Numerische Mathematik lernen: Interaktive Quizzes für Klasse 13

Question 1

Welche Methode eignet sich zur Anpassung einer Funktion an eine gegebene Datensammlung?

Accepted Answer

Regression

Answer

Interpolation

Answer

Extrapolation

Answer

Differentiation

Question 2

Welche Aussage zur numerischen Optimierung trifft zu?

Accepted Answer

Die Wahl der Optimierungsmethode hängt vom Problem ab.

Answer

Numerische Optimierung liefert immer exakte Lösungen.

Answer

Numerische Optimierung ist für alle Optimierungsprobleme geeignet.

Answer

Numerische Optimierung ist nur für lineare Zielfunktionen anwendbar.

Question 3

Was ist das primäre Ziel der numerischen Lösung von linearen Gleichungssystemen?

Accepted Answer

Bestimmung von Näherungslösungen für ein gegebenes System linearer Gleichungen

Answer

Bestimmung exakter Lösungen für ein gegebenes System linearer Gleichungen

Answer

Bestimmung der Koeffizientenmatrix für ein gegebenes System linearer Gleichungen

Answer

Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren für ein gegebenes System linearer Gleichungen

Question 4

Was beschreibt die Bedingungszahl einer Matrix?

Accepted Answer

Das Verhältnis des größten zum kleinsten Eigenwert in ihrem Betrag

Answer

Das Verhältnis des kleinsten zum größten Eigenwert in ihrem Betrag

Answer

Die Anzahl der Eigenwerte der Matrix

Answer

Den Rang der Matrix

Question 5

Welche Aussage zur Stabilität numerischer Verfahren ist korrekt?

Accepted Answer

Ein numerisches Verfahren ist stabil, wenn kleine Änderungen in den Eingabedaten zu kleinen Änderungen in den Ausgabedaten führen.

Answer

Ein numerisches Verfahren ist stabil, wenn große Änderungen in den Eingabedaten zu großen Änderungen in den Ausgabedaten führen.

Answer

Die Stabilität eines numerischen Verfahrens hängt nicht von den Eingabedaten ab.

Answer

Ein numerisches Verfahren ist immer stabil, wenn es konvergent ist.

Question 6

Zu welchem Zweck wird eine Vorwärts- oder Rückwärtssubstitution eingesetzt?

Accepted Answer

Lösung eines linearen Gleichungssystems mit Dreiecksmatrix

Answer

Bestimmung der Koeffizienten einer linearen Gleichung

Answer

Berechnung des Eigenwerts einer Matrix

Answer

Bestimmung der Determinante einer Matrix

Question 7

Welcher Satz garantiert die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

Satz von Picard-Lindelöf

Answer

Satz von Banach

Answer

Satz von Laplace

Answer

Satz von Weierstraß

Question 8

Welches Kriterium muss für die Konvergenz des Gauß-Seidel-Iterationsverfahrens erfüllt sein?

Accepted Answer

Matrix A ist strikt diagonaldominant

Answer

Matrix A ist positiv definit

Answer

Matrix A ist symmetrisch

Answer

Matrix A ist invertierbar

Question 9

Welche Aussage zur numerischen Integration ist falsch?

Accepted Answer

Die Trapezregel liefert immer ein genaueres Ergebnis als die Simpson-Regel.

Answer

Die Trapezregel ist eine Methode zur Annäherung bestimmter Integrale.

Answer

Die numerische Integration wird verwendet, um Integrale zu finden, die keine exakten Lösungen haben.

Question 10

Welche Methode der numerischen Integration nutzt eine quadratische Interpolation?

Accepted Answer

Simpson-Regel

Answer

Trapezregel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Answer

Gauß-Quadratur

Question 11

Welcher Begriff beschreibt die Empfindlichkeit einer Matrix gegenüber kleinen Störungen?

Accepted Answer

Bedingungszahl

Answer

Rang

Answer

Determinante

Answer

Spur

Question 12

Wie funktioniert die Jacobi-Iteration zur Lösung eines linearen Gleichungssystems Ax = b?

Accepted Answer

Berechnet iterativ Näherungslösungen x^k+1, indem es jede Gleichung des Systems einzeln löst und die vorherigen Näherungen für die anderen Variablen verwendet.

