Lineare Algebra und Analytische Geometrie: Online-Quizze für Klasse 12

Question 1

Analysieren Sie die folgende Kreisgleichung: $$ (x-2)^2 + (y+3)^2 = 4 $$. Bestimmen Sie den Mittelpunkt, den Radius und die Lage des Kreises.

Accepted Answer

Mittelpunkt: (2, -3), Radius: 2

Answer

Mittelpunkt: (-2, 3), Radius: 2

Answer

Mittelpunkt: (2, 3), Radius: 4

Answer

Mittelpunkt: (-2, -3), Radius: 4

Question 2

Die Koordinatentransformation $$ T: (x,y) -> (x+2, y-1) $$ ist gegeben. Bestimmen Sie, ob T eine Translation ist. Falls ja, finden Sie die Umkehrtransformation.

Accepted Answer

T ist eine Translation, die jeden Punkt um den Vektor (2, -1) verschiebt. Die Umkehrtransformation ist $$ T^{-1}: (x,y) -> (x-2, y+1)$$.

Answer

T ist keine Translation, da sie die Punkte nicht parallel zur x- oder y-Achse verschiebt.

Answer

Die Umkehrtransformation ist $$ T^{-1}: (x,y) -> (x+2, y+1)$$.

Answer

T ist eine Drehung um den Ursprung.

Question 3

Welche Eigenschaft trifft auf die Matrix A = (a_ij) mit a_ij = i + j zu?

Accepted Answer

Sie ist symmetrisch.

Answer

Sie ist schiefsymmetrisch.

Answer

Sie ist diagonalisierbar.

Answer

Sie ist invertierbar.

Question 4

Welche Aussage über die Determinante einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist invariant gegenüber Zeilen- und Spaltenvertauschungen.

Answer

Sie ist gleich dem Produkt der Diagonalelemente.

Answer

Sie ist gleich der Summe der Quadrate der Matrixelemente.

Answer

Sie ist immer positiv.

Question 5

Berechne Volumen und Oberfläche eines Kegels mit 4 cm Radius und 7 cm Höhe.

Accepted Answer

Volumen: 33,9 cm³, Oberfläche: 62,8 cm²

Answer

Volumen: 50,2 cm³, Oberfläche: 50,2 cm²

Answer

Volumen: 62,8 cm³, Oberfläche: 33,9 cm²

Answer

Volumen: 100,5 cm³, Oberfläche: 100,5 cm²

Question 6

Welche Gleichung repräsentiert eine Ebene im dreidimensionalen Raum?

Accepted Answer

x + y + z = 0

Answer

x² + y² = 1

Answer

y = 3x

Answer

x = 2z

Question 7

Welche Abbildung ist eine lineare Transformation?

Accepted Answer

f(x) = 2x - 1

Answer

f(x) = x³ + 1

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 8

Welche Matrix ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[1 0][0 1]

Answer

[0 1][1 0]

Answer

[1 2][3 4]

Answer

[-1 0][0 -1]

Question 9

Welche Operation ist an Vektoren nicht möglich?

Accepted Answer

Division

Answer

Addition

Answer

Subtraktion

Answer

Multiplikation

Question 10

Welche Aussage über das Skalarprodukt ist falsch?

Accepted Answer

Es ist eine Norm.

Answer

Es ist eine symmetrische Bilinearform.

Answer

Es ist Null für orthogonale Vektoren.

Answer

Es kann verwendet werden, um den Winkel zwischen Vektoren zu berechnen.

Question 11

Die Hesse-Normalform einer Ebene im dreidimensionalen Raum lautet:

Accepted Answer

ax + by + cz + d = 0

Answer

x + y + z - 1 = 0

Answer

x/a + y/b + z/c = 1, wobei a, b und c die Abschnittslängen auf den Koordinatenachsen sind.

Answer

y = mx + n, wobei m die Steigung und n der y-Achsenabschnitt ist.

Question 12

Welche der folgenden Koordinatentransformationen bildet den Punkt (2, 3) auf den Punkt (5, -1) ab?

Accepted Answer

x -> x + 3, y -> y - 4

Answer

x -> x - 3, y -> y + 4

Answer

x -> x + 5, y -> y - 1

Answer

x -> x - 5, y -> y + 1

Question 13

Welche der folgenden Abbildungen ist linear?

