Funktionen in der Analysis: Online-Quizzes für Klasse 12

Question 1

Ermittle die Ableitung der Funktion **f(x) = x³ - 2x² + 1** mithilfe der Definition der Ableitung.

Accepted Answer

3x² - 4x

Answer

x² - 4x + 1

Answer

9x² - 4x

Answer

x³ - 4x² + 1

Question 2

Beweise die Stetigkeit der Betragfunktion f(x) = |x| an der Stelle x = 0.

Accepted Answer

Zeige, dass der Grenzwert von f(x) für x gegen 0 existiert und gleich f(0) ist.

Answer

Zeige, dass f(x) an der Stelle x = 0 differenzierbar ist.

Answer

Zeige, dass f(x) an der Stelle x = 0 eine Stammfunktion besitzt.

Question 3

Bestimme die Ableitung von f(x) = (2x + 3) * (x² - 1) mit Hilfe der Produktregel.

Accepted Answer

2 * (x² - 1) + (2x + 3) * 2x

Answer

(4x + 3) * (x² - 1)

Answer

(2x) * (x² - 1) - (2x + 3)

Question 4

Beweisen Sie, dass die Funktion f(x) = |x - 2| an der Stelle x = 2 nicht differenzierbar ist.

Accepted Answer

Berechnen Sie die Grenzwerte der links- und rechtsseitigen Ableitung an der Stelle x = 2 und zeigen Sie, dass sie unterschiedlich sind.

Answer

Berechnen Sie die erste Ableitung an der Stelle x = 2 und zeigen Sie, dass sie nicht existiert.

Answer

Berechnen Sie die zweite Ableitung an der Stelle x = 2 und zeigen Sie, dass sie nicht existiert.

Answer

Zeigen Sie, dass die Funktion an der Stelle x = 2 nicht stetig ist.

Question 5

Aufgabe: Beweisen Sie mithilfe des Mittelwertsatzes, dass die Funktion f(x) = sin(x) auf dem Intervall [0, π] streng monoton wachsend ist.

Accepted Answer

Lösung: Bestimmen Sie die Ableitung von f(x) und zeigen Sie, dass sie auf dem Intervall [0, π] positiv ist.

Answer

Lösung: Verwenden Sie den Grenzwertsatz, um zu zeigen, dass f(x) auf dem Intervall [0, π] beschränkt ist.

Answer

Lösung: Berechnen Sie die zweite Ableitung von f(x) und zeigen Sie, dass sie auf dem Intervall [0, π] negativ ist.

Question 6

Überprüfe, ob die Funktion f(x) = {x^2, falls x ≤ 0 \ x - 2, falls x > 0} an der Stelle x = 0 stetig ist.

Accepted Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 0 stetig.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 0 unstetig, da der Grenzwert von f(x) für x gegen 0 nicht existiert.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 0 unstetig, da der Funktionswert an der Stelle x = 0 nicht definiert ist.

Question 7

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion $f(x) = rac{x^2 + 2x - 1}{x^2 - 1}$ mit der Quotientenregel.

Accepted Answer

$f'(x) = rac{(x^2 - 1)(2x) - (x^2 + 2x - 1)(2x)}{(x^2 - 1)^2}$

Answer

$f'(x) = rac{(x^2 + 2x - 1) - (x^2 - 1)}{(x^2 - 1)^2}$

Answer

$f'(x) = rac{x^2 - 1}{x^2 + 2x - 1}$

Answer

$f'(x) = rac{x^4 - 1}{x^4 + 2x^2 - 1}$

Question 8

Überprüfe, ob die Funktion f(x) = e^(-x²) für alle reellen x differenzierbar ist. Begründe deine Antwort.

Accepted Answer

Ja, denn f'(x) = -2xe^(-x²) ist für alle x definiert.

Answer

Nein, denn f(x) ist an der Stelle x = 0 nicht stetig.

