Eigenwerte und Eigenvektoren: Online-Quiz für Klasse 12 Gesamtschule

Question 1

Wie hängt der Eigenraum mit dem zugehörigen Eigenwert zusammen?

Accepted Answer

Eigenraum: Lösungsraum der charakteristischen Gleichung für diesen Eigenwert

Answer

Eigenraum: Orthogonaler Komplementärraum zum Kern der Matrix

Answer

Eigenraum: Menge linear abhängiger Vektoren zum Eigenwert

Answer

Eigenraum: Menge skalierter Vektoren durch den Eigenwert

Question 2

Welcher der folgenden Ausdrücke ist die Spur einer Matrix?

Accepted Answer

Die Summe der Elemente in der Hauptdiagonale

Answer

Die Summe aller Elemente der Matrix

Question 3

Was versteht man unter der Spur einer Matrix?

Accepted Answer

Die Summe aller Diagonalelemente

Answer

Das Produkt aller Diagonalelemente

Answer

Die Summe aller Eigenwerte

Question 4

Welche der folgenden Aussagen über die Diagonalisierbarkeit von Matrizen ist richtig?

Accepted Answer

Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn ihre Eigenvektoren linear unabhängig sind.

Answer

Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie symmetrisch ist.

Answer

Eine Matrix ist genau dann nicht diagonalisierbar, wenn sie reelle Eigenwerte hat.

Question 5

Was ist die korrekte Aussage über Eigenwerte und Eigenvektoren?

Accepted Answer

Ein Eigenwert ist eine Zahl, zu der es einen Eigenvektor gibt, der bei Multiplikation mit der Matrix ein Vielfaches seiner selbst ergibt.

Answer

Ein Eigenwert ist eine Zahl, zu der es einen Eigenvektor gibt, der senkrecht zum zugehörigen Untervektorraum steht.

Answer

Ein Eigenvektor entsteht durch mehrfache Multiplikation einer Matrix mit sich selbst.

Answer

Der Eigenwert einer Matrix ist die Determinante der Matrix.

Question 6

Die Eigenwerte einer Matrix A sind die:

Accepted Answer

Nullstellen des charakteristischen Polynoms von A

Answer

Lösungen des Gleichungssystems Ax = 0

Answer

Koeffizienten des charakteristischen Polynoms von A

Answer

Spur der Matrix A

Question 7

Die Summe aller Eigenwerte einer Matrix ist:

Accepted Answer

gleich der Spur der Matrix

Answer

gleich dem Determinanten der Matrix

Answer

gleich der Ordnung der Matrix

Answer

gleich dem Rang der Matrix

Question 8

Der Eigenvektor zum größten Eigenwert einer Matrix zeigt in Richtung:

Accepted Answer

der größten Streckungsrichtung

Answer

der kleinsten Streckungsrichtung

Answer

immer eines Einheitsvektors

Answer

orthogonal zu allen anderen Eigenvektoren

Question 9

Die Eigenwerte einer symmetrischen Matrix sind:

Accepted Answer

immer reell

Answer

immer komplex

Answer

immer positiv

Answer

immer negativ

Question 10

Welche der folgenden Matrizen ist nicht diagonalisierbar?

Accepted Answer

[[1, 2], [3, 1]]

Answer

[[1, 0], [0, 2]]

Answer

[[1, 1], [0, 1]]

Answer

[[0, 1], [-1, 0]]

Question 11

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte einer quadratischen Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Sie entsprechen den Lösungen der charakteristischen Gleichung der Matrix.

Answer

Sie sind immer komplex.

Answer

Sie sind immer positiv.

Answer

Sie sind immer reell.

Question 12

Was ist die geometrische Bedeutung des Eigenvektors einer Matrix?

Accepted Answer

Er gibt die Richtung des größten Streckungsfaktors der Matrix an.

Answer

Er gibt die Richtung des kleinsten Streckungsfaktors der Matrix an.

Answer

Er gibt die Richtung des Eigenwerts der Matrix an.

Answer

Er gibt die Richtung des inversen Eigenwerts der Matrix an.

Question 13

Welche der folgenden Methoden kann zur Bestimmung der Eigenwerte einer Matrix verwendet werden?

Accepted Answer

Alle der oben genannten.

Answer

QR-Zerlegung

Answer

Potenzmethode

Answer

Jacobi-Methode

Question 14

Welche Aussage beschreibt die Diagonalisierbarkeit einer Matrix?

Accepted Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn ihre Eigenvektoren linear unabhängig sind.

Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie invertierbar ist.

Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie symmetrisch ist.

Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn ihre Eigenwerte alle unterschiedlich sind.

Question 15

Wie lautet die Determinante einer diagonalisierbaren Matrix?

