Ableitungen in der Mathematik: Grundlagen und Anwendungen

Question 1

Welche der folgenden Funktionen ist eine implizite Funktion?

Accepted Answer

y^2 + x^2 = 1

Answer

y = x^2

Answer

y = sin(x)

Answer

y = e^x

Question 2

Welche Ableitungsregel wird benötigt, um die Ableitung von f(x) = x² - 3x + 2 zu bestimmen?

Accepted Answer

Potenzregel

Answer

Quotientenregel

Answer

Produktregel

Question 3

Bestimme die Ableitung von f(x) = (x² + 1) * (2x - 3) mit Hilfe der Produktregel.

Accepted Answer

4x² - 6x + 2

Answer

4x - 3

Answer

2x² + 4x - 3

Question 4

Welche der folgenden Funktionen ist die Ableitung von f(x) = x³ + 2x² - 5x + 1?

Accepted Answer

f'(x) = 3x² + 4x - 5

Answer

f'(x) = x³ + 4x² - 10x + 1

Answer

f'(x) = 3x + 4

Answer

f'(x) = 1

Question 5

Welche der folgenden Funktionen hat einen Wendepunkt an der Stelle x = 2?

Accepted Answer

f(x) = x³ - 3x² + 2x + 1

Answer

f(x) = x⁴ - 2x² + 1

Answer

f(x) = x³ + 2x² - 5x + 1

Answer

f(x) = x² - 4x + 3

Question 6

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = sin(x) + cos(x)?

Accepted Answer

F(x) = -cos(x) + sin(x) + C

Answer

F(x) = cos(x) - sin(x) + C

Answer

F(x) = sin(x) - cos(x) + C

Answer

F(x) = -sin(x) - cos(x) + C

Question 7

Die Funktion f(x) = x³ - 3x² + 2x + 1 hat ein lokales Minimum an der Stelle

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = 0

Answer

x = 2

Answer

x = 3

Question 8

Die Funktion f(x) = |x| ist

Accepted Answer

stetig, aber nicht differenzierbar an x = 0

Answer

differenzierbar, aber nicht stetig an x = 0

Answer

stetig und differenzierbar überall

Answer

weder stetig noch differenzierbar an x = 0

Question 9

Die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x) ist

Accepted Answer

f'(x) = 1/x

Answer

f'(x) = x

Answer

f'(x) = ln(x)

Answer

f'(x) = x * ln(x)

Question 10

Welche der folgenden Funktionen hat die Ableitung f'(x) = 2x?

Accepted Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = x^3 - x

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = ln(x)

Question 11

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = x^2 * (2x - 1)

Accepted Answer

f'(x) = 2x^2 - x

Answer

f'(x) = 4x - 1

Answer

f'(x) = 2x

Answer

f'(x) = 4x^2

Question 12

Welche der folgenden Aussagen zur Ableitung der Funktion f(x) = sin(x) ist richtig?

Accepted Answer

f'(x) = cos(x)

Answer

f'(x) = -sin(x)

Answer

f'(x) = tan(x)

Answer

f'(x) = e^sin(x)

Question 13

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = ln(|x|) für x > 0

Accepted Answer

f'(x) = 1/x für x > 0

Answer

f'(x) = -1/x für x < 0

Answer

f'(x) = 0 für x ≠ 0

Answer

f'(x) ist nicht definiert für x = 0

Question 14

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = 2x + 1?

Accepted Answer

F(x) = x^2 + x + C

Answer

F(x) = 2x^2 + C

Answer

F(x) = (2x + 1)^2 + C

Answer

F(x) = e^(2x + 1) + C

Question 15

Bestimme den Extrempunkt der Funktion f(x) = (x - 2)^2 - 3

Accepted Answer

Minimum bei (2, -3)

Answer

Maximum bei (2, -3)

Answer

Sattelpunkt bei (2, -3)

Answer

Weder Minimum noch Maximum

Question 16

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x² + 3x - 2.

Accepted Answer

2x + 3

Answer

x² + 3

Answer

2x - 2

Answer

x² - 2

Question 17

Welche Aussage zur Ableitung einer konstanten Funktion ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist immer 0.

Answer

Sie ist immer 1.

Answer

Sie ist die Konstante selbst.

Answer

Sie ist undefined.