Accepted Answer

h(x, y) = x + y

Answer

f(x) = x²

Answer

g(x) = sin(x)

Answer

k(x, y) = xy

Question 14

Berechnen Sie die Inverse der Matrix (A = egin{pmatrix} 1 & 2  3 & 4 end{pmatrix}), falls sie existiert.

Accepted Answer

(egin{pmatrix} -4 & 2  3 & -1 end{pmatrix} )

Answer

(egin{pmatrix} 4 & -2  -3 & 1 end{pmatrix} )

Answer

(egin{pmatrix} 0 & 1  1 & 0 end{pmatrix} )

Question 15

Eine Gerade im Raum ist durch welche Eigenschaft charakterisiert?

Accepted Answer

Alle Punkte liegen auf einer Linie.

Answer

Alle Punkte liegen in einer Ebene.

Answer

Alle Punkte liegen auf einer Kugel.

Answer

Alle Punkte liegen auf einem Kreisbogen.

Question 16

Welche Gleichung beschreibt eine Ebene im Raum?

Accepted Answer

x + y + z = 0

Answer

x^2 + y^2 + z^2 = 1

Answer

y = mx + b

Answer

r = a(1 - cos θ)

Question 17

Welche Aussage charakterisiert eine Ellipse?

Accepted Answer

Ein Kegelschnitt, definiert durch zwei Brennpunkte und die große Achse.

Answer

Ein Kegelschnitt, definiert durch einen Kreis und eine Linie.

Answer

Ein Kegelschnitt, definiert durch zwei Parabeln.

Answer

Ein Kegelschnitt, definiert durch zwei Hyperbeln.

Question 18

Welche Transformation bildet eine Gerade auf eine Parallele ab?

Accepted Answer

Translation

Answer

Drehung

Answer

Spiegelung

Answer

Scherung

Question 19

Welche Matrix beschreibt eine Drehung um den Ursprung?

Accepted Answer

[[cos θ, -sin θ], [sin θ, cos θ]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[0, -1], [1, 0]]

Answer

[[1, 0], [0, -1]]

Question 20

Welches Vektorprodukt ergibt einen Skalar?

Accepted Answer

Skalarprodukt

Answer

Kreuzprodukt

Answer

Mischprodukt

Answer

Außenprodukt

Question 21

Was ist eine Eigenwertgleichung?

Accepted Answer

Av = λv

Answer

Aᵀv = λv

Answer

A⁻¹v = λv

Answer

Av = 0

Question 22

Welche der folgenden Gleichungen ist die korrekte Darstellung einer Geraden in der Ebene?

Accepted Answer

y = mx + b

Answer

x² + y² = 1

Answer

x + y = 5

Answer

x³ - y³ = 0

Question 23

Welche Koordinatentransformation bildet den Punkt (x, y) auf den Punkt (2x - 3, y + 5) ab?

Accepted Answer

Translation um (3, -5)

Answer

Drehung um 90° im Uhrzeigersinn

Answer

Skalierung mit dem Faktor 2

Answer

Spiegelung an der x-Achse

Question 24

Welche Gleichung beschreibt die Ebene, die durch die Punkte (1, 2, 3), (4, 6, 9) und (7, 10, 15) verläuft?

Accepted Answer

2x + 4y + 6z = 36

Answer

x + y + z = 6

Answer

x - y + 2z = 4

Answer

x + 2y + 3z = 10

Question 25

Welche Matrix ist die Inverse der Matrix A = [2 1; 3 2]?

Accepted Answer

[1 -1; -3 2]

Answer

[2 -1; -3 1]

Answer

[1 1; 3 2]

Answer

[2 1; 3 2]

Question 26

Welche Eigenschaft kennzeichnet einen Eigenvektor einer Matrix?

Accepted Answer

Er wird durch die Matrix auf einen Vektor mit gleicher Richtung abgebildet.

Answer

Er wird durch die Matrix auf einen ganzzahligen Wert abgebildet.

Answer

Er ist orthogonal zu jedem anderen Eigenvektor der Matrix.

Answer

Er hat die Länge 1.

Question 27

Analysieren Sie die folgende Hyperbel:

$$ \frac{(x-2)^2}{4} - \frac{(y+1)^2}{9} = 1 $$

Bestimmen Sie ihren Mittelpunkt, ihre Asymptoten und ihre Exzentrizität.

