Eigenwerte und Eigenvektoren: Online-Quiz für Klasse 11 Gymnasium

Question 1

Was ist eine zutreffende Aussage über einen Eigenvektor?

Accepted Answer

Er wird bei einer linearen Transformation durch eine Matrix auf ein Vielfaches seiner selbst abgebildet.

Answer

Er wird bei einer linearen Transformation durch eine Matrix auf einen anderen Vektor abgebildet.

Answer

Er wird bei einer linearen Transformation durch eine Matrix auf die Null abgebildet.

Answer

Er wird bei einer linearen Transformation durch eine Matrix auf sich selbst abgebildet.

Question 2

Welche der folgenden Aussagen über die Diagonalform einer Matrix ist falsch?

Accepted Answer

Die Diagonalform hat denselben Rang wie die ursprüngliche Matrix.

Answer

Die Diagonalform hat alle Nicht-Diagonalelemente gleich 0.

Answer

Die Diagonalform enthält die Eigenwerte der ursprünglichen Matrix auf der Diagonalen.

Answer

Die Diagonalform kann durch Matrizenmultiplikation erhalten werden.

Question 3

Die Diagonalform einer diagonalisierbaren Matrix A ist

Accepted Answer

D = [λ₁, 0; 0, λ₂]

Answer

D = [λ₁, λ₂; 0, 0]

Answer

D = [λ₁, λ₂; λ₂, λ₁]

Question 4

Was ist die geometrische Bedeutung eines Eigenvektors?

Accepted Answer

Er gibt die Richtung an, in die ein Vektor bei Matrixmultiplikation transformiert wird.

Answer

Er gibt den Betrag an, um den ein Vektor bei Matrixmultiplikation gestreckt wird.

Answer

Er gibt den Winkel an, um den ein Vektor bei Matrixmultiplikation gedreht wird.

Question 5

Welche der folgenden Matrizen hat den Eigenwert λ = -1?

Accepted Answer

[-1, 1; 1, -2]

Answer

[1, 2; -1, 1]

Answer

[1, -1; 1, 2]

Question 6

Welche Aussage beschreibt die Beziehung zwischen Eigenwerten und Determinanten?

Accepted Answer

Die Determinante einer Matrix ist das Produkt ihrer Eigenwerte.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist die Summe ihrer Eigenwerte.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist das Quadrat ihrer Eigenwerte.

Answer

Es besteht keine Beziehung zwischen Eigenwerten und Determinanten.

Question 7

Was ist ein Eigenvektor?

Accepted Answer

Ein Vektor, der bei Multiplikation mit der Matrix ein Vielfaches seiner selbst ergibt (Av = λv).

Answer

Ein Vektor, der orthogonal zu allen anderen Vektoren im Spaltenraum der Matrix ist.

Answer

Ein Vektor, der die charakteristische Gleichung der Matrix erfüllt.

Answer

Ein Vektor, der den Rang der Matrix angibt.

Question 8

Wie lautet die Eigenwertzerlegung der Matrix A = [[2, 1], [-1, 2]]?

Accepted Answer

A = SΛS^-1

Answer

A = ΛS^-1S

Answer

A = Λ^-1S^-1S

Answer

A = SΛ^-1S^-1

Question 9

Welche Aussage über die Matrix A = ((2, -1), (3, 1)) ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist invertierbar.

Answer

Sie ist orthogonal.

Answer

Sie hat den Rang 1.

Answer

Sie ist symmetrisch.

Question 10

Was besagt der Satz von Cayley-Hamilton?

Accepted Answer

Jede Matrix erfüllt ihre eigene charakteristische Gleichung.

Answer

Jede Matrix ist diagonalisierbar.

Answer

Die Eigenvektoren einer Matrix sind orthogonal.

Answer

Die Eigenwerte einer Matrix sind reell.

Question 11

Berechnen Sie einen Eigenvektor der Matrix A = [2, 1; -1, 2] für den Eigenwert λ = 1.

Accepted Answer

(1, -1)

Answer

(1, 1)

Answer

(-1, 1)

Answer

(-1, -1)

Question 12

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist korrekt?

Accepted Answer

Eigenwerte sind die Wurzeln des charakteristischen Polynoms einer Matrix.

Answer

Eigenwerte sind die Diagonalkoeffizienten einer Matrix.

