Lineare Algebra und Analytische Geometrie: Online-Quiz für Klasse 13

Question 1

Was versteht man unter der Dimension eines Vektorraums? Bestimme die Dimension des Vektorraums $mathbb{R}^n$ und begründe deine Antwort.

Accepted Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren, die er enthält.

Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl der Vektoren in seiner Basis.

Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl der Komponenten seiner Vektoren.

Answer

Die Dimension des Vektorraums $mathbb{R}^n$ ist 1.

Question 2

Was ist eine lineare Abbildung? Nennen Sie ein Beispiel für eine lineare Abbildung, die einen Vektorraum auf einen anderen abbildet.

Accepted Answer

Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die die Vektoraddition und die Multiplikation mit Skalaren erhält.

Answer

Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die bijektiv ist.

Answer

Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die injektiv ist.

Answer

Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die surjektiv ist.

Question 3

Überprüfen Sie, ob die Vektoren **a** = (1, 2, 3) und **b** = (2, 1, 0) parallel sind und ob **a** - **b** senkrecht zu **b** steht.

Accepted Answer

a und b sind parallel und a - b steht senkrecht zu b.

Answer

a und b sind nicht parallel, aber a - b steht senkrecht zu b.

Answer

a und b sind parallel, aber a - b steht nicht senkrecht zu b.

Question 4

Der Vektorraum V über dem Körper K hat die Basis B = {v1, v2}. Welcher der folgenden Vektoren ist keine Linearkombination von v1 und v2?

Accepted Answer

v3

Answer

v1 + v2

Answer

v1 - v2

Answer

2v1 + 3v2

Question 5

Welches der folgenden Objekte ist KEIN Vektorraum?

Accepted Answer

Menge aller Funktionen von R nach R

Answer

Menge aller reellen Zahlen

Answer

Menge aller komplexen Zahlen

Question 6

In einem n-dimensionalen Vektorraum ist der Untervektorraum U durch die Gleichung (x_1 + 2x_2 + ... + nx_n = 0) definiert. Bestimme die Dimension von U und gib eine Basis für U an.

Accepted Answer

Dimension: n-1, Basis: {(1, -2, 0, ..., 0), (0, 1, -3, ..., 0), ..., (0, 0, 0, ..., 1)}

Answer

Dimension: n, Basis: {(1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, 0, ..., 1)}

Answer

Dimension: n+1, Basis: {(1, 2, 3, ..., n), (0, 1, 2, ..., n-1), ..., (0, 0, 0, ..., 1)}

Answer

Dimension: 0, Basis: {} (leere Menge)

Question 7

Beweisen Sie, dass der Nullvektor der einzige Vektor ist, der senkrecht zu sich selbst steht.

Accepted Answer

Aus der Definition der Orthogonalität folgt direkt, dass nur der Nullvektor senkrecht zu sich selbst ist.

Answer

Jeder Vektor ist senkrecht zu sich selbst.

Answer

Nur Linearkombinationen des Nullvektors sind senkrecht zu sich selbst.

Answer

Es gibt unendlich viele Vektoren, die senkrecht zu sich selbst sind.

Question 8

Welche Eigenschaft trifft auf den Vektorraum R³ zu?

Accepted Answer

Die Summe zweier Vektoren in R³ ergibt immer einen Vektor in R³.

Answer

R³ ist ein eindimensionaler Vektorraum.

Answer

Der Nullvektor ist der einzige Vektor in R³.

Answer

R³ ist ein Untervektorraum von R².

Question 9

Welche der folgenden Aussagen über Vektorräume ist falsch?

Accepted Answer

Ein Vektorraum ist immer ein Unterraum eines größeren Vektorraums.

Answer

Ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren, die unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Answer

Ein Vektorraum enthält einen eindeutigen Nullvektor.

Answer

Ein Vektorraum hat mindestens eine Basis.

