Reihen: Konvergenz, Divergenz und Taylorreihen

Question 1

Welche der folgenden Funktionen ist nicht analytisch?

Accepted Answer

|x|

Answer

sin(x)

Answer

e^x

Answer

x^3

Question 2

Bestimmen Sie den dritten Term der Taylorreihe der Funktion f(x) = sin(2x) im Punkt x = 0.

Accepted Answer

4x^3 / 3

Answer

x^2

Answer

2x^3

Answer

8x^4 / 3

Question 3

Bestimmen Sie, ob die Reihe konvergiert oder divergiert, und begründen Sie Ihre Antwort:

$sum_{n=1}^{infty} (-1)^n rac{n}{n+1}$

Accepted Answer

Konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium

Answer

Divergiert nach dem n-ten-Term-Test

Answer

Divergiert nach dem Majorantenkriterium

Answer

Konvergiert nach dem Vergleichskriterium

Question 4

Schätzen Sie den Wert von e mithilfe der Taylorreihe mit Restglied um x = 0 und n = 3:

Accepted Answer

2,718

Answer

2,500

Answer

3,167

Answer

2,000

Question 5

Welche der folgenden Aussagen ist für Taylorreihen richtig?

Accepted Answer

Sie sind immer unendlich viele Male differenzierbar.

Answer

Sie sind nur für Polynomfunktionen definiert.

Answer

Sie konvergieren immer für alle x.

Answer

Ihre Funktionswerte stimmen immer mit den Funktionswerten der ursprünglichen Funktion überein.

Question 6

Geben Sie die Maclaurin-Reihe für die Funktion f(x) = cos(x) an:

Accepted Answer

∞
∑ ((-1)^n * x^(2n)) / (2n)!

Answer

∞
∑ (x^n) / n!

Answer

∞
∑ ((-1)^n * x^(2n+1)) / (2n+1)!

Answer

∞
∑ (x^(2n)) / (2n)!

Question 7

Die Reihe ∑(n=1 bis ∞) (1/n²) ist:

Accepted Answer

konvergent

Answer

divergent

Question 8

Der Konvergenzradius der Taylorreihe von f(x) = cos(x) um den Punkt x = 0 beträgt:

Accepted Answer

∞

Answer

0

Answer

1

Question 9

Eine Alternierende harmonische Reihe ist eine Reihe der Form:

Accepted Answer

∑(n=1 bis ∞) (-1)^n / n

Answer

∑(n=1 bis ∞) 1 / n

Question 10

Die Taylorreihe von f(x) = e^x um den Punkt x = 1 ist:

Accepted Answer

∑(n=0 bis ∞) (x-1)^n / n!

Answer

∑(n=0 bis ∞) x^n / n!

Question 11

Die Grenzvergleichsregel besagt:

Accepted Answer

Wenn ∑a_n konvergiert und 0 < b_n ≤ a_n für alle n, dann konvergiert auch ∑b_n.

Answer

Wenn ∑a_n divergiert und 0 < b_n ≤ a_n für alle n, dann divergiert auch ∑b_n.

Question 12

Welche Aussage über die Reihe ∑(1/n) ist korrekt?

Accepted Answer

Sie divergiert gegen unendlich.

Answer

Sie konvergiert gegen 0.

Answer

Sie ist alternierend.

Answer

Sie ist monoton.

Question 13

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

∑(x^n)

Answer

∑(n^2 / 2^n)

Answer

∑(1 / n^2)

Answer

∑(sin(nx))

Question 14

Welche Aussage über die Taylorreihe von f(x) = e^x um den Entwicklungspunkt x = 0 ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist für alle x konvergent.

Answer

Sie ist nur für x ≥ 0 konvergent.

Answer

Sie ist nur für x ≤ 0 konvergent.

Answer

Sie ist nur für x ≠ 0 konvergent.

Question 15

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

$sum_{n=1}^{infty} (-1)^n \frac{1}{n}$

Answer

$sum_{n=1}^{infty} \frac{1}{n}$

Answer

$sum_{n=1}^{infty} \frac{n+1}{n}$

Answer

$sum_{n=1}^{infty} \frac{n^2}{n+1}$

Question 16

Welche der folgenden Aussagen über die Taylorreihe ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist eine Näherung für die Funktion in einem bestimmten Intervall.

Answer

Sie ist immer konvergent.

Answer

Sie ist immer genau.

Answer

Sie kann nur für polynomiale Funktionen entwickelt werden.

Question 17

Wie lautet der Restterm der Taylorreihe für die Funktion $f(x) = cos x$ um $x=0$ in der Ordnung $n$?