Answer

Transformiert das System in eine Diagonalmatrix, indem Zeilen- und Spaltenoperationen angewendet werden.

Answer

Zerlegt das System in kleinere Teilsysteme, die einzeln gelöst werden können.

Answer

Wendet das Gauß-Eliminationsverfahren an, um das System in eine obere Dreiecksmatrix umzuwandeln.

Question 13

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

y' = x^2 + y, wobei y' die erste Ableitung von y nach x ist.

Answer

y'' + 2y' + y = 0, wobei y'' die zweite Ableitung von y nach x ist.

Answer

y''' - y' = sin(x), wobei y''' die dritte Ableitung von y nach x ist.

Answer

y'''' + y'' = cos(x), wobei y'''' die vierte Ableitung von y nach x ist.

Question 14

Was beschreibt die Konvergenzordnung eines numerischen Verfahrens?

Accepted Answer

Die Geschwindigkeit der Annäherung der Näherungslösung an die exakte Lösung

Answer

Die Anzahl der Iterationen, die für eine bestimmte Genauigkeit erforderlich sind

Answer

Den maximalen Fehler, der bei der numerischen Berechnung entsteht

Answer

Die Stabilität des numerischen Verfahrens

Question 15

Welche der folgenden Aufgaben fällt nicht in den Bereich der Numerischen Mathematik?

Accepted Answer

Beweis mathematischer Sätze

Answer

Entwicklung numerischer Verfahren

Answer

Implementierung numerischer Algorithmen

Answer

Analyse der Konvergenz numerischer Verfahren

Question 16

Welche numerische Methode wird zur Lösung linearer Gleichungssysteme eingesetzt, wenn die Matrix symmetrisch und positiv definit ist?

Accepted Answer

Cholesky-Zerlegung

Answer

Gauß-Algorithmus

Answer

Jacobi-Iterationsverfahren

Answer

QR-Zerlegung

Question 17

Welches Verfahren löst lineare Gleichungssysteme mit **symmetrischen und positiv definiten Matrizen**?

Accepted Answer

Cholesky-Zerlegung

Answer

Gauß-Eliminationsverfahren

Answer

Jacobi-Verfahren

Answer

Seidel-Verfahren

Question 18

Welche Konditionierung beschreibt ein Problem, bei dem **kleine Änderungen der Eingabedaten** zu großen Änderungen des Ergebnisses führen?

Accepted Answer

Schlecht konditioniert

Answer

Gut konditioniert

Answer

Mittelmäßig konditioniert

Answer

Optimal konditioniert

Question 19

Welche der folgenden Aussagen über die numerische Mathematik ist **falsch**?

Accepted Answer

Sie erfordert keine mathematische Theorie als Grundlage.

Answer

Sie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Entwicklung numerischer Methoden befasst.

Answer

Sie wird bei der Bearbeitung komplexer Probleme in verschiedenen Bereichen eingesetzt.

Answer

Sie ist für die moderne Wissenschaft und Technik von großer Bedeutung.

Question 20

Welche Rolle spielt die Programmierung in der numerischen Mathematik?

Accepted Answer

Sie ermöglicht die Umsetzung und Anwendung numerischer Algorithmen.

Answer

Sie ersetzt die mathematische Theorie, die der numerischen Mathematik zugrunde liegt.

Answer

Sie ist nur für einfache numerische Probleme notwendig.

Answer

Sie ist irrelevant für die numerische Mathematik.

Question 21

Welches Verfahren zur numerischen Integration wird verwendet, um ein Integral durch eine Summe gewichteter Funktionswerte zu approximieren?

Accepted Answer

Gauss-Legendre-Quadratur

Answer

Jacobi-Iteration

Answer

Steigungsschrittverfahren

Answer

Finite-Differenzen-Methode

Question 22

Wie lautet die Formel für die Jacobi-Iteration zur Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b?

Accepted Answer

x^(k+1) = b - Ax^(k)

Answer

x^(k+1) = Ax + b

Answer

Ax^(k+1) = b

Answer

x^(k+1) = x^(k) - A^-1b

Question 23

Wie lautet die Formel für die Forward-Euler-Methode zur numerischen Lösung der Differentialgleichung y' = f(x, y)?

