Reihenlehre lernen: Konvergenz, Divergenz und Anwendungen

Question 1

Welche Aussage beschreibt korrekt die Konvergenz einer geometrischen Reihe?

Accepted Answer

Sie konvergiert nur, wenn |q| < 1.

Answer

Sie konvergiert für alle Werte von |q|.

Answer

Sie konvergiert nur, wenn q eine positive ganze Zahl ist.

Answer

Sie konvergiert nur, wenn q eine rationale Zahl größer als 1 ist.

Question 2

Welche Anwendung von Reihen dient zur Konstruktion von Taylor-Polynomen?

Accepted Answer

Konstruktion von Näherungswerten für Funktionen.

Answer

Lösen von Differentialgleichungen.

Answer

Berechnung von Integralen.

Answer

Darstellung periodischer Funktionen.

Question 3

Welches Konvergenzkriterium basiert auf dem Begriff der Cauchy-Folgen?

Accepted Answer

Cauchy-Kriterium

Answer

Ratio-Kriterium

Answer

Wurzelkriterium

Answer

Kummer-Kriterium

Question 4

Welches Verfahren eignet sich zur Bestimmung der Konvergenz einer alternierenden Reihe?

Accepted Answer

Alternierendes Reihenkriterium

Answer

Cauchy-Kriterium

Answer

Ratio-Kriterium

Answer

Wurzelkriterium

Question 5

Welches Konvergenzkriterium verwendet den Grenzwert des Quotienten zweier aufeinanderfolgender Terme?

Accepted Answer

Ratio-Kriterium

Answer

Cauchy-Kriterium

Answer

Wurzelkriterium

Answer

Integral-Kriterium

Question 6

Welche der folgenden Aussagen zum Cauchy-Kriterium für Reihen ist falsch?

Accepted Answer

Es ist einfacher anzuwenden als andere Konvergenzkriterien.

Answer

Es ist sowohl ein notwendiges als auch ein hinreichendes Kriterium für die Konvergenz.

Answer

Es besagt, dass es eine Zahl N gibt, sodass für alle n, m > N gilt: |a(n) - a(m)| < ε.

Answer

Es kann verwendet werden, um die Konvergenz unendlicher Reihen zu beweisen.

Question 7

Welche Aussage trifft auf eine konvergente Reihe zu?

Accepted Answer

Ihre Partialsummen gehen gegen eine endliche Zahl

Answer

Ihre Partialsummen gehen gegen unendlich

Answer

Ihre einzelnen Summanden gehen gegen null

Answer

Ihre einzelnen Summanden wachsen unbegrenzt an

Question 8

Wie lautet die Taylor-Entwicklung von e^x um den Entwicklungspunkt x = 0?

Accepted Answer

1 + x + x²/2 + x³/3! + ...

Answer

1 - x + x²/2 - x³/3! + ...

Answer

1 + x² + x³/2 + x⁴/3! + ...

Answer

1 - x² + x³/2 - x⁴/3! + ...

Question 9

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...

Answer

1 + 1/√2 + 1/√3 + 1/√4 + 1/√5 + ...

Question 10

Welcher Test kann verwendet werden, um zu zeigen, dass die alternierende Reihe 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... konvergiert?

Accepted Answer

Leibniz-Test

Answer

Cauchy-Test

Answer

Vergleichstest

Answer

Integraltest

Question 11

Welche der folgenden Reihen ist bedingt konvergent?

Accepted Answer

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + ...

Answer

1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + 1/16 - ...

Question 12

Welches Verfahren kann verwendet werden, um den Konvergenzradius einer Potenzreihe zu bestimmen?

Accepted Answer

Wurzeltest

Answer

Cauchy-Test

Answer

Quotientenregel

Answer

Leibniz-Test

Question 13

Welche der folgenden Anwendungen von Reihen ist **nicht** korrekt?

Accepted Answer

Vorhersage des Wetters

Answer

Berechnung des Wertes von Pi

Answer

Lösen von Differentialgleichungen

Answer

Approximation von Funktionen

Question 14

Welcher Begriff beschreibt die Summe der ersten n Terme einer Reihe?

Accepted Answer

Partialsumme

Answer

Grenzwert

Answer

Konvergenzradius

Answer

Divergenzpunkt

Question 15

Welche der folgenden Aussagen über den Konvergenzradius einer Reihe ist **nicht** korrekt?

Accepted Answer

Er existiert immer.

Answer

Er bestimmt den Bereich, in dem die Reihe konvergiert.

Answer

Er kann positiv oder negativ sein.

Answer

Er kann unendlich sein.

Question 16

Welche Aussage trifft auf eine konvergente Reihe zu?

Accepted Answer

Die Summe der Glieder nähert sich einer endlichen Zahl.

