Trigonometrie lernen: Sinus, Kosinus und Tangens verstehen

Question 1

Was ist die Definition des Kosinus eines Winkels α im Einheitskreis?

Accepted Answer

x-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis

Answer

y-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis

Answer

Abstand des Punktes auf dem Einheitskreis zum Ursprung

Answer

Größe des Winkels α

Question 2

Wie hängt der Sinus mit dem Kosinus in einem rechtwinkligen Dreieck zusammen?

Accepted Answer

Sinus² + Kosinus² = 1

Answer

Kosinus = 1 - Sinus

Answer

Kosinus = Gegenkathete / Ankathete

Answer

Sinus = Kosinus * Ankathete

Question 3

Wie lautet die Definition des Tangens in einem rechtwinkligen Dreieck?

Accepted Answer

Gegenkathete geteilt durch Ankathete

Answer

Hypotenuse geteilt durch Ankathete

Answer

Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse

Answer

Ankathete geteilt durch Hypotenuse

Question 4

In einem beliebigen Dreieck mit Seitenlängen a, b und c sei der Winkel gegenüber der Seite c mit Alpha bezeichnet. Wie lautet die korrekte Aussage über den Sinus des Winkels Alpha?

Accepted Answer

Der Sinus von Alpha ist das Verhältnis der Gegenseite a zur Hypotenuse c.

Answer

Der Sinus von Alpha ist das Verhältnis der Gegenseite a zur Hypotenuse b.

Answer

Der Sinus von Alpha ist das Verhältnis der Ankathete b zur Hypotenuse c.

Question 5

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Seitenlängen a = 3 cm, b = 4 cm und c = 5 cm. Wie groß ist der Sinus des Winkels α zwischen den Seiten a und c?

Accepted Answer

0,6

Answer

0,8

Answer

1,2

Answer

1,5

Question 6

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse c und die Gegenkathete a. Wie berechnet man den Sinus des Winkels gegenüber der Gegenkathete?

Accepted Answer

a/c

Answer

c/a

Answer

a²/c²

Answer

c²/a²

Question 7

Berechne den Winkel α im rechtwinkligen Dreieck, wenn sin(α) = 0,8 beträgt.

Accepted Answer

α ≈ 53,13°

Answer

α = 0,8

Answer

α = 90°

Answer

α = 45°

Question 8

Im rechtwinkligen Dreieck ABC ist c die Länge der Hypotenuse und a die Länge der Gegenkathete. Wie berechnet man den Sinus des Winkels α gegenüber der Gegenkathete?

Accepted Answer

a / c

Answer

c / a

Answer

a / b

Question 9

In einem rechtwinkligen Dreieck misst der Winkel alpha 30 Grad. Welchen Wert hat der Tangens von alpha?

Accepted Answer

1/√3

Answer

0

Answer

√3

Answer

2

Question 10

Warum liegt der Kosinus eines spitzen Winkels im Bogenmaß immer zwischen 0 und 1?

Accepted Answer

Weil der Kosinus die x-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis ist, der dem Winkel entspricht.

Answer

Weil der Kosinus eine gerade Funktion ist.

Answer

Weil der Bogenmaßwert eines spitzen Winkels immer größer als 1 ist.

Question 11

Vergleiche die Graphen der Funktionen f(x) = sin(x) und g(x) = cos(x). Nenne ihre Gemeinsamkeiten und Unterschiede.

Accepted Answer

Gemeinsamkeiten: Periode 2π, Amplitude 1. Unterschied: Graph von g(x) um π/2 nach links gegenüber f(x) verschoben.

Answer

Gemeinsamkeiten: Sinuskurven. Unterschied: f(x) gerade, g(x) Parabel.

Answer

Gemeinsamkeiten: Nur Minima. Unterschied: Graph von f(x) um π/2 nach rechts gegenüber g(x) verschoben.

Answer

Gemeinsamkeiten: Amplitude 2. Unterschied: Periode von g(x) π, Periode von f(x) 2π.

Question 12

In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt der Sinus des Winkels α zwischen den Katheten AC und BC 0,6. Wie groß ist der Kosinus des Winkels β zwischen der Hypotenuse AB und der Kathete BC?

Accepted Answer

0,4

Answer

0,6

Answer

0,8

Question 13

Wie lassen sich die Winkel in einem beliebigen Dreieck mithilfe der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus bestimmen?

