Trigonometrie lernen: Grundlagen, Funktionen und Anwendungen

Question 1

Welche Eigenschaft gilt für die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus?

Accepted Answer

Sie sind periodische Funktionen mit der Periode 2π.

Answer

Sie sind immer positiv.

Answer

Sie sind ungerade Funktionen.

Answer

Sie sind inverse Funktionen.

Question 2

In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt ein Winkel 45 Grad. Welchen Wert hat der Sinus dieses Winkels?

Accepted Answer

0,707

Answer

0

Answer

1

Answer

kleiner als 0

Question 3

Welche Formel beschreibt die Beziehung zwischen Sinus, Kosinus und Tangens in einem rechtwinkligen Dreieck?

Accepted Answer

tanx = sinx / cosx

Answer

sin²x + cos²x = 0

Answer

cosx = 1 / sinx

Question 4

Wie groß ist der Sinus des Winkels 30° im Einheitskreis?

Accepted Answer

1/2

Answer

0

Question 5

Welche trigonometrischen Funktionen haben im Einheitskreis Maximal- und Minimalwerte von 1 und -1?

Accepted Answer

Sinus und Kosinus

Answer

Tangens und Kotangens

Answer

Sekans und Kosekans

Answer

Alle trigonometrischen Funktionen

Question 6

In einem rechtwinkligen Dreieck misst die Gegenkathete 5 cm und die Hypotenuse 13 cm. Wie groß ist der Winkel gegenüber der Gegenkathete?

Accepted Answer

37 Grad

Answer

22 Grad

Answer

60 Grad

Answer

45 Grad

Question 7

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse 10 cm lang und eine Kathete 6 cm lang. Berechne die Länge der anderen Kathete.

Accepted Answer

8 cm

Answer

4 cm

Answer

12 cm

Answer

16 cm

Question 8

Ein rechteckiges Grundstück hat Seitenlängen von 25 m und 30 m. Wie lang ist die Diagonale?

Accepted Answer

39 m

Answer

35 m

Answer

45 m

Answer

50 m

Question 9

Im Einheitskreis wird ein Winkel α markiert. Welche Aussage beschreibt den Sinus von Winkel α?

Accepted Answer

Der Sinus von α ist der y-Wert des Punktes, der Winkel α im Einheitskreis darstellt.

Answer

Der Sinus von α ist der x-Wert des Punktes, der Winkel α im Einheitskreis darstellt.

Answer

Der Sinus von α ist die Länge des Kreisbogens, der Winkel α im Einheitskreis entspricht.

Answer

Der Sinus von α ist der Abstand vom Mittelpunkt des Einheitskreises zum Punkt, der Winkel α im Einheitskreis darstellt.

Question 10

Welche trigonometrische Identität verbindet Sinus und Kosinus eines Winkels α? Erläutere kurz, wie du diese Identität ableiten kannst.

Accepted Answer

sin²α + cos²α = 1

Answer

sinα + cosα = 1

Answer

sinα - cosα = 0

Question 11

Wie hilft der Einheitskreis beim Verständnis trigonometrischer Funktionen?

Accepted Answer

Er zeigt Winkel von 0 bis 360 Grad und die Funktionen als Koordinaten von Punkten auf dem Kreis.

Answer

Die Funktionen sind nur im ersten Quadranten definiert.

Answer

Er definiert Sinus und Kosinus, aber nicht Tangens.

Answer

Er ist nicht hilfreich für das Verständnis der Funktionen.

Question 12

Der Sinus eines Winkels alpha beträgt 0,6. Welcher Winkel ist das?

Accepted Answer

22,62°

Answer

30°

Answer

36,87°

Answer

48,59°

Question 13

Welche der folgenden Aussagen über den Sinus ist korrekt?

Accepted Answer

Der Sinus kann sowohl negativ als auch positiv sein.

Answer

Der Sinus ist immer kleiner als 1.

Answer

Der Sinus ist immer größer als 0.

Answer

Der Sinus ist nur für Winkel kleiner als 90° definiert.

Question 14

Welche Funktion ist die Umkehrfunktion des Kosinus?

Accepted Answer

Arkuskosinus

Answer

Arkussinus

Answer

Arkuscotangens

Answer

Arkussekans

Question 15

Wie hängen der Satz des Pythagoras und die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens zusammen?

Accepted Answer

Der Satz des Pythagoras kann zur Berechnung der trigonometrischen Funktionen verwendet werden.

Answer

Der Satz des Pythagoras gilt nur für rechtwinklige Dreiecke, während die trigonometrischen Funktionen für alle Dreiecke gelten.

Answer

Die trigonometrischen Funktionen können zur Beweisführung des Satzes des Pythagoras verwendet werden.