Answer

Die Summe der Glieder wird gegen unendlich gehen.

Answer

Die Reihe springt zwischen positiven und negativen Zahlen hin und her.

Answer

Die Reihe ist periodisch.

Question 17

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...

Answer

-1 + 2 - 3 + 4 - ...

Answer

1 + 2 + 3 + 4 + ...

Question 18

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 + 2 + 3 + 4 + ...

Answer

-1 + 2 - 3 + 4 - ...

Question 19

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine geometrische Reihe korrekt?

Accepted Answer

Die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder sind konstant.

Answer

Ihre Summe ist immer kleiner als 1.

Answer

Sie konvergiert immer.

Answer

Sie divergiert immer.

Question 20

Welches Konvergenzkriterium für Reihen besagt, dass eine Reihe konvergiert, wenn der Grenzwert ihrer Glieder gegen 0 strebt?

Accepted Answer

Limeskriterium

Answer

Quotientenkriterium

Answer

Wurzelkriterium

Answer

Cauchy-Kriterium

Question 21

Welche der folgenden Reihen ist unbedingt konvergent?

Accepted Answer

∑(n=1 bis unendlich) 1/n^2

Answer

∑(n=1 bis unendlich) 1/n

Answer

∑(n=1 bis unendlich) (-1)^n

Answer

∑(n=1 bis unendlich) sin(n)

Question 22

Welche Aussage trifft auf die Summe einer Teleskopreihe zu?

Accepted Answer

Sie ist gleich der Differenz zwischen dem ersten und dem letzten Glied.

Answer

Sie ist immer gleich dem ersten Glied.

Answer

Sie ist immer gleich dem letzten Glied.

Answer

Sie kann nicht berechnet werden.

Question 23

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

1 + x + x² + x³ + ...

Answer

1 + 2x + 3x² + 4x³ + ...

Question 24

Welche der folgenden Reihen ist eine Cauchysche Folge?

Accepted Answer

1, 1/2, 1/4, 1/8, ...

Answer

1, -1, 1, -1, ...

Question 25

Welche Aussage über die Reihe 1 + x² + x⁴ + x⁶ + ... trifft zu?

Accepted Answer

Sie ist nur für |x| < 1 konvergent.

Question 26

Welche Anwendung von Reihen wird zur Darstellung von periodischen Funktionen eingesetzt?

Accepted Answer

Fourier-Reihen

Answer

Approximation von Funktionen

Answer

Lösen von Differentialgleichungen

Answer

Berechnung von Integralen

Question 27

Welche Reihe ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 + 2 + 4 + 8 + ...

Answer

1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

Question 28

Welcher Grenzwert entspricht dem Konvergenzradius der Reihe ∑(n=0 bis ∞) x^n / n!

Accepted Answer

e

Answer

0

Answer

1

Answer

∞

Question 29

Welche Anwendung von Reihen dient der Approximation von Funktionen?

Accepted Answer

Taylor-Reihenentwicklung

Answer

Fourier-Reihenentwicklung

Answer

Cauchy-Reihenentwicklung

Answer

Laurent-Reihenentwicklung

Question 30

Welche Aussage über die arithmetische Reihe mit a_n = 3n-1 ist korrekt?

Accepted Answer

Die Summe der ersten n Glieder ist (3n²-n)/2

Answer

Der Grenzwert der Reihe ist 1

Answer

Die Reihe ist divergent

Answer

Die Reihe konvergiert gegen 3

Question 31

Welche der folgenden Reihen ist eine Taylor-Reihe für f(x) = e^x um x = 0?

Accepted Answer

∑_n=0^∞ xⁿ/n!

Answer

∑_n=1^∞ 1/n

Answer

∑_n=1^∞ n²

Answer

∑_n=1^∞ (-1)ⁿ/n

Question 32

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

∑(n=1 bis ∞) (1/2)^(n-1)

Answer

∑(n=1 bis ∞) n^2

Answer

∑(n=1 bis ∞) e^(-n)

Answer

∑(n=1 bis ∞) sin(n)

Question 33

Welche der folgenden Kriterien kann nicht verwendet werden, um die Konvergenz einer Reihe zu bestimmen?

Accepted Answer

Vergleichsreihenkriterium mit einer Reihe, deren Konvergenz unbekannt ist

Answer

Quotientenkriterium

Answer

Wurzeltest

Answer

Vergleichsreihenkriterium mit einer konvergenten Reihe

Question 34

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

∑(n=1 bis ∞) (-1)^n / (2n+1)

Answer

∑(n=1 bis ∞) e^(-n)

Answer

∑(n=1 bis ∞) n

Answer

∑(n=1 bis ∞) 1 / n

Question 35

Bestimmen Sie, ob die Reihe ∑(n=1 bis ∞) (arctan(n)) konvergiert oder divergiert.