Accepted Answer

Sinus- und Kosinusfunktion anwenden

Answer

Satz des Pythagoras verwenden

Answer

Höhenlinien zeichnen

Answer

Flächeninhalt berechnen

Question 14

Beweise die trigonometrische Identität sin²(α) + cos²(α) = 1 mithilfe des Einheitskreises.

Accepted Answer

Wende den Satz des Pythagoras auf das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis an.

Answer

Nutze die Definitionen von Sinus und Kosinus.

Answer

Verwende die Winkeladditionstheoreme.

Answer

Berechne sin²(α) + cos²(α) für α = 0° und α = 90°.

Question 15

Wie lässt sich die Höhe eines Baumes mithilfe trigonometrischer Funktionen ermitteln, wenn der Baum einen Schatten wirft?

Accepted Answer

Abstand zum Baum und Höhenwinkel zum Baumgipfel messen

Answer

Länge des Schattens und Höhe des Beobachters messen

Answer

Baumhöhe mit einer App schätzen

Question 16

Wie nutzen Astronomen trigonometrische Funktionen, um die Entfernung zu Sternen zu bestimmen?

Accepted Answer

Sie messen den Winkel zwischen einem bekannten Stern und dem Zielstern und berechnen dann die Entfernung mit trigonometrischen Funktionen.

Answer

Sie messen die Geschwindigkeit des Zielsterns und berechnen dann die Entfernung mit trigonometrischen Funktionen.

Answer

Sie messen die scheinbare Größe des Zielsterns und berechnen dann die Entfernung mit trigonometrischen Funktionen.

Answer

Sie messen die Masse des Zielsterns und berechnen dann die Entfernung mit trigonometrischen Funktionen.

Question 17

Wie unterstützen trigonometrische Funktionen Navigationsgeräte bei der Bestimmung von Position und Richtung?

Accepted Answer

Trigonometrische Funktionen berechnen Entfernung und Richtung zwischen zwei Punkten auf einer Karte.

Answer

Trigonometrische Funktionen messen die Höhe von Bergen.

Question 18

Begründe, warum die Funktion f(x) = tan(x) für alle reellen Zahlen x ungerade ist.

Accepted Answer

f(x) ist ungerade, denn f(-x) = -f(x).

Answer

f(x) ist gerade, denn f(-x) = f(x).

Answer

f(x) ist weder ungerade noch gerade.

Question 19

Wann und wo entstand die Trigonometrie?

Accepted Answer

Babylonien, 2000 v. Chr.

Answer

Griechenland, 500 v. Chr.

Answer

Indien, 1000 n. Chr.

Answer

China, 1500 n. Chr.

Question 20

Wie können die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus eingesetzt werden, um die Flugbahn eines Geschosses zu berechnen?

Accepted Answer

Sinus für die Höhe und Kosinus für die Weite

Answer

Tangens für die Steigung

Answer

Kosinus für die Geschwindigkeit

Answer

Sinus für die Höhe

Question 21

Welche trigonometrischen Identitäten sind bei der Berechnung von Seitenlängen und Winkeln in rechtwinkligen Dreiecken besonders hilfreich? Erläutere kurz die Anwendung jeder Identität.

Accepted Answer

Sinussatz

Accepted Answer

Kosinussatz

Accepted Answer

Additionstheoreme

Accepted Answer

Tangenssatz

Question 22

Wie werden trigonometrische Funktionen in der Bildverarbeitung eingesetzt, um Bilder zu drehen, skalieren und spiegeln?

Accepted Answer

Durch Berechnung der Drehwinkel und Anwendung von Rotationsmatrizen.

Accepted Answer

Durch Berechnung der Skalierungsfaktoren und Anwendung von Skalierungsmatrizen.

Accepted Answer

Durch Berechnung der Spiegelachsen und Anwendung von Spiegelungsmatrizen.

Answer

Durch Berechnung der Farbwerte benachbarter Pixel und Anwendung von Farbmischungsalgorithmen.

Question 23

In einem rechtwinkligen Dreieck mit einem Winkel von 60 Grad hat die Hypotenuse eine Länge von 8 cm. Berechne die Länge der Gegenkathete.

Accepted Answer

4√3 cm

Answer

4 cm

Answer

8√3 cm

Answer

8 cm

Question 24

Welche der folgenden Identitäten ist richtig?

