Optimierung in Mathematik: Interaktive Quizfragen für Klasse 12

Question 1

Ein rechteckiges Feld mit einem Umfang von 200 m soll eingezäunt werden. Welche Abmessungen maximieren die eingeschlossene Fläche?

Accepted Answer

Länge: 60 m, Breite: 40 m

Answer

Länge: 50 m, Breite: 50 m

Answer

Länge: 70 m, Breite: 30 m

Answer

Länge: 80 m, Breite: 20 m

Question 2

Welche Methode eignet sich zur Lösung eines nichtlinearen Optimierungsproblems?

Accepted Answer

Gradientenabstieg

Answer

Quadratische Programmierung

Answer

Lineare Programmierung

Answer

Entscheidungsbäume

Question 3

Welche Größe ist in einem linearen Optimierungsproblem eine Variable?

Accepted Answer

Entscheidungsvariablen

Answer

Zielfunktion

Answer

Nebenbedingungen

Answer

Optimales Zielfunktionsergebnis

Question 4

Welche Aussage zur Gradientenabstiegsmethode ist zutreffend?

Accepted Answer

Sie kann in einem lokalen Minimum stecken bleiben.

Answer

Sie garantiert immer eine optimale Lösung.

Answer

Sie ist nur für Funktionen in zwei Variablen anwendbar.

Answer

Sie erfordert die Kenntnis der zweiten Ableitung.

Question 5

Welche Funktion ist nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 6

Mit welchem Verfahren lassen sich lineare Optimierungsprobleme lösen?

Accepted Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Gradientenverfahren

Answer

Newton-Verfahren

Answer

Konjugierten-Gradienten-Verfahren

Question 7

Welche Regel beschreibt die zulässige Menge eines linearen Optimierungsproblems?

Accepted Answer

Gleichheits- und Ungleichungsgleichungen

Answer

Gleichungsgleichungen

Answer

Ungleichungsgleichungen

Answer

Nur Gleichungsgleichungen

Question 8

Welches der folgenden Probleme ist ein lineares Optimierungsproblem: Maximieren Sie eine lineare Zielfunktion unter linearen Nebenbedingungen?

Accepted Answer

Maximieren Sie h(x, y) = 2x + 3y unter den Nebenbedingungen x ≥ 0, y ≥ 0

Answer

Maximieren Sie f(x) = x² + 2x

Answer

Minimieren Sie g(x) = |x - 3|

Answer

Minimieren Sie k(x, y) = x² + y² - 2x - 4y unter der Nebenbedingung x + y ≤ 5

Question 9

Welches Verfahren wird verwendet, um ein nichtlineares Optimierungsproblem wie f(x) = x³ - 2x² + 1 zu lösen, bei dem keine lineare Zielfunktion oder lineare Nebenbedingungen vorliegen?

Accepted Answer

Gradientenverfahren

Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Duales Simplex-Verfahren

Answer

Interior-Point-Verfahren

Question 10

Was ist das Hauptziel einer Optimierungsaufgabe?

Accepted Answer

Den maximalen oder minimalen Wert einer Zielfunktion zu finden

Answer

Die Nebenbedingungen zu erfüllen

Answer

Die zulässige Menge zu bestimmen

Answer

Die Steigung der Zielfunktion zu berechnen

Question 11

Welcher der folgenden Ausdrücke ist die Ableitung von f(x) = 2x³ - 5x² + 3?

Accepted Answer

f'(x) = 6x² - 10x

Answer

f'(x) = 2x³ - 5

Answer

f'(x) = 6x - 5

Answer

f'(x) = 3

Question 12

Welche Aussage beschreibt korrekt ein lineares Optimierungsproblem?

Accepted Answer

Die Zielfunktion ist eine lineare Funktion der Entscheidungsvariablen.

Answer

Es werden mehrere Zielfunktionen maximiert.

Answer

Die Nebenbedingungen sind nichtlinear.

Answer

Die Entscheidungsvariablen sind ganzzahlig.

Question 13

Welche Methode ist geeignet, um die optimale Lösung eines linearen Optimierungsproblems zu finden?

