Stochastik lernen: Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen verstehen

Question 1

Ein Würfel wird zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal eine 6 gewürfelt wird?

Accepted Answer

11/36

Answer

1/6

Answer

1/3

Question 2

Bei einem fairen Münzwurf beträgt die Wahrscheinlichkeit für Kopf 40 %. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für Zahl?

Accepted Answer

50 %

Answer

10 %

Answer

40 %

Answer

80 %

Question 3

Ein Würfel wird einmal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln.

Accepted Answer

1/2

Answer

1/3

Answer

1/4

Answer

1/6

Question 4

Beim Würfeln mit zwei fairen Würfeln ist X die Summe der Augenzahlen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass X gerade ist?

Accepted Answer

1/2

Answer

1/4

Answer

3/4

Answer

1

Question 5

Ein Würfel wird fünfmal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine Sechs gewürfelt wird?

Accepted Answer

(5/6)^5

Answer

1/6

Answer

0,5

Question 6

Ein Fußballer hat eine Wahrscheinlichkeit von 0,8, einen Elfmeter zu verwandeln. Was bedeutet das?

Accepted Answer

Im Laufe der Zeit wird der Fußballer etwa 80 % seiner Elfmeter verwandeln.

Answer

Der Fußballer wird mit Sicherheit den nächsten Elfmeter verwandeln.

Answer

Es ist wahrscheinlicher, dass der Fußballer den nächsten Elfmeter verschießt.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Fußballer den nächsten Elfmeter verwandelt, beträgt genau 0,8.

Question 7

Nenne drei Bereiche, in denen Stochastik eingesetzt wird, und erläutere kurz, wie sie dort genutzt wird.

Accepted Answer

Genetik: Untersuchung von Vererbungsregeln und Zufallsfaktoren bei der Weitergabe von Merkmalen.

Accepted Answer

Medizin: Entwicklung von Behandlungsplänen und Vorhersage von Krankheitsverläufen.

Accepted Answer

Finanzen: Einschätzung von Risiken und Prognose von Marktentwicklungen.

Question 8

In einer Untersuchung wurde die Standardabweichung mit s = 12 und die Varianz mit σ² = 144 berechnet. Wie hängen Standardabweichung und Varianz zusammen?

Accepted Answer

Die Varianz ist die Quadratwurzel der Standardabweichung.

Answer

Die Standardabweichung ist die doppelte Varianz.

Answer

Standardabweichung und Varianz sind unabhängig.

Answer

Die Standardabweichung ist die Hälfte der Varianz.

Question 9

Wie trägt die Standardisierung dazu bei, Zufallsvariablen mit unterschiedlichen Verteilungen vergleichbar zu machen?

Accepted Answer

Sie transformiert Zufallsvariablen in eine Standardnormalverteilung.

Answer

Sie ermöglicht die direkte Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für Zufallsvariablen mit unterschiedlichen Verteilungen.

Answer

Sie glättet Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Question 10

Was zeichnet die Exponentialverteilung aus und wie wird sie in der Modellierung zufälliger Ereignisse eingesetzt?

Accepted Answer

Sie ist eine stetig ansteigende Verteilung, die oft zur Beschreibung von Zeitspannen bis zum Eintreten eines Ereignisses genutzt wird.

Answer

Sie ist eine diskrete Verteilung, die die Anzahl von Ereignissen in einem bestimmten Zeitraum angibt.

Answer

Sie ist nicht für die Modellierung von Wartezeiten geeignet, da sie nicht negativ ansteigt.

Question 11

Der Satz von Bayes ist ein mathematisches Werkzeug. Was ermöglicht er?

Accepted Answer

Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, indem neue Informationen berücksichtigt werden.

Answer

Philosophische Prinzipien zu verstehen.

Answer

Wissenschaftliche Theorien zu erklären.

Question 12

Ein Statistiker soll die Genauigkeit einer Umfrage überprüfen. Welchen statistischen Ansatz kann er dafür nutzen?

Accepted Answer

Stichprobenziehung und Berechnung eines Konfidenzintervalls für den Stichprobenmittelwert

Answer

Umfrage mit großer Stichprobe

Answer

Befragung der Teilnehmer zur Genauigkeit der Umfrage

Question 13

Wie beeinflusst der Zufall stochastische Prozesse und wie können Simulationen zum Verständnis komplexer Systeme beitragen?

Accepted Answer

Simulationen ermöglichen die Untersuchung komplexer Systeme, indem sie Zufälligkeit und andere Faktoren berücksichtigen.