Question 10

Gegeben sind die Vektoren $$a = (1, 2, -1), b = (2, 1, 3), c = (3, -2, 1)$$ im dreidimensionalen Raum. Bestimmen Sie, ob die Vektoren linear unabhängig sind. Begründen Sie Ihre Antwort.

Accepted Answer

Die Vektoren sind linear unabhängig, da die Determinante der Matrix aus den Vektoren als Zeilenvektoren ungleich null ist.

Answer

Die Vektoren sind linear abhängig, da die Determinante der Matrix aus den Vektoren als Zeilenvektoren gleich null ist.

Answer

Die Vektoren sind linear unabhängig, da sie drei verschiedene Richtungen im Raum aufspannen.

Question 11

Was ist die korrekte Definition eines Vektorraums?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren, die unter Vektoraddition und skalaren Multiplikation abgeschlossen ist.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die nur unter Vektoraddition abgeschlossen ist.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die nur unter skalaren Multiplikation abgeschlossen ist.

Question 12

Welcher Aussage über den Vektorraum V = {x ∈ R³ | x₁ + x₂ = 0} ist korrekt?

Accepted Answer

V ist ein eindimensionaler Untervektorraum von R³.

Answer

V ist ein dreidimensionaler Untervektorraum von R³.

Answer

V ist ein zweidimensionaler Untervektorraum von R³.

Answer

V ist kein Untervektorraum von R³.

Question 13

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt die Parameterdarstellung einer Geraden im R³?

Accepted Answer

x = a + tb, y = c + td, z = e + tf

Answer

ax + by + cz = d

Answer

(x - x₀) / a = (y - y₀) / b = (z - z₀) / c

Answer

x² + y² + z² = r²

Question 14

Berechnen Sie das Skalarprodukt der Vektoren v = [2, 1, 3] und w = [4, -2, 5].

Accepted Answer

14

Answer

6

Answer

-2

Answer

-14

Question 15

Welche der folgenden Aussagen über orthogonale Vektoren ist richtig?

Accepted Answer

Orthogonale Vektoren haben ein Skalarprodukt von 0.

Answer

Orthogonale Vektoren sind immer linear abhängig.

Answer

Orthogonale Vektoren haben immer die gleiche Länge.

Answer

Orthogonale Vektoren sind immer parallel.

Question 16

Welche der folgenden Transformationen ist eine lineare Transformation?

Accepted Answer

f(x, y) = (2x + y, x - y)

Answer

f(x, y) = (x², y³)

Answer

f(x, y) = (sin(x), cos(y))

Answer

f(x, y) = (|x|, |y|)

Question 17

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Gerade im dreidimensionalen Raum, die parallel zur x-Achse verläuft?

Accepted Answer

y = 2, z = 3

Answer

x = 1, y = 2

Answer

x = 2, z = 3

Question 18

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Ebene im dreidimensionalen Raum, die senkrecht zur xy-Ebene steht?

Accepted Answer

z = 0

Answer

x + y = 0

Answer

x + y + z = 0

Question 19

Welche der folgenden Aussagen über die Determinante einer Matrix ist wahr?

Accepted Answer

Sie ist gleich dem Volumen des von den Zeilenvektoren der Matrix aufgespannten Parallelepipeds.

Answer

Sie ist gleich der Differenz der Diagonalelemente der Matrix.

Question 20

Welche der folgenden Aussagen über einen Eigenwert einer Matrix ist wahr?

Accepted Answer

Er ist eine Lösung der charakteristischen Gleichung der Matrix.

Answer

Er ist die Summe der Diagonalelemente der Matrix.

Question 21

Welche der folgenden Transformationen ist eine lineare Transformation?

Accepted Answer

f(x) = Ax + b, wobei A eine Matrix und b ein Vektor ist

Answer

f(x) = |x|

Question 22

Welche der folgenden Matrizen ist invertierbar?

Accepted Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[0, 1], [0, 0]]

Answer

[[1, 2], [2, 4]]

Question 23

Bestimme den Richtungsvektor der Geraden, die durch die Punkte A(1, 2, 3) und B(4, 5, 7) verläuft.

