Vektoren und Matrizen: Interaktive Übungen und Quizze für Klasse 12

Question 1

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist korrekt?

Accepted Answer

Eigenwerte von Matrizen können komplex sein.

Answer

Eigenwerte von Matrizen sind immer reell.

Answer

Für jede Matrix gibt es mindestens einen Eigenwert.

Answer

Der Eigenwert einer Matrix ist gleich ihrer Spur.

Question 2

Welche der folgenden Matrizen ist eine Drehmatrix um den Ursprung in der $x$-$y$-Ebene?

Accepted Answer

$egin{pmatrix} cos alpha & -sin alpha \ sin alpha & cos alpha end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} 1 & 1 \ -1 & 1 end{pmatrix}$

Question 3

Welche Menge bildet eine Basis für den Vektorraum P₂ der quadratischen Polynome?

Accepted Answer

{1, x, x²}

Answer

{1, x, x³}

Answer

{1, x², x³}

Answer

{1, x, 2x²}

Question 4

Wie lautet die inverse Matrix zu C = ((1, 0), (2, 1))?

Accepted Answer

((-2, 1), (1, 0))

Answer

((1, 0), (-2, 1))

Answer

((1, 1), (0, 1))

Answer

((1, 0), (0, 1))

Question 5

Welche der folgenden Transformationen ist eine lineare Transformation?

Accepted Answer

T(x) = 2x + 1

Answer

T(x) = x²

Answer

T(x) = |x|

Answer

T(x) = e^x

Question 6

Welcher der folgenden Vektoren ist linear unabhängig von dem Vektor (2, 3)?

Accepted Answer

(1, 1)

Answer

(3, 2)

Answer

(6, 9)

Answer

(0, 0)

Question 7

Die Matrix A hat die Eigenwerte 2 und 3. Welches der folgenden Polynome ist das charakteristische Polynom von A?

Accepted Answer

(x - 2)(x - 3)

Answer

(x - 2)^2

Answer

(x - 3)^2

Answer

(x + 2)(x + 3)

Question 8

Welche der folgenden Vektormengen ist ein **Untervektorraum** von $mathbb{R}^3$?

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren mit $x_1 + x_2 + x_3 = 0$.

Answer

Die Menge aller Vektoren mit $x_1 = 2$ und $x_2 = 3$.

Answer

Die Menge aller Vektoren mit $x_1 > 0$ und $x_2 > 0$.

Answer

Die Menge aller Vektoren mit $x_1 = x_2 = x_3$.

Question 9

Welche der folgenden Aussagen über die Matrixmultiplikation ist **falsch**?

Accepted Answer

Die Multiplikation ist kommutativ.

Answer

Die Multiplikation ist assoziativ.

Answer

Die Multiplikation ist distributiv über die Addition.

Answer

Die Multiplikation eines Skalanums mit einer Matrix ergibt eine Matrix mit denselben Dimensionen.

Question 10

Welche der folgenden Aussagen über den Rang einer Matrix ist **richtig**?

Accepted Answer

Der Rang einer Matrix ist gleich der Dimension ihres Spaltenraums.

Answer

Der Rang einer Matrix ist gleich der Anzahl ihrer Zeilen.

Answer

Der Rang einer Matrix ist gleich der Anzahl ihrer Spalten.

Answer

Der Rang einer Matrix ist immer größer oder gleich der Anzahl ihrer Zeilen und Spalten.

Question 11

Berechne die Determinante von A = [2 -1; 1 3].

Accepted Answer

7

Answer

-7

Answer

5

Answer

-5

Question 12

Welche Matrix ist invertierbar?

Accepted Answer

Eine Diagonalmatrix mit lauter Nicht-Null-Einträgen.

Answer

Eine quadratische Matrix mit der Determinante 0.

Answer

Eine Matrix mit mehr Zeilen als Spalten.

Answer

Eine Matrix mit linear abhängigen Zeilenvektoren.

Question 13

Welche Matrix ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

Eine Matrix mit allen Diagonaleinträgen gleich 1.

Answer

Eine Matrix mit allen Einträgen gleich 1.

Answer

Eine Matrix mit allen Einträgen gleich 0.

Answer

Eine Matrix mit allen Nicht-Diagonaleinträgen gleich 1.

Question 14

Welche Eigenschaft gilt für orthogonale Matrizen?

Accepted Answer

Ihre Inverse ist gleich ihrer Transponierten.

Answer

Ihre Determinante ist 1.

Answer

Ihre Diagonaleinträge sind alle größer als 0.

Answer

Ihre Zeilenvektoren sind linear abhängig.

Question 15

Welche der folgenden Vektoren ist ein Eigenvektor der Matrix $egin{bmatrix} 2 & 1 \ -1 & 2 end{bmatrix}$ zum Eigenwert $lambda = 3$?

Accepted Answer

$egin{bmatrix} 1 \ 1 end{bmatrix}$

Answer

$egin{bmatrix} 2 \ 1 end{bmatrix}$

Answer

$egin{bmatrix} 1 \ -1 end{bmatrix}$

Answer

$egin{bmatrix} 0 \ 1 end{bmatrix}$

Question 16

Welche der folgenden Aussagen über lineare Gleichungssysteme ist falsch?

