Optimierungsprobleme in Mathematik Klasse 11: Interaktive Übungen und Quizze

Question 1

Welches der folgenden Probleme ist ein lineares Optimierungsproblem?

Accepted Answer

Minimierung einer linearen Zielfunktion unter linearen Nebenbedingungen

Answer

Maximierung einer quadratischen Funktion

Answer

Minimierung einer kubischen Funktion

Answer

Maximierung einer Exponentialfunktion

Question 2

Welche der folgenden Aussagen über Lagrange-Multiplikatoren ist korrekt?

Accepted Answer

Sie werden verwendet, um Optimierungsbedingungen zu formulieren.

Answer

Sie sind partielle Ableitungen der Zielfunktion.

Answer

Sie sind gleich den Werten der Nebenbedingungen.

Answer

Sie geben die Steigung der Niveaulinien der Zielfunktion an.

Question 3

Welche Optimierungsaufgabe modelliert das Problem, die minimale Oberfläche eines Zylinders mit einem gegebenen Volumen zu finden?

Accepted Answer

Minimierung von S = 2πr² + 2πrh unter der Nebenbedingung V = πr²h

Answer

Minimierung von V = πr²h unter der Nebenbedingung S = 2πr² + 2πrh

Answer

Maximierung von V = πr²h unter der Nebenbedingung S = 2πr² + 2πrh

Answer

Maximierung von S = 2πr² + 2πrh unter der Nebenbedingung V = πr²h

Question 4

Welche der folgenden Aussagen definiert ein lineares Optimierungsproblem korrekt?

Accepted Answer

Die Zielfunktion und die Nebenbedingungen sind linear.

Answer

Die Zielfunktion und die Nebenbedingungen sind nichtlinear.

Answer

Die Zielfunktion ist linear, die Nebenbedingungen sind nichtlinear.

Answer

Die Nebenbedingungen sind linear, die Zielfunktion ist nichtlinear.

Question 5

Welcher Algorithmus wird typischerweise zur Lösung linearer Optimierungsprobleme eingesetzt?

Accepted Answer

Simplex-Algorithmus

Answer

Quadratischer Programmieralgorithmus

Answer

Nichtlineares Programmiermodell

Answer

Dynamische Programmierung

Question 6

Wie lautet die geometrische Darstellung des Lösungsraums eines linearen Optimierungsproblems?

Accepted Answer

Polygon

Answer

Paraboloid

Answer

Ellipse

Answer

Hyperbel

Question 7

Welche Aussage charakterisiert ein nichtlineares Optimierungsproblem?

Accepted Answer

Die Zielfunktion oder die Nebenbedingungen sind nichtlinear.

Answer

Die Zielfunktion und die Nebenbedingungen sind linear.

Answer

Die Zielfunktion ist linear, die Nebenbedingungen sind nichtlinear.

Answer

Die Nebenbedingungen sind linear, die Zielfunktion ist nichtlinear.

Question 8

Was ist ein Lagrange-Multiplikator?

Accepted Answer

Eine Variable, die die Nebenbedingungen in die Zielfunktion einbindet.

Answer

Eine Funktion, die die Zielfunktion minimiert.

Answer

Eine Konstante, die die Optimalitätsbedingung bestimmt.

Answer

Ein Algorithmus, der nichtlineare Optimierungsprobleme löst.

Question 9

Was versteht man unter einem konvexen Optimierungsproblem?

Accepted Answer

Ein Problem, bei dem sowohl die Zielfunktion als auch die Nebenbedingungen konvex sind.

Answer

Ein Problem, bei dem sowohl die Zielfunktion als auch die Nebenbedingungen konkav sind.

Answer

Ein Problem, bei dem die Zielfunktion konvex und die Nebenbedingungen konkav sind.

Answer

Ein Problem, bei dem die Zielfunktion konkav und die Nebenbedingungen konvex sind.

Question 10

Welche der folgenden Methoden kann NICHT verwendet werden, um nichtlineare Optimierungsprobleme zu lösen?

Accepted Answer

Simplexverfahren

Answer

Newtonsche Methode

Answer

Gradientenverfahren

Answer

Konjugierte Gradientenmethode

Question 11

Welches der folgenden Optimierungsprobleme ist ein lineares Programmierproblem?

Accepted Answer

maximiere z = 3x + 5y unter den Nebenbedingungen x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + y ≤ 6

Answer

maximiere z = x² + y² unter den Nebenbedingungen x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 5

Answer

maximiere z = e^(-x) + ln(y) unter den Nebenbedingungen x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 10

Question 12

Welche Aussage über die zulässige Lösungsmenge eines linearen Ungleichungssystems ist korrekt?