Accepted Answer

Mittelpunkt: (2, -1), Asymptoten: y = ±(3/2)x + 1, Exzentrizität: √5

Answer

Mittelpunkt: (0, 0), Asymptoten: y = ±3x, Exzentrizität: 2

Answer

Mittelpunkt: (2, 1), Asymptoten: y = ±(3/2)x - 1, Exzentrizität: √2

Answer

Mittelpunkt: (-2, 1), Asymptoten: y = ±(3/2)x, Exzentrizität: 3

Question 28

Welche Gleichung beschreibt eine Ebene im dreidimensionalen Raum?

Accepted Answer

x + 2y - 3z = 5

Answer

y = 2x + 1

Answer

x² + y² = 1

Question 29

Welcher der folgenden Kegelschnitte ist eine Parabel?

Accepted Answer

y = x² + 1

Answer

x² + y² = 4

Answer

xy = 1

Answer

x² - y² = 4

Question 30

Welche Transformation ist eine Verschiebung um den Vektor (2, 3)?

Accepted Answer

(x, y) -> (x + 2, y + 3)

Answer

(x, y) -> (2x, 3y)

Answer

(x, y) -> (2x + 3, 3y + 2)

Answer

(x, y) -> (x - 2, y - 3)

Question 31

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 1], [0, 0]]

Answer

[[0, 0], [1, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Question 32

Welche der folgenden Abbildungen ist linear?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = |x|

Question 33

Welcher der folgenden Sätze ist äquivalent zum Satz von Pythagoras?

Accepted Answer

Das Quadrat der Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate der Längen der Katheten.

Answer

Die Summe der Winkel in einem Dreieck ist 180°.

Question 34

Welche Gleichung beschreibt eine Ebene im dreidimensionalen Raum?

Accepted Answer

ax + by + cz + d = 0

Answer

r = a(cos(phi)i + sin(phi)j + k)

Answer

y = mx + c

Answer

x^2 + y^2 = r^2

Question 35

Welche der folgenden Figuren gehört zu den Kegelschnitten?

Accepted Answer

Hyperbel

Answer

Trapez

Answer

Dreieck

Answer

Parallelogramm

Question 36

Welche Matrix stellt die Einheitsmatrix dar?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[2, 0], [0, 2]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Question 37

Welche Operation wird verwendet, um zwei Vektoren zu multiplizieren?

Accepted Answer

Skalarprodukt

Answer

Matrixmultiplikation

Answer

Kreuzprodukt

Answer

Addition

Question 38

Welcher Begriff beschreibt die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten einer Matrix?

Accepted Answer

Rang

Answer

Eigenwert

Answer

Determinante

Answer

Spur

Question 39

Welche Aussage über Eigenvektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Ein Eigenvektor ist ein Vektor, der durch eine lineare Transformation mit einem Skalar multipliziert wird, der als Eigenwert bezeichnet wird.

Answer

Eigenvektoren sind immer linear abhängig.

Answer

Ein Eigenvektor ist ein Vektor, der senkrecht zu seinem zugehörigen Eigenwert steht.

Question 40

Welche Anwendung von linearer Algebra wird häufig in der Computergrafik eingesetzt?

Accepted Answer

Transformationsmatrizen

Answer

Eigenwertberechnung

Answer

Berechnung von Determinanten

Answer

Lösen von Gleichungssystemen

Question 41

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Ebene im dreidimensionalen Raum?

Accepted Answer

Ax + By + Cz + D = 0

Answer

Ax^2 + By^2 + Cz^2 = 0

Answer

Ax + By + Cz = 1

Answer

Ax + By = C

Question 42

Welcher der folgenden Kegelschnitte hat die Gleichung x^2 + y^2 = 4?

Accepted Answer

Kreis

Answer

Ellipse

Answer

Hyperbel

Answer

Parabel

Question 43

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix in der Ordnung 3?

Accepted Answer

[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

Answer

[[0, 0, 1], [0, 1, 0], [1, 0, 0]]

Answer

[[0, 1, 0], [1, 0, 0], [0, 0, 1]]

Answer

[[1, 0, 0], [0, 0, 1], [0, 1, 0]]

Question 44

Welche der folgenden Transformationen entspricht der Verschiebung eines Punktes um den Vektor (2, 3)?

Accepted Answer

[[1, 0, 2], [0, 1, 3], [0, 0, 1]]

Answer

[[0, 1, 2], [0, 1, 3], [0, 0, 1]]

Answer

[[1, 0, 3], [0, 1, 2], [0, 0, 1]]

Answer

[[2, 0, 0], [0, 3, 0], [0, 0, 1]]

Question 45

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Ebene im dreidimensionalen Raum?

