Integrale lernen: Online-Quizze und Übungen für Klasse 13

Question 1

Berechnen Sie das Integral von ∫x^3 dx.

Accepted Answer

x^4/4 + C

Answer

x^4 + C

Answer

1/4 x^4 + C

Answer

1/3 x^3 + C

Question 2

Welcher der folgenden Ausdrücke stellt den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung dar?

Accepted Answer

∫f'(x) dx = f(x) + C

Answer

∫f(x) dx = f'(x) + C

Answer

∫f(x) dx = f(x)

Answer

∫f'(x) dx = -f(x) + C

Question 3

Welches der folgenden Integrale ist uneigentlich?

Accepted Answer

∫[1,∞) 1/x^2 dx

Answer

∫[0,1] sin(x) dx

Answer

∫[-π,π] cos(x) dx

Answer

∫[0,2] e^x dx

Question 4

Welcher der folgenden Schritte ist beim Berechnen eines Integrals mit der Substitutionsmethode nicht erforderlich?

Accepted Answer

Lösen der Gleichung für die ursprüngliche Variable.

Answer

Bestimmen der Ableitung der Substitutionsvariablen.

Answer

Ersetzen der ursprünglichen Variablen durch die Substitutionsvariable.

Answer

Multiplizieren des Integrals mit der Ableitung der Substitutionsvariablen.

Question 5

Welche der folgenden Anwendungen des Integrals berechnet das Volumen eines Rotationskörpers?

Accepted Answer

Volumenberechnung für Rotationskörper

Answer

Flächenberechnung

Answer

Volumenberechnung für Pyramiden

Answer

Schwerpunktberechnung

Question 6

Welches der folgenden Integrale berechnet die Fläche unter der Kurve y = |x| zwischen x = -1 und x = 1?

Accepted Answer

∫-1¹ |x|dx

Answer

∫-1¹ x²dx

Answer

∫-1¹ (x² + 1)dx

Answer

∫-1¹ (x³ + 1)dx

Question 7

Welcher der folgenden Begriffe beschreibt das Verhalten eines Integrals für x gegen unendlich, wenn es einen endlichen Wert hat?

Accepted Answer

Konvergentes Integral

Answer

Stammfunktion

Answer

Divergentes Integral

Answer

Uneigentliches Integral

Question 8

Welches Integral berechnet die Bogenlänge des Graphen von y = f(x) im Intervall [a, b]?

Accepted Answer

∫a^b √(1 + (f'(x))^2) dx

Answer

∫b^a √(1 + (f'(x))^2) dx

Answer

∫(1 + (f'(x))^2) dx von a bis b

Answer

∫(1 + (f'(x))^2) dx

Question 9

Welche Aussage über uneigentliche Integrale ist richtig?

Accepted Answer

Ein uneigentliches Integral kann konvergieren oder divergieren.

Answer

Ein uneigentliches Integral konvergiert immer.

Answer

Ein uneigentliches Integral divergiert immer.

Answer

Ein uneigentliches Integral ist immer gleich seinem bestimmten Gegenstück.

Question 10

Berechne das uneigentliche Integral ∫0^∞ e^(-x) dx.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

∞

Answer

Es existiert nicht.

Question 11

Welche Substitution kann zur Integration von ∫√(1 + x^2) dx verwendet werden?

Accepted Answer

x = tan(θ)

Answer

x = sin(θ)

Answer

x = cos(θ)

Answer

x = e^θ

Question 12

Welche Aussage über die Hauptsätze der Integralrechnung ist richtig?

Accepted Answer

Beide Aussagen sind richtig.

Answer

Der erste Hauptsatz besagt, dass die Ableitung eines Integrals f(x) ist.

Answer

Der zweite Hauptsatz besagt, dass das Integral einer Ableitung F(x) ist.

Answer

Keine der Aussagen ist richtig.

Question 13

Was ist die Integrationskonstante bei unbestimmten Integralen?

Accepted Answer

Eine beliebige Zahl, die zum Integral addiert werden kann, da die Ableitung einer Konstanten 0 ist.

Answer

Eine feste Zahl, die immer 0 sein muss.

