Dreiecke: Eigenschaften, Kongruenzsätze, Berechnungen - Mathe Klasse 8

Question 1

Du möchtest die Höhe eines Baumes messen, dessen Schatten du messen kannst. Wie würdest du den Satz des Pythagoras anwenden, um die Höhe des Baumes zu berechnen?

Accepted Answer

Länge des Schattens und Abstand des Baumes zum Schatten messen, dann Satz des Pythagoras anwenden

Answer

Winkel zwischen Schatten und Boden messen, dann Tangens verwenden

Answer

Höhe des Schattens und Länge des Baumes messen, dann Satz des Pythagoras anwenden, um Abstand zum Schatten zu berechnen

Answer

Satz des Pythagoras kann nicht zur Berechnung der Baumhöhe verwendet werden

Question 2

Gegeben sind zwei Dreiecke mit den Seitenlängen 3 cm, 4 cm, 5 cm und 3 cm, 4 cm, 6 cm. Beweise, dass die Dreiecke kongruent sind, und nenne den verwendeten Kongruenzsatz.

Accepted Answer

SSS-Kongruenzsatz

Answer

SSW-Kongruenzsatz

Answer

WSW-Kongruenzsatz

Answer

Die Dreiecke sind nicht kongruent.

Question 3

Welche Unterschiede gibt es zwischen den Kongruenzsätzen SWS, SSS und WSW?

Accepted Answer

SWS und SSS beziehen sich auf zwei Seiten und einen Winkel, während WSW sich auf zwei Winkel und eine Seite bezieht.

Answer

Alle drei Kongruenzsätze beziehen sich auf zwei Winkel und eine Seite.

Question 4

Erkläre, warum die Summe der Innenwinkel in jedem Dreieck immer 180° beträgt.

Accepted Answer

Weil die Summe der Innenwinkel aller Polygone mit n Seiten (n-2) · 180° beträgt und ein Dreieck 3 Seiten hat.

Answer

Weil die Summe der Außenwinkel aller Polygone immer 360° beträgt und ein Dreieck 3 Außenwinkel hat.

Answer

Weil die Winkel an der Basis immer kleiner sind als der Winkel an der Spitze.

Question 5

Welches der folgenden Dreiecke ist sowohl gleichschenklig als auch rechtwinklig?

Accepted Answer

Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten und einem rechten Winkel

Answer

Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten und einem rechten Winkel

Answer

Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten und zwei rechten Winkeln

Answer

Ein Dreieck mit drei verschiedenen Seitenlängen und einem rechten Winkel

Question 6

Wie berechnet man die Fläche eines Trapezes mit den parallelen Seitenlängen a und c sowie den zugehörigen Höhen h1 und h2?

Accepted Answer

((a + c) / 2) * (h1 + h2)

Answer

(a + b) * h1

Answer

((a + b + c + d) / 4) * h2

Answer

a * h1 * h2

Question 7

Erläutere, warum ein Dreieck niemals mehr als einen rechten Winkel haben kann.

Accepted Answer

Weil die Winkelsumme eines Dreiecks immer 180° beträgt.

Answer

Weil die Seitenlängen eines Dreiecks nicht immer gleich sind.

Answer

Weil ein Dreieck nicht immer drei gleich große Winkel hat.

Question 8

Erläutere, warum die Winkelsumme in einem konvexen Viereck immer 360° beträgt. Beziehe dich dabei auf die Winkelsumme in Dreiecken.

Accepted Answer

Ein konvexes Viereck kann in zwei Dreiecke zerlegt werden. Die Winkelsumme eines Dreiecks beträgt 180°, daher beträgt die Winkelsumme des Vierecks 360°.

Answer

Die Winkelsumme in einem konvexen Viereck ist immer kleiner als 360°, da die Winkel an den Ecken nicht immer rechte Winkel sind.

Answer

Die Winkelsumme in einem konvexen Viereck hängt von der Länge seiner Seiten ab.

Answer

Die Winkelsumme in einem konvexen Viereck ist gleich der Summe der Winkel an den vier Seiten.

