Stochastik in der 11. Klasse: Zufallsvariablen, Verteilungen und mehr

Question 1

Die gemeinsame Dichtefunktion zweier Zufallsvariablen X und Y ist gegeben durch f(x,y) = c * e^(-x-y) für x>0 und y>0. Welchen Wert hat die Konstante c?

Accepted Answer

c = 1

Answer

c = 1/2

Answer

c = 2

Answer

c = e

Question 2

Welche der folgenden Eigenschaften gilt für binomialverteilte Zufallsvariablen?

Accepted Answer

Die Summe zweier unabhängiger binomialverteilter Zufallsvariablen mit gleichen Parametern ist binomialverteilt.

Accepted Answer

Ihr Erwartungswert entspricht dem Produkt aus Anzahl der Versuche und Erfolgswahrscheinlichkeit.

Answer

Sie können negative Werte annehmen.

Answer

Ihre Varianz entspricht dem Quadrat der Erfolgswahrscheinlichkeit.

Question 3

Welches Experiment ist dadurch gekennzeichnet, dass das Ergebnis des aktuellen Versuchs die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis des nächsten Versuchs beeinflusst?

Accepted Answer

Ziehen einer Karte aus einem Kartenspiel ohne Zurücklegen

Answer

Werfen eines fairen Würfels

Answer

Messen der Körpergröße eines Schülers

Answer

Zählen der Anrufe, die bei einer Hotline pro Stunde eingehen

Question 4

Die Zufallsvariable X kann die Werte 1, 2 und 3 annehmen. Da alle Werte gleich wahrscheinlich sind, berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X.

Accepted Answer

P(X = 1) = 1/3, P(X = 2) = 1/3, P(X = 3) = 1/3

Answer

P(X = 1) = 1/4, P(X = 2) = 1/2, P(X = 3) = 1/4

Answer

P(X = 1) = 1/5, P(X = 2) = 1/3, P(X = 3) = 1/2

Answer

P(X = 1) = 1/2, P(X = 2) = 1/4, P(X = 3) = 1/4

Question 5

Welche Eigenschaft trifft auf die Poisson-Verteilung zu?

Accepted Answer

Sie eignet sich zur Modellierung unabhängiger Ereignisse, die mit konstanter Rate auftreten.

Answer

Sie ist eine stetige Verteilung.

Answer

Ihre Varianz ist immer kleiner als ihr Erwartungswert.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Wert anzunehmen, ist immer größer als 50 %.

Question 6

Eine Zufallsvariable X kann nur die Werte 0 oder 1 annehmen. Die Wahrscheinlichkeit für den Wert 1 beträgt 0,2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Wert 0?

Accepted Answer

0,8

Answer

0,2

Answer

0,5

Question 7

Welches ist ein Hauptziel der linearen Regression?

Accepted Answer

Eine Formel finden, die den Zusammenhang zwischen zwei Variablen beschreibt.

Accepted Answer

Werte der abhängigen Variablen für neue Werte der unabhängigen Variablen vorhersagen.

Answer

Die Korrelation zwischen zwei Variablen berechnen.

Answer

Alle Faktoren erklären, die das Verhalten einer abhängigen Variablen beeinflussen.

Question 8

Welche Aussage über die Beziehung zwischen Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen **X** trifft zu?

Accepted Answer

Wenn der Erwartungswert von X gleich Null ist, ist auch seine Varianz Null.

Answer

Der Erwartungswert von X ist immer kleiner als seine Varianz.

Answer

Die Varianz von X kann negative Werte annehmen.

Question 9

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A?

Accepted Answer

Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch Anzahl aller möglichen Ergebnisse

Answer

Anzahl der ungünstigen Ergebnisse geteilt durch Anzahl aller möglichen Ergebnisse

Answer

Anzahl aller möglichen Ergebnisse geteilt durch Anzahl der günstigen Ergebnisse

Answer

Anzahl der ungünstigen Ergebnisse geteilt durch Anzahl der günstigen Ergebnisse

Question 10

Welche Aussage über die Normalverteilung ist falsch?

Accepted Answer

Ihr Modus kann vom Median abweichen.

Answer

Sie ist symmetrisch um ihren Mittelwert.

Answer

Ihre Varianz ist konstant.

Answer

Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte hat eine Glockenform.

Question 11

Welche Art von Zufallsvariable kann nur eine bestimmte Anzahl von Werten annehmen?