Answer

Das exakte Ergebnis des Integrals.

Answer

Eine Zahl, die keinen Einfluss auf den Wert des Integrals hat.

Question 14

Welches der folgenden Integrale berechnet die Fläche unter der Kurve y = e^x im Intervall [0, 1]?

Accepted Answer

∫[e^x dx] von 0 bis 1

Answer

∫[e^x dx] von 1 bis 0

Answer

-∫[e^x dx] von 0 bis 1

Answer

-∫[e^x dx] von 1 bis 0

Question 15

Die Funktion f(x) = |x| ist im Intervall [-2, 2] nicht stetig. Welcher der folgenden Integrale ist daher nicht berechenbar?

Accepted Answer

∫[f(x) dx] von -2 bis 2

Answer

∫[f(x) dx] von 0 bis 2

Answer

∫[f(x) dx] von -2 bis 0

Answer

∫[f(x) dx] von 0 bis 0

Question 16

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = 1/(x+1)?

Accepted Answer

ln(x+1)

Answer

x

Answer

x+1

Answer

ln|x+1|

Question 17

Welche Eigenschaft ist charakteristisch für unbestimmte Integrale?

Accepted Answer

Sie beinhalten eine Integrationskonstante.

Answer

Sie ergeben einen eindeutigen Zahlenwert.

Answer

Sie werden innerhalb fester Grenzen berechnet.

Answer

Sie ermitteln die Fläche unter einer Kurve.

Question 18

Welche Integrationstechnik wird verwendet, um das Integral ∫(x + sin(x)) dx zu lösen?

Accepted Answer

Partielle Integration

Answer

Substitution

Answer

Trigonometrische Substitution

Answer

Kehrwertregel

Question 19

Welches Integral berechnet die Länge des Graphen von y = x³ im Intervall [0, 1]?

Accepted Answer

∫₀¹ √(1 + (9x²)) dx

Answer

∫₀¹ 9x² dx

Answer

∫₀¹ x³ dx

Answer

∫₀¹ √(x³) dx

Question 20

Welche der folgenden Funktionen hat eine horizontale Asymptote bei y = 2?

Accepted Answer

1/(x+2)

Answer

1/(x-2)

Answer

x/(x-2)

Answer

x/(x+2)

Question 21

Welcher der folgenden Integrale ist ein uneigentliches Integral zweiter Art?

Accepted Answer

∫₀∞ x dx

Answer

∫₀¹ x dx

Answer

∫₋∞⁰ x dx

Answer

∫₀² x dx

Question 22

Wofür kann die Integralrechnung verwendet werden?

Accepted Answer

All diese Anwendungen

Answer

Berechnung von Flächen unter Kurven

Answer

Berechnung von Volumina von Körpern

Answer

Berechnung von Bogenlängen

Question 23

Was versteht man unter der Integrationskonstante?

Accepted Answer

Eine beliebige Konstante, die bei der Integration hinzugefügt wird.

Answer

Eine Konstante, die den Wert des Integrals bestimmt.

Answer

Eine Konstante, die immer null ist.

Answer

Eine Konstante, die immer eins ist.

Question 24

Welches der folgenden Integrale stellt die Fläche unter der Kurve f(x) = eˣ für x von 0 bis 1 dar?

Accepted Answer

∫[0, 1] eˣ dx

Answer

e ∫[0, 1] x dx

Answer

∫[0, 1] e dx

Answer

e ∫[0, 1] eˣ dx

Question 25

Wie lautet die partielle Ableitung der Funktion f(x, y) = x²y³ nach x?

Accepted Answer

2xy³

Answer

x²3y²

Answer

y³

Answer

x²y²

Question 26

Welche Integrationsmethode ist geeignet, um das Integral von x^2 * e^x dx zu berechnen?

Accepted Answer

Partielle Integration

Answer

Substitution

Answer

Mittelwertsatz der Integralrechnung

Answer

Keine der genannten Methoden

Question 27

Welchen Zusammenhang gibt es zwischen einem bestimmten Integral und einer Fläche?

Accepted Answer

Das bestimmte Integral entspricht der Fläche unter der Kurve einer Funktion auf einem bestimmten Intervall.