Accepted Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Gradientenabstiegsverfahren

Answer

Lagrange-Multiplikatoren

Answer

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Question 14

Was ist der zulässige Bereich eines nichtlinearen Optimierungsproblems?

Accepted Answer

Die Menge aller Punkte, die alle Nebenbedingungen erfüllen.

Answer

Kann eine beliebige Form haben.

Answer

Immer konvex.

Answer

Enthält immer den Ursprung.

Question 15

Betrachte das Optimierungsproblem: Minimiere f(x,y) = x² + y² unter der Nebenbedingung x + y = 1. Welche Methode ist am besten geeignet, um dieses Problem zu lösen?

Accepted Answer

Lagrange-Multiplikatoren

Answer

Gradientenabstiegsverfahren

Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Zufällige Suche

Question 16

Wie funktioniert das Simplexverfahren zur Lösung linearer Optimierungsprobleme?

Accepted Answer

Es verbessert schrittweise die zulässige Lösung, bis das Optimum erreicht ist.

Answer

Es löst das Gleichungssystem, das die zulässige Menge beschreibt.

Answer

Es basiert auf dem Ausprobieren verschiedener Lösungen.

Answer

Es erfordert eine grafische Darstellung des Optimierungsproblems.

Question 17

Welches Verfahren ist speziell für die Lösung linearer Optimierungsprobleme konzipiert?

Accepted Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Gradientenverfahren

Answer

Lagrange-Multiplikatoren

Answer

Zufällige Suche

Question 18

Welche Aussage zu nichtlinearen Optimierungsproblemen ist korrekt?

Accepted Answer

Sie können nur mit numerischen Verfahren gelöst werden.

Answer

Sie haben immer eine eindeutige Lösung.

Answer

Sie treten ausschließlich in Naturwissenschaften und Technik auf.

Answer

Sie sind generell einfacher zu lösen als lineare Optimierungsprobleme.

Question 19

Welcher Algorithmus wird zur Lösung von linearen Optimierungsproblemen in Standardform eingesetzt?

Accepted Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Steilster-Abstieg-Verfahren

Answer

Newton-Verfahren

Answer

Gradientenverfahren

Question 20

Welche Aussage über Sensitivitätsanalysen ist falsch?

Accepted Answer

Sie sind ausschließlich für lineare Optimierungsprobleme geeignet.

Answer

Sie untersuchen die Veränderung der optimalen Lösung bei Änderung der Eingabedaten.

Answer

Sie können kritische Einschränkungen identifizieren.

Answer

Sie können die Stabilität der optimalen Lösung beurteilen.

Question 21

Welches Verfahren eignet sich zur Lösung eines linearen Optimierungsproblems?

Accepted Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Gradientenverfahren

Answer

Newton-Raphson-Verfahren

Answer

Goldener Schnitt

Question 22

Welches Verfahren wird zur Lösung linearer Optimierungsprobleme eingesetzt?

Accepted Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Newton-Verfahren

Answer

Gradientenverfahren

Answer

Lagrange-Multiplikatoren

Question 23

Was sind Nebenbedingungen in einem Optimierungsproblem?

Accepted Answer

Beschränkungen für die Variablen

Answer

Funktionen, die maximiert oder minimiert werden sollen

Answer

Parameter, die das Problem definieren

Answer

Gleichungen, die die Variablen miteinander verknüpfen

Question 24

Wie lautet die allgemeine Form einer linearen Zielfunktion?

Accepted Answer

f(x) = a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ

Answer

f(x) = x₁² + x₂² + ... + xₙ²

Answer

f(x) = e^(x₁ + x₂ + ... + xₙ)

Answer

f(x) = ln(x₁ + x₂ + ... + xₙ)

Question 25

Welche Aussage über nichtlineare Optimierungsprobleme ist korrekt?

Accepted Answer

Sie kommen in der Praxis häufig vor.

Answer

Sie haben immer eine eindeutige Lösung.

Answer

Sie können mit denselben Verfahren wie lineare Probleme gelöst werden.

Answer

Sie sind immer leichter zu lösen als lineare Probleme.

Question 26

Was versteht man unter dem Gradienten einer nichtlinearen Funktion?