Accepted Answer

Sie kann sowohl konvex als auch nicht konvex sein.

Answer

Sie ist immer eine konvexe Menge.

Answer

Sie ist immer eine beschränkte Menge.

Question 13

Welches Verfahren ist zur Lösung eines linearen Optimierungsproblems geeignet?

Accepted Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Gradientenverfahren

Answer

Lagrange-Multiplikatoren

Question 14

Welche Aussage über nichtlineare Optimierungsprobleme ist richtig?

Accepted Answer

Sie können mehrere lokale Extremalstellen haben.

Answer

Sie können immer mit denselben Verfahren wie lineare Optimierungsprobleme gelöst werden.

Answer

Sie haben immer eine eindeutige optimale Lösung.

Question 15

Wie lautet das Ziel eines Minimierungsproblems?

Accepted Answer

Die Zielfunktion zu minimieren.

Answer

Die Zielfunktion zu maximieren.

Answer

Die Nebenbedingungen zu erfüllen.

Answer

Einen zulässigen Punkt zu finden.

Question 16

Welche Aussage zur Sensitivitätsanalyse in der linearen Optimierung ist korrekt?

Accepted Answer

Sie liefert Informationen über die Auswirkungen geringfügiger Änderungen der Zielfunktion auf die optimale Lösung.

Answer

Sie ist nur bei Problemen mit zwei Variablen anwendbar.

Answer

Sie ist immer eindeutig.

Answer

Sie garantiert die Stabilität der optimalen Lösung.

Question 17

Welche Funktion ist nicht konvex?

Accepted Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = -x^2

Question 18

Welches Verfahren wird zur Bestimmung der Ableitung einer nichtlinearen Funktion eingesetzt?

Accepted Answer

Regeln der Ableitung

Answer

Integration

Question 19

Was ist die geometrische Bedeutung der Nebenbedingungen eines linearen Optimierungsproblems?

Accepted Answer

Sie definieren den zulässigen Bereich für die Lösungen.

Answer

Sie geben die Zielfunktion an.

Question 20

Was ist das Ziel der Sensitivitätsanalyse in der Optimierung?

Accepted Answer

Die Auswirkungen von Änderungen der Input-Parameter auf die optimale Lösung untersuchen.

Answer

Die Genauigkeit der optimalen Lösung zu überprüfen.

Question 21

Welche Art von Optimierungsproblem ist durch die folgenden Bedingungen gekennzeichnet: Zielfunktion ist linear, Nebenbedingungen sind linear und zulässiger Bereich ist beschränkt?

Accepted Answer

Lineares Optimierungsproblem

Answer

Nichtlineares Optimierungsproblem

Question 22

Welche der folgenden Aussagen über Optimierungsprobleme in der Praxis ist korrekt?

Accepted Answer

Sie können einen erheblichen Einfluss auf Entscheidungen in verschiedenen Bereichen haben.

Answer

Sie sind selten mit Unsicherheiten oder anderen Herausforderungen verbunden.

Question 23

Welche Aussage über nichtlineare Optimierungsprobleme ist zutreffend?

Accepted Answer

Sie können mehrere lokale Extrema aufweisen.

Answer

Sie können immer analytisch gelöst werden.

Answer

Sie sind immer konvex.

Answer

Sie können nur mit numerischen Verfahren gelöst werden.

Question 24

Was ist das Hauptziel einer Optimierung?

Accepted Answer

Die Minimierung oder Maximierung einer Zielfunktion.

Answer

Die Lösung einer Gleichung.

Answer

Die Bestimmung der Steigung einer Geraden.

Answer

Die Berechnung eines Integrals.

Question 25

Welche Aussage beschreibt eine notwendige Bedingung für ein lokales Extremum?

Accepted Answer

Der Gradient der Zielfunktion ist gleich Null.

Answer

Die zweite Ableitung der Zielfunktion ist größer als Null.

Answer

Die Nebenbedingungen sind erfüllt.

Answer

Die Zielfunktion hat einen Wendepunkt.

Question 26

Wie unterscheiden sich ein lokales und ein globales Extremum?

Accepted Answer

Ein lokales Extremum gilt nur für einen kleinen Bereich, während ein globales Extremum für den gesamten Definitionsbereich gilt.

Answer

Ein globales Extremum ist immer größer als ein lokales Extremum.

Answer

Ein lokales Extremum ist eine spezielle Form eines globalen Extremums.

Answer

Es gibt keinen Unterschied zwischen einem lokalen und einem globalen Extremum.

Question 27

Welche Eigenschaft ist charakteristisch für eine konvexe Funktion?