Question 9

Können zwei Dreiecke den gleichen Umfang, aber unterschiedliche Flächen haben?

Accepted Answer

Ja, das ist möglich.

Answer

Nein, das ist nicht möglich.

Question 10

Zwei Dreiecke haben folgende Seitenlängen:
Dreieck 1: 3 cm, 4 cm, 5 cm
Dreieck 2: 6 cm, 8 cm, 10 cm
Sind die Dreiecke deckungsgleich? Wenn ja, welcher Kongruenzsatz gilt?

Accepted Answer

Ja, Kongruenzsatz SSS

Answer

Nein, Kongruenzsatz SSW

Answer

Nein, die Dreiecke sind nicht deckungsgleich

Question 11

Was zeichnet gleichschenklige Dreiecke in Bezug auf Seitenlängen und Winkelgrößen aus? Erläutere, wie sich diese Eigenschaften von anderen Dreiecksarten unterscheiden.

Accepted Answer

Gleichschenklige Dreiecke haben zwei gleiche Seiten und die gegenüberliegenden Winkel sind gleich groß.

Answer

Gleichschenklige Dreiecke haben drei gleiche Seiten und drei gleiche Winkel.

Answer

Gleichschenklige Dreiecke haben zwei ungleiche Seiten und der größte Winkel liegt gegenüber der längsten Seite.

Question 12

Beweise, dass die Winkelsumme in einem Viereck 360° beträgt.

Accepted Answer

Ein Viereck kann in zwei Dreiecke zerlegt werden. Die Winkelsumme in einem Dreieck beträgt 180°, daher beträgt die Winkelsumme in einem Viereck 360°.

Answer

Ein Viereck besteht aus vier rechten Winkeln, daher beträgt die Winkelsumme 360°.

Answer

Ein Viereck ist eine geschlossene Figur, daher beträgt die Winkelsumme 360°.

Question 13

Welche Eigenschaft trifft auf spitzwinklige Dreiecke zu?

Accepted Answer

Alle Innenwinkel sind kleiner als 90°.

Answer

Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°.

Answer

Zwei Seitenlängen sind gleich lang.

Answer

Das Dreieck hat einen rechten Winkel.

Question 14

Wie hängt der Flächeninhalt eines Dreiecks von seinen Winkelgrößen ab? Erläutere anhand eines Beispiels, wie sich eine Änderung der Winkelgrößen auf den Flächeninhalt auswirkt.

Accepted Answer

Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist direkt proportional zum Sinus des kleinsten Winkels.

Answer

Die Winkelgrößen haben keinen Einfluss auf den Flächeninhalt eines Dreiecks.

Answer

Je größer die Winkelgrößen eines Dreiecks, desto größer ist sein Flächeninhalt.

Answer

Die Summe der Winkelgrößen eines Dreiecks ist immer 180 Grad und beeinflusst den Flächeninhalt nicht.

Question 15

Erläutere, warum die Summe der Innenwinkel eines Polygons mit **n** Seiten (**n ≥ 4**) **(n - 2) · 180°** beträgt.

Accepted Answer

Die Winkelsumme eines Polygons mit **n** Seiten lässt sich mit der Formel **(n - 2) · 180°** berechnen.

Answer

Mit jeder zusätzlichen Seite erhöht sich die Winkelsumme um 360°.

Answer

Die Winkelsumme eines Polygons ist immer größer als 180°, unabhängig von der Seitenanzahl.

Answer

Die Winkelsumme eines Polygons kann nicht bestimmt werden, ohne die spezifischen Winkel jedes Polygons zu kennen.

Question 16

Wie lässt sich der Satz von Menelaos anwenden, um zu beweisen, dass die Punkte A, B und C auf einer Geraden liegen? Nenne außerdem eine praktische Anwendung dieses Satzes.

Accepted Answer

Berechne die Quotienten MA/MC und MB/MD und wende den Satz von Menelaos an, um zu zeigen, dass MA/MC = MB/MD.

