Grenzwerte und Stetigkeit: Online-Quiz für Klasse 10 Gesamtschule

Question 1

Besitzt die Funktion f(x) = 1/(x-2) eine Polstelle bei x=2?

Accepted Answer

Ja, denn der Nenner wird bei x=2 zu Null.

Answer

Nein, denn die Funktion ist bei x=2 definiert.

Answer

Nein, denn die Funktion hat bei x=2 keinen Sprung.

Answer

Nein, denn die Funktion ist im gesamten Definitionsbereich stetig.

Question 2

Welche Aussage beschreibt die Stetigkeit einer Funktion f(x) an der Stelle x0?

Accepted Answer

f(x0) existiert und der Grenzwert von f(x) für x gegen x0 existiert und ist gleich f(x0).

Answer

f(x0) existiert und ist gleich dem Grenzwert von f'(x) für x gegen x0.

Answer

f(x0) existiert, aber der Grenzwert von f(x) für x gegen x0 existiert nicht.

Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen x0 existiert, aber f(x0) existiert nicht.

Question 3

Was ist der Grenzwert einer Funktion an einer Stelle x? Erläutere den Begriff anhand eines Beispiels.

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion f(x) an der Stelle x = a ist der Wert, dem sich f(x) beliebig annähert, wenn sich x immer weiter der Stelle a nähert.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion f(x) an der Stelle x = a ist der Wert, den f(x) an der Stelle x = a annimmt.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion f(x) an der Stelle x = a ist der Wert, den f(x) annimmt, wenn x unendlich groß wird.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion f(x) an der Stelle x = a ist immer eine ganze Zahl.

Question 4

Was ist die Definition des Grenzwerts einer Funktion **f(x)** an der Stelle **a**?

Accepted Answer

Der Grenzwert von **f(x)** an der Stelle **a** ist der Wert, dem sich **f(x)** beliebig nahe annähert, wenn sich **x** beliebig nahe an **a** annähert.

Answer

Der Grenzwert von **f(x)** an der Stelle **a** ist der Wert von **f(a)**.

Answer

Der Grenzwert von **f(x)** an der Stelle **a** existiert nur, wenn **f(x)** an der Stelle **a** definiert ist.

Question 5

Was passiert mit der Exponentialfunktion f(x) = 2^x, wenn x gegen unendlich geht?

Accepted Answer

Die Funktion wird unendlich groß.

Answer

Die Funktion nähert sich dem Wert 0.

Answer

Die Funktion nähert sich dem Wert 1.

Answer

Die Funktion hat keinen Grenzwert.

Question 6

Begründe, warum das Squeeze-Theorem nicht angewendet werden kann, um den Grenzwert von f(x) = sin(x) + cos(x) für x gegen unendlich zu berechnen.

Accepted Answer

Das Squeeze-Theorem gilt nur für Funktionen, die zwischen zwei anderen Funktionen liegen, die gegen denselben Grenzwert streben.

Answer

Das Squeeze-Theorem gilt nur für stetige Funktionen.

Answer

Das Squeeze-Theorem gilt nur für Funktionen mit endlichem Grenzwert.

Question 7

Welche Aussage definiert den Grenzwert einer Funktion f(x) an der Stelle x = a formal korrekt?

Accepted Answer

Für jedes positive ε > 0 gibt es ein positives δ > 0, sodass |x - a| < δ stets |f(x) - L| < ε impliziert.

Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a ist f(a).

Answer

Wenn f(x) an x = a stetig ist, existiert der Grenzwert von f(x) für x gegen a.

Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a ist der Wert, dem sich f(x) beliebig annähert, wenn sich x beliebig an a annähert.

Question 8

Welche Aussage zur Stetigkeit von Funktionen ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Eine stetige Funktion muss differenzierbar sein.

Answer

Eine Funktion ist an einer Stelle stetig, wenn der Grenzwert der Funktion an dieser Stelle gleich dem Funktionswert an dieser Stelle ist.

Answer

Eine Funktion ist in einem Intervall stetig, wenn sie an jeder Stelle in diesem Intervall stetig ist.

Answer

Eine differenzierbare Funktion ist stetig.

Question 9

Welche Werte von x machen die Wurzelfunktion f(x) = √(x - 2) definiert?

Accepted Answer

x ≥ 2

Answer

x > 0

Answer

x ≤ 2

Answer

x ∈ R

Question 10

Welche Aussage beschreibt, wann eine Funktion f(x) an der Stelle x = a stetig ist?

Accepted Answer

f(a) ist definiert und der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert und ist gleich f(a).

Answer

f(a) ist definiert, aber der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert nicht.

Answer

f(a) ist nicht definiert, aber der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert.

Question 11

Welcher Grenzwertsatz eignet sich am besten, um den Grenzwert von f(x) = sin(x) / x für x gegen 0 zu bestimmen?

Accepted Answer

Grenzwertsatz für Quotienten

Answer

Satz von l'Hospital

Answer

Satz von Squeeze

Answer

Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

Question 12

Welche Aussage über eine Funktion f(x) mit Grenzwert an der Stelle x=a ist **falsch**?

Accepted Answer

Der Graph von f(x) hat an der Stelle x=a einen vertikalen Asymptoten.

Answer

f(x) ist an der Stelle x=a stetig.

Answer

f(x) kann an der Stelle x=a nicht differenzierbar sein.