Accepted Answer

y^(k+1) = y^(k) + hf(x^(k), y^(k))

Answer

y^(k+1) = y^(k) - hf(x^(k), y^(k))

Answer

y^(k+1) = y^(k) + hf(x^(k+1), y^(k+1))

Answer

y^(k+1) = y^(k) - hf(x^(k+1), y^(k+1))

Question 24

Welche Methode zur numerischen Integration liefert die genauesten Ergebnisse?

Accepted Answer

Gauß-Legendre-Quadratur

Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Question 25

Welcher Algorithmus zur Bestimmung von Eigenwerten einer Matrix ist ein iteratives Verfahren?

Accepted Answer

Jacobi-Algorithmus

Answer

QR-Algorithmus

Answer

LU-Zerlegung

Answer

Singulärwertzerlegung

Question 26

Welche der folgenden Methoden wird zur numerischen Berechnung des Integrals einer Funktion über ein Intervall verwendet?

Accepted Answer

Trapezregel

Answer

Runge-Kutta-Verfahren

Answer

Gaußsche Eliminierung

Answer

Newton-Raphson-Verfahren

Question 27

Welche Methode eignet sich zur numerischen Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung?

Accepted Answer

Euler-Verfahren

Answer

Newtonsche Methode

Answer

Finite-Differenzen-Methode

Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Question 28

Was versteht man unter dem konditionalen Fehler bei der numerischen Lösung eines Gleichungssystems?

Accepted Answer

Differenz zwischen der exakten Lösung und der numerisch berechneten Lösung

Answer

Anzahl der Gleichungen im System

Answer

Größe des Gleichungssystems

Question 29

Welche Aussage zur Konvergenz des Gauß-Seidel-Verfahrens ist korrekt?

Accepted Answer

Konvergiert für diagonaldominante Matrizen

Answer

Konvergiert nur für Matrizen mit kleinen Eigenwerten

Answer

Konvergiert immer für positive definite Matrizen

Answer

Konvergiert für jede quadratische Matrix

Question 30

Was beschreibt die Ordnung einer numerischen Integrationsmethode?

Accepted Answer

Den Grad des Polynoms, das zur Approximation der Funktion verwendet wird

Answer

Die Anzahl der verwendeten Funktionswerte

Answer

Die Größe des Integrationsintervalls

Question 31

Welche der folgenden Methoden eignet sich zur Lösung nichtlinearer Gleichungen?

Accepted Answer

Newtonsche Methode

Answer

Trapezregel

Answer

Runge-Kutta-Verfahren

Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Question 32

Was versteht man unter der Stabilität einer numerischen Methode zur Lösung von Differentialgleichungen?

Accepted Answer

Das Verhalten der numerischen Lösung bei kleinen Änderungen der Anfangsbedingungen

Answer

Die Konvergenzgeschwindigkeit der Methode

Answer

Die Exaktheit der Lösung

Question 33

Welche Matrix wird bei der Gauß-Elimination verwendet, um ein lineares Gleichungssystem zu lösen?

Accepted Answer

Augmentierte Matrix

Answer

Vandermonde-Matrix

Answer

Hesse-Matrix

Answer

Sylvester-Matrix

Question 34

Welche der folgenden Aussagen über die Rolle von Computern in der Numerischen Mathematik ist zutreffend?

Accepted Answer

Computer ermöglichen die effiziente Lösung komplexer numerischer Probleme.

Answer

Die Verwendung von Computern macht numerische Verfahren überflüssig.

Answer

Computer können numerische Probleme immer exakt lösen.

Question 35

Welche der folgenden Anwendungen der Numerischen Mathematik findet praktische Anwendung?

Accepted Answer

Modellierung physikalischer Phänomene

Answer

Erstellung von Kunstwerken

Answer

Spielen von Videospielen

Answer

Lösen von Rätseln

Question 36

Welche der folgenden Aussagen über die Zukunft der Numerischen Mathematik ist richtig?

Accepted Answer

Die Numerische Mathematik wird in der Zukunft immer wichtiger sein.

Answer

Die Numerische Mathematik wird durch künstliche Intelligenz ersetzt werden.