Answer

Berechne die Länge von AB und wende den Satz des Pythagoras an, um zu zeigen, dass AC = BC ist.

Answer

Berechne die Flächeninhalte von ABC und ABD und wende den Satz von Thales an, um zu zeigen, dass AC parallel zu BD ist.

Answer

Konstruiere die Mittelsenkrechte zu AB und zeige, dass AC und BC auf dieser Geraden liegen.

Question 17

Ein gleichschenkliges Dreieck hat eine Grundseite von 8 cm und zwei gleich lange Seiten von je 5 cm. Wie groß ist der Umfang des Dreiecks?

Accepted Answer

18 cm

Answer

16 cm

Answer

20 cm

Question 18

Beweise den Satz des Pythagoras ohne algebraische Umformungen. Nutze ausschließlich die Ähnlichkeit von Dreiecken.

Accepted Answer

Zeige, dass die Dreiecke ABC und AHC ähnlich sind und dass ihre Seitenlängen in einem bestimmten Verhältnis stehen.

Answer

Berechne die Flächen der Quadrate über den Seitenlängen a und b und subtrahiere diese voneinander.

Answer

Wende den Kosinussatz auf Dreieck ABC an und löse nach c auf.

Answer

Zerlege das Dreieck ABC in zwei rechtwinklige Dreiecke und wende den Satz des Pythagoras auf jedes Dreieck an.

Question 19

Welcher Kongruenzsatz besagt, dass zwei Dreiecke kongruent sind, wenn zwei Seitenlängen und ein nicht eingeschlossener Winkel übereinstimmen?

Accepted Answer

SWS-Satz

Answer

SSS-Satz

Answer

WSW-Satz

Answer

WWS-Satz

Question 20

Was ist ein rechtwinkliges Dreieck?

Accepted Answer

Ein Dreieck mit einem rechten Winkel

Answer

Ein Dreieck mit drei rechten Winkeln

Answer

Ein Dreieck mit zwei rechten Winkeln

Answer

Ein Dreieck mit keinem rechten Winkel

Question 21

Welche Aussage über die Winkel in einem Dreieck ist richtig?

Accepted Answer

Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°

Answer

Die Summe der Außenwinkel beträgt 360°

Answer

Die Summe der Winkel an einer Seite beträgt 90°

Answer

Die Summe der Winkel an zwei Seiten beträgt 180°

Question 22

Was ist der Mittelpunkt einer Strecke?

Accepted Answer

Der Punkt, der die Strecke in zwei gleiche Teile teilt

Answer

Der Punkt, der die Strecke in drei gleiche Teile teilt

Answer

Der Punkt, der die Strecke in vier gleiche Teile teilt

Answer

Der Punkt, der die Strecke in fünf gleiche Teile teilt

Question 23

Wie groß ist die Summe der Innenwinkel in einem beliebigen Dreieck?

Accepted Answer

180°

Answer

120°

Answer

270°

Answer

360°

Question 24

Welche Aussage über die Seitenlängen zweier gleichschenkliger Dreiecke ist richtig?

Accepted Answer

Zwei Seitenlängen sind gleich.

Answer

Alle drei Seitenlängen sind gleich.

Answer

Eine Seitenlänge ist länger als die anderen beiden.

Answer

Keine der Aussagen ist richtig.

Question 25

Berechne den Flächeninhalt eines Dreiecks mit der Grundseite 8 cm und der Höhe 5 cm.

Accepted Answer

20 cm²

Answer

10 cm²

Answer

30 cm²

Answer

40 cm²

Question 26

Was ist ein rechtwinkliges Dreieck?

Accepted Answer

Ein Dreieck mit einem 90°-Winkel.

Answer

Ein Dreieck mit drei 90°-Winkeln.

Answer

Ein Dreieck mit zwei 90°-Winkeln.

Answer

Ein Dreieck mit keinem 90°-Winkel.

Question 27

Welche Eigenschaft trifft auf die Höhe eines Dreiecks zu?