Question 16

Frage: Wie verwenden Navigationssysteme Trigonometrie, um die Position und Richtung von Objekten zu bestimmen?

Accepted Answer

Durch Berechnung von Entfernungen und Winkeln in Dreiecken, die durch bekannte Punkte und Objekte gebildet werden.

Answer

Durch direkte Messung von Abständen und Richtungen mit Sensoren und Kompassen.

Answer

Durch Verwendung von Satellitenbildern und Karten zur Identifizierung von Landmarken.

Answer

Durch Messung des Erdmagnetfelds.

Question 17

Wie entstand die Trigonometrie?

Accepted Answer

Entwicklung von Winkelfunktionen in der Antike

Answer

Entdeckung des Satzes von Pythagoras

Answer

Einführung des Dezimalsystems im Mittelalter

Answer

Erfindung des Taschenrechners im 20. Jahrhundert

Question 18

Welche Anwendungen hat der Satz des Pythagoras in der Geometrie?

Accepted Answer

Berechnung der Entfernung zwischen zwei Punkten

Accepted Answer

Berechnung der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks

Answer

Berechnung des Umfangs eines Kreises

Answer

Berechnung des Volumens einer Kugel

Question 19

In welchem Bereich wird Trigonometrie eingesetzt, um die Höhe von Gebäuden zu ermitteln?

Accepted Answer

Architektur

Answer

Biologie

Answer

Chemie

Answer

Physik

Question 20

Welche Funktion ist die Umkehrfunktion des Sinus?

Accepted Answer

Arkus-Sinus

Answer

Kosinus

Answer

Tangens

Answer

Arkus-Kosinus

Question 21

Welche Anwendung trigonometrischer Funktionen in der Signalverarbeitung wird hier beschrieben: Signale in ihre einzelnen Frequenzkomponenten zerlegen?

Accepted Answer

Zerlegung von Signalen in ihre Frequenzkomponenten

Answer

Berechnung der Amplitude eines Signals

Answer

Bestimmung der Phase eines Signals

Answer

Verstärkung von Signalen

Question 22

Beweise die trigonometrische Identität: $$sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)$$ für beliebige Winkel α und β.

Accepted Answer

Nutze die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus.

Answer

Nutze den Einheitskreis.

Answer

Nutze die Ableitungsregeln für trigonometrische Funktionen.

Answer

Diese Identität ist nicht beweisbar.

Question 23

In einem Dreieck sind zwei Seiten 8 cm und 12 cm lang. Der eingeschlossene Winkel beträgt 30°. Berechne mit Hilfe des Kosinussatzes die Länge der dritten Seite.

Accepted Answer

Die dritte Seite ist etwa 12,81 cm lang.

Answer

Die dritte Seite ist etwa 16 cm lang.

Answer

Die dritte Seite ist etwa 4 cm lang.

Answer

Die dritte Seite ist etwa 10 cm lang.

Question 24

Was ist der mathematische Ausdruck für den Sinus des Winkels x?

Accepted Answer

sin(x)

Answer

cos(90° - x)

Answer

cos(x) / sin(x)

Answer

sin(180° - x)

Question 25

Wie hoch ist der Kosinus des Winkels 45°?

Accepted Answer

0,707

Answer

1

Answer

0,5

Answer

0,25

Question 26

Welche Formel beschreibt die Tangensfunktion?

Accepted Answer

Ankathete / Gegenkathete

Answer

Gegenkathete / Hypotenuse

Answer

Ankathete / Hypotenuse

Answer

Gegenkathete / Ankathete

Question 27

Welche Aussage über den Kosinus ist korrekt?

Accepted Answer

Der Kosinus kann negative Werte annehmen.

Answer

Der Kosinus ist immer größer als 1.

Answer

Der Kosinus ist eine ungerade Funktion.

Answer

Der Kosinus nimmt sein Maximum bei 0° an.

Question 28

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Ankathete gegenüber dem Winkel α um 10 cm kürzer als die Gegenkathete. Der Winkel α beträgt 30°. Wie lang ist die Gegenkathete?

Accepted Answer

15 cm

Answer

20 cm

Answer

10 cm

Answer

5 cm

Question 29

Wie berechnet man mit dem Sinussatz die Länge einer Dreiecksseite, wenn zwei Seitenlängen und ein Winkel gegenüber einer dieser Seiten bekannt sind?

Accepted Answer

a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ)

Answer

a * cos(α) = b * cos(β) = c * cos(γ)

Answer

a * tan(α) = b * tan(β) = c * tan(γ)

Answer

a^2 + b^2 = c^2

Question 30

Berechne den Kosinus eines Winkels mit einer Gegenkathete von 4 cm und einer Hypotenuse von 6 cm.