Answer

Die Numerische Mathematik wird nur noch für triviale Probleme eingesetzt werden.

Question 37

Welche Integrationsmethode liefert in der Regel die höchste Genauigkeit?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Monte-Carlo-Integration

Answer

Trapezregel

Answer

Simpson-Regel

Question 38

Welche Aussage zur numerischen Differentiation ist korrekt?

Accepted Answer

Numerische Differentiation ist im Allgemeinen anfälliger für Rundungsfehler als numerische Integration.

Answer

Numerische Differentiation kann nur für Ableitungen erster Ordnung verwendet werden.

Answer

Numerische Differentiation ist immer genauer als numerische Integration.

Question 39

Welche Aussage zur Monte-Carlo-Integration ist falsch?

Accepted Answer

Monte-Carlo-Integration ist immer die genaueste Integrationsmethode.

Answer

Monte-Carlo-Integration erfordert keine explizite Kenntnis der Funktion, für die das Integral berechnet werden soll.

Answer

Monte-Carlo-Integration eignet sich für Integrale in höheren Dimensionen.

Question 40

Welches Verfahren wird zur Lösung von Eigenwertproblemen verwendet?

Accepted Answer

QR-Algorithmus

Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Answer

SOR-Verfahren

Answer

Jacobi-Verfahren

Question 41

Welche Aussage zur numerischen linearen Algebra ist korrekt?

Accepted Answer

Die LU-Zerlegung ist eine direkte Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystemen.

Answer

Die iterative Lösung von linearen Gleichungssystemen ist immer schneller als die direkte Lösung.

Answer

Die Kondition einer Matrix hat keinen Einfluss auf die Genauigkeit der numerischen Lösung.

Question 42

Ein System linearer Gleichungen mit n Gleichungen und n Unbekannten hat genau dann eine eindeutige Lösung, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix...

Accepted Answer

von 0 verschieden ist.

Answer

gleich 0 ist.

Answer

positiv ist.

Question 43

Welche der folgenden Methoden eignet sich besonders gut zur Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems?

Accepted Answer

Newton-Verfahren

Answer

Jacobi-Verfahren

Answer

LU-Zerlegung

Question 44

Welche der folgenden Aussagen über das Euler-Verfahren zur Lösung einer Differentialgleichung ist falsch?

Accepted Answer

Das Euler-Verfahren ist eine implizite Methode.

Answer

Das Euler-Verfahren ist ein explizites Verfahren.

Answer

Das Euler-Verfahren ist eine Methode erster Ordnung.

Question 45

Was ist der Hauptvorteil von Runge-Kutta-Methoden im Vergleich zum Euler-Verfahren?

Accepted Answer

Sie haben eine höhere Ordnung und damit eine bessere Genauigkeit.

Answer

Sie können für steifere Differentialgleichungen verwendet werden.

Answer

Sie sind effizienter und benötigen weniger Rechenzeit.

Question 46

Welche der folgenden Methoden wird zur numerischen Lösung von Randwertproblemen für Differentialgleichungen verwendet?

Accepted Answer

Finite-Differenzen-Methode

Answer

Monte-Carlo-Simulation

Answer

Euler-Verfahren

Question 47

Was versteht man unter Konditionierung eines Problems?

Accepted Answer

Die Empfindlichkeit der Lösung gegenüber kleinen Änderungen in den Eingabedaten.

Answer

Die Größe der Lösung des Problems.

Answer

Die Effizienz eines Algorithmus zur Lösung des Problems.

Question 48

Was versteht man unter Stabilität eines numerischen Verfahrens?

Accepted Answer

Die Eigenschaft, dass kleine Fehler im Laufe der Berechnung nicht unkontrolliert wachsen.

Answer

Die Genauigkeit eines Verfahrens.

Answer

Die Geschwindigkeit, mit der ein Verfahren konvergiert.

Question 49

Was ist der Zweck der Interpolation in der Numerischen Mathematik?

Accepted Answer

Eine Funktion durch eine einfachere Funktion zu approximieren, um sie leichter auswerten zu können.

Answer

Eine Funktion zu differenzieren, um ihre Ableitung zu bestimmen.