Answer

Ja, denn e^(-x²) ist eine Exponentialfunktion.

Answer

Nein, denn f(x) hat an der Stelle x = 0 keine eindeutige Tangente.

Question 9

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion $$f(x) = \sqrt{x^4 + 2x^2 + 1}$$ mit Hilfe der Kettenregel und der Potenzregel.

Accepted Answer

$$\frac{1}{2\sqrt{x^4+2x^2+1}}(4x^3+4x)$$

Answer

$$2x^3+2x$$

Answer

$$\frac{1}{2}\sqrt{x^4+2x^2+1}$$

Answer

$$x^2+1$$

Question 10

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion $$f(x) = e^{x^3 + 2x}$$ mit Hilfe der Kettenregel.

Accepted Answer

(3x² + 2)e^{x³ + 2x}

Answer

e^{x³ + 2x}

Answer

x² e^{x³ + 2x}

Answer

3x² + 2 e^{x³ + 2x}

Question 11

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = x³ + 2x - 1.

Accepted Answer

3x² + 2

Answer

2x³ + 2

Answer

3x³

Answer

x³ + 2

Question 12

Überprüfe, ob die Funktion f(x) = x² - 4x + 3 an der Stelle x = 2 stetig ist.

Accepted Answer

Die Funktion ist stetig an der Stelle x = 2.

Answer

Die Funktion ist nicht stetig an der Stelle x = 2.

Answer

Die Stetigkeit kann nicht eindeutig bestimmt werden.

Answer

Die Funktion ist nur an der Stelle x = 2 stetig.

Question 13

Welche Aussage beschreibt die Funktion f(x) = e^x korrekt?

Accepted Answer

steigend und konvex

Answer

fallend und konkav

Answer

steigend und konkav

Answer

fallend und konvex

Question 14

Welche Besonderheit weist die Funktion f(x) = |x| an der Stelle x = 0 auf?

Accepted Answer

Knickpunkt

Answer

Wendepunkt

Answer

Extremum

Answer

Sattelpunkt

Question 15

Untersuchen Sie die Monotonie der Funktion f(x) = x³e^(-x).

Accepted Answer

Die Funktion ist streng monoton steigend für x < 0 und streng monoton fallend für x > 0.

Answer

Die Funktion ist streng monoton steigend auf der gesamten reellen Achse.

Answer

Die Funktion ist streng monoton fallend auf der gesamten reellen Achse.

Answer

Die Funktion ist nicht monoton.

Question 16

Welche der folgenden Funktionen ist ein Polynom vierten Grades?

Accepted Answer

f(x) = x⁴ - 2x³ + 3x² - 4x + 5

Answer

f(x) = sin(x) + cos(x)

Answer

f(x) = e^x + ln(x)

Answer

f(x) = 1 / x

Question 17

Welche der folgenden Aussagen ist eine wichtige Eigenschaft der Exponentialfunktion?

Accepted Answer

Ihre Ableitung ist gleich der Funktion selbst.

Answer

Sie ist eine gerade Funktion.

Answer

Sie ist eine periodische Funktion.

Answer

Sie nimmt negative Werte für alle reellen Zahlen an.

Question 18

Ermitteln Sie mithilfe des Grenzwertvergleichstests, ob die Reihe
( sum_{n=1}^{infty} rac{n^2 + 2n + 1}{n^3 + 3n^2 - 2n} )
konvergiert oder divergiert.

Accepted Answer

Divergiert, da der Grenzwert der Quotientenfolge 1 ist.

Answer

Konvergiert, da der Grenzwert der Quotientenfolge kleiner als 1 ist.

Answer

Konvergiert, da der Grenzwert der Quotientenfolge 0 ist.

Answer

Divergiert, da der Grenzwert der Quotientenfolge größer als 1 ist.