Accepted Answer

Ihr Graph ist nach oben gekrümmt.

Answer

Ihr Graph ist nach unten gekrümmt.

Answer

Ihre erste Ableitung ist positiv.

Answer

Ihre zweite Ableitung ist negativ.

Question 28

Welches Verfahren eignet sich zur Lösung linearer Optimierungsprobleme?

Accepted Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Lagrange-Multiplikatoren

Answer

Gradientenabstieg

Question 29

Was ist die Zielfunktion bei einem Optimierungsproblem?

Accepted Answer

Die Funktion, die minimiert oder maximiert werden soll

Answer

Die Funktion, die die zulässige Lösungsmenge beschreibt

Question 30

Was bedeutet Konvexität?

Accepted Answer

Eine Menge, in der jede Verbindungslinie zwischen zwei Punkten vollständig in der Menge liegt

Answer

Eine Menge, die eine begrenzte Anzahl von Eckpunkten hat

Question 31

Was ist die notwendige Bedingung erster Ordnung für die Optimalität in einem Optimierungsproblem mit Nebenbedingungen?

Accepted Answer

Der Gradient der Lagrange-Funktion muss in jedem zulässigen Punkt verschwinden.

Answer

Die Ableitung der Zielfunktion muss in jedem zulässigen Punkt gleich null sein.

Question 32

Welcher Algorithmus eignet sich zur Lösung von ganzzahligen linearen Optimierungsproblemen?

Accepted Answer

Branch-and-Bound-Algorithmus

Answer

Simplex-Verfahren

Question 33

Welche Technik kann zur Lösung eines linearen Optimierungsproblems angewandt werden?

Accepted Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Gradientenverfahren

Answer

Newton-Verfahren

Question 34

Welches der folgenden Optimierungsprobleme ist ein lineares Problem?

Accepted Answer

Maximiere f(x, y) = 2x + 3y unter den Nebenbedingungen x ≥ 0, y ≥ 0 und x + y ≤ 100.

Answer

Maximiere f(x, y) = x^2 + y^2 unter den Nebenbedingungen x ≥ 0, y ≥ 0.

Answer

Minimiere f(x) = e^x unter den Nebenbedingungen x ≥ 0.

Question 35

Welche Aussage über Lagrange-Multiplikatoren ist falsch?

Accepted Answer

Lagrange-Multiplikatoren können nur zur Lösung von linearen Optimierungsproblemen verwendet werden.

Answer

Die Lagrange-Funktion ist die Zielfunktion plus eine Summe von Nebenbedingungen, multipliziert mit ihren Lagrange-Multiplikatoren.

Answer

Lagrange-Multiplikatoren sind eine Methode zur Lösung von Optimierungsproblemen mit Nebenbedingungen.

Question 36

Welche Aussage zur linearen Optimierung ist korrekt?

Accepted Answer

Sie zielt darauf ab, eine lineare Zielfunktion unter gegebenen Nebenbedingungen zu optimieren.

Answer

Sie behandelt nichtlineare Funktionen.

Question 37

Mit welcher Methode kann die optimale Lösung eines linearen Optimierungsproblems grafisch ermittelt werden?

Accepted Answer

Grafische Lösung

Answer

Simplex-Methode

Answer

Innenpunktsverfahren

Question 38

Was ist das Prinzip der Simplex-Methode?

Accepted Answer

Iterative Verbesserung einer zulässigen Lösung bis zum Erreichen der optimalen Lösung.

Answer

Formulierung und Lösung einer Gleichung für die Zielfunktion.

Answer

Verwendung von Ableitungen zur Bestimmung kritischer Punkte.

Question 39

Welche Eigenschaft trifft auf nichtlineare Optimierungsprobleme zu?

Accepted Answer

Sie können mehrere lokale Optima aufweisen.

Answer

Sie können mit denselben Methoden wie lineare Probleme gelöst werden.

Answer

Sie haben immer eine eindeutige globale optimale Lösung.

Answer

Sie sind immer konvex.

Question 40

Welche Methode eignet sich zur Lösung nichtlinearer Optimierungsprobleme?

Accepted Answer

Gradientenverfahren

Answer

Dualitätsprinzip

Answer

Simplex-Methode

Question 41

Was ist der Zweck der Lagrange-Multiplikatoren-Methode?

Accepted Answer

Umwandlung eines Optimierungsproblems mit Nebenbedingungen in ein unbeschränktes Optimierungsproblem.

Answer

Bestimmung der Steigung der Zielfunktion.

Question 42

Welche Methode dient der Sensitivitätsanalyse für lineare Optimierungsprobleme?

