Analytische Geometrie im Raum: Vektoren und mehr – Online-Quiz

Question 1

Berechne die Entfernung zwischen den Punkten A(3, -2, 1) und B(5, 4, 3) im dreidimensionalen Raum.

Accepted Answer

√44

Answer

√20

Answer

2√11

Answer

4√11

Question 2

Welche Eigenschaft trifft auf den Richtungsvektor einer Geraden im Raum zu?

Accepted Answer

Er verläuft parallel zur Geraden und gibt ihre Richtung an.

Answer

Er steht senkrecht zur Geraden und gibt ihren Abstand zum Ursprung an.

Answer

Er hat immer die Länge 1.

Answer

Er zeigt von einem beliebigen Punkt auf der Geraden zum Ursprung.

Question 3

Berechne das Volumen des Parallelepipeds, das von den Vektoren **a** = (1, 2, 1), **b** = (0, 1, 1) und **c** = (1, 0, 2) aufgespannt wird.

Accepted Answer

V = |**a** x (**b** x **c**)|

Answer

V = |**a** x (**b** + **c**)|

Answer

V = |**a** x **b**| + |**a** x **c**|

Question 4

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit zwei Vektoren im Raum als gleich angesehen werden können?

Accepted Answer

Gleiche Länge und gleiche Richtung

Answer

Gleiche Länge, aber unterschiedliche Richtungen

Answer

Unterschiedliche Längen, aber gleiche Richtung

Answer

Weder gleiche Länge noch gleiche Richtung

Question 5

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit die Vektoren ( vec{a}, vec{b} ) und ( vec{c} ) im dreidimensionalen Raum linear abhängig sind?

Accepted Answer

Es gibt Zahlen ( x, y, z ), sodass ( xvec{a} + yvec{b} + zvec{c} = vec{0} ) gilt, wobei mindestens eine dieser Zahlen ungleich 0 ist.

Answer

Das Kreuzprodukt von ( vec{a} ) und ( vec{b} ) ergibt ( vec{c} ).

Answer

Das Skalarprodukt von ( vec{a} ) und ( vec{b} ) ist gleich 0.

Answer

Die Vektoren ( vec{a}, vec{b} ) und ( vec{c} ) sind parallel zueinander.

Question 6

Welche Aussage beschreibt die Koordinatenachsen im dreidimensionalen Raum?

Accepted Answer

Sie sind senkrechte Linien.

Answer

Sie sind parallele Ebenen.

Answer

Sie bilden einen Quader.

Answer

Sie bilden eine Ebene.

Question 7

Im dreidimensionalen Koordinatensystem schneiden sich die x-, y- und z-Achsen in welchem Punkt?

Accepted Answer

In einem gemeinsamen Punkt

Answer

In drei verschiedenen Punkten

Answer

In keinem Punkt

Answer

In zwei verschiedenen Punkten

Question 8

Sind die Vektoren $$ vec{a} = (2, 1, 3), vec{b} = (1, 2, 1), vec{c} = (-1, 1, 2)$$ linear unabhängig? Begründe deine Antwort.

Accepted Answer

Ja, denn die Determinante der Matrix aus den Vektoren ist ungleich null.

Answer

Nein, denn einer der Vektoren kann als Linearkombination der anderen beiden dargestellt werden.

Answer

Die Aussage kann nicht getroffen werden.

Question 9

Wie berechnet man den Betrag eines Vektors **u** im dreidimensionalen Raum?

Accepted Answer

Wurzel aus der Summe der Quadrate der Komponenten

Answer

Länge des Vektors vom Ursprung zum Endpunkt

Answer

Volumen des vom Vektor aufgespannten Parallelepipeds

Question 10

Nenne einen konkreten Anwendungsfall für Vektoren in der Informatik und erkläre kurz, wie sie dort eingesetzt werden.

Accepted Answer

Vektoren werden verwendet, um die Position von Objekten in 3D-Grafiken zu beschreiben.

Answer

Vektoren werden nicht in der Informatik verwendet.

Answer

Vektoren werden in der Datenorganisation von Datenbanken verwendet.

Question 11

Ermitteln Sie die Gleichung der Ebene im Raum, die durch die Punkte A(1, 2, 3), B(2, 5, 7) und C(3, 7, 11) verläuft.