Answer

Eigenwerte sind immer positiv.

Answer

Eigenwerte sind nur für symmetrische Matrizen definiert.

Question 13

Wie berechnet man den Eigenvektor zu einem gegebenen Eigenwert?

Accepted Answer

Löse das Gleichungssystem (A - λI)v = 0.

Answer

Löse das Gleichungssystem (A - λI)v = 1.

Answer

Multipliziere den Eigenwert mit der Einheitsmatrix.

Answer

Addiere den Eigenwert zu jedem Element der Matrix.

Question 14

Was ist die geometrische Interpretation eines Eigenvektors?

Accepted Answer

Eine Gerade im Vektorraum.

Answer

Eine Ebene im Vektorraum.

Answer

Ein Punkt im Vektorraum.

Answer

Ein Kreis im Vektorraum.

Question 15

Welche der folgenden Aussagen über die Potenzen von diagonalisierbaren Matrizen ist korrekt?

Accepted Answer

Die Potenzen von diagonalisierbaren Matrizen sind wieder diagonalisierbar.

Answer

Die Potenzen von diagonalisierbaren Matrizen sind nicht diagonalisierbar.

Answer

Die Potenzen von diagonalisierbaren Matrizen haben nur positive Eigenwerte.

Answer

Die Potenzen von diagonalisierbaren Matrizen haben nur negative Eigenwerte.

Question 16

Diagonalisierbarkeit von Matrizen: Welche der folgenden Matrizen ist nicht diagonalisierbar?

Accepted Answer

A = [[1, 1], [-1, 1]]

Answer

A = [[1, 0], [0, 1]]

Answer

A = [[2, 1], [1, 2]]

Answer

A = [[3, 1], [0, 2]]

Question 17

Welche der folgenden Matrizen hat den Eigenwert 3?

Accepted Answer

A = [[2, 1], [0, 3]]

Answer

C = [[2, 1], [1, 2]]

Answer

D = [[1, 1], [1, -1]]

Answer

B = [[1, 0], [0, 2]]

Question 18

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Eigenvektor der Matrix A = [[2, 1], [1, 2]] zum Eigenwert 3?

Accepted Answer

x = [1, 1]

Answer

x = [0, 1]

Answer

x = [2, 1]

Answer

x = [1, -1]

Question 19

Welcher der folgenden Sätze ist eine Eigenschaft von Eigenwerten diagonalisierbarer Matrizen?

Accepted Answer

Sie sind immer reell oder komplex konjugiert.

Answer

Sie sind immer positiv.

Answer

Sie sind immer ganzzahlig.

Answer

Sie sind immer negativ.

Question 20

Welche der folgenden Aussagen über Eigenvektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Sie sind linear unabhängig.

Answer

Sie sind immer senkrecht zueinander.

Answer

Sie sind immer kollinear.

Answer

Sie sind immer parallel.

Question 21

Welche der folgenden Aussagen über die Diagonalisierung einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist möglich, wenn die Matrix diagonalisierbar ist.

Answer

Sie ist immer möglich, wenn die Matrix quadratisch ist.

Answer

Sie ist nur möglich, wenn die Matrix invertierbar ist.

Question 22

Was sind Eigenwerte einer Matrix?

Accepted Answer

Skalare, die die Größe der Eigenvektoren bestimmen

Answer

Matrizen, die die Größe und Richtung der Eigenvektoren bestimmen

Answer

Vektoren, die die Richtung der Eigenvektoren bestimmen

Question 23

Wie lautet die Eigenwertgleichung?

Accepted Answer

Av = λv

Answer

λv = Av

Answer

Av = vλ

Answer

λv = vA

Question 24

Welche der folgenden Matrizen hat den Eigenwert λ = 3?

Accepted Answer

[3 1; 0 3]

Answer

[2 0; 0 2]

Answer

[0 1; 1 0]

Answer

[1 0; 0 4]

Question 25

Was ist der Zweck der Diagonalisierung von Matrizen?

Accepted Answer

Vereinfachung in eine Form, die Eigenwerte und Eigenvektoren enthält

Answer

Diagonalisierung ist für jede Matrix möglich

Question 26

Wie werden Eigenvektoren geometrisch interpretiert?