Accepted Answer

Ein lineares Gleichungssystem hat immer mindestens eine Lösung.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem kann unendlich viele Lösungen haben.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem hat genau eine Lösung, wenn die Koeffizientenmatrix regulär ist.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem hat keine Lösung, wenn die erweiterte Koeffizientenmatrix keinen Rang hat.

Question 17

Welche der folgenden Matrizen ist eine orthogonale Matrix?

Accepted Answer

$egin{bmatrix} rac{1}{sqrt{2}} & rac{1}{sqrt{2}} \ -rac{1}{sqrt{2}} & rac{1}{sqrt{2}} end{bmatrix}$

Answer

$egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 end{bmatrix}$

Answer

$egin{bmatrix} 1 & 2 \ 2 & 1 end{bmatrix}$

Answer

$egin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{bmatrix}$

Question 18

Welche der folgenden Matrixoperationen ist nicht kommutativ?

Accepted Answer

Multiplikation

Answer

Addition

Answer

Transposition

Answer

Inversion

Question 19

Welche der folgenden Aussagen über orthogonale Vektoren ist richtig?

Accepted Answer

Orthogonale Vektoren haben ein Skalarprodukt von 0.

Answer

Orthogonale Vektoren sind immer parallel zueinander.

Answer

Orthogonale Vektoren müssen linear abhängig sein.

Answer

Orthogonale Vektoren können nur in zweidimensionalen Räumen existieren.

Question 20

Welche der folgenden Anwendungen von Vektoren und Matrizen ist nicht im Bereich der Computergrafik zu finden?

Accepted Answer

Lösen von partiellen Differentialgleichungen

Answer

Modellierung von 3D-Objekten

Answer

Berechnung von Bewegungsabläufen

Answer

Farbtransformationen

Question 21

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[2, 0, 0], [0, -1, 0], [0, 0, 3]]

Answer

[[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]

Question 22

Berechne die Determinante der Matrix: A = [2 1; -3 4]

Accepted Answer

11

Answer

-11

Answer

10

Answer

-10

Question 23

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist **falsch**?

Accepted Answer

Die Länge zweier Vektoren ist eine hinreichende Bedingung für ihre Gleichheit.

Answer

Der Nullvektor hat die Länge 0.

Answer

Ein Vektor kann durch seine Richtung und Größe beschrieben werden.

Question 24

Es seien die Vektoren $\vec{a} = (2, 1)$ und $\vec{b} = (-1, 3)$ gegeben. Was ist das Ergebnis der Vektoraddition $\vec{a} + \vec{b}$?

Accepted Answer

(1, 4)

Answer

(1, 2)

Answer

(-3, 4)

Answer

(3, 2)

Question 25

Welche der folgenden Vektormengen ist linear unabhängig?

Accepted Answer

{(1, 0), (0, 1)}

Answer

{(1, 0), (0, 0)}

Answer

{(1, 1), (2, 2)}

Answer

{(1, 2), (2, 4)}

Question 26

Wie hoch ist die Dimension des Vektorraums $\mathbb{R}^3$?

Accepted Answer

3

Answer

unendlich

Answer

2

Answer

0

Question 27

Lineare Gleichungssysteme können mithilfe von Matrizen gelöst werden. Welche Matrix repräsentiert die Koeffizienten des folgenden Systems: 
     $\begin{cases} 
     2x + y = 5 \ 
     x - 3y = 1 
     \end{cases}$ ?

Accepted Answer

$\begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & -3 \end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \ 1 & -3 & 1 \end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 2 & -3 \ 1 & 1 \end{pmatrix}$

Answer

$\begin{pmatrix} 5 & 1 \ 1 & -3 \end{pmatrix}$

Question 28

Welche der folgenden Matrizen ist eine **Einheitsmatrix**?

Accepted Answer

((1, 0), (0, 1))

Answer

((1, 1), (1, 1))

Answer

((0, 1), (1, 0))

Answer

((2, 0), (0, 1))

Question 29

Welche Operation ist **nicht** für Matrizen definiert?

Accepted Answer

Addition mit einem Vektor

Answer

Multiplikation mit einer Matrix

Answer

Multiplikation mit einem Skalar

Answer

Transposition

Question 30

Welche Aussage über die Determinante einer Matrix ist **wahr**?

Accepted Answer

Die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Diagonalelemente.

Answer

Die Determinante einer inversen Matrix ist gleich der Determinante der Ausgangsmatrix.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist immer positiv.

Question 31

Welche Anwendung von Matrizen ist **falsch**?

Accepted Answer

Speicherung von Kundendaten in einer Datenbank

Answer

Bildverarbeitung

Answer

Lösung von Gleichungssystemen

Answer

Kryptographie

Question 32

Welche Aussage über Basen ist **wahr**?

Accepted Answer

Eine Basis ist eine Menge linear unabhängiger Vektoren, die jeden Vektor im Vektorraum aufspannen.

Answer

Eine Basis ist immer eine Teilmenge des Nullvektors.

Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist gleich der Anzahl linear abhängiger Vektoren in einer Basis.

Question 33

Welche Matrix ist **invertierbar**?

Accepted Answer

((2, 1), (-1, 2))

Answer

((0, 1), (1, 0))

Answer

((3, 0), (0, 0))

Answer

((1, 2), (2, 4))