Accepted Answer

Diskrete Zufallsvariable

Answer

Stetige Zufallsvariable

Question 12

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt die Beziehung zwischen Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen?

Accepted Answer

Der Erwartungswert entspricht dem Mittelwert.

Accepted Answer

Die Varianz misst die Streuung der Zufallsvariablen.

Answer

Die Varianz ist immer größer oder gleich dem Erwartungswert.

Answer

Der Erwartungswert ist immer größer oder gleich der Varianz.

Question 13

Eine Urne enthält zwei Kugeln mit den Zahlen 1 und 2. Eine Kugel wird zufällig gezogen. Berechne den Erwartungswert der gezogenen Zahl.

Accepted Answer

1,5

Answer

1

Answer

2

Answer

3

Question 14

In einer Umfrage wurden 1000 Bürger zufällig befragt. 250 gaben an, eine bestimmte Zeitung zu lesen. Welcher Wert schätzt am besten den Anteil der Bevölkerung, die diese Zeitung liest?

Accepted Answer

0,25

Answer

1000/250

Answer

0,5

Answer

Die Daten erlauben keine Bestimmung

Question 15

Welche der folgenden Aussagen über Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen ist richtig?

Accepted Answer

Die Varianz einer Zufallsvariablen ist immer positiv oder null.

Accepted Answer

Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist gleich dem Mittelwert ihrer möglichen Werte.

Answer

Die Varianz einer Zufallsvariablen ist immer größer als ihr Erwartungswert.

Question 16

Wenn zwei unabhängige Stichproben ohne Annahme über ihre Verteilung verglichen werden sollen, welcher Test ist dann geeignet, um ihre Lageparameter zu untersuchen?

Accepted Answer

Wilcoxon-Mann-Whitney-Test

Answer

t-Test

Answer

Chi-Quadrat-Test

Answer

Korrelationstest

Question 17

Welche Bedingungen müssen für die Zufallsvariablen $X$ und $Y$ erfüllt sein, damit die Summe $X + Y$ einer bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilung folgt?

Accepted Answer

Unabhängig und gleiche Verteilung

Answer

Abhängig und gleiche Verteilung

Answer

Unabhängig und unterschiedliche Verteilungen

Question 18

Eine Zufallsvariable X hat folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:

P(X = 1) = 0,2
P(X = 2) = 0,3
P(X = 3) = 0,4
P(X = 4) = 0,1

Berechne die Momenten erzeugende Funktion M(t) von X.

Accepted Answer

M(t) = 0,2 * e^t + 0,3 * e^2t + 0,4 * e^3t + 0,1 * e^4t

Answer

M(t) = 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,1

Answer

M(t) = 0,2 * t + 0,3 * t^2 + 0,4 * t^3 + 0,1 * t^4

Question 19

Welche Annahmen müssen für die lineare Regression als Vorhersagemethode erfüllt sein? Erläutere, wie diese Annahmen die Genauigkeit und Zuverlässigkeit von Vorhersagen beeinflussen.

Accepted Answer

Annahmen der linearen Regression:
- Linearer Zusammenhang zwischen den Variablen
- Normalverteilung der Residuen (Abweichungen)
- Keine Ausreißer oder einflussreichen Punkte

Answer

Die lineare Regression ist unempfindlich gegenüber Ausreißern.

Answer

Die lineare Regression liefert immer genaue Vorhersagen für die Zukunft.

Answer

Die lineare Regression ist eine einfache und immer zuverlässige Vorhersagemethode.

Question 20

Eine Glühbirne hat eine exponentiell verteilte Lebensdauer mit dem Parameter λ = 0,001 pro Stunde. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie länger als 1000 Stunden hält?

Accepted Answer

1 - e^(-0,001 * 1000)

Answer

e^(-0,001 * 1000)

Answer

1 + e^(-0,001 * 1000)

Question 21

Was bedeutet statistische Unabhängigkeit von Ereignissen? Nenne ein Beispiel für zwei unabhängige Ereignisse.

Accepted Answer

Ereignisse A und B sind unabhängig, wenn das Eintreten von A die Wahrscheinlichkeit von B nicht beeinflusst.

Accepted Answer

Beispiel für unabhängige Ereignisse: Münzwurf und Würfelwurf

Answer

Ereignisse A und B sind abhängig, wenn das Eintreten von A die Wahrscheinlichkeit von B beeinflusst.