Accepted Answer

x - 2y + 3z - 9 = 0

Answer

2x + 3y + 4z - 10 = 0

Answer

x - y + z = 0

Answer

y = 2x + 3

Question 12

Sind die Vektoren $vec{a} = (1, 2, 3)$, $vec{b} = (2, 4, 6)$ und $vec{c} = (3, 6, 9)$ linear abhängig?

Accepted Answer

Ja, sie sind linear abhängig.

Answer

Nein, sie sind linear unabhängig.

Answer

Die Abhängigkeit kann nicht bestimmt werden.

Answer

Die Vektoren sind kollinear.

Question 13

Welche Aussage beschreibt korrekt die Rolle der Determinante bei der linearen Abhängigkeit von Vektoren im dreidimensionalen Raum?

Accepted Answer

Die Determinante ist null, wenn die Vektoren linear abhängig sind.

Answer

Die Determinante gibt das Volumen des von den Vektoren aufgespannten Raumes an.

Answer

Die Determinante ist immer positiv, wenn die Vektoren linear unabhängig sind.

Question 14

Wie werden Vektoren und analytische Geometrie des Raumes in Architektur und Design eingesetzt?

Accepted Answer

Berechnung von Kräften und Momenten in Gebäuden

Accepted Answer

3D-Modellierung und -Transformation von Objekten

Answer

Flugbahn-Berechnung von Flugzeugen

Answer

Beschreibung von Atomen und Molekülen

Question 15

Welcher der folgenden Vektoren ist orthogonal zum Vektor –2² ³ + 4³ ?

Accepted Answer

2² ³ − 4³

Answer

4² ³ − 2³

Answer

4² ³ + 2³

Answer

Keine der genannten Möglichkeiten

Question 16

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Kugel mit dem Mittelpunkt M(1, 2, 3) und dem Radius r = 2?

Accepted Answer

(x - 1)² + (y - 2)² + (z - 3)² = 4

Answer

(x + 1)² + (y + 2)² + (z + 3)² = 4

Answer

(x - 1)² + (y - 2)² + (z - 3)² = 2

Answer

(x - 1)² + (y - 2)² + (z - 3)² = 8

Question 17

Welcher der folgenden Vektoren ist linear abhängig von den Vektoren –2² ³ + 4³ und ³ ³ − 2³?

Accepted Answer

–4² ³ − 6³

Answer

4² ³ + 6³

Answer

6² ³ − 8³

Answer

8² ³ + 10³

Question 18

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert den Normalenvektor der Ebene 2x − 3y + z = 4?

Accepted Answer

[–2 –3 –1]

Answer

[–1 –2 –3]

Answer

[–3 –1 –2]

Answer

Keine der genannten Möglichkeiten

Question 19

Welche historischen Entwicklungen haben maßgeblich zur Entstehung der analytischen Geometrie des Raumes beigetragen?

Accepted Answer

Die bahnbrechenden Arbeiten von René Descartes und Pierre de Fermat im 17. Jahrhundert

Answer

Die Axiome der euklidischen Geometrie

Answer

Errungenschaften des 19. Jahrhunderts

Answer

Die analytische Geometrie des Raumes hat keine Bedeutung für die heutige Mathematik

Question 20

Welche Anwendungen haben Vektoren und analytische Geometrie des Raumes in der Physik?

Accepted Answer

Berechnung von Kräften und Drehmomenten

Accepted Answer

Beschreibung von Bewegungsabläufen

Accepted Answer

Modellierung von elektromagnetischen Feldern

Answer

Erstellung von 3D-Modellen

Question 21

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den Vektoren vec{a} = (1, 2, 3) und vec{b} = (2, 1, -1) aufgespannt wird.

Accepted Answer

|vec{a} x vec{b}| = 5

Answer

|vec{a} x vec{b}| = 3

Answer

-|vec{a} x vec{b}| = -5

Question 22

Überprüfen Sie, ob die Vektoren **a = (1, 2, 3)**, **b = (4, 5, 6)** und **c = (7, 8, 9)** linear unabhängig sind.

Accepted Answer

Ja, denn die Determinante der Matrix aus den Vektoren ist ungleich Null.

Answer

Nein, denn einer der Vektoren ist ein Vielfaches eines anderen.

Answer

Nein, denn die Summe der Vektoren ist nicht Null.

Answer

Nein, denn die Vektoren zeigen nicht in verschiedene Richtungen.