Accepted Answer

0,67

Answer

0,5

Answer

0,75

Answer

0,83

Question 31

Welche der folgenden trigonometrischen Funktionen ist eine ungerade Funktion?

Accepted Answer

Sinus

Answer

Kosinus

Answer

Tangens

Answer

Kotangens

Question 32

Welche Formel berechnet den Tangens eines Winkels?

Accepted Answer

Gegenkathete / Ankathete

Answer

Gegenkathete / Hypotenuse

Answer

Ankathete / Gegenkathete

Answer

Ankathete / Hypotenuse

Question 33

In welchen Quadranten liegen die Winkel, für die der Kosinus positiv ist?

Accepted Answer

I und IV

Answer

II und III

Answer

nur im I. Quadranten

Answer

nur im IV. Quadranten

Question 34

In einem rechtwinkligen Dreieck hat die Gegenkathete eine Länge von 5 cm und die Hypothenuse eine Länge von 10 cm. Wie groß ist der Sinus des Winkels gegenüber der Gegenkathete?

Accepted Answer

0,5

Answer

2

Answer

1

Answer

0,25

Question 35

Welcher Winkel hat einen Kosinus-Wert von 1?

Accepted Answer

0°

Answer

30°

Answer

60°

Answer

45°

Question 36

Welches der folgenden Dreiecke hat einen Winkel mit einem Tangens-Wert von 2?

Accepted Answer

Ein Dreieck mit gegenüberliegendem Winkel von etwa 63,4°

Answer

Ein Dreieck mit gegenüberliegendem Winkel von 45°

Answer

Ein Dreieck mit gegenüberliegendem Winkel von 30°

Question 37

In einem Kreis mit Radius 5 cm liegt ein Punkt P im Abstand von 3 cm vom Mittelpunkt. Welchen Winkel bildet die Verbindungslinie von P zum Mittelpunkt mit der Horizontalen?

Accepted Answer

Etwa 36,9°

Answer

60°

Answer

90°

Answer

45°

Question 38

Welche Aussage über Sinus und Kosinus eines Winkels ist korrekt?

Accepted Answer

Sinus² + Kosinus² = 1

Answer

Sinus / Kosinus = 1

Answer

Sinus * Kosinus = 1

Answer

Sinus - Kosinus = 1

Question 39

Welche der folgenden Gleichungen ist eine trigonometrische Identität?

Accepted Answer

sin²α + cos²α = 1

Answer

sinα - cosα = 1

Answer

sinα * cosα = 1

Answer

sinα + cosα = 1

Question 40

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Graphen trigonometrischer Funktionen korrekt?

Accepted Answer

Sie sind periodisch.

Answer

Sie sind linear.

Answer

Sie sind exponentiell.

Answer

Sie sind logarithmisch.

Question 41

Welche Funktion ist die Umkehrfunktion von sinα?

Accepted Answer

arcsinα

Answer

tanα

Answer

cosα

Answer

cotα

Question 42

Welchen Wert hat tan(π/2)?

Accepted Answer

undefiniert

Answer

1

Answer

0

Answer

-1

Question 43

Welche der folgenden Aussagen über Trigonometrie ist falsch?

Accepted Answer

Trigonometrie wird nur in der Mathematik verwendet.

Answer

Trigonometrie wird in der Navigation eingesetzt.

Answer

Trigonometrie findet Anwendung in der Physik.

Question 44

Berechne den Kosinus von 45 Grad:

Accepted Answer

√2 / 2

Answer

1 / 2

Answer

√3 / 2

Answer

2 / √2

Question 45

In einem rechtwinkligen Dreieck mit einer Hypotenuse von 10 cm und einer Gegenkathete von 6 cm lautet der Tangens des Winkels gegenüber der Gegenkathete:

Accepted Answer

3 / 4

Answer

4 / 3

Answer

6 / 8

Question 46

Welche Aussage über den Sinus und Kosinus eines Winkels ist korrekt?

Accepted Answer

Sin² α + Cos² α = 1

Answer

Sin α + Cos α = 1

Answer

Sin α - Cos α = 1

Answer

Sin α / Cos α = 1

Question 47

In einem rechtwinkligen Dreieck misst die Länge der Hypotenuse 10 cm und die Länge der Gegenkathete 6 cm. Wie groß ist der Sinus des Winkels gegenüber der Gegenkathete?