Accepted Answer

Sie steht senkrecht auf der Grundseite.

Answer

Sie halbiert die Grundseite.

Answer

Sie ist genauso lang wie die Grundseite.

Answer

Sie verläuft parallel zur Grundseite.

Question 28

Welcher Satz beschreibt die Beziehung zwischen den Außenwinkeln und den Innenwinkeln eines Dreiecks?

Accepted Answer

Außenwinkel = Summe der beiden Innenwinkel

Answer

Außenwinkel = Differenz der beiden Innenwinkel

Answer

Außenwinkel = Hälfte der Summe der beiden Innenwinkel

Answer

Außenwinkel = Innenwinkel

Question 29

Welche Aussage über die Seitenlängen eines Dreiecks ist korrekt?

Accepted Answer

Die Summe zweier Seitenlängen ist größer als die dritte Seitenlänge.

Answer

Die Summe zweier Seitenlängen ist kleiner als die dritte Seitenlänge.

Answer

Die Summe zweier Seitenlängen ist gleich der dritten Seitenlänge.

Answer

Die Aussage ist nicht eindeutig.

Question 30

Welches Werkzeug wird zum Konstruieren von Dreiecken verwendet?

Accepted Answer

Zirkel und Lineal

Answer

Zirkel

Answer

Lineal

Answer

Geodreieck

Question 31

Welcher Winkel ist in einem rechtwinkligen Dreieck am größten?

Accepted Answer

Der Winkel an der Hypotenuse

Answer

Der Winkel gegenüber der längsten Seite

Answer

Der Winkel gegenüber der kürzesten Seite

Question 32

Welche Aussage über die Winkelsumme in einem Dreieck stimmt?

Accepted Answer

Die Winkelsumme beträgt 180°

Answer

Die Winkelsumme beträgt 90°

Answer

Die Winkelsumme beträgt 270°

Answer

Die Winkelsumme hängt von der Form des Dreiecks ab

Question 33

Welcher Kongruenzsatz besagt, dass zwei Dreiecke kongruent sind, wenn zwei Seiten und ein Winkel übereinstimmen?

Accepted Answer

SWS-Kongruenzsatz

Answer

SSS-Kongruenzsatz

Answer

WSW-Kongruenzsatz

Answer

WWS-Kongruenzsatz

Question 34

Berechne den Umfang eines Dreiecks mit Seitenlängen von 5 cm, 7 cm und 9 cm.

Accepted Answer

27 cm

Answer

15 cm

Answer

21 cm

Answer

33 cm

Question 35

Welche Aussage über die Winkel eines gleichschenkligen Dreiecks ist richtig?

Accepted Answer

Zwei Winkel sind gleich groß

Answer

Alle Winkel sind gleich groß

Answer

Kein Winkel ist gleich groß

Answer

Nur der Winkel an der Spitze ist gleich groß

Question 36

Wie kann man die Höhe eines Baumes mit Hilfe der Trigonometrie berechnen, ohne ihn zu fällen?

Accepted Answer

Trigonometrische Funktionen verwenden.

Answer

Den Baum fällen und messen.

Answer

Die Höhe des Baumes schätzen.

Answer

Den Baum klettern und messen.

Question 37

Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks mithilfe des Satzes von Heron?

Accepted Answer

Man berechnet zuerst den halben Umfang s des Dreiecks und verwendet dann die Formel: Fläche = Wurzel aus (s * (s - a) * (s - b) * (s - c)), wobei a, b und c die Seitenlängen des Dreiecks sind.

Answer

Man multipliziert die Seitenlängen des Dreiecks und teilt das Ergebnis durch 2.

Answer

Man addiert die Seitenlängen des Dreiecks und teilt das Ergebnis durch 3.

Question 38

Die Anzahl der Seiten eines konvexen Polygons sei n. Wie viele Diagonalen können in diesem Polygon gezeichnet werden?