Question 23

Berechne den Winkel zwischen den Vektoren **a** = (3, 4, -5) und **b** = (1, 2, 3) im dreidimensionalen Raum.

Accepted Answer

arccos((**a** · **b**) / (**||a||** * **||b||**))

Answer

45°

Answer

90°

Question 24

Welche zentrale Idee von René Descartes im 17. Jahrhundert ermöglichte die Entwicklung der analytischen Geometrie des Raumes?

Accepted Answer

Einführung eines Koordinatensystems im dreidimensionalen Raum

Answer

Definition eines Vektorprodukts für Vektoren

Answer

Anwendung der analytischen Geometrie in physikalischen Problemen

Answer

Entwicklung eines Verfahrens zur Berechnung von Flächen im Raum

Question 25

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Ebene im dreidimensionalen Raum?

Accepted Answer

x + y - z = 0

Answer

x^2 + y^2 + z^2 = 1

Answer

y = x

Answer

z = 0

Question 26

Welche der folgenden Geraden ist parallel zur y-Achse im dreidimensionalen Raum?

Accepted Answer

y = 3

Answer

x = 2

Answer

z = -1

Answer

x + y = 0

Question 27

Welcher der folgenden Vektoren ist senkrecht zum Vektor (1, 2, 3)?

Accepted Answer

(2, -1, 1)

Answer

(1, 0, 0)

Answer

(0, 2, -1)

Answer

(4, 5, 6)

Question 28

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Gerade im dreidimensionalen Raum?

Accepted Answer

(x - 1)/2 = (y - 2)/3 = (z - 3)/4

Answer

x = 1, y = 2, z = 3

Answer

x + y + z = 0

Answer

y = mx + b

Question 29

Berechne das Volumen des Parallelepipeds, das von den Vektoren (1, 2, 3), (2, 1, 0) und (0, 0, 1) aufgespannt wird.

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

4

Question 30

Welcher der folgenden Ausdrücke stellt einen Vektor im Raum dar?

Accepted Answer

(2, 3, 4)

Answer

2x + 3y

Answer

|(2, 3, 4)|

Answer

x² + y² + z²

Question 31

Berechne den Betrag des Vektors v = (1, 2, 3).

Accepted Answer

√14

Answer

1

Answer

2

Answer

14

Question 32

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Kugel im Raum?

Accepted Answer

x² + y² + z² = 4

Answer

|(x - 2)| + |(y - 3)| + |(z - 4)| = 5

Answer

x² + y² - z² = 1

Answer

2x + 3y - 4z + 5 = 0

Question 33

Die Gleichung x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y - 2z = 0 beschreibt:

Accepted Answer

Eine Kugel

Answer

Eine Ebene

Answer

Einen Zylinder

Answer

Ein Ellipsoid

Question 34

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Ebene im dreidimensionalen Raum?

Accepted Answer

ax + by + cz + d = 0

Answer

x^2 + y^2 + z^2 = r^2

Answer

(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = r^2

Answer

y = mx + b

Question 35

Welche der folgenden Kugeln hat einen Radius von 5?

Accepted Answer

(x - 2)^2 + (y + 3)^2 + (z - 1)^2 = 25

Answer

3x + 4y - 5z = 15

Answer

x^2 + y^2 + z^2 = 10

Answer

y = z^2

Question 36

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Normalenvektor zur Ebene mit der Gleichung 2x - 3y + z = 5?

Accepted Answer

**n** = (2, -3, 1)

Answer

**u** = (3, 2, 1)

Answer

**w** = (1, -1, 1)

Answer

**v** = (5, -2, 3)

Question 37

Ein Vektor $\vec{v}$ hat die Länge 6 und bildet mit dem Einheitsvektor $\vec{e}_1$ einen Winkel von 60°. Bestimmen Sie die Komponenten von $\vec{v}$.

Accepted Answer

(3, 3√3)

Answer

(0, 6)

Answer

(3, 3)

Answer

(6, 0)

Question 38

Berechnen Sie das Volumen des Parallelepipeds, das von den Vektoren $\vec{a} = (1, 2, 3)$, $\vec{b} = (2, 1, -4)$ und $\vec{c} = (3, -1, 2)$ aufgespannt wird.

Accepted Answer

21

Answer

14

Answer

35

Answer

28

Question 39

Berechnen Sie den Winkel zwischen den Vektoren $\vec{a} = (1, 2, 3)$ und $\vec{b} = (2, 1, -4)$.