Accepted Answer

Ein Vektor, der die Richtung des stärksten Anstiegs angibt

Answer

Ein Skalar, der die Krümmung der Funktion angibt

Answer

Eine Matrix, die die partiellen Ableitungen enthält

Answer

Eine Funktion, die die Änderungsrate der Funktion angibt

Question 27

Was ist der Zweck von Lagrange-Multiplikatoren in Optimierungsproblemen mit Nebenbedingungen?

Accepted Answer

Die Gradienten der Zielfunktion und der Nebenbedingung gleichzusetzen

Answer

Die Bedeutung der Nebenbedingung zu gewichten

Answer

Eine Lösung für das Problem zu definieren

Answer

Das Problem zu vereinfachen

Question 28

Was ist das Ziel der Optimierung?

Accepted Answer

Den Wert einer Funktion zu maximieren oder zu minimieren

Answer

Eine Lösung zu finden, die alle Nebenbedingungen erfüllt

Answer

Ein Gleichungssystem zu lösen

Answer

Eine Funktion zu integrieren

Question 29

Wie steht lineare Programmierung im Zusammenhang mit linearer Optimierung?

Accepted Answer

Sie ist ein Spezialfall der linearen Optimierung.

Answer

Sie hat immer eine eindeutige Lösung.

Answer

Sie wird in der Praxis selten verwendet.

Answer

Sie kann nur mit dem Simplex-Verfahren gelöst werden.

Question 30

Welche Aussage beschreibt ein lineares Optimierungsproblem zutreffend?

Accepted Answer

Die Zielfunktion und alle Nebenbedingungen sind lineare Funktionen.

Answer

Die Zielfunktion ist quadratisch, während die Nebenbedingungen linear sind.

Answer

Die Zielfunktion ist linear, während die Nebenbedingungen quadratisch sind.

Answer

Die Zielfunktion und alle Nebenbedingungen sind quadratisch.

Question 31

Mit welcher Methode wird die zulässige Lösungsmenge eines linearen Optimierungsproblems grafisch dargestellt?

Accepted Answer

Grafische Methode

Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Dualitätsprinzip

Answer

Vogel-Approximation

Question 32

Welcher Satz besagt, dass die optimale Lösung eines linearen Optimierungsproblems an einer Ecklösung gefunden werden kann?

Accepted Answer

Fundamentalsatz der linearen Optimierung

Answer

Satz von Farkas

Answer

Dualitätsprinzip

Answer

Satz von Karush-Kuhn-Tucker

Question 33

Wie lautet die Zielfunktion eines Minimierungsproblems in der Standardform?

Accepted Answer

Minimieren Z

Answer

Maximieren Z

Answer

Maximieren C

Answer

Minimieren C

Question 34

Welche Aussage über die Dualitätstheorie ist richtig?

Accepted Answer

Der Optimalwert des Primärproblems ist gleich dem Optimalwert des Dualproblems.

Answer

Der Optimalwert des Primärproblems ist kleiner oder gleich dem Optimalwert des Dualproblems.

Answer

Der Optimalwert des Primärproblems ist größer oder gleich dem Optimalwert des Dualproblems.

Answer

Die Dualitätsbeziehung gilt nur für lineare Optimierungsprobleme.

Question 35

Welche Aussage beschreibt präzise ein lineares Optimierungsproblem?

Accepted Answer

Maximierung einer linearen Zielfunktion unter linearen Nebenbedingungen

Answer

Minimierung einer nichtlinearen Zielfunktion unter linearen Nebenbedingungen

Answer

Maximierung einer linearen Zielfunktion unter nichtlinearen Nebenbedingungen

Answer

Minimierung einer nichtlinearen Zielfunktion unter nichtlinearen Nebenbedingungen

Question 36

Was definiert eine Nebenbedingung?

Accepted Answer

Eine Begrenzung, die zulässige Lösungen eines Optimierungsproblems einschränkt

Answer

Die zu maximierende oder minimierende Zielfunktion

Answer

Der Wertebereich der Variablen im Optimierungsproblem

Answer

Die optimale Lösung des Optimierungsproblems

Question 37

Welches Verfahren bestimmt die Machbarkeitsmenge eines linearen Optimierungsproblems?