Accepted Answer

Hauptachsen eines linearen Transformation

Answer

Symmetrieachsen

Answer

Diagonalen

Answer

Mittellinien

Question 27

In welchem physikalischen Bereich sind Eigenwerte und Eigenvektoren von Bedeutung?

Accepted Answer

Analyse von Schwingungen und mechanischen Systemen

Answer

Optimierung von Portfolios

Answer

Berechnung von Integralen

Answer

Lösen von Differentialgleichungen

Question 28

Welche Aussage über die Diagonalisierbarkeit einer Matrix ist richtig?

Accepted Answer

Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie n linear unabhängige Eigenvektoren besitzt.

Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, falls sie symmetrisch ist.

Answer

Jede Matrix ist diagonalisierbar.

Question 29

Welche Aussage trifft auf die Eigenwerte einer symmetrischen Matrix zu?

Accepted Answer

Sie sind alle reell.

Answer

Sie können negativ sein.

Answer

Sie können komplex sein.

Answer

Sie sind immer größer als 1.

Question 30

Die Matrix A sei gegeben durch A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ -1 & 2 \end{pmatrix}. Bestimmen Sie die Eigenwerte von A.

Accepted Answer

λ₁ = 1, λ₂ = 3

Answer

λ₁ = 2, λ₂ = 2

Answer

λ₁ = -1, λ₂ = -3

Answer

λ₁ = 0, λ₂ = 4

Question 31

Welche Aussage über Eigenvektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Eigenvektoren sind von Null verschiedene Vektoren, die bei einer Matrixtransformation in Richtung ihrer ursprünglichen Richtung skaliert werden.

Answer

Eigenvektoren sind immer linear abhängig.

Answer

Eigenvektoren können nur für quadratische Matrizen existieren.

Answer

Eigenvektoren sind immer orthogonal.

Question 32

Die Matrix C = \begin{pmatrix} 2 & -1 \ 1 & 2 \end{pmatrix} ist gegeben. Welche Aussage über die Diagonalisierbarkeit von C ist korrekt?

Accepted Answer

C ist diagonalisierbar, da sie zwei voneinander verschiedene Eigenwerte besitzt.

Answer

C ist nicht diagonalisierbar, da sie keine reellen Eigenwerte besitzt.

Answer

C ist nicht diagonalisierbar, da sie nicht symmetrisch ist.

Answer

C ist nur diagonalisierbar, wenn ihre Eigenvektoren orthogonal sind.

Question 33

Welche der folgenden Matrizen ist nicht diagonalisierbar?

Accepted Answer

\begin{pmatrix} 1 & 2 \ 2 & 1 \end{pmatrix}

Answer

\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 2 \end{pmatrix}

Answer

\begin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & -2 \end{pmatrix}

Question 34

In welchem physikalischen Zusammenhang finden Eigenwerte und Eigenvektoren Anwendung?

Accepted Answer

Schwingungsanalyse von Systemen

Answer

Analyse von Finanzdaten

Answer

Berechnung von Spannungen in elektrischen Schaltungen

Answer

Optimierung von Prozessen

Question 35

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist **nicht** korrekt?

Accepted Answer

Eigenwerte sind immer reell.

Answer

Eigenwerte sind Lösungen der charakteristischen Gleichung.

Answer

Eigenwerte beschreiben das Ausmaß der Streckung oder Stauchung eines Vektors bei einer linearen Transformation.

Answer

Eigenwerte können mehrfach auftreten.

Question 36

Was beschreibt die geometrische Bedeutung eines Eigenvektors?

Accepted Answer

Eine Richtung im Vektorraum, in die der Vektor bei einer linearen Transformation gestreckt oder gestaucht wird.

Answer

Eine Ebene im Vektorraum, die den Nullvektor enthält.

Answer

Eine Gerade im Vektorraum, die durch den Nullvektor verläuft.

Question 37

Welche der folgenden Matrizen ist **nicht** diagonalisierbar?

Accepted Answer

$A = [[1, 1], [1, 1]]$

Answer

$A = [[1, 2], [2, 1]]$

Answer

$A = [[1, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 3]]$

Answer

$A = [[2, 0], [0, 3]]$

Question 38

Was ist die charakteristische Gleichung einer Matrix $A$?