Accepted Answer

Produkt der Eigenwerte

Answer

Summe der Eigenwerte

Answer

0

Answer

1

Question 16

Welche Anwendung von Eigenwerten und Eigenvektoren ist falsch?

Accepted Answer

Berechnung der Determinante einer Matrix

Answer

Lösung linearer Gleichungssysteme

Answer

Lösung von Differentialgleichungen

Answer

Diagonalisierung von Matrizen

Question 17

Welche Matrix hat nur einen unterschiedlichen Eigenwert?

Accepted Answer

[1 0; 0 1]

Answer

[1 2; 3 4]

Answer

[1 2; 2 1]

Answer

[1 2; 3 4; 5 6]

Question 18

Welche Matrix ist nicht diagonalisierbar über den reellen Zahlen?

Accepted Answer

[1 2; 2 5]

Answer

[1 2; 3 4]

Answer

[1 0; 0 2]

Answer

[1 2; 3 4; 5 6]

Question 19

Welche Anwendung von Eigenwerten und Eigenvektoren ist in der Schwingungstechnik zu finden?

Accepted Answer

Berechnung der Eigenfrequenzen eines mechanischen Schwingers

Answer

Berechnung der Schwingungsamplitude

Answer

Bestimmung der Systemdämpfung

Question 20

Welche Aussage zur Definition von Eigenwerten ist korrekt?

Accepted Answer

Ein Eigenwert ist eine Zahl, für die es einen nicht-trivialen Eigenvektor gibt.

Answer

Ein Eigenwert ist eine beliebige Zahl, die der Matrix addiert werden kann.

Answer

Ein Eigenwert ist eine Zahl, die die Determinante der Matrix zu Null macht.

Question 21

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Eigenvektor der Matrix [[2, 1], [-1, 2]] mit dem Eigenwert 1?

Accepted Answer

[1, 1]

Answer

[-1, 1]

Answer

[1, -1]

Question 22

Welche Aussage zur Spur einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Die Spur ist die Summe der Eigenwerte der Matrix.

Answer

Die Spur ist das Produkt der Eigenwerte der Matrix.

Answer

Die Spur ist die Determinante der Matrix.

Question 23

Welche der folgenden Matrizen hat den Eigenwert 0?

Accepted Answer

[[0, 1], [0, 0]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Question 24

Was ist die geometrische Bedeutung eines Eigenvektors?

Accepted Answer

Eine Richtung im Vektorraum.

Answer

Eine Gerade, die durch den Ursprung verläuft.

Answer

Eine Ebene, die den Ursprung enthält.

Question 25

Welche der folgenden Matrizen ist nicht diagonalisierbar?

Accepted Answer

[[2, 1], [1, 2]]

Answer

[[1, 0], [0, 2]]

Answer

[[1, 2], [0, 1]]

Question 26

Welche Aussage über die Determinante einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Die Determinante einer diagonalisierbaren Matrix ist das Produkt ihrer Eigenwerte.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist die Summe ihrer Eigenwerte.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist die Differenz ihrer Eigenwerte.

Question 27

Ein Eigenwert λ einer quadratischen Matrix A heißt reell, wenn der dazugehörige Eigenvektor v:

Accepted Answer

reelle Komponenten hat.

Answer

komplexe Komponenten hat.

Answer

Einheitslänge hat.

Answer

positiv ist.

Question 28

Die Eigenwerte einer Diagonalmatrix sind:

Accepted Answer

die Elemente auf der Diagonalen.

Answer

die Zeilenvektoren.

Answer

die Spaltenvektoren.

Answer

die Determinante.

Question 29

Die Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix sind:

Accepted Answer

paarweise orthogonal.

Answer

paarweise linear abhängig.

Answer

nicht unbedingt orthogonal.

Answer

nicht unbedingt linear unabhängig.

Question 30

Sei A eine Matrix mit Eigenwert λ und Eigenvektor v. Der Vektor Av ist:

Accepted Answer

ein Eigenvektor von A mit Eigenwert λ.

Answer

ein Eigenvektor von A mit Eigenwert λ^2.

Answer

ein Vielfaches von v.

Answer

der Nullvektor.

Question 31

Die Summe der Eigenwerte einer Matrix ist:

Accepted Answer

die Spur der Matrix.

Answer

die Determinante der Matrix.

Answer

der Rang der Matrix.

Answer

die Ordnung der Matrix.

Question 32

Eigenwerte sind:

Accepted Answer

Die Wurzeln des charakteristischen Polynoms einer Matrix.

Answer

Immer reelle Zahlen.

Answer

Immer positiv.

Answer

Vielfache der Einheitsmatrix.

Question 33

Welchen geometrischen Sinn hat ein Eigenvektor?

Accepted Answer

Er gibt die Richtung eines Hauptachsensystems der Matrix an.

Answer

Er gibt die Länge der Matrix an.