Answer

Zufall ist bei stochastischen Prozessen irrelevant, da sie vorhersehbar sind.

Answer

Simulationen eignen sich nur für die Analyse einfacher Systeme.

Answer

Zufall ist nur bei der Erzeugung von Zufallszahlen relevant.

Question 14

Was versteht man unter stochastischer Abhängigkeit? Erläutere anhand eines konkreten Beispiels, wie sie sich in der Praxis äußern kann.

Accepted Answer

Wenn das Eintreten eines Ereignisses die Wahrscheinlichkeit beeinflusst, dass ein anderes Ereignis eintritt.

Answer

Wenn die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses von der Häufigkeit seines Auftretens in der Vergangenheit abhängt.

Answer

Wenn die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unabhängig von anderen Ereignissen ist.

Answer

Wenn das Ergebnis eines Experiments immer vorhersehbar ist.

Question 15

Erläutere den Zusammenhang zwischen Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen. Wie können diese Werte genutzt werden, um die Verteilung der Zufallsvariablen zu beschreiben?

Accepted Answer

Erwartungswert und Varianz sind voneinander abhängig und liefern Informationen über die Lage und Streuung der Zufallsvariablen.

Answer

Erwartungswert und Varianz sind unabhängig voneinander und geben keine Auskunft über die Verteilung der Zufallsvariablen.

Answer

Erwartungswert und Varianz sind nur für stetige Zufallsvariablen definiert.

Question 16

Welche Merkmale und Anwendungen zeichnen die Binomialverteilung aus?

Accepted Answer

Diskret, modelliert Erfolgsanzahl in unabhängigen Experimenten mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit

Answer

Stetig, modelliert Wartezeit bis zum nächsten Ereignis

Answer

Modelliert Wahrscheinlichkeit für bestimmten Wert in Zufallsvariablen

Answer

Normalverteilt, modelliert Populationsgröße

Question 17

Welche Rolle spielt der Zufall bei der Modellierung stochastischer Prozesse? Erkläre außerdem, warum Simulationen bei der Untersuchung komplexer Systeme hilfreich sind.

Accepted Answer

Der Zufall ist entscheidend für stochastische Prozesse und Simulationen sind unerlässlich für die Untersuchung komplexer Systeme.

Answer

Der Zufall hat keinen Einfluss auf stochastische Prozesse und Simulationen sind nutzlos.

Answer

Der Zufall beeinflusst stochastische Prozesse kaum und Simulationen sind überflüssig.

Answer

Der Zufall ist sehr wichtig für stochastische Prozesse, aber Simulationen sind nicht hilfreich.

Question 18

Berechne die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit der folgenden Formel:

Accepted Answer

Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch Anzahl aller möglichen Ergebnisse

Answer

Anzahl der ungünstigen Ergebnisse geteilt durch Anzahl aller möglichen Ergebnisse

Answer

Anzahl der möglichen Ergebnisse geteilt durch Anzahl der günstigen Ergebnisse

Answer

Anzahl der ungünstigen Ergebnisse geteilt durch Anzahl der günstigen Ergebnisse

Question 19

Ein Würfel wird geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln?

Accepted Answer

1/2

Answer

1/3

Answer

2/3

Answer

1

Question 20

In einer Urne befinden sich 5 rote und 3 blaue Kugeln. Eine Kugel wird zufällig gezogen: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen?

Accepted Answer

3/8

Answer

5/8

Answer

1/4

Answer

1/2

Question 21

Ein Zufallsexperiment verfügt über 6 mögliche Ausgänge mit folgenden Wahrscheinlichkeiten: p1 = 1/6, p2 = 1/6, p3 = 1/6, p4 = 1/6, p5 = 1/6 und p6 = 1/6. Welcher Ausgang ist am wahrscheinlichsten?

Accepted Answer

Jeder Ausgang ist gleich wahrscheinlich.

Answer

Ausgang 1

Answer

Ausgang 3

Answer

Ausgang 6

Question 22

Welcher der folgenden Graphen stellt eine Normalverteilung dar?

Accepted Answer

Glockenförmiger Graph mit symmetrischen Schultern

Answer

Parabelförmiger Graph mit Scheitelpunkt

Answer

Dreiecksförmiger Graph mit schiefen Seiten

Question 23

100 Schüler absolvieren einen Test. Der Mittelwert der Testergebnisse beträgt 75 Punkte, die Standardabweichung 10 Punkte: Wie viele Schüler haben mindestens 85 Punkte erreicht?