Accepted Answer

tan²α - cot²α = 1

Answer

sin²α + cos²α = 0

Answer

sinα · cosα = 1

Answer

tanα + cotα = 1

Question 25

In welchem Quadranten liegt der Winkel, dessen Tangenswert negativ und der Sinuswert positiv ist?

Accepted Answer

III

Answer

I

Answer

II

Answer

IV

Question 26

Welche der folgenden Funktionen ist eine ungerade Funktion?

Accepted Answer

Sinus

Answer

Kosinus

Answer

Tangens

Answer

Kotangens

Question 27

Welche Aussage zur Winkelfunktion Sinus ist korrekt?

Accepted Answer

Der Sinus nimmt Werte zwischen -1 und 1 an.

Answer

Der Sinus kann auch Werte größer als 1 annehmen.

Answer

Der Sinus ist immer positiv.

Answer

Der Sinus ist nur für spitze Winkel definiert.

Question 28

Welche Aussage über den Tangens ist korrekt?

Accepted Answer

Der Tangens ist das Verhältnis von Gegenkathete zur Ankathete.

Answer

Der Tangens ist das Verhältnis von Hypothenuse zur Gegenkathete.

Answer

Der Tangens ist das Verhältnis von Ankathete zur Gegenkathete.

Question 29

Welche Aussage über Sinus ist richtig?

Accepted Answer

Sinus ist das Verhältnis der gegenüberliegenden Kathete zur Hypotenuse.

Answer

Sinus ist das Verhältnis der anliegenden Kathete zur gegenüberliegenden Kathete.

Answer

Sinus ist das Verhältnis der anliegenden Kathete zur Hypotenuse.

Question 30

Berechne die Länge der Ankathete **a**, wenn der Kosinus des Winkels α 0,5 beträgt und die Hypotenuse 10 cm misst.

Accepted Answer

5 cm

Answer

20 cm

Answer

15 cm

Answer

10 cm

Question 31

Berechne den Winkel β, wenn der Sinus von β 0,707 beträgt.

Accepted Answer

45°

Answer

30°

Answer

90°

Answer

60°

Question 32

Welche der folgenden Funktionen ist ungerade?

Accepted Answer

Sinus

Answer

Tangens

Answer

Kosinus

Answer

Alle genannten Funktionen sind gerade.

Question 33

Welche der folgenden Anwendungen der Trigonometrie wird in der Navigation eingesetzt?

Accepted Answer

Berechnung der Entfernung zu einem Ziel anhand des Winkels und der Höhe

Answer

Berechnung des Volumens eines Würfels

Answer

Berechnung der Fläche eines Rechtecks

Question 34

Was besagt die Definition des Sinus eines Winkels α im rechtwinkligen Dreieck?

Accepted Answer

Gegenkathete dividiert durch Hypotenuse

Answer

Hypotenuse dividiert durch Gegenkathete

Answer

Ankathete dividiert durch Hypotenuse

Answer

Ankathete dividiert durch Gegenkathete

Question 35

Berechne den Kosinus des Winkels β, wenn der Winkel α 30° und die Hypotenuse 10 cm lang ist.

Accepted Answer

√3 / 2

Answer

1 / 2

Answer

√2 / 2

Answer

3 / 4

Question 36

Welche der aufgeführten Gleichungen ist die Pythagoreische Trigonometrische Identität?

Accepted Answer

sin² α + cos² α = 1

Answer

cos α - sin α = 1

Answer

sin α / cos α = tan α

Answer

tan α + cot α = 1

Question 37

Berechne den Winkel α, wenn sin α = 0,8 beträgt.

Accepted Answer

53,1°

Answer

36,9°

Answer

63,4°

Answer

78,5°

Question 38

Welche der aufgeführten Funktionen ist eine ungerade Funktion?

Accepted Answer

sin x

Answer

cos x

Answer

tan x

Answer

cot x

Question 39

Welche Winkelfunktion entspricht der Formel Gegenkathete / Ankathete?

Accepted Answer

Tangens

Answer

Kosinus

Answer

Sinus

Question 40

Welcher Winkel ist der Komplementärwinkel zu einem Winkel von 30°?

Accepted Answer

60°

Answer

45°

Answer

90°

Answer

120°

Question 41

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Länge der Ankathete a = 3 cm, die Länge der Gegenkathete b = 4 cm. Wie groß ist der Winkel bei A?

Accepted Answer

53,13°

Answer

36,87°

Answer

63,43°

Answer

78,69°

Question 42

In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt die Länge der Hypotenuse 10 cm und die Länge einer Kathete 6 cm. Wie lang ist die andere Kathete?