Question 18

Berechne die Ableitung von f(x) = sin(x) + cos(x).

Accepted Answer

cos(x) + sin(x)

Answer

cos(x) - sin(x)

Answer

sin(x) - cos(x)

Answer

-cos(x) - sin(x)

Question 19

Die Funktion f(x) ist differenzierbar. Welche der folgenden Aussagen ist falsch?

Accepted Answer

Ihre Ableitung ist streng monoton.

Answer

Sie ist stetig.

Answer

Ihre zweite Ableitung existiert.

Answer

Sie hat überall eine Tangente.

Question 20

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x³ + 2x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = eˣ

Question 21

Welche der folgenden Funktionen hat einen Wendepunkt?

Accepted Answer

f(x) = x³ - 3x

Answer

f(x) = x² + 2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = eˣ

Question 22

Welche der folgenden Aussagen zur Ableitung der Funktion f(x) = x³ ist korrekt?

Accepted Answer

f'(x) = 3x²

Answer

f'(x) = 3x

Answer

f'(x) = x²

Answer

f'(x) = 1

Question 23

Berechne die Ableitung der Funktion g(x) = sin(x).

Accepted Answer

g'(x) = cos(x)

Answer

g'(x) = -sin(x)

Answer

g'(x) = sin(x)

Answer

g'(x) = x * cos(x)

Question 24

Welche der folgenden Aussagen zur Ableitung der Funktion f(x) = √x ist richtig?

Accepted Answer

f'(x) = 1/(2√x)

Answer

f'(x) = -1/(2√x)

Answer

f'(x) = 1/x

Answer

f'(x) = x^(1/2)

Question 25

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = |x|.

Accepted Answer

f'(x) = { 1 für x > 0, -1 für x < 0 }

Answer

f'(x) = 1

Answer

f'(x) = -1

Answer

f'(x) = x

Question 26

Welche der folgenden Aussagen zur Ableitung der konstanten Funktion f(x) = c ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist gleich 0.

Answer

Sie ist gleich c.

Answer

Sie existiert nicht.

Answer

Sie ist gleich x.

Question 27

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = cos(x)?

Accepted Answer

sin(x) + C

Answer

cos(x) + C

Answer

-sin(x) + C

Answer

-cos(x) + C

Question 28

Welche der folgenden Funktionen hat die Ableitung f'(x) = 2?

Accepted Answer

y = 2x + 1

Answer

y = x²

Answer

y = x³

Answer

y = sin(x)

Question 29

Welche der folgenden Aussagen gilt für eine Funktion f(x) mit f'(x) > 0?

Accepted Answer

Die Funktion nimmt an der Stelle x zu.

Answer

Die Funktion nimmt an der Stelle x ab.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x konstant.

Answer

Die Funktion hat an der Stelle x einen Extrempunkt.

Question 30

Welche der folgenden Aussagen ist eine korrekte Anwendung der Produktregel?

Accepted Answer

(f(x) · g(x))' = f'(x) · g'(x)

Answer

(f(x) · g(x))' = f'(x) + g'(x)

Answer

(f(x) · g(x))' = f(x) · g'(x)

Answer

(f(x) · g(x))' = f'(x) / g'(x)

Question 31

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 2x² + 5x - 1.

Accepted Answer

f'(x) = 3x² - 4x + 5

Answer

f'(x) = 3x² + 4x + 5

Answer

f'(x) = 2x² - 4x + 5

Answer

f'(x) = x² - 2x + 5

Question 32

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Änderungsrate der Funktion f(x) = e^x im Punkt x = 0?

Accepted Answer

Die Änderungsrate ist positiv.

Answer

Die Änderungsrate ist 0.

Answer

Die Änderungsrate ist negativ.

Answer

Die Änderungsrate ist nicht definiert.

Question 33

Welche der folgenden Aussagen ist falsch?

Accepted Answer

Die Ableitung eines Quotienten von Funktionen ist der Quotient der Ableitungen der einzelnen Funktionen.

Answer

Die Ableitung einer Summe von Funktionen ist die Summe der Ableitungen der einzelnen Funktionen.

Answer

Die Ableitung eines Produkts von Funktionen ist das Produkt der Ableitungen der einzelnen Funktionen.

Answer

Die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion ist das Produkt der Ableitung der äußeren Funktion mit der Ableitung der inneren Funktion.