Accepted Answer

16

Answer

75

Answer

25

Answer

50

Question 24

Welche Aussage über eine lineare Regression ist korrekt?

Accepted Answer

Die Regressionsgerade modelliert den linearen Zusammenhang zwischen der abhängigen und den unabhängigen Variablen.

Answer

Die Regressionsgerade passt immer perfekt zu den Datenpunkten.

Question 25

Ein Datensatz enthält die Variablen Alter und Einkommen: Welche Diagrammart eignet sich am besten, um den Zusammenhang zwischen diesen Variablen darzustellen?

Accepted Answer

Streudiagramm

Answer

Balkendiagramm

Answer

Kreisdiagramm

Answer

Stabdiagramm

Question 26

Welcher Buchstabe steht für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A?

Accepted Answer

P(A)

Answer

A U B

Answer

P(A')

Answer

A / B

Question 27

Eine Münze wird dreimal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Seite Kopf zeigt?

Accepted Answer

7/8

Answer

3/8

Answer

1/8

Answer

1/2

Question 28

Ein Würfel wird geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln?

Accepted Answer

1/2

Answer

2/3

Answer

1/3

Answer

1/6

Question 29

Welche der folgenden Variablen ist eine stetige Zufallsvariable?

Accepted Answer

Gewicht einer Person

Answer

Geschwisteranzahl

Answer

Augenfarbe

Answer

Schulnoten

Question 30

Welche der folgenden Hypothesen ist eine Alternativhypothese?

Accepted Answer

Die durchschnittliche Körpergröße der Schüler einer bestimmten Klasse ist größer als 1,75 m.

Answer

Die durchschnittliche Körpergröße der Schüler einer bestimmten Klasse ist 1,75 m.

Answer

Die durchschnittliche Körpergröße der Schüler einer bestimmten Klasse ist kleiner als 1,75 m.

Question 31

Welcher Begriff beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Ereignisse unabhängig voneinander sind?

Accepted Answer

Stochastische Unabhängigkeit

Answer

Kovarianz

Answer

Korrelation

Answer

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Question 32

Eine Münze wird dreimal fair geworfen. Bestimme die Anzahl der möglichen Ergebnisse.

Accepted Answer

8

Answer

12

Answer

4

Answer

16

Question 33

Ein Würfel wird geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln.

Accepted Answer

1/6

Answer

1/3

Answer

1/2

Answer

2/3

Question 34

Eine Urne enthält 5 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Anschließend wird eine weitere Kugel gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Kugeln zu ziehen.

Accepted Answer

1/5

Answer

1/3

Answer

2/15

Answer

1/10

Question 35

Welche Aussage zu Wahrscheinlichkeiten ist korrekt?

Accepted Answer

Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten eines Zufallsversuchs beträgt 1.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann größer als 1 sein.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann kleiner als 0 sein.

Question 36

Eine Umfrage ergab, dass 20 % der Schüler einer Klasse gerne Mathe mögen. Wenn 25 Schüler in der Klasse sind, wie viele Schüler mögen dann Mathe?

Accepted Answer

5

Answer

15

Answer

10

Question 37

Welche Zufallsvariable ist diskret?

Accepted Answer

Anzahl der Augen beim Würfeln einer Münze

Answer

Temperatur eines Raumes

Answer

Geschwindigkeit eines fahrenden Autos

Answer

Gewicht eines Würfels

Question 38

Berechne den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariable mit n = 10 und p = 0,5.

Accepted Answer

5

Answer

2,5

Answer

7,5

Question 39

Welche Aussage zu einer Normalverteilung ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist symmetrisch um den Erwartungswert.

Answer

Sie ist rechtsschief.

Answer

Sie hat eine Spitze.

Answer

Sie ist linksschief.

Question 40

Bei einem Hypothesentest wird überprüft, ob der Mittelwert einer Population größer als 100 ist. Die Stichprobenziehung ergibt einen Mittelwert von 110 und eine Standardabweichung von 15. Was ist das Ergebnis?

Accepted Answer

Die Nullhypothese wird verworfen.

Answer

Die Alternativhypothese wird verworfen.

Answer

Der p-Wert ist kleiner als 0,05.

Question 41

Nenne eine Methode, die verwendet werden kann, um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu schätzen.

Accepted Answer

Simulation

Answer

Induktion

Answer

Deduktion