Answer

Er gibt den Determinanten der Matrix an.

Answer

Er gibt die Spur der Matrix an.

Question 34

Welches Kriterium muss eine Matrix erfüllen, um diagonalisierbar zu sein?

Accepted Answer

Sie muss einen vollständigen Satz von Eigenvektoren besitzen.

Answer

Sie muss symmetrisch sein.

Answer

Sie muss eine inverse Matrix besitzen.

Answer

Sie muss eine positive definite Matrix sein.

Question 35

Welche Aussage über Eigenwerte beschreibt deren Rolle in der Linearkombination von Eigenvektoren korrekt?

Accepted Answer

Eigenwerte skalieren die Größe der Linearkombination der Eigenvektoren.

Answer

Eigenwerte bestimmen die Richtung der Linearkombination der Eigenvektoren.

Answer

Eigenwerte geben die Dimension des Eigenraums an.

Question 36

Wenn A eine n x n-Matrix ist und λ ein Eigenwert von A mit zugehörigem Eigenvektor x ≠ 0 ist, gilt:

Accepted Answer

Ax = λx

Answer

λx = Ax

Answer

Ax = xλ

Question 37

Welche Eigenschaft der Gesamtheit der Eigenwerte einer Matrix ist zutreffend?

Accepted Answer

Die Gesamtheit der Eigenwerte einer Matrix ist charakteristisch für die Matrix.

Answer

Die Gesamtheit der Eigenwerte einer Matrix ist immer reell.

Answer

Die Gesamtheit der Eigenwerte einer Matrix ist von der Wahl der Basis abhängig.

Question 38

Was ist eine Eigenschaft des charakteristischen Polynoms einer Matrix?

Accepted Answer

Das charakteristische Polynom einer Matrix ist ein Polynom vom Grad n, wobei n die Ordnung der Matrix ist.

Answer

Das charakteristische Polynom einer Matrix ist immer ein normiertes Polynom.

Question 39

Die Matrix A = [[2, 1], [-1, 2]] ist diagonalisierbar. Welche der folgenden Matrizen ist die Diagonalform von A?

Accepted Answer

D = [[3, 0], [0, 1]]

Answer

D = [[1, 1], [1, 1]]

Answer

D = [[3, -2], [2, 3]]

Question 40

Welche der folgenden Transformationen ist eine orthogonale Transformation?

Accepted Answer

Drehung um einen Winkel θ

Answer

Translation um den Vektor v

Answer

Skalierung um den Faktor k

Question 41

Bestimme die Eigenwerte der Matrix A = [[2, 1], [1, 2]].

Accepted Answer

1 und 3

Answer

2 und 1

Answer

2 und 2

Answer

0 und 4

Question 42

Welcher Vektor ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 3 der Matrix A = [[2, 1], [1, 2]]?

Accepted Answer

[1, 1]

Answer

[1, 0]

Answer

[0, 1]

Answer

[2, 1]

Question 43

Welche Aussage über die Diagonalisierung einer Matrix ist **richtig**?

Accepted Answer

Eine diagonalisierbare Matrix kann durch eine Ähnlichkeitstransformation in eine Diagonalmatrix umgewandelt werden.

Answer

Eine diagonalisierbare Matrix hat nur positive Eigenwerte.

Answer

Eine diagonalisierbare Matrix hat immer eine inverse.

Answer

Jede Matrix kann diagonalisiert werden.

Question 44

Welche Eigenschaft muss eine Matrix A besitzen, um diagonalisierbar zu sein?

Accepted Answer

A muss eine Basis aus linear unabhängigen Eigenvektoren besitzen.

Answer

A muss symmetrisch sein.

Answer

A muss nur positive Eigenwerte haben.

Answer

A muss invertierbar sein.

Question 45

Was ist die geometrische Bedeutung von Eigenvektoren?

Accepted Answer

Eigenvektoren geben die Richtungen an, in denen eine lineare Transformation nur eine Skalierung bewirkt.

Answer

Eigenvektoren sind die Vektoren, die auf die Null transformiert werden.

Answer

Eigenvektoren haben immer eine Länge von 1.

Answer

Eigenvektoren sind immer orthogonal zueinander.

Question 46

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte und Eigenvektoren ist IMMER richtig?

Accepted Answer

Ein Eigenvektor, der mit einem Eigenwert ungleich Null assoziiert ist, kann nicht der Nullvektor sein.

Answer

Eine Matrix hat immer so viele linear unabhängige Eigenvektoren wie ihre Dimension.

Answer

Eigenvektoren sind immer orthogonal zueinander.

Answer

Eigenwerte sind immer positiv.

Question 47

Welcher Eigenwert gehört zum Eigenvektor [1, -1] der Matrix B = [[3, 1], [1, 3]]?

