Trigonometrie lernen: Winkelberechnung im Einheitskreis verstehen

Question 1

Welche der folgenden Aussagen trifft auf die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens zu?

Accepted Answer

Tangens ist das Verhältnis von Sinus zu Kosinus.

Accepted Answer

Die trigonometrischen Funktionen wiederholen sich alle 2π.

Answer

Sinus und Kosinus haben immer den gleichen Wert.

Answer

Sinus und Kosinus sind gerade Funktionen.

Question 2

In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt der Kosinus eines Winkels 0,8. Wie groß ist der Sinus des dazugehörigen Komplementärwinkels?

Accepted Answer

0,6

Answer

0,3

Answer

0,8

Answer

1,2

Question 3

Was ist die korrekte Definition des Sinus eines Winkels α?

Accepted Answer

Gegenüberliegende Seite / Hypotenuse

Answer

Gradmaß von α

Answer

Hypotenuse / Anliegende Seite

Answer

Sinus ist immer größer als 1

Question 4

Welcher Aussage über den Kosinus eines Winkels im Intervall [-π/2, π/2] stimmst du zu?

Accepted Answer

Der Kosinus ist immer positiv.

Answer

Der Kosinus ist immer negativ.

Answer

Der Kosinus ist immer größer als 1.

Answer

Der Kosinus ist immer kleiner als -1.

Question 5

Welche Gleichung beschreibt den Einheitskreis?

Accepted Answer

x² + y² = 1

Answer

x² - y² = 1

Answer

y² - x² = 1

Answer

x² + y² = 2

Question 6

Welche der folgenden Aussagen trifft auf die Sinusfunktion zu?

Accepted Answer

Sie ist eine ungerade Funktion mit Werten zwischen -1 und 1.

Answer

Sie ist eine gerade Funktion mit Werten zwischen -1 und 1.

Answer

Sie ist eine ungerade Funktion mit Werten zwischen 0 und 1.

Answer

Sie ist eine gerade Funktion mit Werten zwischen 0 und π.

Question 7

Berechne den Kosinus des spitzen Winkels α gegenüber der Seite a in einem rechtwinkligen Dreieck mit a = 5 cm und c = 13 cm. Gib das Ergebnis auf drei Dezimalstellen gerundet an.

Accepted Answer

0,385

Answer

0,6

Answer

1

Question 8

Welcher Ausdruck ist gleichwertig zu sin(α) * cos(α)?

Accepted Answer

1/2 * sin(2α)

Answer

sin²(α) - cos²(α)

Answer

cos(α/2) + sin(α/2)

Answer

tan(α) - cot(α)

Question 9

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Kosinus eines Winkels α gleich 0,6. Wie groß ist der Kehrwert des Sekans dieses Winkels?

Accepted Answer

1 / 0,6

Answer

0,6

Answer

0,6 / 1

Question 10

Was ist der Sinus von 45 Grad?

Accepted Answer

1/2

Answer

0

Answer

1/4

Answer

1

Question 11

Welche Symmetrieeigenschaften haben die Sinus- und Kosinusfunktionen?

Accepted Answer

Sinus ungerade, Kosinus gerade

Answer

Sinus gerade, Kosinus ungerade

Answer

Beide ungerade

Answer

Beide gerade

Question 12

Beschreibe die besondere Rolle des Tangens in der Trigonometrie und erläutere, wie er sich in seiner geometrischen Bedeutung von Sinus und Kosinus unterscheidet.

Accepted Answer

Der Tangens ist das Verhältnis der Länge der Gegenkathete zur Länge der Ankathete.

Answer

Der Tangens ist das Verhältnis der Länge der Hypotenuse zur Länge der Gegenkathete.

Answer

Der Tangens ist das Verhältnis der Länge der Ankathete zur Länge der Gegenkathete.

Question 13

In welchen Bereichen spielt der Einheitskreis eine wichtige Rolle?

