Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Mathematik für Klasse 11 an Gesamtschulen

Question 1

Wie wird die Poissonverteilung verwendet?

Accepted Answer

Zur Modellierung der Anzahl von Ereignissen in einem bestimmten Zeitraum oder Bereich

Answer

Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis mindestens einmal eintritt

Answer

Zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis höchstens einmal eintritt

Answer

Zur Beschreibung des Wachstums einer Population

Question 2

In einer Umfrage werden 100 Personen zu ihrer Lieblingsfarbe befragt. Welche Verteilung könnte verwendet werden, um die Anzahl der Personen zu modellieren, die Blau wählen?

Accepted Answer

Binomialverteilung

Answer

Normalverteilung

Answer

Poissonverteilung

Answer

Hypergeometrische Verteilung

Question 3

Welche Formel gibt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Binomialverteilung an?

Accepted Answer

P(X = k) = (n! / (k! * (n-k)!)) * p^k * q^(n-k)

Answer

P(X = k) = (1/√(2πσ^2)) * e^(-0,5 * (x-μ)^2 / σ^2)

Answer

P(X = k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!

Answer

P(X = k) = (1 - p)^k * p

Question 4

Welche Aussage über die Normalverteilung trifft zu?

Accepted Answer

Sie ist eine symmetrische Glockenkurve.

Answer

Ihre Glockenkurve hat mehrere Maxima.

Answer

Ihre Varianz ist immer größer als ihr Erwartungswert.

Answer

Sie ist eine diskrete Verteilung.

Question 5

Welche Verteilung eignet sich am besten zur Modellierung der Anzahl von Anrufen, die pro Stunde bei einem Callcenter eingehen?

Accepted Answer

Poissonverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Normalverteilung

Answer

Hypergeometrische Verteilung

Question 6

Wie lautet die Formel für den Erwartungswert der Normalverteilung?

Accepted Answer

μ

Answer

σ^2

Answer

σ

Answer

μ + σ^2

Question 7

Welche Grafik repräsentiert die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Normalverteilung?

Accepted Answer

Eine Glockenkurve

Answer

Eine Binomialverteilungskurve

Answer

Eine Poissonverteilungskurve

Answer

Eine Hypergeometrische Verteilungskurve

Question 8

Welche Aussage über die Poissonverteilung ist falsch?

Accepted Answer

Sie kann negative Werte annehmen.

Answer

Sie ist eine diskrete Verteilung.

Answer

Ihr Erwartungswert und ihre Varianz sind gleich.

Answer

Sie ist symmetrisch um den Erwartungswert.

Question 9

Welcher Wert ist der Erwartungswert für eine Poissonverteilung?

Accepted Answer

λ

Answer

λ^2

Answer

eλ

Answer

1 / λ

Question 10

Welche der folgenden Zufallsvariablen folgt einer Poisson-Verteilung?

Accepted Answer

Anzahl der Anrufe bei einem Callcenter pro Stunde

Answer

Zeit bis zum nächsten Erdbeben

Answer

Größe eines Würfels

Answer

Durchschnittstemperatur in einer Stadt

Question 11

Ein Poisson-Prozess hat eine Rate von 10 Ereignissen pro Stunde. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass in den nächsten 30 Minuten genau 4 Ereignisse auftreten?

Accepted Answer

e^-5 * (5^4 / 4!)

Answer

e^-5 * (5^5 / 5!)

Answer

e^-10 * (10^4 / 4!)

Answer

e^-10 * (10^5 / 5!)

Question 12

Welche der folgenden Aussagen über Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist korrekt?

Accepted Answer

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ereignisse ist 1.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann negativ sein.

Answer

Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses hängt nicht vom vorherigen Ereignis ab.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann größer als 1 sein.

Question 13

Die Standardabweichung der Normalverteilung mit μ=100 und σ=15 beträgt:

Accepted Answer

15

Answer

10

Answer

25

Answer

30

Question 14

Welche Größe misst die Streuung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Accepted Answer

Varianz

Answer

Erwartungswert

Answer

Häufigkeitsdichte

Answer

Verteilungsfunktion

Question 15

Welche Aussage über Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist falsch?

Accepted Answer

Der Erwartungswert einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine Zufallsvariable.

Answer

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ereignisse beträgt 1.

Answer

Die Varianz einer Wahrscheinlichkeitsverteilung misst die Streuung der Wahrscheinlichkeiten.

Answer

Die Standardabweichung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine dimensionslose Größe.

Question 16

Wie hilft die Normalverteilung dabei, Messfehler zu verstehen?