Question 19

Welche der folgenden Funktionen ist NICHT differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = eˣ

Answer

f(x) = sin(x)

Question 20

Die Kettenregel wird verwendet, um die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion zu berechnen durch:

Accepted Answer

Multiplikation der Ableitung der äußeren Funktion mit der Ableitung der inneren Funktion

Answer

Multiplikation der Ableitung der inneren Funktion mit der Ableitung der äußeren Funktion

Answer

Addition der Ableitungen der beiden Funktionen

Answer

Subtraktion der Ableitungen der beiden Funktionen

Question 21

Der Satz von Rolle besagt, dass für eine auf einem Intervall stetige und differenzierbare Funktion:

Accepted Answer

ihre Ableitung an mindestens einer Stelle Null sein muss

Answer

sie auch integrierbar ist

Answer

sie einen Extrempunkt haben muss

Answer

ihr Graph eine Gerade sein muss

Question 22

Welche der folgenden Funktionen hat eine horizontale Asymptote?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x² + 1

Answer

f(x) = eˣ

Question 23

Welche der folgenden Integrationstechniken wird zur Lösung von Integralen mit trigonometrischen Funktionen verwendet?

Accepted Answer

Trigonometrische Substitution

Answer

Substitution

Answer

Partielle Integration

Answer

Lineare Substitution

Question 24

Untersuche die Stetigkeit der Funktion $f(x) = |x|$ an der Stelle $x = 0$.

Accepted Answer

unstetig der 1. Art

Answer

stetig

Answer

unstetig der 2. Art

Answer

nicht definiert

Question 25

Berechne die Ableitung der Funktion $f(x) = sqrt{x^3 - x}$.

Accepted Answer

$f'(x) = rac{3x^2 - 1}{2sqrt{x^3 - x}}$

Answer

$f'(x) = rac{3x^2 + 1}{2sqrt{x^3 - x}}$

Answer

$f'(x) = rac{3x^2 - 1}{4sqrt{x^3 - x}}$

Answer

$f'(x) = rac{3x^2 + 1}{4sqrt{x^3 - x}}$

Question 26

Löse die Differenzialgleichung $y' - 2y = 0$.

Accepted Answer

$y(x) = Ce^{-2x}$

Answer

$y(x) = Ce^{2x}$

Answer

$y(x) = C$

Answer

$y(x) = -Ce^{2x}$

Question 27

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = e^(2x).

Accepted Answer

2e^(2x)

Answer

e^(2x)

Answer

4e^(2x)

Answer

8e^(2x)

Question 28

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = sin(2x).

Accepted Answer

2cos(2x)

Answer

cos(2x)

Answer

-2cos(2x)

Answer

sin(4x)

Question 29

Welche Methode eignet sich am besten zur Bestimmung des Extremwerts einer Funktion?

Accepted Answer

Ableitungsverfahren

Answer

Nullstellenbestimmung

Answer

Steigungsberechnung

Answer

Funktionswertetabelle

Question 30

Wie lautet die erste Ableitung einer streng monoton steigenden Funktion?

Accepted Answer

positiv

Answer

negativ

Answer

null

Answer

unbestimmt

Question 31

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

x * e^x

Answer

x / e^x

Answer

-e^x

Question 32

Welche Aussage beschreibt eine konkave Funktion?

Accepted Answer

Die zweite Ableitung ist negativ.

Answer

Die zweite Ableitung ist positiv.

Answer

Die erste Ableitung ist positiv.

Answer

Die erste Ableitung ist negativ.

Question 33

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 2 **nicht** stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x - 2)

Answer

f(x) = x^2 - 4

Answer

f(x) = |x - 2|

Question 34

Welche der folgenden Funktionen hat **nicht** eine inverse Funktion?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^3 + 1

Answer

f(x) = e^x

Question 35

Welche Funktion ist an der Stelle x = 0 stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = x^2 - 1

Answer

f(x) = sin(x) / x

Question 36

Die Ableitung der Funktion f(x) = e^(2x) lautet:

Accepted Answer

2e^(2x)

Answer

e^(2x) / x

Answer

x * e^(2x)

Answer

e^(x) / 2

Question 37

Die Stammfunktion der Funktion f(x) = cos(x) ist:

Accepted Answer

sin(x) + C

Answer

x * cos(x) + C

Answer

cos(x) / x + C

Answer

-sin(x) + C

Question 38

Welcher der folgenden Grenzwerte ist gleich dem bestimmten Integral von f(x) = x^2 über das Intervall [0, 1]?