Accepted Answer

Navigation und Vermessung

Accepted Answer

Architektur und Bauwesen

Accepted Answer

Maschinenbau und Ingenieurwesen

Accepted Answer

Astronomie und Weltraumforschung

Question 14

Welche Maßeinheit wird für die Winkelmessung im Bogenmaß verwendet?

Accepted Answer

Radiant

Answer

Grad

Answer

Bogenmaß

Answer

Dezimalgrad

Question 15

Welcher Punkt auf dem Einheitskreis hat die Koordinaten (0, 1)?

Accepted Answer

(0, 1)

Answer

(1, 0)

Answer

(0, -1)

Answer

(-1, 0)

Question 16

Was ist der Tangens des Winkels π/4?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

√2

Question 17

Wofür steht die Abkürzung "arcsin"?

Accepted Answer

Arkussinus

Answer

Arkuskosinus

Answer

Arcustangens

Answer

Arcuscotangens

Question 18

Welche Aussage über den Sinus ist korrekt?

Accepted Answer

Er ist immer positiv im ersten Quadranten

Answer

Er ist immer positiv im zweiten Quadranten

Answer

Er ist immer negativ im zweiten Quadranten

Answer

Er ist immer negativ im vierten Quadranten

Question 19

In welchem Quadranten liegt ein Winkel mit positivem Kosinus und negativem Sinus?

Accepted Answer

III

Answer

I

Answer

II

Answer

IV

Question 20

Welche Anwendung der Trigonometrie ist nicht zutreffend?

Accepted Answer

Vorhersage von Wetterbedingungen

Answer

Berechnung der Höhe von Gebäuden

Answer

Navigation in der Schifffahrt

Answer

Konstruktion von Brücken

Question 21

Was ist die Bedeutung des Bogenmaßes und wie kannst du Winkel vom Gradmaß in das Bogenmaß und umgekehrt umrechnen?

Accepted Answer

Das Bogenmaß misst die Länge des Kreisbogens, der dem Winkel entspricht.

Answer

Das Bogenmaß misst die Fläche des Kreissektors, der dem Winkel entspricht.

Answer

Das Bogenmaß ist dasselbe wie das Gradmaß.

Answer

Das Bogenmaß ist ein Bruchteil einer Bogenminute.

Question 22

Wie trug die Trigonometrie zur Entwicklung der Seefahrt bei?

Accepted Answer

Ermöglichte die Bestimmung von Breiten- und Längengraden

Answer

Unterstützte die Konstruktion von Schiffen

Answer

Half bei der Wettervorhersage

Question 23

Wie lautet die Herleitung der Sinusfunktion mithilfe des Einheitskreises?

Accepted Answer

Die Sinusfunktion ist die y-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.

Answer

Die Sinusfunktion ist die x-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.

Answer

Die Sinusfunktion ist die Länge des Radius des Einheitskreises.

Answer

Die Sinusfunktion ist der Quotient aus Gegenkathete und Hypotenuse.

Question 24

Welchen Beitrag leistete Euklid zur Trigonometrie?

Accepted Answer

Euklid definierte in seinem Werk "Elemente" die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens.

Answer

Euklid entwickelte die Trigonometrie im 3. Jahrhundert v. Chr., um Entfernungen zu Sternen zu berechnen.

Answer

Euklid nutzte die Trigonometrie im antiken Griechenland ausschließlich für astronomische Zwecke.

Question 25

Im Bogenmaß wird die Einheit **Radiant** verwendet. Welches Symbol hat sie?

Accepted Answer

rad

Answer

Grad

Answer

Bogenminute

Answer

Pi

Question 26

Wie lautet die Periode der Sinusfunktion?

Accepted Answer

2π

Answer

π

Answer

4π

Answer

8π

Question 27

Welche Koordinaten hat der Punkt auf dem Einheitskreis, der dem Winkel π/3 entspricht?

Accepted Answer

(0,87; 0,5)

Answer

(0,5; 1)

Answer

(0,5; -1)

Answer

(0,87; -0,5)

Question 28

Wie groß ist der Wert von sin(π/4) + cos(π/4)?

Accepted Answer

√2

Answer

0

Answer

1

Answer

2

Question 29

Welche Aussage über den Kosinus ist korrekt?