Accepted Answer

Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Messwert in einem Bereich zu erhalten.

Answer

Sie sagt die genaue Größe jedes Messfehlers voraus.

Answer

Sie entfernt die Unsicherheit bei Messungen komplett.

Answer

Sie ist nur bei wenigen Messungen sinnvoll.

Question 17

Welche Aussage zur Binomialverteilung ist **nicht** korrekt?

Accepted Answer

Die Anzahl der Erfolge ist eine stetige Größe.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs ist bei jedem Versuch konstant.

Answer

Die Versuche sind unabhängig voneinander.

Answer

Der Erwartungswert ist gleich dem Produkt aus Anzahl der Versuche und Erfolgswahrscheinlichkeit.

Question 18

Der Erwartungswert einer Poisson-Verteilung mit dem Parameter λ beträgt:

Accepted Answer

λ

Answer

λ/2

Answer

2λ

Answer

√λ

Question 19

Welche der folgenden Verteilungen ist symmetrisch?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Poisson-Verteilung

Answer

Exponentialverteilung

Question 20

Welche Transformation führt eine Normalverteilung in eine Standardnormalverteilung über?

Accepted Answer

(x - μ) / σ

Answer

(x - μ)² / σ²

Answer

√(x - μ) / σ

Answer

x / (μ + σ)

Question 21

Welche Aussage zur Unabhängigkeit von Ereignissen ist korrekt?

Accepted Answer

Das Eintreten des einen Ereignisses hat keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit des anderen.

Answer

Unabhängige Ereignisse haben immer die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit des einen Ereignisses beeinflusst die des anderen.

Answer

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse ist immer 1.

Question 22

Welche Verteilung wird zur Modellierung der Zeit zwischen **zufälligen** Ereignissen verwendet?

Accepted Answer

Exponentialverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Poisson-Verteilung

Answer

Normalverteilung

Question 23

Welche der folgenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist symmetrisch und glockenförmig?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Poissonverteilung

Answer

Hypergeometrische Verteilung

Question 24

Welche Aussage über die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen ist richtig?

Accepted Answer

Ihre Fläche unter der Kurve ist immer 1.

Answer

Sie ist immer größer als 0.

Answer

Sie ist immer kleiner als 1.

Answer

Sie ist nur für diskrete Zufallsvariable definiert.

Question 25

Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer Folge unabhängiger Versuche, bei denen die Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem Versuch konstant ist?

Accepted Answer

Binomialverteilung

Answer

Poisson-Verteilung

Answer

Exponentialverteilung

Answer

Hypergeometrische Verteilung

Question 26

Welche Aussage zur Poisson-Verteilung ist falsch?

Accepted Answer

Sie hat eine Glockenkurve.

Answer

Sie modelliert die Anzahl von Ereignissen in einem festgelegten Intervall.

Answer

Ihre Varianz ist gleich ihrem Erwartungswert.

Answer

Sie ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Question 27

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge in n unabhängigen Bernoulli-Experimenten mit Erfolgswahrscheinlichkeit p?

Accepted Answer

p^k * (1-p)^(n-k)

Answer

(p/q)^k * (q/p)^(n-k)

Answer

k * p^(k-1) * (1-p)^(n-k)

Answer

(n/k) * (p/q)^k * (q/p)^(n-k)

Question 28

Welche der folgenden Verteilungen ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Poisson-Verteilung

Answer

Geometrische Verteilung

Question 29

Wie lautet der Erwartungswert der Poisson-Verteilung mit Parameter λ?

Accepted Answer

λ

Answer

λ^2

Answer

2λ

Answer

λ/2

Question 30

Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung kann zur Modellierung der Wartezeit bis zum Eintreffen des ersten Ereignisses verwendet werden?

Accepted Answer

Exponentialverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Poisson-Verteilung

Answer

Normalverteilung

Question 31

Wie lautet die Standardabweichung der Normalverteilung mit Erwartungswert μ und Varianz σ^2?

Accepted Answer

σ

Answer

σ^2

Answer

μ

Answer

μ^2

Question 32

Welche Aussage zur Normalverteilung trifft zu?

Accepted Answer

Sie ist immer symmetrisch um ihren Mittelwert.

Answer

Ihre Glockenkurve hat einen spitzen Gipfel.

Answer

Ihre Standardabweichung ist immer kleiner als 1.

Answer

Sie ist eine diskrete Verteilung.