Answer

Ereignisse A und B sind unabhängig, wenn das Eintreten von A die Wahrscheinlichkeit von B nur geringfügig beeinflusst.

Question 22

Was versteht man unter einer Zufallsvariablen?

Accepted Answer

Eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments einen Zahlenwert zuordnet.

Answer

Eine Zahl, die ein Ergebnis eines Zufallsexperiments beschreibt.

Answer

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments angibt.

Answer

Ein stochastisches Modell, das das Verhalten eines Zufallsprozesses beschreibt.

Question 23

Die Zufallsvariablen X und Y haben eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x, y). Wie berechnet man die bedingte Wahrscheinlichkeit P(X = x | Y = y)?

Accepted Answer

f(x, y) / f(y)

Answer

f(y) / f(x)

Answer

f(x, y)

Answer

1 / f(x, y)

Question 24

Wie untersucht man den linearen Zusammenhang zwischen den Zufallsvariablen X und Y?

Accepted Answer

Streudiagramm erstellen und Korrelationskoeffizient berechnen

Answer

Nur Streudiagramm erstellen

Answer

Nur Korrelationskoeffizient berechnen

Answer

Keine der genannten Möglichkeiten

Question 25

Bestimme die Regressionsgerade **y = a + bx** für die Zufallsvariablen **X** und **Y** durch Minimierung der Summe der quadrierten Residuen.

Accepted Answer

a.) Richtig

Answer

b.) Falsch

Answer

c.) Falsch

Answer

d.) Falsch

Question 26

Frage: Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung, dass Ereignis B eingetreten ist? Erläutere das Vorgehen mit dem Satz von Bayes.

Accepted Answer

P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)

Answer

P(A|B) = P(A) + P(B)

Answer

P(A|B) = P(B) / P(A)

Answer

P(A|B) = P(A) * P(B)

Question 27

Eine binomialverteilte Zufallsvariable X hat die Parameter n = 10 und p = 0,4. Berechne ihren Erwartungswert und ihre Varianz.

Accepted Answer

Erwartungswert: 4, Varianz: 2,4

Answer

Erwartungswert: 6, Varianz: 3,6

Answer

Erwartungswert: 4, Varianz: 3,6

Answer

Erwartungswert: 6, Varianz: 2,4

Question 28

Nenne die einzelnen Schritte eines Hypothesentests, um die statistische Signifikanz eines Ergebnisses zu prüfen.

Accepted Answer

Hypothesen aufstellen, Daten erheben, auswerten, interpretieren, Schlussfolgerung ziehen

Answer

Daten erheben, Hypothesen aufstellen, auswerten, Schlussfolgerung ziehen, interpretieren

Answer

Auswerten, Hypothesen aufstellen, Daten erheben, Schlussfolgerung ziehen, interpretieren

Answer

Schlussfolgerung ziehen, Hypothesen aufstellen, Daten erheben, auswerten, interpretieren

Question 29

Welche Aussage beschreibt die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsvariablen? Sie gibt an:

Accepted Answer

Die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Wertes durch eine Verteilung

Answer

Die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Wertes konstant

Answer

Die Wahrscheinlichkeit eines Intervalls als Summe einzelner Werte

Answer

Die Wahrscheinlichkeit eines Wertes größer oder gleich einem anderen

Question 30

Welche Zufallsvariable beschreibt das Ergebnis eines Münzwurfs?

Accepted Answer

Diskret

Answer

Stetig

Answer

Binomial

Answer

Poisson

Question 31

Wie berechnet man den Erwartungswert einer Zufallsvariablen?

Accepted Answer

Produkt aus jedem Wert und Wahrscheinlichkeit, dann addieren

Answer

Summe aller Werte dividiert durch Summe der Wahrscheinlichkeiten

Answer

Differenz zwischen Maximal- und Minimalwert

Answer

Analyse des Wahrscheinlichkeitsfunktionsgraphen

Question 32

Was beschreibt die Varianz einer Zufallsvariablen?

Accepted Answer

Streuung der Werte um den Erwartungswert

Answer

Differenz zwischen größtem und kleinstem Wert

Answer

Summe aller möglichen Werte

Answer

Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Wertes

Question 33

Wann verwendet man die Binomialverteilung?

Accepted Answer

Unabhängige Experimente mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit

Answer

Stichprobenziehung aus einer Population mit unbekannter Varianz

Answer

Zunehmende Wahrscheinlichkeit mit zunehmender Anzahl von Versuchen

Answer

Abnehmende Wahrscheinlichkeit mit zunehmender Anzahl von Versuchen

Question 34

Welche Aussage über die Poisson-Verteilung ist falsch?