Accepted Answer

Er kann positive und negative Werte annehmen.

Answer

Er ist immer positiv.

Answer

Er ist immer negativ.

Answer

Er ist nur im ersten Quadranten positiv.

Question 30

Beweise die trigonometrische Identität sin² α + cos² α = 1 mit Hilfe der Definitionen von Sinus und Kosinus.

Accepted Answer

Verwende die Definitionen von Sinus und Kosinus in einem rechtwinkligen Dreieck, um sin² α und cos² α auszudrücken und die Identität herzuleiten.

Answer

Wende den Satz des Pythagoras an, um sin² α + cos² α zu bestimmen.

Answer

Nutze die Identität tan² α + 1 = sec² α, um sin² α + cos² α abzuleiten.

Answer

Die Identität ist eine Folge der Definition des Einheitskreises.

Question 31

Wie ermittelst du den Kosinus eines Winkels α mit Hilfe des Einheitskreises?

Accepted Answer

Bestimme den Punkt auf dem Einheitskreis, der dem Winkel α entspricht.

Answer

Teile den Winkel α durch 360 Grad.

Answer

Berechne den Sinus von α und quadriere ihn.

Answer

Der Kosinus von α ist immer 1.

Question 32

Welche Aussage beschreibt am besten, wofür trigonometrische Formeln wichtig sind?

Accepted Answer

Berechnung von Winkeln in komplexen geometrischen Figuren

Answer

Eingeschränkte Anwendung nur in der Astronomie

Answer

Keine praktische Bedeutung

Answer

Ersatz für Taschenrechner

Question 33

Welches der folgenden ist der Wert von sin(90°) im Bogenmaß?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

√2

Answer

-1

Question 34

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit welchem Radius?

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

π

Answer

2π

Question 35

Der Wert von sin(-α) ist:

Accepted Answer

-sin(α)

Answer

sin(α)

Answer

cos(α)

Answer

-cos(α)

Question 36

Welche der folgenden ist die Gleichung des Einheitskreises?

Accepted Answer

x² + y² = 1

Answer

x² + y² = 0

Answer

x² - y² = 1

Answer

y² - x² = 1

Question 37

Welche der folgenden Aussagen über den Sinus und den Kosinus ist richtig?

Accepted Answer

Sie sind ungleich

Answer

Sie sind immer positiv

Answer

Sie sind immer negativ

Answer

Sie sind gleich

Question 38

Welche trigonometrischen Funktionen werden zur Modellierung periodischer Phänomene wie Schwingungen, Wellen und Schall eingesetzt?

Accepted Answer

Sinus- und Kosinusfunktionen

Answer

Alle trigonometrischen Funktionen

Answer

Nur Sinusfunktionen

Answer

Trigonometrische Funktionen werden nicht zur Modellierung periodischer Phänomene verwendet

Question 39

Welche Aussage über die Trigonometrie ist falsch?

Accepted Answer

Die Trigonometrie findet nur in der Mathematik Anwendung.

Answer

Die Trigonometrie beschäftigt sich mit Winkeln und ihren Verhältnissen.

Answer

Trigonometrische Funktionen beschreiben das Verhältnis zwischen Seiten und Winkeln in Dreiecken.

Answer

Der Einheitskreis spielt eine wichtige Rolle in der Trigonometrie.

Question 40

Was beschreibt die Amplitude einer trigonometrischen Funktion?

Accepted Answer

Den Abstand zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt der Funktion

Answer

Die Länge einer Periode der Funktion

Answer

Den Winkel, für den die Funktion berechnet wird

Answer

Die Steigung der Funktion

Question 41

Welche Gleichung beschreibt die Definition des Einheitskreises?

Accepted Answer

x² + y² = 1

Answer

y = x

Answer

x² - y² = 1

Answer

x + y = 1

Question 42

Welche trigonometrische Funktion entspricht dem Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse?

Accepted Answer

Sinus

Answer

Kosinus

Answer

Tangens

Answer

Kotangens

Question 43

Welche Maßeinheit wird im Bogenmaß verwendet?

