer Funktion ist immer eine Konstante.

Answer

Das Integral einer Funktion kann nur mit Hilfe von Tabellen berechnet werden.

Answer

Das Integral einer Funktion ist immer positiv.

Question 14

Berechne das bestimmte Integral von ∫[0,2](x² + x) dx.

Accepted Answer

4/3

Answer

2/3

Answer

8/3

Answer

16/3

Question 15

Welche der folgenden Aussagen über das Flächenintegral ist richtig?

Accepted Answer

Das Flächenintegral gibt den Flächeninhalt einer ebenen Fläche an.

Answer

Das Flächenintegral einer Funktion ist immer positiv.

Answer

Das Flächenintegral kann nur mit Hilfe von Computerprogrammen berechnet werden.

Answer

Das Flächenintegral ist immer eine Konstante.

Question 16

Welche der folgenden Regeln gilt für die Integration von Summen und Differenzen von Funktionen?

Accepted Answer

∫(f(x) ± g(x)) dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx

Answer

∫(f(x) ± g(x)) dx = ∫f(x) dx - ∫g(x) dx

Answer

∫(f(x) ± g(x)) dx = ∫f(x) dx * ∫g(x) dx

Answer

∫(f(x) ± g(x)) dx = f(x) ± g(x)

Question 17

Welches Integral berechnet den Flächeninhalt unter der Kurve y = 2x zwischen x = 0 und x = 3?

Accepted Answer

∫⁰³ 2x dx

Answer

∫²³ 2x dx

Answer

∫³⁰ 2x dx

Answer

∫₀² 2x dx

Question 18

Welcher Typ von Integral wird verwendet, um das Volumen eines Rotationskörpers zu berechnen?

Accepted Answer

Volumenintegral

Answer

Oberflächenintegral

Answer

Linienintegral

Answer

Krümmungsintegral

Question 19

Welches der folgenden Integrale ist ein uneigentliches Integral?

Accepted Answer

∫¹⁰ 1/x dx

Answer

∫⁰¹ x dx

Answer

∫[0,2π] sin(x) dx

Answer

∫[-1,1] 1 dx

Question 20

Welche der folgenden Funktionen ist keine Stammfunktion von f(x) = sin(x)?

Accepted Answer

cos(x)

Answer

-cos(x)

Answer

cos(x) + C

Answer

sin(x) + C

Question 21

Welche Integrationsmethode wird verwendet, um Integrale von rationalen Funktionen zu lösen?

Accepted Answer

Bruchzerlegung

Answer

Partielle Integration

Answer

Substitution

Answer

Numerische Integration

Question 22

Welche der folgenden Aussagen zur Integralrechnung ist falsch?

Accepted Answer

Die Stammfunktion einer Funktion ist eindeutig bestimmt.

Answer

Das Integral einer konstanten Funktion ist eine lineare Funktion.

Answer

Die Ableitung eines Integrals ist die Integrand.

Answer

Integrale können verwendet werden, um Flächeninhalte und Volumina zu berechnen.

Question 23

Welches der folgenden Integrale entspricht der Fläche unter der Kurve y = sin(x) im Intervall [0, π/2]?

Accepted Answer

∫₀^(π/2) sin(x) dx

Answer

∫₀^(π/2) cos(x) dx

Answer

∫₀^(π/2) tan(x) dx

Answer

∫₀^(π/2) e^x dx

Question 24

Welche der folgenden Anwendungen von Integralen wird verwendet, um das Volumen eines Rotationskörpers zu bestimmen?

Accepted Answer

Volumen eines Rotationskörpers

Answer

Flächeninhalt unter einer Kurve

Answer

Fläche einer Oberfläche

Answer

Länge einer Kurve

Question 25

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

1/e x + C

Answer

x e^x + C

Answer

sin(e^x) + C

Question 26

Die Stammfunktion einer Funktion ist:

Accepted Answer

Eine Funktion, deren Ableitung die ursprüngliche Funktion ist.

Answer

Eine Konstante.

Answer

Eine gerade Funktion.

Answer

Eine ungerade Funktion.

Question 27

Welche Aussage über den Integralsatz ist richtig?

Accepted Answer

Alle oben genannten Aussagen sind richtig.

Answer

Die Fläche unter einer Kurve ist gleich dem Wert des Integrals der Funktion über das entsprechende Intervall.

Answer

Der Inhalt eines Volumens ist gleich dem Wert des Integrals der Querschnittsfläche über die Länge des Volumens.

Answer

Die Arbeit, die zum Bewegen eines Objekts gegen eine Kraft erforderlich ist, ist gleich dem Wert des Integrals der Kraft über die Entfernung.

Question 28

Welche der folgenden Anwendungen von Integralen ist korrekt?

Accepted Answer

Alle oben genannten Anwendungen

Answer

Berechnung von Flächeninhalten

Answer

Berechnung von Volumina

Answer

Berechnung von Arbeit

Question 29

Berechne das Integral ∫(x * √(1+x²)) dx mithilfe der Substitutionsmethode mit u = 1+x².

Accepted Answer

1/2 * (1+x²)^(3/2) + C

Answer

1/2 * √(1+x²) + C

Answer

x * √(1+x²) + C

Answer

√(1+x²) + C

Question 30

Welches der folgenden Integrale ist die Stammfunktion von f(x) = 2x + 3?

Accepted Answer

x² + 3x + C

Answer

x² + 2x

Answer

2x² + 3x

Answer

3x² + 2x

Question 31

Berechne das Integral von ∫(x³ - 2x) dx.

Accepted Answer

0,5x⁴ - x² + C

Answer

x⁴ - 2x²

Answer

0,25x⁴ - 2x²

Answer

0,5x³ - 2x

Question 32

Welches Integral berechnet den Flächeninhalt unter der Kurve f(x) = sin(x) im Intervall [0, π]?

Accepted Answer

-cos(x) |[0, π]

Answer

cos(x) |[0, π]

Answer

-sin(x) |[0, π]

Answer

sin(x) |[0, π]

Question 33

Welches der folgenden Integrale berechnet das Volumen des Körpers, der durch Rotation der Kurve f(x) = x² um die x-Achse im Intervall [0, 2] entsteht?

Accepted Answer

(4/5)π * 2⁵

Answer

(2/5)π * 2³

Answer

(2/3)π * 2⁵

Answer

(4/3)π * 2³

Question 34

Welche der folgenden Aussagen über Integrale ist richtig?

Accepted Answer

Integrale sind antiderivativ.

Answer

Integrale können nur numerisch berechnet werden.

Answer

Integrale sind immer positiv.

Answer

Integrale sind nur für Polynomfunktionen definiert.

Question 35

Welche Funktion ergibt die Stammfunktion von ∫x^2 dx?

Accepted Answer

(x^3)/3 + C

Answer

3x + C

Answer

x + C

Answer

x^3 + C

Question 36

Welche Funktion ist die Stammfunktion von f(x) = 1 / (x^2 + 1)?

Accepted Answer

arctan(x) + C

Answer

1 / (x^2 + 1) + C

Answer

-1 / (x^2 + 1) + C