Accepted Answer

Symmetrische Verteilung

Answer

Diskrete Verteilung

Answer

Erwartungswert gleich Varianz

Answer

Anwendbar bei zufälligen Ereignissen in einem Intervall

Question 35

Eine Zufallsvariable ist eine Abbildung, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments einen Wert aus der Menge der reellen Zahlen zuordnet. Welche der folgenden Aussagen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, die von Zufallsereignissen abhängt.

Answer

Eine Zufallsvariable kann nur positive Werte annehmen.

Answer

Eine Zufallsvariable ist immer eine diskrete Variable.

Question 36

Welche der folgenden Verteilungen ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Poisson-Verteilung

Answer

Hypergeometrische Verteilung

Question 37

Wie berechnet man den Erwartungswert einer Zufallsvariablen X, die eine Wahrscheinlichkeitsfunktion p(x) besitzt?

Accepted Answer

E(X) = Σx⋅p(x)

Answer

E(X) = Σx^2⋅p(x)

Answer

E(X) = Σp(x)/x

Answer

E(X) = √Σx⋅p(x)

Question 38

Welche Aussage über Zufallsvariablen ist zutreffend?

Accepted Answer

Eine Zufallsvariable ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine konkrete Zahl zu.

Answer

Eine Zufallsvariable ist jede beliebige reelle Zahl.

Question 39

Welche der folgenden Verteilungen ist spiegelsymmetrisch zur y-Achse?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Poissonverteilung

Answer

Hypergeometrische Verteilung

Answer

Binomialverteilung

Question 40

Wie lautet die Formel zur Berechnung des Erwartungswerts einer Zufallsvariablen X?

Accepted Answer

E(X) = ∑(x * P(X = x)) über alle möglichen Werte von X

Answer

E(X) = Var(X)

Answer

E(X) = P(X = 0)

Question 41

Wie lautet die Formel zur Berechnung der Varianz einer Zufallsvariablen X?

Accepted Answer

Var(X) = E((X - E(X))^2)

Answer

Var(X) = E(X^2)

Answer

Var(X) = SD(X)

Answer

Var(X) = P(X = 0)

Question 42

Welches stochastische Modell beschreibt am besten ein Zufallsexperiment, bei dem eine Münze dreimal geworfen wird?

Accepted Answer

Binomialverteilung mit n = 3 und p = 0,5

Answer

Poissonverteilung mit λ = 3

Answer

Hypergeometrische Verteilung mit N = 10, K = 5, n = 3

Answer

Normalverteilung mit μ = 0 und σ = 1

Question 43

Wie lautet die Formel zur Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B?

Accepted Answer

P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

Answer

P(A|B) = P(A) + P(B)

Answer

P(A|B) = P(A) / P(B)

Answer

P(A|B) = P(B) - P(A)

Question 44

Welche der folgenden Aussagen charakterisiert eine Zufallsvariable X zutreffend?

Accepted Answer

X kann jeden Wert aus einem vorgegebenen Wertebereich annehmen.

Answer

X ist eine Funktion.

Answer

X ist eine Konstante.

Question 45

Welche der folgenden Bedingungen definiert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Accepted Answer

f(x) ≥ 0 für alle x und ∫ f(x) dx = 1

Answer

f(x) > 0 für alle x

Answer

f(x) = 1 für alle x

Answer

∫ f(x) dx = x

Question 46

Wie berechnet man den Erwartungswert einer Zufallsvariablen X?

Accepted Answer

E(X) = ∫ x f(x) dx

Answer

E(X) = x

Answer

E(X) = f(x)

Answer

E(X) = var(X)

Question 47

Was ist die Formel für die Varianz einer Zufallsvariablen X?

Accepted Answer

var(X) = E((X - E(X))²)

Answer

var(X) = x

Answer

var(X) = E(X²)

Answer

var(X) = 1

Question 48

Was charakterisiert die Binomialverteilung?

Accepted Answer

Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das in n unabhängigen Versuchen mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit p auftritt.

Answer

Sie beschreibt die Verteilung der Summe von Zufallsvariablen.

Question 49

Was besagt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen?

Accepted Answer

Sie gibt die relative Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt.

Answer

Sie ist eine Konstante.

Question 50

Wo findet die Stochastik praktische Anwendung?