Accepted Answer

Reduced-Cost-Analyse

Answer

Simplex-Algorithmus

Answer

Innenpunktsverfahren

Answer

Dualitätsprinzip

Question 43

In welchen Bereichen finden Optimierungsprobleme praktische Anwendung?

Accepted Answer

Planung, Ressourcenallokation, Transport und Fertigung.

Answer

Nur in der Finanzbranche.

Answer

Ausschließlich in theoretischen Forschungsbereichen.

Question 44

Ein Unternehmen produziert zwei Produkte, A und B. Die Gewinnmarge für Produkt A beträgt 5€ pro Einheit, für Produkt B 8€ pro Einheit. Die Produktion von A benötigt 2 Stunden pro Einheit, die von B 3 Stunden pro Einheit. Das Unternehmen verfügt über maximal 120 Stunden Produktionszeit pro Woche. Welche der folgenden Aussagen beschreibt die optimale Produktionsmenge, um den Gewinn zu maximieren?

Accepted Answer

Es sollten 60 Einheiten von A und 0 Einheiten von B produziert werden.

Answer

Es sollten 0 Einheiten von A und 40 Einheiten von B produziert werden.

Answer

Es sollten 40 Einheiten von A und 20 Einheiten von B produziert werden.

Question 45

Eine Firma möchte ein rechteckiges Grundstück mit einem Umfang von 100 Metern einzäunen. Wie groß müssen Länge und Breite des Grundstücks sein, um die Fläche zu maximieren?

Accepted Answer

Länge = 25 Meter, Breite = 25 Meter

Answer

Länge = 50 Meter, Breite = 0 Meter

Answer

Länge = 30 Meter, Breite = 20 Meter

Answer

Länge = 40 Meter, Breite = 10 Meter

Question 46

Eine Fabrik stellt zwei Arten von Produkten her, X und Y. Die Produktion von X benötigt 4 Stunden pro Einheit, die von Y 2 Stunden pro Einheit. Die Fabrik verfügt über maximal 160 Stunden Produktionszeit pro Tag. Außerdem stehen 60 Einheiten eines bestimmten Rohstoffs zur Verfügung, wobei X 3 Einheiten und Y 2 Einheiten davon pro Stück benötigt. Welches der folgenden Gleichungssysteme beschreibt die Nebenbedingungen des Optimierungsproblems?

Accepted Answer

4x + 2y ≤ 160, 3x + 2y ≤ 60

Answer

4x + 2y ≥ 160, 3x + 2y ≤ 60

Answer

4x + 2y ≥ 160, 3x + 2y ≥ 60

Answer

4x + 2y ≤ 160, 3x + 2y ≥ 60

Question 47

Ein Unternehmen möchte einen neuen Werbespot produzieren. Die Kosten für die Produktion betragen 50.000€ und die Kosten für die Ausstrahlung 10.000€ pro Tag. Das Unternehmen erwartet, dass der Werbespot pro Tag 10.000€ Umsatz generiert. Wie viele Tage muss der Spot ausgestrahlt werden, um den Break-Even-Punkt zu erreichen?

Accepted Answer

6 Tage

Answer

5 Tage

Answer

7 Tage

Answer

8 Tage

Question 48

Ein Unternehmen produziert einen Artikel, dessen Kostenfunktion durch K(x) = 2x + 500 und dessen Erlösfunktion durch E(x) = 5x gegeben ist. Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Gewinnfunktion G(x)?

Accepted Answer

G(x) = 3x - 500

Answer

G(x) = 7x + 500

Answer

G(x) = 5x - 2

Answer

G(x) = 2x - 500

Question 49

Welche der folgenden Funktionen ist konvex?

Accepted Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = -x²

Answer

f(x) = x³

Question 50

Was ist die notwendige Bedingung für ein lokales Minimum einer Funktion f(x)?

Accepted Answer

Die erste Ableitung f'(x) = 0

Answer

Die zweite Ableitung f''(x) < 0

Answer

Die erste Ableitung f'(x) > 0

Answer

Die zweite Ableitung f''(x) = 0

Question 51

Ein Unternehmen möchte die Produktionsmenge eines Produkts so optimieren, dass die Kosten minimiert werden. Die Kostenfunktion lautet K(x) = x² - 10x + 25. Welches ist die optimale Produktionsmenge?

Accepted Answer

x = 5

Answer

x = 10

Answer

x = 0

Answer

x = 25

Question 52

Welche Methode kann zur Lösung eines nichtlinearen Optimierungsproblems mit mehreren Variablen verwendet werden?

Accepted Answer

Lagrange-Multiplikatoren

Answer

Simplex-Methode

Answer

Newton-Verfahren

Answer

Gradientenverfahren