Accepted Answer

8 cm

Answer

12 cm

Answer

16 cm

Answer

4 cm

Question 43

Ein Flugzeug fliegt in einem Winkel von 15° zur Horizontalen. Wenn das Flugzeug 2000 m zurücklegt, wie weit ist es dann gestiegen?

Accepted Answer

517,6 m

Answer

1000 m

Answer

1500 m

Answer

2000 m

Question 44

Ein Baum wirft einen Schatten von 12 m Länge. Der Winkel zwischen dem Boden und der Sonnenstrahl, der die Spitze des Baums trifft, beträgt 30°. Wie hoch ist der Baum?

Accepted Answer

6,93 m

Answer

12 m

Answer

4 m

Answer

24 m

Question 45

Welcher Winkel hat einen Tangens von 1?

Accepted Answer

45°

Answer

30°

Answer

90°

Answer

60°

Question 46

In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt die Länge der Hypotenuse 15 cm und die Länge einer Kathete 9 cm. Welcher Winkel ist der kleinste?

Accepted Answer

Der Winkel gegenüber der Kathete mit der Länge 9 cm.

Answer

Der rechte Winkel.

Answer

Der Winkel gegenüber der Kathete mit der Länge 12 cm.

Question 47

Welche der folgenden Gleichungen ist eine trigonometrische Identität?

Accepted Answer

sin² α + cos² α = 1

Answer

cos α = 1 / sin α

Answer

tan α = sin α / cos α

Answer

sin α + cos α = 1

Question 48

In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Kathetenlängen 5 cm und 12 cm beträgt die Länge der Hypotenuse:

Accepted Answer

13 cm

Answer

19 cm

Answer

17 cm

Answer

7 cm

Question 49

Welcher Winkel im rechtwinkligen Dreieck wird als Alpha (α) bezeichnet?

Accepted Answer

Der Winkel gegenüber der Gegenkathete

Answer

Der Winkel gegenüber der Hypotenuse

Answer

Der rechte Winkel

Answer

Der Winkel zwischen Hypotenuse und Ankathete

Question 50

Ein rechtwinkliges Dreieck hat eine Hypotenuse von 10 cm und einen Winkel von 30°. Wie lang ist die Gegenkathete?

Accepted Answer

5 cm

Answer

√3 cm

Answer

5√3 cm

Answer

10 cm

Question 51

Welche Formel beschreibt den Zusammenhang zwischen Sinus, Kosinus und Tangens?

Accepted Answer

tan α = sin α / cos α

Answer

sin α = cos α / tan α

Answer

cos α = sin α * tan α

Answer

tan α = cos α / sin α

Question 52

Ein Baum wirft einen 12 Meter langen Schatten. Der Winkel zwischen Sonne und Boden beträgt 60°. Wie hoch ist der Baum?

Accepted Answer

12√3 Meter

Answer

12 Meter

Answer

6√3 Meter

Question 53

Ein Flugzeug startet mit einem Winkel von 15° zum Horizont. Nach 5 km Flugstrecke beträgt die Höhe des Flugzeugs:

Accepted Answer

ungefähr 1,3 km

Answer

ungefähr 5 km

Answer

ungefähr 2,5 km

Answer

ungefähr 4,3 km

Question 54

Welche Aussage ist FALSCH?

Accepted Answer

Der Tangens eines Winkels ist immer größer als 1.

Answer

Der Sinus eines Winkels kann Werte zwischen -1 und 1 annehmen.

Answer

Der Sinus eines Winkels ist im rechtwinkligen Dreieck die Länge der Gegenkathete dividiert durch die Länge der Hypotenuse.

Answer

Der Kosinus eines Winkels kann Werte zwischen -1 und 1 annehmen.

Question 55

In einem rechtwinkligen Dreieck mit einer Hypotenuse von 20 cm und einem Winkel von 45° beträgt die Länge jeder Kathete:

Accepted Answer

10√2 cm

Answer

10 cm

Answer

5√2 cm

Answer

20 cm

Question 56

Ein Schlitten fährt eine 10 Meter lange Rampe hinauf. Der Winkel zwischen Rampe und Horizont beträgt 30°. Wie hoch ist die Rampe?

Accepted Answer

5 Meter

Answer

10√3 Meter

Answer

5√3 Meter

Answer

10 Meter