Accepted Answer

(3, 3, 4)

Answer

(4, 5, 7)

Answer

(1, 2, 3)

Answer

(1, 1, 1)

Question 24

Überprüfe, ob die Punkte A(1, 2, 3), B(2, 4, 6) und C(3, 6, 9) auf einer Geraden liegen.

Accepted Answer

Ja, sie sind kollinear.

Answer

Nein, sie sind nicht kollinear.

Answer

Nur B und C sind kollinear.

Answer

Nur A und B sind kollinear.

Question 25

Überprüfe, ob der Untervektorraum V = {x ∈ ℝ³ | x₁ - x₂ + x₃ = 0} von ℝ³ ein echter Untervektorraum ist.

Accepted Answer

Ja, V ist ein echter Untervektorraum von ℝ³.

Answer

V ist ein Untervektorraum von ℝ², nicht aber von ℝ³.

Answer

Nein, V ist kein Untervektorraum von ℝ³.

Answer

Weitere Informationen sind erforderlich.

Question 26

Welche Aussage trifft auf einen Vektorraum zu?

Accepted Answer

Er ist bezüglich Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen.

Answer

Er ist eine beliebige Menge von Vektoren.

Question 27

Welche Matrix ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

I = {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}}

Answer

C = {{0, 0, 1}, {1, 0, 0}, {1, 0, 0}}

Answer

B = {{1, 0, 1}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}}

Answer

A = {{0, 1, 0}, {1, 0, 0}, {0, 0, 1}}

Question 28

Welche Operation ist bei Matrizen kommutativ?

Accepted Answer

Addition

Answer

Multiplikation

Answer

Determinantenberechnung

Answer

Transposition

Question 29

Welche Funktion ist linear?

Accepted Answer

f(x) = mx + b

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2 + b

Answer

f(x) = sin(x)

Question 30

Was ist eine wesentliche Eigenschaft des Skalarprodukts?

Accepted Answer

Es ergibt eine Zahl.

Answer

Das Skalarprodukt ist ein Vektor.

Answer

Orthogonale Vektoren haben ein von null verschiedenes Skalarprodukt.

Answer

Das Skalarprodukt ist immer positiv.

Question 31

Was sind Eigenwerte?

Accepted Answer

Die Lösungen der charakteristischen Gleichung einer Matrix.

Answer

Die Koeffizienten der charakteristischen Gleichung einer Matrix.

Answer

Die Elemente der Diagonalmatrix einer Matrix.

Question 32

Welche der folgenden Gleichungen stellt eine Gerade im Raum dar?

Accepted Answer

x = 2 + t, y = 3 - 2t, z = 1 + t

Answer

x² + y² + z² = 4

Answer

x² + y² = 1

Answer

x + y + z = 0

Question 33

Welche der folgenden Operationen ist **keine** Vektorraumoperation?

Accepted Answer

Division von Vektoren

Answer

Addition von Vektoren

Answer

Subtraktion von Vektoren

Answer

Multiplikation von Vektoren mit einem Skalar

Question 34

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt einen Kreis im R²?

Accepted Answer

(x - 2)² + (y + 1)² = 9

Answer

x² - y² = 1

Answer

x² + y² = 1

Answer

x + y = 1

Question 35

Was ist die Richtung der Geraden mit der Gleichung x = 2t, y = 1 - t, z = 3 + 2t?

Accepted Answer

(2, -1, 2)

Answer

(2, 1, 3)

Answer

(1, -1, 2)

Answer

(1, 2, 3)

Question 36

Welche der folgenden Aussagen über die Schnittmenge von zwei Ebenen im Raum ist korrekt?

Accepted Answer

Die Schnittmenge kann eine Gerade, ein Punkt oder leer sein.

Answer

Die Schnittmenge ist immer eine Gerade.

Answer

Die Schnittmenge ist immer ein Punkt.