Accepted Answer

Zweiphasen-Verfahren

Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Vogel-Verfahren

Answer

Nordwest-Ecken-Verfahren

Question 38

Was besagen die Kuhn-Tucker-Bedingungen?

Accepted Answer

Notwendige und hinreichende Bedingungen für die Optimalität einer nichtlinearen Optimierungsaufgabe

Answer

Nur notwendige Bedingungen für die Optimalität

Answer

Nur hinreichende Bedingungen für die Optimalität

Answer

Weder notwendig noch hinreichend für die Optimalität

Question 39

Welches Kriterium bestimmt die Bewegungsrichtung eines Gradientenverfahrens?

Accepted Answer

Steigungsrichtung der Zielfunktion

Answer

Richtung der Nebenbedingungen

Answer

Richtung der Machbarkeitsmenge

Answer

Richtung der optimalen Lösung

Question 40

Welche der folgenden Funktionen ist konkav?

Accepted Answer

f(x) = -x²

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = ln(x)

Question 41

Welches der folgenden Optimierungsprobleme ist ein Maximierungsproblem?

Accepted Answer

Maximiere f(x) unter den Restriktionen h(x) ≥ 0

Answer

Minimiere f(x) unter den Restriktionen g(x) ≤ 0

Answer

Minimiere g(x) unter den Restriktionen f(x) ≤ 0

Answer

Maximiere h(x) unter den Restriktionen g(x) ≥ 0

Question 42

Welches der folgenden Verfahren ist speziell für die Lösung linearer Optimierungsprobleme entwickelt?

Accepted Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Zweipunktmethode

Answer

Gradientenabstieg

Answer

Newtonsche Methode

Question 43

Welche Aussage beschreibt eine wesentliche Eigenschaft von nichtlinearen Optimierungsproblemen?

Accepted Answer

Sie können mehrere lokale Optima aufweisen.

Answer

Sie besitzen immer eine eindeutige optimale Lösung.

Answer

Sie können nur mit grafischen Methoden gelöst werden.

Answer

Sie lassen sich stets analytisch lösen.

Question 44

Identifiziere die Funktion, die konvex ist:

Accepted Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = e^(-x)

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 45

Nenne eine Anwendung der Optimierung im Bereich der Wirtschaft:

Accepted Answer

Portfoliooptimierung

Answer

Brückenbau

Answer

Wettervorhersage

Answer

Medizinische Diagnose

Question 46

Was ist das primäre Ziel einer Optimierungsaufgabe?

Accepted Answer

Maximierung oder Minimierung einer Zielfunktion

Answer

Ermittlung eines Integrals

Answer

Darstellung einer Funktion

Answer

Lösung einer Gleichung

Question 47

Welche Aussage beschreibt eine zentrale Eigenschaft von Nebenbedingungen in Optimierungsaufgaben?

Accepted Answer

Sie begrenzen die zulässigen Lösungen.

Answer

Sie definieren die Zielfunktion.

Answer

Sie sind immer linear.

Answer

Sie sind in allen Optimierungsproblemen vorhanden.

Question 48

Was gibt der Gradient einer Funktion an?

Accepted Answer

Die Richtung des stärksten Anstiegs

Answer

Den Wert der Funktion

Answer

Die Unabhängigkeit von den Variablen

Answer

Die Ableitung der Funktion

Question 49

Welche Optimierungsmethode zählt zu den numerischen Verfahren?

Accepted Answer

Steilste-Abstieg-Methode

Answer

Geometrische Methode

Answer

Graphische Methode

Answer

Analytische Methode

Question 50

Welche Methode zur Lösung linearer Optimierungsprobleme ist die gängigste?

Accepted Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Newton-Verfahren

Answer

Gradientenabstiegsverfahren

Answer

Lagrange-Multiplikatoren

Question 51

Was ist eine wesentliche Eigenschaft nichtlinearer Optimierungsprobleme?

Accepted Answer

Sie können keine geschlossene Lösung haben.