Answer

Eine Funktion zu integrieren, um ihren Flächeninhalt zu berechnen.

Question 50

Welche der folgenden Methoden ist zur Lösung eines linearen Gleichungssystems mit einer nxn-Koeffizientenmatrix geeignet?

Accepted Answer

Gauß-Elimination

Answer

Potenzmethode

Answer

Jacobi-Iteration

Question 51

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

y' = x + y

Answer

y'' + y = sin(x)

Answer

y' = y^2

Answer

y' + y'y = x

Question 52

Welche der folgenden Aussagen zur Kondition einer Matrix ist richtig?

Accepted Answer

Eine Matrix mit einer großen Konditionszahl ist schlecht konditioniert.

Answer

Die Konditionszahl ist unabhängig von der gewählten Norm.

Answer

Eine Matrix mit einer kleinen Konditionszahl ist schlecht konditioniert.

Question 53

Welche der folgenden Aussagen zur Stabilität eines numerischen Verfahrens ist richtig?

Accepted Answer

Ein instabiles Verfahren kann zu stark fehlerhaften Ergebnissen führen.

Answer

Ein stabiles Verfahren kann immer exakte Ergebnisse liefern.

Answer

Die Stabilität eines Verfahrens ist unabhängig von der Schrittweite.

Question 54

Welche der folgenden Aussagen zur Fehleranalyse numerischer Verfahren ist richtig?

Accepted Answer

Der absolute Fehler ist die Differenz zwischen dem exakten und dem berechneten Wert.

Answer

Der Fehler kann nie größer als die Schrittweite sein.

Answer

Der relative Fehler ist immer kleiner als der absolute Fehler.

Question 55

Welche numerische Methode eignet sich zur Bestimmung des Flächeninhalts unter einer Kurve?

Accepted Answer

Numerische Integration

Answer

Finite-Volumen-Methode

Answer

Numerische Lösung von Gleichungssystemen

Answer

Numerische Lösung von Differentialgleichungen

Question 56

Welche Methode verwendet man zur näherungsweisen Lösung eines Gleichungssystems?

Accepted Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Answer

Potenzreihenverfahren

Answer

Newton-Verfahren

Question 57

Welche Fehlerschätzung verwendet man bei der Trapezregel?

Accepted Answer

Restgliedformel

Answer

Fehlerabschätzung nach Richardson

Answer

Taylor-Formel

Answer

Fehlerabschätzung nach Romberg

Question 58

Welches Verfahren verwendet man zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Newton-Verfahren

Answer

Jacobi-Verfahren

Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Answer

SOR-Verfahren

Question 59

Welche Bedingung muss für die Konvergenz des Gauß-Seidel-Verfahrens erfüllt sein?

Accepted Answer

Diagonaldominanz

Answer

Symmetrie

Answer

Positive Definitheit

Question 60

Welche Norm wird in der Regel zur Abschätzung des Fehlers bei numerischen Integrationsverfahren verwendet?

Accepted Answer

L2-Norm

Answer

L∞-Norm

Answer

L1-Norm

Answer

Sobolev-Norm

Question 61

Welche Methode wird zur Näherungslösung von Eigenwertproblemen eingesetzt?

Accepted Answer

Potenzverfahren

Answer

Jacobi-Verfahren

Answer

QR-Algorithmus

Answer

Singulärwertzerlegung

Question 62

Welche Fehlerschätzung wird bei der Euler-Methode verwendet?

Accepted Answer

Lokaler Diskretisierungsfehler

Answer

Globaler Diskretisierungsfehler

Answer

Absolutiger Fehler

Answer

Rundungsfehler

Question 63

Welches numerische Verfahren eignet sich zur Näherungsberechnung des Integrals einer Funktion f(x) über ein Intervall [a, b]?

Accepted Answer

Trapezregel

Answer

Iteration

Answer

Gauß-Elimination

Answer

Runge-Kutta-Verfahren

Question 64

Wie lautet die Lösungsformel für ein lineares Gleichungssystem mit n Unbekannten, ausgedrückt mit der Inversen der Koeffizientenmatrix A und dem Vektor der konstanten Terme b?

Accepted Answer

x = A^(-1) * b

Answer

x = b * A^(-1)

Answer

x = A * b