Answer

Das bestimmte Integral entspricht der Fläche über der Kurve einer Funktion auf einem bestimmten Intervall.

Answer

Das bestimmte Integral entspricht dem Volumen unter der Kurve einer Funktion auf einem bestimmten Intervall.

Answer

Das bestimmte Integral hat keinen Zusammenhang mit einer Fläche.

Question 28

Welcher Satz garantiert die Existenz eines Integrals auf einem abgeschlossenen Intervall?

Accepted Answer

Satz von Riemann

Answer

Satz von Bolzano-Weierstraß

Answer

Satz von Heine-Borel

Answer

Satz von Cauchy

Question 29

Wie lautet der Fundamentalsatz der Integralrechnung, Teil 2?

Accepted Answer

∫f(x) dx = F(x) + C

Answer

∫f'(x) dx = f(x) + C

Answer

∫F(x) dx = f(x) + C

Answer

∫F'(x) dx = f'(x) + C

Question 30

Welche der folgenden Aussagen über Integrale ist **nicht** korrekt?

Accepted Answer

Die Ableitung einer Funktion gibt deren Stammfunktion an.

Answer

Integrale sind Verallgemeinerungen der Summe unendlich vieler unendlich kleiner Flächenstücke.

Answer

Das bestimmte Integral einer Funktion über ein Intervall entspricht der Fläche unter dem Graphen der Funktion.

Answer

Unbestimmte Integrale enthalten eine Integrationskonstante.

Question 31

Welcher der folgenden Begriffe ist bei der Integration von rationalen Funktionen **nicht** von Bedeutung?

Accepted Answer

Ableitung

Answer

Partieller Bruch

Answer

Integration durch Substitution

Answer

Stammfunktion

Question 32

Welches der folgenden Integrale entspricht dem Volumen des Rotationskörpers, der durch Drehen des Graphen von f(x) = x^2 im Intervall [0, 1] um die x-Achse entsteht?

Accepted Answer

2π∫[0,1] x^2 dx

Answer

π∫[0,1] x^4 dx

Answer

2π∫[0,1] x^3 dx

Answer

π∫[0,1] x^2 dx

Question 33

Welches der folgenden Integrale kann **nicht** mit elementaren Funktionen berechnet werden?

Accepted Answer

∫(1 / x) dx

Answer

∫(sin(x) + cos(x)) dx

Answer

∫(e^x + x^2) dx

Answer

∫(x^3 + 2x + 1) dx

Question 34

Welcher der folgenden Grenzwerte entspricht dem bestimmten Integral ∫[a,b] f(x) dx, wenn b nach unendlich strebt?

Accepted Answer

lim_{b->∞} ∫[a,b] f(x) dx

Answer

lim_{b->∞} f(a)

Answer

lim_{b->∞} f(b)

Answer

unendlich

Question 35

Welches der folgenden Integrale entspricht der Fläche unter der Kurve y = x² zwischen den Grenzen x = 0 und x = 2?

Accepted Answer

(x³/3) + C

Answer

x³ + C

Answer

x⁴ + C

Answer

(x⁴/4) + C

Question 36

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = x³?

Accepted Answer

(x⁴)/4 + C

Answer

(x²)/2 + C

Answer

(x³)/3 + C

Answer

x² + C

Question 37

Berechne das Integral von ∫(x^2 + 1) dx über das Intervall von a = 0 bis b = 2.

Accepted Answer

10/3

Answer

3/2

Answer

10/6

Answer

7/3

Question 38

Welche Integrationsmethode wird verwendet, um das Integral von ∫x * e^x dx zu berechnen?

Accepted Answer

Integration durch Teile

Answer

Substitution

Answer

Partielle Integration

Answer

Trigonometrische Substitution

Question 39

Welche Aussage zum Hauptsatz der Integralrechnung ist korrekt?

Accepted Answer

Wenn F(x) die Stammfunktion von f(x) ist, dann ∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a).

Answer

Wenn f(x) die Ableitung von F(x) ist, dann ∫[a,b] f(x) dx = F(x).