Accepted Answer

n * (n - 3) / 2

Answer

n

Answer

n - 2

Answer

n * n

Question 39

Beschreibe die Schritte zur Konstruktion des Mittelpunkts einer Dreieckseite und nenne den geometrischen Satz, der diese Konstruktion begründet.

Accepted Answer

Halbiere die Seite mit Zirkel und Lineal.

Answer

Halbiere den gegenüberliegenden Winkel.

Answer

Halbiere den Umfang.

Answer

Verbinde die Endpunkte der Seite.

Question 40

Welcher Satz beschreibt die Winkelsumme in einem Dreieck?

Accepted Answer

Winkelsummensatz

Answer

Satz des Pythagoras

Answer

Kongruenzsatz SSS

Answer

Kongruenzsatz SAS

Question 41

Welcher Kongruenzsatz für Dreiecke wird durch die Abkürzung SSS beschrieben?

Accepted Answer

Seite, Seite, Seite

Answer

Winkel, Winkel, Seite

Answer

Seite, Winkel, Seite

Answer

Winkel, Seite, Winkel

Question 42

Wie lässt sich der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen?

Accepted Answer

Grundseite mal Höhe durch 2

Answer

Seite a mal Seite b mal Seite c durch 2

Answer

Höhe mal Umfang durch 2

Answer

Grundseite mal Höhe

Question 43

Welche Aussage über die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks ist korrekt?

Accepted Answer

Quadrat der Hypotenuse = Summe der Quadrate der Katheten

Answer

Quadrat einer Kathete = Summe der Quadrate der Hypotenusen

Answer

Quadrat der längsten Seite = Summe der Quadrate der kürzeren Seiten

Answer

Quadrat der kürzesten Seite = Summe der Quadrate der längeren Seiten

Question 44

Was beschreibt eine Höhe eines Dreiecks?

Accepted Answer

Senkrechte Strecke von einem Eckpunkt zur gegenüberliegenden Seite

Answer

Halbiert die gegenüberliegende Seite

Answer

Ist immer kürzer als eine Seite

Answer

Geht immer durch den Schwerpunkt

Question 45

Die Winkelsumme in einem Dreieck beträgt:

Accepted Answer

180°

Answer

360°

Answer

540°

Answer

720°

Question 46

Wie berechnest du den Flächeninhalt eines Dreiecks mit der Grundseite 6 cm und der Höhe 4 cm?

Accepted Answer

12 cm²

Answer

6 cm²

Answer

24 cm²

Answer

36 cm²

Question 47

Welches Dreieck hat zwei gleiche Seiten?

Accepted Answer

Gleichschenkliges Dreieck

Answer

Gleichseitiges Dreieck

Answer

Rechtwinkliges Dreieck

Answer

Stumpfwinkliges Dreieck

Question 48

Wie lautet der Umfang eines gleichseitigen Dreiecks mit einer Seitenlänge von 5 cm?

Accepted Answer

15 cm

Answer

10 cm

Answer

20 cm

Answer

25 cm

Question 49

Wie berechnest du die Höhe eines Dreiecks mit einer Grundseite von 10 cm und einem Flächeninhalt von 20 cm²?

Accepted Answer

6 cm

Answer

2 cm

Answer

4 cm

Answer

8 cm

Question 50

Beweise den Satz des Pythagoras mithilfe ähnlicher Dreiecke, ohne algebraische Umformungen zu verwenden.

Accepted Answer

Durch Aufteilen des rechtwinkligen Dreiecks in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke.

Answer

Durch Zeichnen eines Quadrats mit der Seitenlänge a + b.

Answer

Durch Verallgemeinerung des Satzes für rechtwinklige Dreiecke mit den Seitenlängen 3, 4 und 5.

Answer

Durch Berechnen der Fläche des rechtwinkligen Dreiecks mit der Formel A = ½ * a * b.

Question 51

Welche der folgenden Aussagen zur Winkelsumme eines Dreiecks ist korrekt?

Accepted Answer

Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180°.

Answer

Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 360°.

Answer

Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks ist kleiner als 180°.

Question 52

Welche der folgenden Aussagen zum Kongruenzsatz SSS ist richtig?