Question 33

Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen X, die binomialverteilt ist, beträgt:

Accepted Answer

n * p

Answer

n * (1 - p)

Answer

n * p * (1 - p)

Answer

p * (1 - p)

Question 34

Welche der folgenden Verteilungen ist eine stetige Verteilung?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Poissonverteilung

Answer

Hypergeometrische Verteilung

Question 35

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Exponentialverteilung lautet:

Accepted Answer

f(x) = λ * e^(-λx)

Answer

f(x) = λ * e^(-x^2)

Answer

f(x) = 1/(2πσ²) * e^(-(x - μ)²/(2σ²))

Answer

f(x) = k * x^(k - 1)

Question 36

Bei einem Münzwurf beträgt die Wahrscheinlichkeit, Kopf zu werfen, 1/2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei drei Würfen zweimal Kopf geworfen wird?

Accepted Answer

3/8

Answer

1/4

Answer

1/8

Answer

1/2

Question 37

Der Erwartungswert der Standardnormalverteilung beträgt:

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

μ

Answer

σ

Question 38

Welche Aussage beschreibt den zentralen Grenzwertsatz?

Accepted Answer

Wenn die Stichprobengröße groß genug ist, folgt die Verteilung des Stichprobenmittelwerts einer Normalverteilung.

Answer

Der Erwartungswert der Stichprobe ist gleich dem Erwartungswert der Grundgesamtheit.

Answer

Die Standardabweichung der Stichprobe ist gleich der Standardabweichung der Grundgesamtheit.

Answer

Die Verteilung der Stichprobe konvergiert gegen die Normalverteilung, unabhängig von der Verteilung der Grundgesamtheit.

Question 39

Die Kovarianz zweier Zufallsvariablen X und Y ist definiert als:

Accepted Answer

E(XY) - E(X)E(Y)

Answer

E(X + Y)

Answer

E(X - Y)

Answer

Var(X + Y)

Question 40

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt die Normalverteilung?

Accepted Answer

Sie ist eine symmetrische Glockenkurve mit Mittelwert μ und Standardabweichung σ.

Answer

Sie ist eine gleichförmige Verteilung, bei der alle Werte gleich wahrscheinlich sind.

Answer

Sie ist eine schiefe Verteilung mit einem langen rechten Schwanz.

Question 41

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable X, die der Standardnormalverteilung folgt, einen Wert zwischen -1 und 1 annimmt.

Accepted Answer

0,6827

Answer

0,9545

Answer

0,5

Answer

0,3173

Question 42

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Poisson-Verteilung zutreffend?

Accepted Answer

Sie modelliert die Anzahl von Ereignissen, die in einem bestimmten Zeitintervall oder Bereich auftreten, und ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Answer

Sie beschreibt die Zeitspanne bis zum Auftreten eines bestimmten Ereignisses und ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Question 43

Gib die Formel für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Exponentialverteilung an.

Accepted Answer

f(x) = λ * e^(-λx)

Answer

f(x) = (1 / λ) * e^(-λx²)

Answer

f(x) = x * e^(-x²)

Answer

f(x) = (1 / x) * e^(-x)

Question 44

Welche der folgenden Verteilungen wird verwendet, um die Zeit bis zum Auftreten eines Ereignisses zu modellieren?

Accepted Answer

Exponentialverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Normalverteilung

Answer

Poisson-Verteilung

Question 45

Welche der folgenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen hat die geringste Entropie?

Accepted Answer

Degenerierte Verteilung

Answer

Poisson-Verteilung

Answer

Normalverteilung

Answer

Gleichförmige Verteilung

Question 46

Bei einem fairen Würfelwurf beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln:

Accepted Answer

1/6

Answer

1/4

Answer

1/3

Answer

1/2

Question 47

Welche der folgenden Zufallsvariablen ist binomialverteilt?

Accepted Answer

Anzahl der Erfolge bei n unabhängigen Versuchen mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit p.

Answer

Zeit bis zum ersten Erfolg bei unabhängigen Versuchen mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit p.

Answer

Anzahl der Tage bis zum nächsten Regen.

Question 48

Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariable mit n Versuchen und Erfolgswahrscheinlichkeit p ist:

Accepted Answer

n * p

Answer

p / n

Answer

n / p

Answer

n + p

Question 49

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion beschreibt die Wahrscheinlichkeit:

Accepted Answer

Dass eine Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt.

Answer

Nur für diskrete Zufallsvariablen

Answer

Nur für stetige Zufallsvariablen

Answer

Dass eine Zufallsvariable einen Bereich von Werten annimmt.