Answer

Wenn F(x) die Stammfunktion von f(x) ist, dann ∫[a,b] f(x) dx = lim[n->∞] ∑[i=1,n] f(xi) Δx.

Answer

Wenn f(x) die Ableitung von F(x) ist, dann ∫[a,b] f(x) dx = lim[n->∞] ∑[i=1,n] F(xi) Δx.

Question 40

Welche der folgenden Funktionen hat eine Polstelle bei x = 0?

Accepted Answer

1/x^2

Answer

1/(x-1)

Answer

x/(x+1)

Answer

e^x

Question 41

Wie ist der Zusammenhang zwischen dem bestimmten Integral und der Stammfunktion?

Accepted Answer

Das bestimmte Integral einer Funktion ist gleich dem Wert der Stammfunktion an der oberen Grenze minus dem Wert an der unteren Grenze.

Answer

Das bestimmte Integral einer Funktion ist gleich der Ableitung der Stammfunktion.

Answer

Das bestimmte Integral einer Funktion ist gleich der Stammfunktion plus einer Konstanten.

Answer

Das bestimmte Integral einer Funktion ist gleich dem Flächeninhalt unter dem Graphen der Stammfunktion.

Question 42

Bestimme das Integral von f(x) = 2x + 3:

Accepted Answer

x² + 3x + C

Answer

x³ + 3x² + C

Answer

2x² + 3x + C

Answer

x³ + 3x + C

Question 43

Bestimme die Stammfunktion von f(x) = e^x:

Accepted Answer

e^x + C

Answer

xe^x + C

Answer

(1/e)x + C

Answer

e^(x²) + C

Question 44

Bestimme die Fläche unter der Kurve y = x² zwischen x = 0 und x = 2:

Accepted Answer

8/3

Answer

4/3

Answer

8

Answer

16

Question 45

Berechne das Volumen des Körpers, der durch die Rotation der Fläche unter y = x³ zwischen x = 0 und x = 1 um die x-Achse entsteht:

Accepted Answer

π/2

Answer

2π

Answer

π

Answer

π/4

Question 46

Bestimme die Länge der Kurve y = √(x) zwischen x = 0 und x = 1:

Accepted Answer

√2 + ln(√2 + 1)

Answer

2 + ln(√2 + 1)

Answer

√2 + ln(√2)

Answer

2√2 + ln(√2 + 1)

Question 47

Welches der folgenden Integrale ist ein uneigentliches Integral? Ein uneigentliches Integral ist ein Integral, bei dem entweder der Integrationsbereich unendlich ist oder die Funktion im Integrationsbereich nicht stetig ist.

Accepted Answer

∫[0, ∞] e^(-x) dx

Answer

∫[-1, 1] sin(x) dx

Answer

∫[0, 1] x² dx

Answer

∫[0, π/2] cos(x) dx

Question 48

Berechne das Integral von ∫(x³ - 2x²) dx. Verwende dabei die Potenzregel, die besagt, dass das Integral von x^n gleich (x^(n+1))/(n+1) ist.

Accepted Answer

(x⁴ / 4) - (2x³ / 3) + C

Answer

(x³ / 3) - (x² / 2) + C

Answer

(x⁴ / 3) - (2x³ / 4) + C

Answer

(x² / 2) - (2x / 3) + C

Question 49

Welche der folgenden Substitutionen vereinfacht das Integral ∫√(x² + 1) dx? Eine Substitution ist eine Technik, bei der eine Variable durch einen anderen Ausdruck ersetzt wird, um das Integral zu vereinfachen.

Accepted Answer

u = x² + 1

Answer

u = 1 / (x² + 1)

Answer

u = √(x² + 1)

Answer

u = x

Question 50

Berechne die Fläche unter der Kurve y = x² im Intervall [0, 2] mit Hilfe des Integrals. Die Fläche unter einer Kurve kann berechnet werden, indem das Integral der Funktion über das entsprechende Intervall bestimmt wird.