Question 34

Die Ableitung der Funktion f(x) = x² lautet:

Accepted Answer

f'(x) = 2x

Answer

f'(x) = x

Answer

f'(x) = x³

Answer

f'(x) = 2

Question 35

Berechne die Ableitung der Funktion g(x) = sin(x).

Accepted Answer

g'(x) = cos(x)

Answer

g'(x) = 0

Answer

g'(x) = -sin(x)

Answer

g'(x) = sin(x)

Question 36

Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x0 gibt an:

Accepted Answer

die Steigung der Tangente an die Funktion an der Stelle x0

Answer

die Änderungsrate der Funktion im Intervall um x0

Answer

den Funktionswert an der Stelle x0

Question 37

Welche Aussage über die Kettenregel für Ableitungen ist richtig?

Accepted Answer

(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)

Answer

(f(g(x)))' = f'(g(x)) + g'(x)

Answer

(f(g(x)))' = f'(x)g'(x)

Answer

(f(g(x)))' = f(g'(x))

Question 38

Welche der folgenden Aussagen zur Ableitung der Funktion f(x) = sin(x) ist richtig?

Accepted Answer

f'(x) = cos(x)

Answer

f'(x) = -sin(x)

Answer

f'(x) = sin(x)

Answer

f'(x) = -cos(x)

Question 39

Welche der folgenden Aussagen zur Ableitung f'(x) ist richtig?

Accepted Answer

f'(x) gibt an der Stelle x die Steigung der Tangente an den Graphen von f(x) an.

Answer

f'(x) gibt den Funktionswert von f(x) an der Stelle x an.

Answer

f'(x) ist immer positiv.

Question 40

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = x²?

Accepted Answer

F(x) = (x³/3) + C

Answer

I(x) = sin(x) + C

Answer

G(x) = x² + C

Answer

H(x) = 2x + C

Question 41

Welche der folgenden Aussagen zur Kettenregel ist richtig?

Accepted Answer

(f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) * g'(x)

Answer

(f ∘ g)'(x) = f(x) * g(x)

Answer

(f ∘ g)'(x) = f'(x) * g'(x)

Answer

(f ∘ g)'(x) = f(g'(x)) * g(x)

Question 42

Welche der folgenden Funktionen ist die Umkehrfunktion von f(x) = x³ - 1?

Accepted Answer

g(x) = ∛(x+1)

Answer

i(x) = 1/(x³ - 1)

Answer

h(x) = x³ + 1

Answer

j(x) = e^(x³ - 1)

Question 43

Welche Aussage über die Ableitung einer konstanten Funktion ist korrekt?

Accepted Answer

Die Ableitung ist 0.

Answer

Die Ableitung ist gleich der Konstanten.

Answer

Die Ableitung ist 1.

Answer

Die Ableitung ist nicht definiert.

Question 44

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x³ + 2x² - 5.

Accepted Answer

3x² + 4x

Answer

x² + 2x

Answer

3x² - 5

Answer

x³ + 4x

Question 45

Welche Funktion hat die Ableitung f'(x) = 2x?

Accepted Answer

f(x) = x² + C

Answer

f(x) = x³ + C

Answer

f(x) = e²x + C

Answer

f(x) = sin(2x) + C

Question 46

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = sin(2x).

Accepted Answer

2cos(2x)

Answer

-2sin(2x)

Answer

cos²(2x)

Answer

sin(2x)

Question 47

Welche Funktion hat die zweite Ableitung f''(x) = 0?

Accepted Answer

f(x) = ax² + bx + c

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 48

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Ableitung einer Funktion f(x) korrekt?

Accepted Answer

Die Ableitung f'(x) gibt die Änderungsrate von f(x) in Bezug auf x an.

Answer

Die Ableitung ist immer eine lineare Funktion.

Answer

Die Ableitung gibt den Grenzwert der Funktion an.

Question 49

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = (x^2 + 2x - 3)^4.

Accepted Answer

f'(x) = 4(x^2 + 2x - 3)^3 * (2x + 2)

Answer

f'(x) = (x^2 + 2x - 3)^5

Answer

f'(x) = (2x + 2)^4

Answer

f'(x) = 4x(x^2 + 2x - 3)^3

Question 50

Was ist der geometrische Zusammenhang zwischen der Ableitung f'(x) und dem Graphen von f(x)?