Question 50

Welche der folgenden Verteilungen ist eine stetige Zufallsverteilung?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Hypergeometrische Verteilung

Answer

Poissonverteilung

Question 51

Die Standardabweichung misst die Streuung einer Verteilung:

Accepted Answer

Um ihren Mittelwert

Answer

Um ihren Median

Answer

Um ihren Modus

Answer

Um ihren Erwartungswert

Question 52

Welche der folgenden Verteilungen wird häufig verwendet, um die Ankunftszeiten von Ereignissen zu modellieren?

Accepted Answer

Poissonverteilung

Answer

Normalverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Hypergeometrische Verteilung

Question 53

Was gibt die Kumulative Verteilungsfunktion (KVF) an?

Accepted Answer

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich einem bestimmten Wert annimmt.

Answer

Den Erwartungswert der Zufallsvariable.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert größer als einem bestimmten Wert annimmt.

Answer

Nur für stetige Zufallsvariablen definiert.

Question 54

Welche der folgenden Annahmen ist **nicht** notwendig für eine Binomialverteilung?

Accepted Answer

Die Anzahl der Versuche ist zufällig.

Answer

Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist konstant.

Answer

Die Anzahl der Versuche ist festgelegt.

Question 55

Welche der folgenden Formeln ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer Normalverteilung mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ?

Accepted Answer

f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-(x - μ)² / (2 * σ²))

Answer

f(x) = (1 / (μ * √(2π))) * e^(-(x - σ)² / (2 * μ²))

Answer

f(x) = (1 / σ) * e^(-x² / (2 * μ))

Question 56

Welche der folgenden Eigenschaften beschreibt eine Exponentialverteilung **nicht**?

Accepted Answer

Die Zeit zwischen aufeinanderfolgenden Ereignissen ist konstant.

Answer

Die Rate der Ereignisse ist konstant.

Answer

Die Zeit zwischen aufeinanderfolgenden Ereignissen ist unabhängig.

Question 57

Die Zufallsgröße X folgt einer Poisson-Verteilung mit dem Parameter λ. Wie lautet die Wahrscheinlichkeit, dass X kleiner gleich 2 ist?

Accepted Answer

P(X ≤ 2) = e^(-λ) * (1 + λ + λ² / 2!)

Answer

P(X ≤ 2) = e^(-λ) * (1 + λ + λ²)

Answer

P(X ≤ 2) = e^(-λ) * (1 + λ)

Answer

P(X ≤ 2) = e^(-λ) * (1 + λ + λ² / 3!)

Question 58

Welche der folgenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist **nicht** eine diskrete Verteilung?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Poisson-Verteilung

Answer

Geometrische Verteilung

Question 59

Welche der folgenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist **nicht** symmetrisch?

Accepted Answer

Binomialverteilung

Answer

Poisson-Verteilung

Answer

Exponentialverteilung

Answer

Normalverteilung

Question 60

Die Zufallsvariable (	extbf\{X}\) folgt einer Exponentialverteilung mit dem Parameter (\lambda = 5). Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass (	extbf\{X}\) zwischen 2 und 4 liegt.

Accepted Answer

P(2 ≤ X ≤ 4) = e^(-2) - e^(-4) ≈ 0,4493

Answer

P(2 ≤ X ≤ 4) = e^(2) - e^(4) ≈ -0,8808

Answer

P(2 ≤ X ≤ 4) = 1 - e^(-2) - e^(-4) ≈ 0,5507

Answer

P(2 ≤ X ≤ 4) = e^(-2) + e^(-4) ≈ 0,1813

Question 61

Welche der folgenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen wird **nicht** verwendet, um die Zeit bis zum Eintreten eines Ereignisses zu modellieren?

Accepted Answer

Binomialverteilung

Answer

Weibullverteilung

Answer

Gammaverteilung

Answer

Exponentialverteilung

Question 62

Welche der folgenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist eine diskrete Verteilung?

Accepted Answer

Binomialverteilung

Answer

Normalverteilung

Answer

Gleichverteilung

Answer

Exponentialverteilung

Question 63

Eine Münze wird fünfmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau dreimal Kopf geworfen wird?

Accepted Answer

10/32

Answer

3/5

Answer

5/16

Answer

1/2

Question 64

Die Lebensdauer eines bestimmten Geräts ist exponentialverteilt mit einem Erwartungswert von 5 Jahren. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Gerät länger als 10 Jahre hält?

Accepted Answer

e^-2

Answer

1 - e^(-10)

Answer

1 - e^(-2)

Answer

e^(-10)