Accepted Answer

$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} x^{n+1}$

Answer

$R_n(x) = \frac{f^{(n+2)}(c)}{(n+2)!} x^{n+2}$

Answer

$R_n(x) = \frac{f^{(n-1)}(c)}{(n-1)!} x^{n-1}$

Answer

$R_n(x) = \frac{f^{(n)}(c)}{n!} x^{n}$

Question 18

Welche der folgenden Reihen ist die Taylorreihe für die Funktion $f(x) = ln(1+x)$ um $x=0$?

Accepted Answer

$sum_{n=1}^{infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}$

Answer

$sum_{n=1}^{infty} \frac{x^n}{n}$

Answer

$sum_{n=1}^{infty} (-1)^{n+1} x^n$

Answer

$sum_{n=1}^{infty} x^n$

Question 19

Bestimmen Sie die erste Ableitung der Taylorreihe von f(x) = e^x um den Punkt x = 1.

Accepted Answer

e^(x-1)

Answer

e^x

Answer

e

Answer

0

Question 20

Welche Aussage über den Restgliedterm in der Taylorreihenentwicklung von f(x) um den Punkt a ist korrekt?

Accepted Answer

Der Restgliedterm konvergiert gegen Null, wenn n gegen unendlich geht.

Answer

Der Restgliedterm ist immer Null.

Answer

Der Restgliedterm divergiert gegen Unendlich, wenn n gegen unendlich geht.

Answer

Der Restgliedterm bleibt konstant.

Question 21

Bestimmen Sie die erste Ableitung der Maclaurinreihe von f(x) = sin(x).

Accepted Answer

cos(x)

Answer

sin(x)

Answer

cos(x-1)

Answer

sin(x-1)

Question 22

Welche Aussage über den Konvergenzradius einer Maclaurinreihe ist korrekt?

Accepted Answer

Der Konvergenzradius kann größer als das Intervall der Konvergenz sein.

Answer

Der Konvergenzradius ist immer unendlich.

Answer

Der Konvergenzradius ist immer gleich dem Intervall der Konvergenz.

Answer

Der Konvergenzradius ist immer kleiner als das Intervall der Konvergenz.

Question 23

Bestimme die Taylorreihe der Funktion f(x) = e^x im Punkt x = 0.

Accepted Answer

∑ (n=0 bis ∞) x^n / n!

Answer

∑ (n=1 bis ∞) x^n / 2^n

Answer

∑ (n=0 bis ∞) x^n / (n + 1)!

Answer

∑ (n=1 bis ∞) x^n / n^2

Question 24

Welche der folgenden Aussagen über die Reihe ∑ (n=1 bis ∞) 1 / (n^2 + 1) ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist konvergent.

Answer

Sie ist divergent.

Answer

Ihre Konvergenz lässt sich nicht bestimmen.

Answer

Sie ist alternierend.

Question 25

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

∑ (n=1 bis ∞) 2^n

Answer

∑ (n=1 bis ∞) 1 / n^3

Answer

∑ (n=1 bis ∞) n / (n + 1)

Answer

∑ (n=1 bis ∞) (-1)^n / n

Question 26

Bestimme den Grenzwert der Reihe ∑ (n=1 bis ∞) 1 / (n * (n + 1)).

Accepted Answer

1/2

Answer

0

Answer

1

Answer

unendlich

Question 27

Welche der folgenden Reihen konvergiert nach dem Quotientenkriterium?

Accepted Answer

1/n^2

Answer

1/n

Answer

n^2

Answer

e^n

Question 28

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/6 + ...

Answer

1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...

Answer

1 + 2 + 4 + 8 + ...

Question 29

Welche Aussage über die Konvergenz der Reihe 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ... trifft zu?

Accepted Answer

Sie konvergiert bedingt.

Answer

Sie konvergiert absolut.

Answer

Sie divergiert.

Answer

Die Aussage lässt sich nicht treffen.

Question 30

Beweisen Sie mittels des Quotientenkriteriums, dass die Reihe 1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + ... für |x| < 1 konvergiert.

Accepted Answer

Mit dem Quotientenkriterium

Answer

Mit dem Majorantenkriterium

Answer

Mit dem Wurzeltest

Answer

Mit dem Integraltest

Question 31

Welche der folgenden Aussagen über die Konvergenz von Reihen beschreibt die notwendige und hinreichende Bedingung?

Accepted Answer

Eine Reihe konvergiert dann und nur dann, wenn ihre Folgenglieder gegen Null gehen.

Answer

Eine Reihe konvergiert immer, wenn ihre Folgenglieder monoton sind.

Answer

Eine Reihe konvergiert, wenn die Summe ihrer Folgenglieder beschränkt ist.