Accepted Answer

2

Answer

-2

Answer

3

Answer

4

Question 48

Welche der folgenden Matrizen ist NICHT diagonalisierbar?

Accepted Answer

[[1, 1], [0, 1]]

Answer

[[2, 0], [0, 3]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[0, 1], [-1, 0]]

Question 49

Was ist die geometrische Interpretation eines Eigenvektors?

Accepted Answer

Ein Eigenvektor behält seine Richtung (Span) bei, wenn er mit der zugehörigen Matrix multipliziert wird.

Answer

Ein Eigenvektor wird um 90 Grad gedreht, wenn er mit der zugehörigen Matrix multipliziert wird.

Answer

Ein Eigenvektor wird auf einen anderen Vektor mit gleicher Länge abgebildet, wenn er mit der zugehörigen Matrix multipliziert wird.

Answer

Ein Eigenvektor wird auf den Nullvektor abgebildet, wenn er mit der zugehörigen Matrix multipliziert wird.

Question 50

Was ist die Bedeutung des charakteristischen Polynoms einer Matrix?

Accepted Answer

Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind die Eigenwerte der Matrix.

Answer

Das charakteristische Polynom ist nur für invertierbare Matrizen definiert.

Answer

Das charakteristische Polynom ist immer ein lineares Polynom.

Answer

Das charakteristische Polynom gibt die Determinante der Matrix an.

Question 51

Was ist die Verbindung zwischen Eigenwerten und der Diagonalisierbarkeit einer Matrix?

Accepted Answer

Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie  n linear unabhängige Eigenvektoren besitzt, wobei n die Dimension der Matrix ist.

Answer

Jede Matrix mit reellen Eigenwerten ist diagonalisierbar.

Question 52

Was bedeutet es, wenn eine Matrix einen Eigenwert mit der algebraischen Vielfachheit 2 hat?

Accepted Answer

Der Eigenwert tritt zweimal als Nullstelle des charakteristischen Polynoms auf.

Answer

Die Matrix ist nicht diagonalisierbar.

Answer

Die Matrix hat genau zwei linear unabhängige Eigenvektoren.

Question 53

Welche der folgenden Matrizen ist diagonalisierbar?

Accepted Answer

A = [[1, 0], [0, 2]]

Answer

B = [[1, 1], [1, 1]]

Answer

C = [[1, 2], [-2, 1]]

Answer

D = [[1, 0], [1, 1]]

Question 54

Bestimmen Sie den Eigenwert der Matrix A = [[2, 1], [-1, 2]] für den Eigenvektor [1, 1]^T.

Accepted Answer

3

Answer

2

Answer

4

Answer

1

Question 55

Gegeben sei die Matrix A = [[1, 2], [-1, 3]]. Bestimmen Sie die Eigenwerte von A.

Accepted Answer

1 und 4

Answer

2 und 3

Answer

1 und 2

Answer

3 und 4

Question 56

Welche der folgenden Matrizen kann nicht diagonalisiert werden?

Accepted Answer

A = [[1, 1], [-1, 1]]

Answer

D = [[1, 0], [0, 1]]

Answer

C = [[3, 0], [0, 3]]

Answer

B = [[2, 1], [-1, 2]]

Question 57

Bestimmen Sie die Eigenvektoren der Matrix A = [[2, 1], [-1, 3]] für den Eigenwert 1.

Accepted Answer

[0, 1]^T

Answer

[1, 0]^T

Answer

[2, 1]^T

Answer

[1, 1]^T

Question 58

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist richtig?

Accepted Answer

Eigenwerte sind die Lösungen des charakteristischen Polynoms einer Matrix.

Answer

Eigenwerte sind immer negativ.

Answer

Eigenwerte sind immer positiv.

Question 59

Gegeben sei die Matrix A = [[1, 2], [3, 4]]. Bestimmen Sie die Diagonalform von A.

Accepted Answer

D = [[1, 0], [0, 2]]

Answer

D = [[2, 1], [0, 1]]

Answer

D = [[2, 0], [0, 1]]

Answer

D = [[1, 1], [0, 2]]

Question 60

Welche der folgenden Aussagen über die Diagonalisierbarkeit von Matrizen ist richtig?

Accepted Answer

Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie eine vollständige Menge linear unabhängiger Eigenvektoren besitzt.

Answer

Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie symmetrisch ist.

Question 61

Bestimmen Sie die Eigenräume der Matrix A = [[2, 1], [-1, 2]] für die Eigenwerte 1 und 4.

Accepted Answer

E1 = {[0, 1]^T} und E4 = {[1, 1]^T}

Answer

E1 = {[1, 1]^T} und E4 = {[0, 1]^T}

Answer

E1 = {[1, 0]^T} und E4 = {[0, 1]^T}

Answer

E1 = {[0, 1]^T} und E4 = {[1, -1]^T}