Accepted Answer

63,43°

Answer

45°

Answer

90°

Question 40

Welche der folgenden Bedingungen ist notwendig und hinreichend dafür, dass die Vektoren $\vec{a}$, $\vec{b}$ und $\vec{c}$ linear abhängig sind?

Accepted Answer

Es existieren Skalare α, β und γ nicht alle gleich null, sodass α$\vec{a}$ + β$\vec{b}$ + γ$\vec{c}$ = $\vec{0}$.

Answer

Es existiert ein Skalar α ungleich null, sodass α$\vec{a}$ = $\vec{b}$ ist.

Question 41

Welcher Vektor ist ein Einheitsvektor?

Accepted Answer

v = (1/√2, 1/√2, 0)

Answer

v = (1, 1, 1)

Answer

v = (2, 3, 4)

Question 42

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Ebene im Raum?

Accepted Answer

x + 2y - z = 5

Answer

z = 3

Answer

x² + y² = 1

Answer

y = x²

Question 43

Welche der folgenden Aussagen über Kugeln im Raum ist richtig?

Accepted Answer

Eine Kugel ist durch ihren Mittelpunkt und ihren Radius eindeutig bestimmt.

Answer

Eine Kugel kann zwei verschiedene Mittelpunkte haben.

Answer

Eine Kugel kann unendlich viele Radien haben.

Answer

Eine Kugel ist eine zweidimensionale Figur.

Question 44

Sei $\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}1\2\3\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}-2\1\0\end{pmatrix}$. Berechne den Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ auf eine Dezimalstelle gerundet.

Accepted Answer

$\alpha \approx 109,47°$

Answer

$\alpha \approx 90°$

Answer

$\alpha \approx 180°$

Answer

$\alpha \approx 70,53°$

Question 45

Welche der folgenden Vektoren ist parallel zur Geraden $g$ mit der Parametergleichung $\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}1\0\2\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}2\1\-1\end{pmatrix}$?

Accepted Answer

$\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}2\1\-1\end{pmatrix}$

Answer

$\overrightarrow{w}=\begin{pmatrix}1\2\-1\end{pmatrix}$

Answer

$\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}1\0\2\end{pmatrix}$

Question 46

Lineare Abhängigkeit von Vektoren

Accepted Answer

Drei Vektoren im Raum sind linear abhängig, wenn sie in einer Ebene liegen.

Answer

Drei Vektoren im Raum sind linear abhängig, wenn sie parallel zueinander sind.

Answer

Drei Vektoren im Raum sind linear abhängig, wenn sie senkrecht zueinander sind.

Question 47

Gleichung einer Ebene im dreidimensionalen Raum

Accepted Answer

Die Gleichung einer Ebene im Raum lautet ax + by + cz + d = 0, wobei (a, b, c) einen Normalenvektor der Ebene darstellt und d der Abstand der Ebene vom Ursprung ist.

Answer

Die Gleichung einer Ebene im Raum lautet ax + by + c = 0.

Answer

Die Gleichung einer Ebene im Raum lautet ax + by = d.

Question 48

Eigenschaften von Kugeln und Ebenen

Accepted Answer

Eine Kugel kann eine Ebene in höchstens zwei Punkten schneiden.

Answer

Eine Kugel kann eine Ebene in vier Punkten schneiden.

Answer

Eine Kugel kann eine Ebene in keinem Punkt schneiden.

Question 49

Skalarprodukt zweier Vektoren

Accepted Answer

Das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b ist eine Zahl, die durch a · b = |a| |b| cos(α) gegeben ist, wobei α der Winkel zwischen a und b ist.

Answer

Das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b ist eine Zahl, die durch a · b = |a| + |b| gegeben ist.

Answer

Das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b ist eine Zahl, die durch a · b = |a| |b| sin(α) gegeben ist.

Question 50

Kreuzprodukt zweier Vektoren

Accepted Answer

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren a und b ist ein Vektor c, der senkrecht zu a und b steht und dessen Betrag durch |c| = |a| |b| sin(α) gegeben ist, wobei α der Winkel zwischen a und b ist.

Answer

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren a und b ist ein Vektor c, der parallel zu a und b ist.

Question 51

Anwendungen von Vektoren

Accepted Answer

Vektoren werden in verschiedenen Bereichen wie Physik, Ingenieurwesen und Computergrafik eingesetzt, um Größen wie Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft und Position zu beschreiben.