Question 32

Bestimmen Sie die Konvergenz der folgenden Reihe: ∑(n=1 bis unendlich) (1/n^2)

Accepted Answer

Konvergent

Answer

Unbestimmt

Answer

Divergent

Answer

Bedingt konvergent

Question 33

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

∑(n=1 bis unendlich) (2/3)^n

Answer

∑(n=1 bis unendlich) exp(n)

Answer

∑(n=1 bis unendlich) n^2

Answer

∑(n=1 bis unendlich) sin(n)

Question 34

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

∑(n=1 bis unendlich) (-1)^(n-1) / n

Answer

∑(n=1 bis unendlich) sin(n)

Answer

∑(n=1 bis unendlich) 1 / 2^n

Answer

∑(n=1 bis unendlich) n^2

Question 35

Bestimmen Sie das zweite Glied der Taylorreihe von f(x) = sin(x) um den Punkt x=0.

Accepted Answer

(x^2)/2!

Answer

x

Answer

(x^3)/3!

Answer

(x^4)/4!

Question 36

Welcher der folgenden Sätze beschreibt die Taylorreihe von f(x) = exp(x) um den Punkt x=0?

Accepted Answer

∑(n=0 bis unendlich) (x^n)/n!

Answer

∑(n=0 bis unendlich) sin(nx)

Answer

∑(n=0 bis unendlich) (x-2)^n / n!

Answer

∑(n=0 bis unendlich) x^n

Question 37

Welche Aussage über die Konvergenz der Taylorreihe von f(x) = 1/(1-x) um den Punkt x=0 ist korrekt?

Accepted Answer

Konvergent für |x| < 1

Answer

Divergent für alle x

Answer

Konvergent für |x| > 1

Answer

Konvergent für alle x

Question 38

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

Σ (n=1 bis ∞) (1/2)^n

Answer

Σ (n=1 bis ∞) (-1)^n

Answer

Σ (n=1 bis ∞) n^2 + 1

Answer

Σ (n=1 bis ∞) 1/n

Question 39

Welche der folgenden Reihen ist eine harmonische Reihe?

Accepted Answer

Σ (n=1 bis ∞) 1/n

Answer

Σ (n=1 bis ∞) 1/n^2

Answer

Σ (n=1 bis ∞) n

Answer

Σ (n=1 bis ∞) (-1)^n / n

Question 40

Welche der folgenden Reihen ist alternierend konvergent?

Accepted Answer

Σ (n=1 bis ∞) (-1)^n / n

Answer

Σ (n=1 bis ∞) n^2

Answer

Σ (n=1 bis ∞) 1/n

Answer

Σ (n=1 bis ∞) n

Question 41

Welche der folgenden Aussagen ist über die Taylorreihe für die Funktion f(x) = e^x im Punkt x=0 richtig?

Accepted Answer

Sie ist die Potenzreihe Σ (n=0 bis ∞) x^n / n!

Answer

Sie ist die Potenzreihe Σ (n=1 bis ∞) x^n

Answer

Sie konvergiert nur für x=0

Question 42

Welche Aussage zur Konvergenz von Reihen ist korrekt?

Accepted Answer

Die Konvergenz einer Reihe kann mit dem Grenzwertkriterium bestimmt werden.

Answer

Eine Reihe konvergiert immer, wenn ihre Glieder positiv sind.

Answer

Die Konvergenz einer Reihe ist unabhängig von der Anordnung ihrer Glieder.

Question 43

Welche Aussage zum Restglied der Taylorreihe einer Funktion f(x) um den Entwicklungspunkt x=a ist korrekt?

Accepted Answer

Das Restglied liefert eine Abschätzung des Fehlers bei der Approximation von f(x) durch ihre Taylorreihe.

Answer

Das Restglied ist unabhängig von der Anzahl der Glieder in der Taylorreihe.

Answer

Das Restglied ist immer kleiner als die Taylorreihe.

Question 44

Bestimmen Sie, ob die Reihe a_n = (n+1) / (n^2 + 1) konvergiert oder divergiert.

Accepted Answer

Konvergent

Answer

Der Konvergenztest ist nicht anwendbar.

Answer

Die Konvergenz hängt vom Wert von n ab.

Answer

Divergent

Question 45

Bestimmen Sie die Taylorreihe von f(x) = e^x um x = 0.

Accepted Answer

∑ (x^n / n!)

Answer

∑ (n^x / x!)

Answer

∑ x^n

Answer

∑ (x^n / n)

Question 46

Approximieren Sie sin(0,5) mit Hilfe der Taylorreihe von sin(x) um x = 0.

Accepted Answer

0,4794

Answer

0,25

Answer

0,5

Answer

1

Question 47

Welche Aussage zur Ableitung einer Taylorreihe ist korrekt?

Accepted Answer

Die Ableitung einer Taylorreihe ist die Taylorreihe der Ableitung der Funktion.

Answer

Die Ableitung einer Taylorreihe ist gleich der ursprünglichen Taylorreihe.

Answer

Die Ableitung einer Taylorreihe konvergiert nur, wenn die ursprüngliche Taylorreihe konvergiert.