Accepted Answer

lim(n->∞) Σ(i=1)^n (i/n)^2 * 1/n

Answer

lim(n->∞) Σ(i=1)^n (i/n) * n

Answer

lim(n->∞) Σ(i=1)^n (i/n) * 1/n

Answer

lim(n->∞) Σ(i=0)^n (i/n)^3 * 1/n

Question 39

Welche Aussage über die Reihe Σ(n=1)^∞ (1/n^2) ist richtig?

Accepted Answer

Die Reihe ist konvergent.

Answer

Die Reihe ist divergent.

Answer

Die Reihe ist alternierend.

Answer

Die Reihe ist bedingt konvergent.

Question 40

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 2x² + 1.

Accepted Answer

f'(x) = 3x² - 4x

Answer

f'(x) = x³ - 4x

Answer

f'(x) = 1

Answer

f'(x) = 3x - 2

Question 41

Welche Aussage zur Funktion h(x) = |x| ist richtig?

Accepted Answer

stetig, aber nicht differenzierbar bei x = 0

Answer

nicht stetig bei x = 0

Answer

stetig und differenzierbar in ihrem gesamten Definitionsbereich

Answer

weder stetig noch differenzierbar

Question 42

Bestimme die lokalen Extremwerte der Funktion k(x) = x³ + 3x² - 2x + 1.

Accepted Answer

Minimum bei x = -2 und Maximum bei x = 1

Answer

kein lokales Extremum

Answer

Minimum bei x = 1 und Maximum bei x = -2

Answer

Minimum bei x = -1 und Maximum bei x = 2

Question 43

Berechne die Stammfunktion der Funktion l(x) = sin(x).

Accepted Answer

-cos(x) + C

Answer

-sin(x) + C

Answer

sin(x) + C

Answer

cos(x) + C

Question 44

Berechne die Taylorreihe der Funktion n(x) = e^x um den Punkt x = 0.

Accepted Answer

1 + x + x²/2! + x³/3! + ...

Answer

1 + x - x²/2! + x³/3! + ...

Answer

1 - x + x²/2! - x³/3! + ...

Answer

-1 + x + x²/2! + x³/3! + ...

Question 45

Löse die Differentialgleichung y' + 2y = 0.

Accepted Answer

y = C * e^(-2x)

Answer

y = C / x * e^(-2x)

Answer

y = C * x * e^(-2x)

Answer

y = C * e^(2x)

Question 46

Die Ableitung der Funktion f(x) = 3x³ - 2x² + 5x - 1 ist...

Accepted Answer

f'(x) = 9x² - 4x + 5.

Answer

f'(x) = 6x - 4.

Answer

f'(x) = 3x² - 2x + 5.

Answer

f'(x) = 9x³ - 4x² + 5x.

Question 47

Die Funktion f(x) = |x| ist an der Stelle x = 0...

Accepted Answer

stetig, aber nicht differenzierbar.

Answer

nicht stetig.

Answer

stetig und differenzierbar.

Answer

differenzierbar.

Question 48

Welche der folgenden Aussagen über die Funktion f(x) = 1/x ist korrekt?

Accepted Answer

Die Funktion hat eine Polstelle bei x = 0.

Answer

Die Funktion ist überall stetig.

Answer

Die Funktion ist überall differenzierbar.

Answer

Die Funktion hat ein globales Maximum bei x = 0.

Question 49

Die Ableitung der Funktion f(x) = e^x ist...