Accepted Answer

Divergiert nach dem Integralkriterium.

Answer

Nicht definiert

Answer

Konvergiert

Answer

Alternierend

Question 36

Welche der folgenden Reihen ist konvergent?

Accepted Answer

∑_(n=1)^∞ (1/n^2)

Answer

∑_(n=1)^∞ (-1)^n

Answer

∑_(n=1)^∞ (1/n)

Answer

∑_(n=1)^∞ n

Question 37

Die geometrische Reihe ∑_(n=0)^∞ (1/2)^n konvergiert gegen welchen Wert?

Accepted Answer

2

Answer

1/2

Answer

∞

Answer

0

Question 38

Die Reihe ∑_(n=1)^∞ (1/n^2) ist ein Beispiel für eine:

Accepted Answer

p-Reihe

Answer

Harmonische Reihe

Answer

Alternierende Reihe

Answer

Teleskopreihe

Question 39

Welche der folgenden Ausdrücke stellt die Taylor-Reihe der Funktion f(x) = e^x um den Punkt x = 0 dar?

Accepted Answer

∑_(n=0)^∞ (x^n/n!)

Answer

∑_(n=0)^∞ (1/n!x^n)

Answer

∑_(n=0)^∞ (n!x^n)

Answer

∑_(n=0)^∞ (x^n)

Question 40

Welcher Test kann verwendet werden, um die Konvergenz der Reihe ∑_(n=1)^∞ (1/n^2) zu bestimmen?

Accepted Answer

Integraltest

Answer

Wurzeltest

Answer

Leibniz-Kriterium

Answer

Verhältnistest

Question 41

Welche der folgenden Reihen ist divergent?

Accepted Answer

∑_(n=1)^∞ n

Answer

∑_(n=1)^∞ (-1)^n/n

Answer

∑_(n=1)^∞ (1/n^2)

Answer

∑_(n=1)^∞ (1/2)^n

Question 42

Die Reihe ∑_(n=1)^∞ (-1)^n/n ist:

Accepted Answer

konvergent, aber nicht absolut konvergent

Answer

divergent

Answer

absolut konvergent

Answer

konvergent und absolut konvergent

Question 43

Welche der folgenden Ausdrücke stellt die Taylor-Reihe der Funktion f(x) = sin(x) um den Punkt x = 0 dar?

Accepted Answer

∑_(n=0)^∞ ((-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)!)

Answer

∑_(n=0)^∞ (x^(2n+1)/(2n+1)!)

Answer

∑_(n=0)^∞ (x^(2n)/(2n)!)

Answer

∑_(n=0)^∞ ((-1)^n*x^(2n)/(2n)!)

Question 44

Die Reihe ∑_(n=1)^∞ (1/n) ist bekannt als die:

Accepted Answer

Harmonische Reihe

Answer

p-Reihe

Answer

Teleskopreihe

Answer

Geometrische Reihe

Question 45

Welche der folgenden Reihen konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium?

Accepted Answer

∑_(n=1)^∞ (-1)^n/n

Answer

∑_(n=1)^∞ (1/n^2)

Answer

∑_(n=1)^∞ (1/n)

Answer

∑_(n=1)^∞ n

Question 46

Welche der folgenden Definitionen beschreibt eine Reihe am besten?

Accepted Answer

Eine Summe der Glieder einer Folge.

Answer

Eine Funktion, die sich unendlich erstreckt.

Answer

Eine unendliche Summe von Zahlen.

Answer

Ein Grenzwert des Verhältnisses zweier aufeinanderfolgender Glieder.

Question 47

Welches Konvergenzkriterium besagt, dass eine Reihe konvergiert, wenn die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Partialsummen gegen null strebt?

Accepted Answer

Cauchy-Kriterium

Answer

Vergleichskriterium

Answer

Wurzelkriterium

Answer

Quotientenkriterium

Question 48

Welche der folgenden Reihen divergiert nach dem Divergenzkriterium?

Accepted Answer

Σ (n=1 bis ∞) n

Answer

Σ (n=1 bis ∞) 1/n²

Answer

Σ (n=1 bis ∞) (-1)^n / n

Answer

Σ (n=1 bis ∞) 1/n

Question 49

Welche der folgenden Reihen konvergiert absolut?

Accepted Answer

Σ (n=1 bis ∞) (-1)^n / n²

Answer

Σ (n=1 bis ∞) n

Answer

Σ (n=1 bis ∞) (-1)^n n

Answer

Σ (n=1 bis ∞) 1/n

Question 50

Welche der folgenden Anwendungen von Reihen ist korrekt?

Accepted Answer

Mittels Taylor-Reihen können Funktionen lokal approximiert werden.

Answer

Laplace-Reihen werden verwendet, um partielle Differentialgleichungen zu lösen.