Accepted Answer

0,6

Answer

1,6

Answer

0,8

Answer

1,2

Question 48

Auf einem Berg steht ein Aussichtsturm mit einer Höhe von 15 Metern. Vom Fuß des Turms wird ein Objekt in der Horizontalen in einer Entfernung von 30 Metern beobachtet. Welcher Winkel liegt zwischen der Horizontalen und der Verbindungslinie vom Turm zum Objekt?

Accepted Answer

arctan(15/30)

Answer

arccot(15/30)

Answer

arcsin(15/30)

Answer

arccos(15/30)

Question 49

Welche trigonometrische Identität gilt für alle Winkel zwischen 0° und 90°?

Accepted Answer

sin²x + cos²x = 1

Answer

cot²x - 1 = csc²x

Answer

sin²x - cos²x = 1

Answer

tan²x + 1 = sec²x

Question 50

Welche Aussage über den Kosinus eines Winkels ist richtig?

Accepted Answer

Der Kosinus ist immer positiv oder null.

Answer

Der Kosinus ist immer negativ oder null.

Answer

Der Kosinus ist immer positiv oder negativ.

Answer

Der Kosinus ist immer null.

Question 51

In welchem Quadranten ist der Sinus eines Winkels negativ?

Accepted Answer

III und IV

Answer

I und II

Answer

II und III

Question 52

Welche der folgenden Funktionen ist eine gerade Funktion?

Accepted Answer

Kosinus

Answer

Sinus

Answer

Tangens

Answer

Kotangens

Question 53

Welche der folgenden Aussagen über die Umkehrfunktion des Sinus ist korrekt?

Accepted Answer

Die Umkehrfunktion des Sinus ist der Arkussinus.

Answer

Die Umkehrfunktion des Sinus ist der Tangens.

Answer

Die Umkehrfunktion des Sinus ist der Kosinus.

Answer

Die Umkehrfunktion des Sinus gibt es nicht.

Question 54

Der Sinus eines Winkels von 30° beträgt:

Accepted Answer

1/2

Answer

1/6

Answer

1/8

Answer

1/4

Question 55

Welche Aussage über den Kosinus eines Winkels von 180° ist richtig?

Accepted Answer

Er ist gleich -1

Answer

Er ist gleich 1

Answer

Er ist gleich 1/2

Answer

Er ist gleich 0

Question 56

Ein Turm hat eine Höhe von 20 Metern. Der Winkel, unter dem ein Beobachter am Fuß des Turms die Turmspitze sieht, beträgt 30°. Wie weit ist der Beobachter vom Fuß des Turms entfernt?

Accepted Answer

etwa 20/√3 Meter

Answer

etwa 20/3 Meter

Answer

etwa 20 Meter

Answer

etwa 20√3 Meter

Question 57

Welche der folgenden Aussagen ist falsch?

Accepted Answer

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Sinuswinkel immer kleiner als der Kosinuswinkel.

Answer

In einem spitzwinkligen Dreieck ist der Sinuswinkel größer als der Kosinuswinkel.

Answer

In einem stumpfwinkligen Dreieck ist der Kosinuswinkel größer als der Sinuswinkel.

Question 58

Die trigonometrische Identität tan²α + 1 = sec²α lautet ausgeschrieben:

Accepted Answer

tan²α + 1 = 1/cos²α

Answer

tan²α + 1 = sin²α/cos²α

Answer

tan²α + 1 = cos²α + sin²α

Answer

tan²α + 1 = cos²α - sin²α

Question 59

Welches der folgenden Diagramme zeigt den Graphen der Sinusfunktion?

Accepted Answer

Eine Kurve, die zwischen -1 und 1 oszilliert

Answer

Eine gerade Linie

Answer

Ein Kreis

Answer

Eine Parabel

Question 60

In welcher Periode wiederholt sich die Sinusfunktion?

Accepted Answer

2π

Answer

3π/2

Answer

π/2

Answer

π

Question 61

Welcher Sinuswert gehört zu einem Winkel von 30°?

Accepted Answer

1/2

Answer

1

Answer

1/4

Answer

3/4

Question 62

Welche Aussage über den Sinus eines Winkels ist richtig?

Accepted Answer

Er kann Werte zwischen -1 und 1 annehmen.

Answer

Er ist immer größer als 1.

Answer

Er ist immer positiv.

Answer

Er ist immer kleiner als 0,5.

Question 63

Welche trigonometrische Funktion wird verwendet, um die Länge der Gegenkathete in einem rechtwinkligen Dreieck zu berechnen?

Accepted Answer

Sinus

Answer

Kotangens

Answer

Tangens

Answer

Kosinus

Question 64

Welche trigonometrische Funktion ist die Umkehrfunktion von Sinus?

Accepted Answer

Arkussinus

Answer

Arkkosinus

Answer

Arktangens

Answer

Arkkotangens