Accepted Answer

f'(x) = e^x.

Answer

f'(x) = e^(x+1).

Answer

f'(x) = x * e^(x-1).

Question 50

Die Funktion f(x) = ln(x) ist...

Accepted Answer

nur für positive x-Werte definiert.

Answer

nur für x-Werte größer als 1 definiert.

Answer

nur für negative x-Werte definiert.

Answer

für alle reellen x-Werte definiert.

Question 51

Welche der folgenden Funktionen hat einen Wendepunkt bei x = 0?

Accepted Answer

f(x) = x³.

Answer

f(x) = e^x.

Answer

f(x) = x².

Answer

f(x) = 1/x.

Question 52

Was ist der Grenzwert der Funktion f(x) = (2x^2 - 3x + 1) / (x - 1), wenn x gegen 1 strebt?

Accepted Answer

1

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

0

Answer

-1

Question 53

Welche der folgenden Aussagen ist korrekt für eine Funktion f(x), die an der Stelle x = a stetig ist?

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert und ist gleich f(a).

Answer

Der Graph von f(x) weist an der Stelle x = a eine Unstetigkeit auf.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = a differenzierbar.

Question 54

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = 3x^3 - 4x^2 + 5x - 2.

Accepted Answer

f'(x) = 9x^2 - 8x + 5

Answer

f'(x) = 9x^2 - 8x - 2

Answer

f'(x) = 3x^2 - 4x + 5

Answer

f'(x) = 6x - 4

Question 55

An welchem Punkt hat die Funktion f(x) = x^3 - 3x ein lokales Maximum?

Accepted Answer

(-1, 2)

Answer

Es gibt kein lokales Maximum.

Answer

(1, -2)

Answer

(0, 0)

Question 56

Eine Kugel wird senkrecht nach oben geworfen. Ihre Höhe h (in Metern) nach t Sekunden ist gegeben durch h(t) = -4,9t^2 + 20t + 1. Was ist die maximale Höhe, die die Kugel erreicht?

Accepted Answer

21,4 m

Answer

10 m

Answer

20 m

Answer

1 m

Question 57

Die Funktion f(x) = |x| ist...

Accepted Answer

stetig, aber nicht differenzierbar an der Stelle x = 0.

Answer

weder stetig noch differenzierbar an der Stelle x = 0.

Answer

differenzierbar an der Stelle x = 0.

Question 58

Was ist die Gleichung der Tangente an den Graphen von f(x) = x^2 - 2x + 1 an der Stelle x = 2?

Accepted Answer

y = 2x - 3

Answer

y = 2x + 1

Answer

y = x + 1

Answer

y = x - 1

Question 59

Die Funktion f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) hat eine hebbare Unstetigkeitsstelle bei...

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = -1

Answer

Es gibt keine hebbare Unstetigkeitsstelle.

Answer

x = 0

Question 60

Was ist die durchschnittliche Änderungsrate der Funktion f(x) = √x auf dem Intervall [1, 4]?

Accepted Answer

1/3

Answer

2/3

Answer

1

Question 61

Die zweite Ableitung einer Funktion f(x) ist f''(x) = 6x - 4.  Für welche Werte von x ist der Graph von f(x) konkav nach unten?

Accepted Answer

x < 2/3

Answer

x > 2/3

Answer

Für alle x

Answer

x = 2/3

Question 62

Die Funktion f(x) = x² - 2x + 1 hat eine waagerechte Asymptote bei y = ...

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

-1

Answer

∞

Question 63

Die Ableitung der Funktion f(x) = 3x³ + 2x² - 5x ist ...

Accepted Answer

9x² + 4x - 5

Answer

3x² + 2x - 5

Answer

9x³ + 4x² - 5x

Question 64

Die Funktion f(x) = x³ ist monoton steigend für ...

Accepted Answer

x ∈ R

Answer

x > 0

Answer

x < 0

Answer

x ≠ 0