Accepted Answer

Modellierung von Zufallsereignissen in Wirtschaft, Medizin und Naturwissenschaften

Answer

Berechnung von Determinanten

Answer

Lösung von Differentialgleichungen

Question 51

Eine faire Münze wird dreimal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, genau zweimal Kopf zu werfen?

Accepted Answer

3/8

Answer

1/8

Answer

1/4

Answer

1/2

Question 52

Eine Urne enthält 5 rote und 3 blaue Kugeln. Zwei Kugeln werden ohne Zurücklegen gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind?

Accepted Answer

5/14

Answer

1/2

Answer

1/4

Answer

5/8

Question 53

Eine Zufallsvariable X ist normalverteilt mit einem Erwartungswert von 10 und einer Standardabweichung von 2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert zwischen 8 und 12 hat?

Accepted Answer

68,27%

Answer

99,73%

Answer

95,45%

Answer

34,13%

Question 54

Ein Würfel wird viermal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal eine 6 geworfen wird?

Accepted Answer

0,5177

Answer

0,25

Answer

0,1667

Answer

0,75

Question 55

Eine Stichprobe von 20 Glühbirnen wird aus einer großen Produktion entnommen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Glühbirne defekt ist, beträgt 0,05. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens eine Glühbirne in der Stichprobe defekt ist?

Accepted Answer

0,914

Answer

0,95

Answer

0,05

Answer

0,1

Question 56

In einer Umfrage wurden 100 Personen befragt, ob sie ein bestimmtes Produkt kaufen würden. 60 Personen gaben an, dass sie es kaufen würden. Wie hoch ist der Stichprobenanteil?

Accepted Answer

0,6

Answer

0,7

Answer

0,4

Answer

0,5

Question 57

Beim dreimaligen Werfen einer fairen Münze wird die Zufallsvariable X als die Anzahl der Kopfseiten definiert. Was ist der Erwartungswert von X?

Accepted Answer

1,5

Answer

1

Answer

3

Answer

2

Question 58

Eine Firma produziert Glühbirnen mit einer durchschnittlichen Lebensdauer von 1000 Stunden und einer Standardabweichung von 100 Stunden. Welche Aussage über die Lebensdauer der Glühbirnen ist korrekt, wenn man annimmt, dass die Lebensdauer normalverteilt ist?

Accepted Answer

Die meisten Glühbirnen haben eine Lebensdauer zwischen 900 und 1100 Stunden.

Answer

Alle Glühbirnen haben eine Lebensdauer von 1000 Stunden.

Answer

Es gibt eine 50%ige Chance, dass eine Glühbirne länger als 1000 Stunden hält.

Question 59

Welche der folgenden Variablen ist eine diskrete Zufallsvariable?

Accepted Answer

Die Anzahl der roten Kugeln, die aus einer Urne mit 10 roten und 5 blauen Kugeln gezogen werden.

Answer

Die Temperatur eines Raumes.

Answer

Die Körpergröße einer zufällig ausgewählten Person.

Question 60

In einer Urne befinden sich 5 rote und 3 blaue Kugeln. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind?

Accepted Answer

5/14

Answer

5/8

Answer

1/4

Answer

1/2

Question 61

Eine Maschine produziert Bauteile mit einer Ausschussrate von 5%.  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe von 10 Bauteilen genau 2 Ausschussstücke sind?

Accepted Answer

0,0746

Answer

0,05

Answer

0,95

Answer

0,5

Question 62

Ein Unternehmen möchte die Zufriedenheit seiner Kunden mit einem neuen Produkt ermitteln. Welche Stichprobenart sollte das Unternehmen verwenden, um möglichst genaue Ergebnisse zu erhalten?

Accepted Answer

Zufallsstichprobe

Answer

Convenience-Stichprobe

Answer

Quotenstichprobe

Answer

Schneeball-Stichprobe

Question 63

Ein Test für eine bestimmte Krankheit hat eine Sensitivität von 90% und eine Spezifität von 95%. Wenn 1% der Bevölkerung an dieser Krankheit leidet, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person tatsächlich die Krankheit hat, wenn der Test positiv ausfällt?

Accepted Answer

0,154

Answer

0,1

Answer

0,9

Answer

0,95

Question 64

Welche der folgenden Verteilungen ist KEINE diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Accepted Answer

Exponentialverteilung

Answer

Poissonverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Bernoulli-Verteilung