Accepted Answer

Radiant (rad)

Answer

Grad (°)

Answer

Minute (min)

Question 44

Berechne den Sinus von 30°. Gib deine Antwort in exakt der Form [Zahl]/[Zahl] an.

Accepted Answer

1/2

Answer

π/6

Answer

√3/2

Answer

1

Question 45

Berechne den Winkel, dessen Kosinus 0,707 ist.

Accepted Answer

45°

Answer

90°

Answer

60°

Answer

30°

Question 46

Welcher der folgenden Graphen stellt die Funktion f(x) = sin(x) dar?

Accepted Answer

Ein Graph mit einer Sinuskurve

Answer

Ein Graph mit einer Tangenskurve

Answer

Ein Graph mit einer Parabel

Answer

Ein Graph mit einer Kosinuskurve

Question 47

Der Winkel 60° entspricht im Bogenmaß:

Accepted Answer

π/3

Answer

2π/3

Answer

3π/2

Answer

π/6

Question 48

Der Einheitskreis hat einen Radius von:

Accepted Answer

1

Answer

π

Answer

2

Answer

0

Question 49

Welcher Punkt auf dem Einheitskreis hat die Koordinaten (cos(π/4), sin(π/4))?

Accepted Answer

(√2/2, √2/2)

Answer

(-1, 0)

Answer

(0, 1)

Answer

(1, 0)

Question 50

Der Kosinus eines Winkels im dritten Quadranten ist:

Accepted Answer

negativ

Answer

unbestimmt

Answer

positiv

Answer

null

Question 51

Die Tangente eines Winkels von 90° ist:

Accepted Answer

unbestimmt

Answer

-1

Answer

0

Answer

1

Question 52

Berechne den Kosinus von 60 Grad:

Accepted Answer

1/2

Answer

-1

Answer

0

Answer

1

Question 53

Welcher Winkel im Bogenmaß entspricht 270 Grad?

Accepted Answer

3π/2

Answer

π/4

Answer

π/3

Answer

π/2

Question 54

Berechne den Tangens von 45 Grad:

Accepted Answer

1

Answer

0,5

Answer

-1

Answer

0

Question 55

Welcher Punkt auf dem Einheitskreis hat die Koordinaten (1, 0)?

Accepted Answer

0°

Answer

180°

Answer

270°

Answer

90°

Question 56

Löse die Gleichung: tan(x) = √3

Accepted Answer

π/3 + k·π

Answer

0 + k·π

Answer

π/4 + k·π

Answer

π/2 + k·π

Question 57

Welchem Bogenmaß entspricht der Winkel 45°?

Accepted Answer

π/4

Answer

π/3

Answer

π/6

Question 58

Was ist der Wert von sin(π/3)?

Accepted Answer

√3/2

Answer

√2/2

Answer

1/2

Answer

-1/2

Question 59

Wie groß ist die Periode der Sinusfunktion?

Accepted Answer

2π

Answer

π/2

Answer

4π

Answer

π

Question 60

Welche Beziehung besteht zwischen dem Sinus und dem Kosinus eines Winkels?

Accepted Answer

Der Sinus eines Winkels entspricht dem Kosinus des komplementären Winkels.

Answer

Der Sinus eines Winkels entspricht dem Kosinus des gleichen Winkels.

Answer

Der Sinus eines Winkels entspricht dem negativen Kosinus des gleichen Winkels.

Question 61

Welche Gleichung beschreibt den Einheitskreis?

Accepted Answer

x² + y² = 1

Answer

x + y = 1

Answer

x² - y² = 1

Answer

x² + y = 1

Question 62

Welchen Wert hat tan(π/2)?

Accepted Answer

undefiniert

Answer

1

Answer

0

Question 63

Welchem Bogenmaß entspricht der Winkel 60°?

Accepted Answer

π/3

Answer

π/4

Answer

π/2

Question 64

Wie groß ist der Sinus von 30°?

Accepted Answer

1/2

Answer

0

Answer

1

Answer

√3/2