Answer

Sie können immer mit dem Simplex-Verfahren gelöst werden.

Answer

Sie haben immer eine eindeutige optimale Lösung.

Answer

Sie sind alle konvex.

Question 52

Welche Funktion ist eine konvexe Funktion?

Accepted Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 53

Welche Bedingung muss eine Funktion erfüllen, um eine notwendige Bedingung für ein lokales Minimum zu sein?

Accepted Answer

Der Gradient muss Null sein.

Answer

Die Laplace-Gleichung muss erfüllt sein.

Answer

Die Hesse-Matrix muss positiv definit sein.

Answer

Die Taylor-Reihe muss konvergieren.

Question 54

Wozu dienen Lagrange-Multiplikatoren in der Optimierung?

Accepted Answer

Einbeziehung von Nebenbedingungen

Answer

Ermittlung einer eindeutigen Lösung

Answer

Einschränkung auf lineare Funktionen

Question 55

Wobei kann die Gradientenmethode in der Optimierung eingesetzt werden?

Accepted Answer

Ermittlung eines lokalen Minimums

Answer

Garantie einer globalen optimalen Lösung

Answer

Erfordernis der Hesse-Matrix

Question 56

Welche Methode eignet sich für die Lösung nichtlinearer Optimierungsprobleme mit einer großen Anzahl von Variablen?

Accepted Answer

Interior-Point-Methoden

Answer

Gradientenabstiegsverfahren

Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Lagrange-Multiplikatoren

Question 57

Welches Verfahren ist zur Lösung des linearen Optimierungsproblems
max z = 2x + 3y
 unter den Nebenbedingungen
x + y ≤ 5
x ≥ 0, y ≥ 0
am besten geeignet?

Accepted Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Gradientenverfahren

Answer

Lagrange-Multiplikatoren

Answer

Steilste-Abstiegs-Verfahren

Question 58

Welches Verfahren kann verwendet werden, um die Gradientenfunktion einer nichtlinearen Funktion zu berechnen?

Accepted Answer

Differenzieren

Answer

Lineare Algebra

Answer

Integrieren

Question 59

Welches der folgenden Lösungsverfahren ist für lineare Optimierungsprobleme in Standardform am besten geeignet?

Accepted Answer

Simplex-Verfahren

Answer

Lagrange-Multiplikatoren

Answer

Steilste-Abstiegs-Verfahren

Answer

Gradientenverfahren

Question 60

Welche der folgenden Aussagen über nichtlineare Optimierungsprobleme ist falsch?

Accepted Answer

Sie haben immer eine eindeutige Lösung.

Answer

Sie können schwer zu lösen sein.

Answer

Sie können mehrere zulässige Lösungen haben.

Answer

Sie können lokale und globale Minima haben.

Question 61

Welcher der folgenden mathematischen Ausdrücke ist eine lineare Funktion?

Accepted Answer

y = 2x + 3

Answer

y = √x

Answer

y = x² + 2

Answer

y = sin(x)

Question 62

Welche der folgenden Aussagen beschreibt Optimierungsprobleme treffend?

Accepted Answer

Optimierungsprobleme ermitteln den besten Wert einer Zielfunktion bei gegebenen Einschränkungen.

Answer

Optimierungsprobleme haben immer eindeutig lösbare Lösungen.

Answer

Einschränkungen schränken mögliche Werte der Variablen in Optimierungsproblemen nicht ein.

Question 63

Welche Methode eignet sich zur Lösung linearer Optimierungsprobleme?

Accepted Answer

Simplex-Algorithmus

Answer

Gradientenverfahren

Answer

Goldener Schnitt

Answer

Lagrange-Multiplikatoren

Question 64

Welche Bedingungen müssen für ein Optimierungsproblem mit Einschränkungen erfüllt sein, um ein globales Optimum aufzuweisen?

Accepted Answer

Konvexität der Zielfunktion und Konvexität des zulässigen Lösungsraums

Answer

Konvexität der Zielfunktion und Linearität des zulässigen Lösungsraums

Answer

Linearität der Zielfunktion und Konvexität des zulässigen Lösungsraums