Accepted Answer

(8 / 3) Flächeneinheiten

Answer

(16 / 15) Flächeneinheiten

Answer

(8 / 15) Flächeneinheiten

Answer

(4 / 3) Flächeneinheiten

Question 51

Welches der folgenden Integrale gibt das Volumen des Rotationskörpers an, der entsteht, wenn die Fläche unter der Kurve y = sin(x) im Intervall [0, π] um die x-Achse rotiert wird? Die Volumenformel für einen Rotationskörper lautet: V = ∫[a,b] πf(x)² dx.

Accepted Answer

∫[0, π] πsin²(x) dx

Answer

∫[0, π] sin(x)cos(x) dx

Answer

∫[0, π] sin²(x) dx

Answer

∫[0, π] πsin(x) dx

Question 52

Welcher der folgenden Sätze ist eine Aussage des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung? Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung stellt eine Verbindung zwischen der Ableitung und dem Integral einer Funktion her.

Accepted Answer

Wenn F'(x) = f(x), dann ist ∫f(x) dx = F(x) + C

Answer

Wenn f(x) = F'(x), dann ist ∫F(x) dx = f'(x) + C

Answer

Wenn f(x) = F'(x), dann ist ∫F(x) dx = f(x) + C

Answer

Wenn F(x) = f(x), dann ist ∫f(x) dx = F'(x) + C

Question 53

Welches der folgenden Integrale ist ein bestimmtes Integral? Ein bestimmtes Integral ist ein Integral mit festgelegten Integrationsgrenzen.

Accepted Answer

∫[0, 1] e^(-x²) dx

Answer

∫[-1, 1] sin(x) dx

Answer

∫[0, ∞] e^(-x) dx

Answer

∫e^(-x²) dx

Question 54

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = cos(x) - x? Die Stammfunktion einer Funktion ist eine Funktion, deren Ableitung die ursprüngliche Funktion ergibt.

Accepted Answer

sin(x) - (x² / 2) + C

Answer

(cos(x) / 2) - (x³ / 3) + C

Answer

cos(x) - x + C

Question 55

Berechne das uneigentliche Integral ∫[0, ∞] e^(-2x) dx. Ein uneigentliches Integral ist ein Integral, bei dem entweder der Integrationsbereich unendlich ist oder die Funktion im Integrationsbereich nicht stetig ist.

Accepted Answer

1 / 2

Answer

∞

Answer

0

Answer

1

Question 56

Welches der folgenden Integrale ist das Integral von f(x) = x^2?

Accepted Answer

x^3/3 + C

Answer

x^2/2 + C

Answer

x + C

Answer

2x^2 + C

Question 57

Berechne das Flächenintegral der Funktion f(x) = 2x + 1 über dem Intervall [0, 3].

Accepted Answer

18

Answer

15

Answer

21

Question 58

Welches der folgenden Integrale ist das Integral von f(x) = sin(x)?

Accepted Answer

-cos(x) + C

Answer

1/cos(x) + C

Answer

sin(x) + C

Answer

cos(x) + C

Question 59

Berechne das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation der Funktion f(x) = x^2 um die x-Achse entsteht über dem Intervall [0, 2].

Accepted Answer

32π/5

Answer

48π/5

Answer

24π/5

Answer

16π/5

Question 60

Welches der folgenden Verfahren ist eine Integrationstechnik zur Integration von rationalen Funktionen?

Accepted Answer

Partialbruchzerlegung

Answer

Integration durch Teile

Answer

Numerische Integration

Answer

Substitution

Question 61

Berechne das uneigentliche Integral von f(x) = 1/x^2 über dem Intervall [1, ∞].

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

-1

Answer

∞

Question 62

Welche der folgenden Aussagen über Integrale ist richtig?

Accepted Answer

Das Integral einer Ableitung ist die ursprüngliche Funktion.

Answer

Das Integral einer negativen Funktion ist immer negativ.

Answer

Das Integral einer konstanten Funktion ist eine Parabel.

Question 63

Berechne das bestimmte Integral von f(x) = e^x über dem Intervall [0, 1].

Accepted Answer

e - 1

Answer

1 - e

Answer

-e + 1

Answer

e + 1

Question 64

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = 2x?

Accepted Answer

x^2 + C

Answer

sin(x) + C

Answer

1/x^2 + C

Answer

x + C