Answer

Vektoren werden hauptsächlich in der Mathematik verwendet.

Question 52

Beweisführung in der analytischen Geometrie

Accepted Answer

Beweise in der analytischen Geometrie basieren häufig auf algebraischen Umformungen und Gleichungen.

Answer

Beweise in der analytischen Geometrie basieren hauptsächlich auf geometrischen Konstruktionen.

Answer

Beweise in der analytischen Geometrie basieren hauptsächlich auf numerischen Berechnungen.

Question 53

Welcher der folgenden Vektoren ist orthogonal zu den Vektoren  ¿» = (1, 2, 3) und ¿» = (-1, 0, 1)?

Accepted Answer

(2, -4, 2)

Answer

(1, 0, 1)

Answer

(1, 1, -2)

Answer

(1, 1, 1)

Question 54

Welche Gleichung beschreibt die Ebene, die durch die Punkte A(1, 2, 0), B(2, 1, 1) und C(0, 0, 2) verläuft?

Accepted Answer

x + y + z = 3

Answer

2x + y + z = 5

Answer

x - y + 2z = 1

Answer

x + 2y - z = 3

Question 55

Welche Gerade verläuft durch den Punkt P(1, 2, 3) und ist parallel zur Geraden ¿» = (2, 1, -1) + t(1, 0, 2) ?

Accepted Answer

¿» = (1, 2, 3) + t(1, 0, 2)

Answer

¿» = (2, 1, -1) + t(1, 2, 3)

Answer

¿» = (1, 2, 3) + t(2, 1, -1)

Answer

¿» = (1, 0, 2) + t(1, 2, 3)

Question 56

Was ist die Länge des Vektors ¿» = (3, -4, 0)?

Accepted Answer

5

Answer

3

Answer

25

Answer

7

Question 57

Welche Gleichung beschreibt die Kugel mit Mittelpunkt M(1, -2, 3) und Radius r = 2?

Accepted Answer

(x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 4

Answer

(x + 1)² + (y - 2)² + (z + 3)² = 4

Answer

(x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 2

Answer

(x + 1)² + (y - 2)² + (z + 3)² = 2

Question 58

Zwei Geraden im Raum sind windschief, wenn sie...

Accepted Answer

...sich nicht schneiden und nicht parallel sind.

Answer

...sich in einem Punkt schneiden.

Answer

...senkrecht zueinander sind.

Answer

...parallel zueinander sind.

Question 59

Welche der folgenden Aussagen über das Skalarprodukt von zwei Vektoren ist falsch?

Accepted Answer

Das Skalarprodukt zweier orthogonaler Vektoren ist immer ungleich Null.

Answer

Das Skalarprodukt ist kommutativ.

Answer

Das Skalarprodukt zweier paralleler Vektoren ist immer positiv.

Question 60

Welche der folgenden Vektoren ist ein Richtungsvektor der Geraden ¿» = (2, 1, 0) + t(-1, 2, 3)?

Accepted Answer

(-1, 2, 3)

Answer

(1, -2, -3)

Answer

(2, 1, 0)

Answer

(0, 1, 3)

Question 61

Der Winkel zwischen zwei Vektoren kann berechnet werden mit...

Accepted Answer

...dem Skalarprodukt der Vektoren und der Länge der Vektoren.

Answer

...der Differenz der Vektoren.

Answer

...der Summe der Vektoren.

Question 62

Eine Ebene im Raum kann durch...

Accepted Answer

...einen Punkt in der Ebene und einen Normalenvektor zur Ebene dargestellt werden.

Answer

...drei Punkte in der Ebene dargestellt werden.

Answer

...zwei Punkte in der Ebene dargestellt werden.

Question 63

Ein Vektor im dreidimensionalen Raum hat die Komponenten (2, 3, 5). Wie lang ist dieser Vektor?

Accepted Answer

√38

Answer

√28

Answer

√58

Answer

√48

Question 64

Welche der folgenden Geraden hat die Parameterdarstellung r = (2, 1, 3) + t(1, 2, -1)?

Accepted Answer

Gerade durch den Punkt (2, 1, 3) mit Richtung (1, 2, -1)

Answer

Gerade durch den Punkt (1, 2, -1) mit Richtung (2, 1, 3)

Answer

Gerade durch den Ursprung mit Richtung (2, 1, 3)