Accepted Answer

$det(A - λI) = 0$

Answer

$A²λ - λI = 0$

Answer

$λ²A - λI = 0$

Answer

$det(A + λI) = 0$

Question 39

Welche Aussage über den Rang einer Matrix $A$ und den Rang der diagonalisierten Matrix $D$ ist korrekt?

Accepted Answer

$Rang(A) = Rang(D)$

Answer

$Rang(A) > Rang(D)$

Answer

$Rang(A) < Rang(D)$

Answer

$Rang(A) = Rang(D²) $

Question 40

Was ist die Eigenraumdimension zu einem Eigenwert $λ$ einer Matrix $A$?

Accepted Answer

Nullraumdimension von $(A - λI)$

Answer

Spaltenraumdimension von $(A - λI)$

Answer

Zeilenraumdimension von $(A - λI)$

Answer

Rang von $(A - λI)$

Question 41

Welche der folgenden Aussagen über Eigenvektoren ist FALSCH?

Accepted Answer

Ein Eigenvektor kann der Nullvektor sein.

Answer

Eigenvektoren geben die Richtung an, in die ein Vektor durch eine lineare Transformation gestreckt oder gestaucht wird.

Answer

Eigenvektoren werden durch lineare Transformationen nicht verändert, außer durch Skalierung.

Answer

Eigenvektoren sind linear unabhängig.

Question 42

Welche der folgenden Matrizen hat den Eigenwert 2?

Accepted Answer

[[3, 1], [1, 3]]

Answer

[[1, 2], [2, 1]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[2, 1], [1, 2]]

Question 43

Was ist die geometrische Interpretation von Eigenvektoren im Kontext einer linearen Transformation?

Accepted Answer

Sie geben die Richtungen an, in denen die Transformation nur eine Skalierung bewirkt.

Answer

Sie sind die Vektoren, die durch die Transformation auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Sie repräsentieren die invarianten Punkte der Transformation.

Question 44

Welche der folgenden Gleichungen repräsentiert die charakteristische Gleichung einer 2x2-Matrix A?

Accepted Answer

det(A - λI) = 0

Answer

det(A + λI) = 0

Answer

tr(A + λI) = 0

Answer

tr(A - λI) = 0

Question 45

Eine Matrix A ist diagonalisierbar, wenn...

Accepted Answer

...sie eine Basis aus Eigenvektoren besitzt.

Answer

...sie symmetrisch ist.

Answer

...alle ihre Eigenwerte gleich sind.

Answer

...sie invertierbar ist.

Question 46

Was ist das Ergebnis der Diagonalisierung einer Matrix A?

Accepted Answer

Eine diagonale Matrix D, die die gleichen Eigenwerte wie A enthält.

Answer

Eine invertierbare Matrix, die mit A kommutiert.

Answer

Eine Matrix, die die gleiche Determinante wie A hat.

Question 47

Welche der folgenden Aussagen über die Diagonalisierung einer Matrix ist KORREKT?

Accepted Answer

Die Diagonalisierung einer Matrix vereinfacht die Berechnung von Potenzen der Matrix.

Answer

Jede Matrix kann diagonalisiert werden.

Answer

Die Diagonalisierung einer Matrix verändert ihre Eigenwerte.

Question 48

Welche der folgenden Anwendungen ist KEINE direkte Anwendung von Eigenwerten und Eigenvektoren?

Accepted Answer

Berechnung von Integralen

Answer

Maschinelles Lernen

Answer

Analyse von dynamischen Systemen

Answer

Datenkompression

Question 49

Gegeben sei eine 3x3-Matrix A mit drei verschiedenen Eigenwerten. Wie viele linear unabhängige Eigenvektoren hat A?

Accepted Answer

Drei

Answer

Eine

Answer

Es ist nicht möglich, die Anzahl der linear unabhängigen Eigenvektoren zu bestimmen.

Answer

Zwei

Question 50

Eine 2x2-Matrix hat einen Eigenwert λ = 3 mit einer algebraischen Vielfachheit von 2. Welche der folgenden Aussagen ist KORREKT?

Accepted Answer

Die Matrix hat möglicherweise nicht zwei linear unabhängige Eigenvektoren.

Answer

Die Matrix hat immer zwei linear unabhängige Eigenvektoren.

Answer

Die Matrix ist immer diagonalisierbar.