Answer

Fourier-Reihen werden verwendet, um Funktionen global zu approximieren.

Question 51

Welche der folgenden Aussagen über Taylor-Reihen ist falsch?

Accepted Answer

Taylor-Reihen konvergieren immer gleichmäßig auf ihrem Konvergenzintervall.

Answer

Taylor-Reihen können verwendet werden, um Ableitungen einer Funktion zu berechnen.

Answer

Taylor-Reihen sind Polynome.

Question 52

Welches der folgenden Integrale kann mit Hilfe einer Reihe berechnet werden?

Accepted Answer

∫ (0 bis 1) sin(x) dx

Answer

∫ (0 bis 1) e^(-x²) dx

Answer

∫ (0 bis 1) x³ dx

Answer

∫ (0 bis 1) 1 / (1 + x²) dx

Question 53

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

Σ (n=1 bis ∞) (2/3)^n

Answer

Σ (n=1 bis ∞) (-1)^n

Answer

Σ (n=1 bis ∞) 1 / n²

Answer

Σ (n=1 bis ∞) n

Question 54

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

Σ (n=1 bis ∞) (-1)^n / n³

Answer

Σ (n=1 bis ∞) 1 / n²

Answer

Σ (n=1 bis ∞) (1/2)^n

Answer

Σ (n=1 bis ∞) n

Question 55

Welche der folgenden Aussagen über Potenzreihen ist richtig?

Accepted Answer

Potenzreihen sind Reihen, deren Glieder Potenzen einer unabhängigen Variablen sind.

Answer

Potenzreihen konvergieren immer für alle Werte der unabhängigen Variablen.

Answer

Potenzreihen können zur Definition von Funktionen verwendet werden.

Question 56

Welche der folgenden Reihen konvergiert?

Accepted Answer

∑_(n=1)^∞ (1/n^2)

Answer

∑_(n=1)^∞ (-1)^n

Answer

∑_(n=1)^∞ (n)

Answer

∑_(n=1)^∞ (1/n)

Question 57

Welche Aussage zur harmonischen Reihe ∑_(n=1)^∞ (1/n) ist korrekt?

Accepted Answer

Die harmonische Reihe divergiert.

Answer

Die harmonische Reihe konvergiert gegen 1.

Answer

Die harmonische Reihe ist eine geometrische Reihe.

Answer

Die harmonische Reihe konvergiert gegen 0.

Question 58

Wie lautet die Taylor-Reihe der Funktion f(x) = e^x um den Punkt x = 0?

Accepted Answer

∑_(n=0)^∞ (x^n/n!)

Answer

∑_(n=0)^∞ (x^(n+1)/(n+1)!)

Answer

∑_(n=0)^∞ (x^n)

Answer

∑_(n=0)^∞ (n!x^n)

Question 59

Welche der folgenden Reihen stellt die Sinusfunktion dar?

Accepted Answer

∑_(n=0)^∞ ((-1)^n * x^(2n+1)/(2n+1)!)

Answer

∑_(n=0)^∞ (x^(2n)/(2n)!)

Answer

∑_(n=0)^∞ (x^(2n+1)/(2n+1)!)

Answer

∑_(n=0)^∞ ((-1)^n * x^(2n)/(2n)!)

Question 60

Die Reihe ∑_(n=1)^∞ (1/n^3) konvergiert. Welches Kriterium beweist das?

Accepted Answer

Integraltest

Answer

Wurzelkriterium

Answer

Leibniz-Kriterium

Answer

Quotientenkriterium

Question 61

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

∑_(n=1)^∞ (-1)^n/n

Answer

∑_(n=1)^∞ (n)

Answer

∑_(n=1)^∞ (1/2)^n

Answer

∑_(n=1)^∞ (1/n^2)

Question 62

Welche der folgenden Reihen konvergiert unbedingt?

Accepted Answer

∑_(n=1)^∞ (1/n^2)

Answer

∑_(n=1)^∞ (n)

Answer

∑_(n=1)^∞ (-1)^n/n

Answer

∑_(n=1)^∞ (1/n)

Question 63

Welche der folgenden Aussagen ist richtig für eine geometrische Reihe mit dem ersten Glied a und dem Quotienten q?

Accepted Answer

∑[n=1 bis ∞](a⋅q^(n−1))

Answer

∏[n=1 bis ∞](a⋅q^(n−1))

Answer

∑[n=1 bis ∞](a+q^(n−1))

Answer

∫[n=1 bis ∞](a⋅q^(n−1)) dx

Question 64

Bestimmen Sie das Konvergenzverhalten der Reihe ∑[n=1 bis ∞](1/n²).

Accepted Answer

Konvergent

Answer

Unbestimmt

Answer

Divergent

Answer

Oszillatorisch