Accepted Answer

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn ihre drei Seitenlängen übereinstimmen.

Answer

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn ihre zwei Seitenlängen und ein Winkel übereinstimmen.

Answer

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn ihre drei Winkel übereinstimmen.

Question 53

Welche der folgenden Berechnungen ergibt den Umfang eines Dreiecks mit den Seitenlängen a = 5 cm, b = 7 cm und c = 9 cm?

Accepted Answer

U = 5 cm + 7 cm + 9 cm = 21 cm

Answer

U = 5 cm * 7 cm * 9 cm = 315 cm

Answer

U = (5 cm + 7 cm) / 9 cm = 1,33 cm

Answer

U = (5 cm + 7 cm) * 9 cm = 108 cm

Question 54

Welche der folgenden Aussagen zur Höhe eines Dreiecks ist richtig?

Accepted Answer

Die Höhe eines Dreiecks ist die Strecke, die von einem Eckpunkt senkrecht auf die gegenüberliegende Seite gezogen wird.

Answer

Die Höhe eines Dreiecks ist die Strecke, die einen Eckpunkt mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite verbindet.

Question 55

Welche der folgenden Berechnungen ergibt die Fläche eines Dreiecks mit der Grundseite g = 10 cm und der Höhe h = 6 cm?

Accepted Answer

A = (1/2) * g * h = (1/2) * 10 cm * 6 cm = 30 cm²

Answer

A = g * h = 10 cm * 6 cm = 60 cm²

Answer

A = (2 * g) * h = (2 * 10 cm) * 6 cm = 120 cm²

Answer

A = (1/4) * g * h = (1/4) * 10 cm * 6 cm = 15 cm²

Question 56

Welches der folgenden Dreiecke ist ein gleichseitiges Dreieck?

Accepted Answer

Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten

Answer

Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten

Answer

Ein Dreieck mit einer gleich langen Seite

Answer

Ein Dreieck ohne gleich lange Seiten

Question 57

Welches der folgenden Dreiecke ist ein rechtwinkliges Dreieck?

Accepted Answer

Ein Dreieck mit einem rechten Winkel

Answer

Ein Dreieck ohne rechte Winkel

Answer

Ein Dreieck mit zwei rechten Winkeln

Answer

Ein Dreieck mit drei rechten Winkeln

Question 58

Welches der folgenden Vierecke ist ein Quadrat?

Accepted Answer

Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und vier rechten Winkeln

Answer

Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und zwei rechten Winkeln

Answer

Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und drei rechten Winkeln

Question 59

In einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel:

Accepted Answer

gleich groß

Answer

spitzwinklig

Answer

ungleich groß

Answer

rechtwinklig

Question 60

Die Winkelsumme in einem Dreieck beträgt:

Accepted Answer

180°

Answer

90°

Answer

270°

Answer

360°

Question 61

Welche Seite eines Dreiecks liegt gegenüber dem größten Winkel?

Accepted Answer

die längste Seite

Answer

die kürzeste Seite

Answer

keine der Seiten

Answer

die mittlere Seite

Question 62

In einem gleichseitigen Dreieck sind:

Accepted Answer

alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß

Answer

alle Seiten gleich lang und zwei Winkel gleich groß

Answer

alle Seiten ungleich lang und ein Winkel größer als die anderen

Answer

alle Seiten ungleich lang und alle Winkel gleich groß

Question 63

Welche Aussage über die Innenwinkel eines Dreiecks ist korrekt?

Accepted Answer

Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt immer 180°.

Answer

Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks kann kleiner als 180° sein.

Answer

Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks kann größer als 180° sein.

Question 64

Was versteht man unter der Höhe eines Dreiecks?

Accepted Answer

Eine Strecke von einem Scheitelpunkt senkrecht auf die gegenüberliegende Seite

Answer

Eine Strecke, die zwei Seiten des Dreiecks verbindet

Answer

Eine Strecke von einem Scheitelpunkt zur gegenüberliegenden Seite