Question 48

Welche Aussage zur Konvergenz einer Reihe ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Reihe konvergiert, wenn der Grenzwert ihrer Partialsummen existiert.

Answer

Eine Reihe konvergiert, wenn ihre Terme alternierende Vorzeichen haben.

Answer

Eine Reihe konvergiert, wenn die Summe ihrer Terme endlich ist.

Question 49

Bestimmen Sie die Konvergenz der Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Accepted Answer

Konvergent

Answer

Halbkonvergent

Answer

Bedingt konvergent

Answer

Divergent

Question 50

Welche der folgenden Aussagen zur Taylorreihe von sin(x) ist korrekt?

Accepted Answer

Die Taylorreihe von sin(x) um den Punkt x=0 konvergiert für alle x.

Answer

Die Taylorreihe von sin(x) um den Punkt x=0 konvergiert nur für |x| < 1.

Answer

Die Taylorreihe von sin(x) um den Punkt x=0 konvergiert nur für |x| > 1.

Question 51

Approximieren Sie die Funktion sin(0,1) mithilfe der ersten drei Terme der Taylorreihe von sin(x) um den Punkt x=0.

Accepted Answer

0,0998

Answer

0,09

Answer

0,1

Answer

0,11

Question 52

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

(-1)^n/n

Answer

e^x - 1

Answer

x + x^2 + x^3 + x^4 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Question 53

Die Reihe ∑ (1/n) ist:

Accepted Answer

Divergent

Answer

Absolut konvergent

Answer

Bedingt konvergent

Answer

Konvergent

Question 54

Der Konvergenzradius der Potenzreihe ∑ (x^n / n!) ist:

Accepted Answer

∞

Answer

0

Answer

2

Answer

1

Question 55

Die Taylorreihe der Funktion f(x) = e^x um den Punkt x = 0 lautet:

Accepted Answer

∑ x^n / n!

Answer

∑ (-1)^n * x^n / n!

Answer

∑ x^(2n) / (2n)!

Answer

∑ x^(2n+1) / (2n+1)!

Question 56

Welcher Test kann zur Bestimmung der Konvergenz einer Reihe herangezogen werden?

Accepted Answer

Quotientenkriterium

Answer

Satz von Rolle

Answer

Mittelwertsatz

Answer

Satz von Bolzano-Weierstrass

Question 57

Welche der folgenden Reihen ist bedingt konvergent?

Accepted Answer

∑ (-1)^n / n

Answer

∑ n

Answer

∑ (-1)^n

Answer

∑ (1/n^2)

Question 58

Welche der folgenden Reihen ist konvergent?

Accepted Answer

∑ (n=1 bis ∞) 1/n²

Answer

∑ (n=1 bis ∞) (-1)^n

Answer

∑ (n=1 bis ∞) 1/√n

Answer

∑ (n=1 bis ∞) n

Question 59

Welche der folgenden Aussagen über die Taylorreihe ist korrekt?

Accepted Answer

Die Taylorreihe einer Funktion ist eine Potenzreihe, die um einen Punkt entwickelt wird.

Answer

Die Taylorreihe einer Funktion ist immer konvergent.

Answer

Die Taylorreihe einer Funktion kann nur für Polynome verwendet werden.

Question 60

Wie lautet die Taylorreihe für die Funktion f(x) = e^x um den Punkt x = 0?

Accepted Answer

∑ (n=0 bis ∞) x^n / n!

Answer

∑ (n=1 bis ∞) e^x / n

Answer

∑ (n=1 bis ∞) x^n / n

Answer

∑ (n=0 bis ∞) e^x / n!

Question 61

Welche der folgenden Funktionen lässt sich mithilfe der Taylorreihe um den Punkt x = 0 nicht approximieren?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = ln(x)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 62

Welche der folgenden Reihen ist alternierend?

Accepted Answer

∑ (n=1 bis ∞) (-1)^n / n

Answer

∑ (n=1 bis ∞) n^2

Answer

∑ (n=1 bis ∞) e^n

Answer

∑ (n=1 bis ∞) 1 / n

Question 63

Welche der folgenden Reihen ist konvergent?

Accepted Answer

∑(n=1 bis unendlich) (1/2)^n

Answer

∑(n=1 bis unendlich) 1/n

Answer

∑(n=1 bis unendlich) n

Answer

∑(n=1 bis unendlich) (-1)^n

Question 64

Welche Aussage über die Reihe ∑(n=1 bis unendlich) (n^2 + 1) / (n^3 + 2) ist richtig?

Accepted Answer

Die Reihe ist divergent.

Answer

Die Reihe ist konvergent.

Answer

Die Reihe ist alternierend konvergent.

Answer

Die Reihe erfüllt das Quotientenkriterium.