Accepted Answer

Die Ableitung f'(x) gibt die Steigung der Tangente an den Graphen von f(x) an jedem Punkt x an.

Answer

Die Ableitung gibt den Flächeninhalt unter dem Graphen von f(x) an.

Answer

Die Ableitung gibt die Krümmung des Graphen von f(x) an.

Question 51

Welche der folgenden Aussagen über die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion ist richtig?

Accepted Answer

Die Ableitung der zusammengesetzten Funktion g(f(x)) ist das Produkt aus der Ableitung von g nach f(x) und der Ableitung von f(x) nach x.

Answer

Die Ableitung der zusammengesetzten Funktion ist die Summe der Ableitungen von g und f.

Question 52

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x^3 + cos(x)).

Accepted Answer

f'(x) = (3x^2 - sin(x)) / (x^3 + cos(x))

Answer

f'(x) = (x^3 + cos(x)) / ln(x)

Answer

f'(x) = 1 / (x^3 + cos(x))

Answer

f'(x) = ln(x^3) * cos(x)

Question 53

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion der Funktion f(x) = x * e^x?

Accepted Answer

F(x) = x * e^x - e^x + C

Answer

F(x) = ln(x * e^x) + C

Answer

F(x) = (x^2) * e^x + C

Answer

F(x) = e^x / x + C

Question 54

Welche der folgenden Aussagen über die Ableitung einer Funktion f(x) ist korrekt?

Accepted Answer

Die Ableitung f'(x) gibt die Steigung der Tangente an den Graphen von f(x) an der Stelle x an.

Answer

Die Ableitung f'(x) gibt die Fläche unter dem Graphen von f(x) an.

Answer

Die Ableitung f'(x) gibt den Wert der Funktion f(x) an der Stelle x an.

Question 55

Die Ableitung der Funktion f(x) = sin(x) ist:

Accepted Answer

f'(x) = cos(x)

Answer

f'(x) = -sin(x)

Answer

f'(x) = -cos(x)

Answer

f'(x) = sin(x)

Question 56

Die Ableitung der Funktion f(x) = e^x ist:

Accepted Answer

f'(x) = e^x

Answer

f'(x) = x*e^(x-1)

Answer

f'(x) = 1/e^x

Answer

f'(x) = ln(x)

Question 57

An welcher Stelle x hat die Funktion f(x) = x² - 4x + 3 einen lokalen Tiefpunkt?

Accepted Answer

x = 2

Answer

x = 3

Answer

x = 0

Answer

x = 1

Question 58

Die Ableitung der Funktion f(x) = (x + 1)³ ist:

Accepted Answer

f'(x) = 3(x + 1)²

Answer

f'(x) = 3(x + 1)³

Answer

f'(x) = (x + 1)²

Question 59

Die Ableitung der Funktion f(x) = 2x³ + 5x - 1 ist:

Accepted Answer

f'(x) = 6x² + 5

Answer

f'(x) = 6x³ + 5x

Answer

f'(x) = 6x³ + 5

Answer

f'(x) = 2x² + 5

Question 60

Die Ableitung der Funktion f(x) = sin(x) ist:

Accepted Answer

f'(x) = cos(x)

Answer

f'(x) = -cos(x)

Answer

f'(x) = sin(x)

Answer

f'(x) = -sin(x)

Question 61

Die Ableitung der Funktion f(x) = e^x ist:

Accepted Answer

f'(x) = e^x

Answer

f'(x) = e^(x-1)

Answer

f'(x) = 1/e^x

Answer

f'(x) = x * e^x

Question 62

Welche der folgenden Funktionen hat eine Ableitung, die immer positiv ist?

Accepted Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = 1/x

Question 63

Die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x) ist:

Accepted Answer

f'(x) = 1/x

Answer

f'(x) = ln(x)/x

Answer

f'(x) = 1/ln(x)

Answer

f'(x) = -1/x

Question 64

Was ist die Ableitung der Funktion f(x) = 3x² + 2x - 1?

Accepted Answer

f'(x) = 6x + 2

Answer

f'(x) = 9x + 2

Answer

f'(x) = 3x + 2

Answer

f'(x) = 6x² + 2x