Accepted Answer

ax + by + cz + d = 0

Answer

y = mx + b

Answer

x^2 + y^2 = r^2

Answer

z = f(x, y)

Question 46

Zu welcher Kategorie geometrischer Objekte gehört ein Kreis?

Accepted Answer

Kegelschnitt

Answer

Platonischer Körper

Answer

Polyeder

Answer

Rotationsfläche

Question 47

Welches der folgenden Produkte ist ein Skalar?

Accepted Answer

Skalarprodukt

Answer

Kreuzprodukt

Answer

Vektorprodukt

Answer

Mischprodukt

Question 48

Welche Gleichung beschreibt eine Gerade in der analytischen Geometrie?

Accepted Answer

y = mx + b

Answer

(x - h)² + (y - k)² = r²

Answer

y = mx² + b

Answer

x² + y² = r²

Question 49

Welcher der folgenden Vektoren hat die Länge 1 und ist damit ein Einheitsvektor?

Accepted Answer

(1/√2, 1/√2)

Answer

(0, 1)

Answer

(2, 3)

Answer

(1, 0)

Question 50

Welche der folgenden Matrizen besitzt eine Inverse?

Accepted Answer

[[1, 2], [-1, 3]]

Answer

[[0, 1], [0, 0]]

Answer

[[1, 2], [1, 2]]

Answer

[[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]

Question 51

Welche Gleichung beschreibt eine Hyperbel?

Accepted Answer

x²/a² - y²/b² = 1

Answer

x² + y² - z² = 1

Answer

x² + y² = r²

Answer

y = mx + b

Question 52

Welche Aussage trifft auf jede orthogonale Matrix zu?

Accepted Answer

Ihre Inverse ist gleich ihrer Transponierten.

Answer

Ihr Determinant ist immer 1.

Answer

Ihre Zeilenvektoren sind linear abhängig.

Answer

Ihre Eigenwerte sind alle reell.

Question 53

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Gerade durch den Punkt (2, 3) mit Steigung 2?

Accepted Answer

y = 2x - 1

Answer

y = 3x - 2

Answer

y = x + 5

Answer

y = -2x + 7

Question 54

Welches der folgenden Gebilde ist keine Ebene?

Accepted Answer

x + y + z = 0

Answer

2x - 3y + z = 4

Answer

x = 2

Question 55

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt die Ellipse mit Mittelpunkt (0, 0), Halbachsenlängen a = 3 und b = 2?

Accepted Answer

x²/9 + y²/4 = 1

Answer

x²/4 + y²/9 = 1

Answer

x² - y² = 9

Answer

x² + y² = 36

Question 56

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[1 0; 0 1]

Answer

[1 2; 3 4]

Answer

[0 1; 1 0]

Answer

[2 0; 0 2]

Question 57

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Transformation?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x³

Question 58

Welche der folgenden Aussagen über Koordinatentransformationen ist richtig?

Accepted Answer

Sie verändern die Koordinaten eines Punktes in einem Koordinatensystem.

Answer

Sie verändern die Form eines geometrischen Gebildes.

Answer

Sie sind immer reversibel.

Question 59

Welche der folgenden Operationen kann an Vektoren durchgeführt werden?

Accepted Answer

Addition und Multiplikation mit Skalaren

Answer

Subtraktion und Division mit Vektoren

Answer

Differentiation und Integration

Answer

Multiplikation mit Matrizen

Question 60

Welche der folgenden Aussagen über Determinanten ist falsch?

Accepted Answer

Sie können nur für Quadratmatrizen berechnet werden.

Answer

Sie repräsentieren das Volumen des von den Spaltenvektoren aufgespannten Parallelepipeds.

Answer

Sie können verwendet werden, um die Umkehrbarkeit einer Matrix zu überprüfen.

Question 61

Welche der folgenden Konzepte ist in der analytischen Geometrie von zentraler Bedeutung?

Accepted Answer

Vektorrechnung

Answer

Gruppentheorie

Answer

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Question 62

Welche der folgenden Anwendungen hat die lineare Algebra in den Naturwissenschaften?

Accepted Answer

Modellieren physikalischer Systeme

Answer

Analyse von Genomdaten

Answer

Erstellung von Wettervorhersagen

Answer

Programmierung von Videospielen