Question 13

Berechne den Grenzwert der Betragsfunktion f(x) = |x| für x, das gegen 0 geht.

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Question 14

Was ist die Definition des Grenzwerts einer Funktion f(x)?

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a ist der Wert, dem sich die Funktionswerte von f(x) annähern, wenn x sich dem Wert a nähert.

Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a ist der Funktionswert von f(x) an der Stelle x = a.

Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a ist der Wert, den die Funktion f(x) für x = a annimmt.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion existiert immer.

Question 15

Berechne den Grenzwert der Folge ( a_n = (n² + 3n - 5) / (n² - 4) ) für ( n ) gegen unendlich.

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

unendlich

Answer

-1

Question 16

Welche der folgenden Funktionen ist nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = e^x

Question 17

Beweise anhand der Epsilon-Delta-Definition die Stetigkeit der Funktion (f(x) = rac{x^2 - 4}{x-2}) für (x) gegen (2).

Accepted Answer

Die Funktion ist stetig, da für jedes (epsilon>0) ein (delta>0) existiert, sodass für alle (x) mit (|x-2| < delta) gilt: (|f(x) - f(2)| < varepsilon).

Answer

Die Funktion ist stetig, da sie an der Stelle (x=2) definiert ist.

Answer

Die Funktion ist stetig, da ihr Grenzwert für (x) gegen (2) existiert.

Answer

Die Funktion ist stetig, da sie in (x=2) differenzierbar ist.

Question 18

Die Funktion f(x) ist definiert als f(x) = 1/x für x ungleich 0 und f(0) = 0. Bestimme, ob f(x) an der Stelle x = 0 stetig ist.

Accepted Answer

f(x) hat an der Stelle x = 0 eine hebbare Unstetigkeit.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = 0 stetig, da der Grenzwert von f(x) für x gegen 0 existiert.

Question 19

Frage:

Überprüfe, ob die Funktion $$f(x) = rac{x² - 1}{x + 1}$$ an der Stelle $$x = -1$$ stetig ist. Begründe deine Antwort anhand der Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit.

Accepted Answer

(A) **Ja, f(x) ist an der Stelle x = -1 stetig.**

Answer

(B) Nein, f(x) ist an der Stelle x = -1 unstetig.

Answer

(C) Die Stetigkeit von f(x) an der Stelle x = -1 kann anhand der Epsilon-Delta-Definition nicht bestimmt werden.

Answer

(D) f(x) ist an der Stelle x = -1 nur dann stetig, wenn f(-1) = 0 ist.

Question 20

Ist die Funktion f(x) = 1/x an der Stelle x = 0 stetig?

Accepted Answer

Nein, denn der Grenzwert an x = 0 existiert nicht.

Answer

Ja, denn der Grenzwert an x = 0 existiert und stimmt mit dem Funktionswert überein.

Answer

Nein, denn der Grenzwert an x = 0 stimmt nicht mit dem Funktionswert überein.

Answer

Nein, denn es handelt sich um eine rationale Funktion.

Question 21

Was ist ein Grenzwert einer Funktion?

Accepted Answer

Der Wert, dem sich der Funktionswert nähert, wenn sich der Definitionsbereich der Funktion einem bestimmten Wert nähert.

Answer

Der Wert, den die Funktion annimmt, wenn der Definitionsbereich der Funktion unendlich wird.

Answer

Der Wert, an dem die Funktion nicht stetig ist.

Question 22

Wenn wir sagen, eine Funktion f(x) hat an der Stelle x = a einen Grenzwert, was bedeutet das?

Accepted Answer

Der Grenzwert beschreibt, welchem Wert sich die Funktionswerte nähern, wenn x sich a annähert.

Answer

Der Funktionswert an der Stelle x = a ist der Grenzwert.

Answer

Nur wenn die Funktion an der Stelle x = a stetig ist, existiert ein Grenzwert.

Answer

Der Grenzwert ist der Wert, den die Funktion annimmt, wenn x unendlich groß wird.

Question 23

Die Funktion f(x) ist definiert als f(x) = { x² + 1 für x ≤ 0, x - 1 für x > 0 }. Ist f(x) an der Stelle x = 0 differenzierbar?

Accepted Answer

Nein, f(x) ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar.

Answer

Ja, f(x) ist an der Stelle x = 0 differenzierbar.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = 0 nur linksseitig differenzierbar.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = 0 nur rechtsseitig differenzierbar.

Question 24

Wie kann man beweisen, dass die Funktion h(x) = f(x) * g(x) an der Stelle x = a gleichmäßig stetig ist, wenn f(x) und g(x) an der Stelle x = a gleichmäßig stetig sind?

Accepted Answer

Verwende die Epsilon-Delta-Definition der gleichmäßigen Stetigkeit.

Answer

Verwende die Grenzwertsätze für Folgen.

Answer

Verwende den Mittelwertsatz.

Answer

Verwende die Stetigkeitsdefinition für trigonometrische Funktionen.

Question 25

Berechne den Grenzwert der Betragsfunktion f(x) = |x - 3| für x, das sich -3 nähert.

Accepted Answer

0

Answer

3

Answer

-3

Answer

Unendlich

Question 26

Bestimme den Grenzwert von f(x) = x²+1 für x gegen unendlich.

Accepted Answer

unendlich

Answer

0

Answer

1

Answer

existiert nicht

Question 27

Welche Aussage über die Funktion f(x) = sin(x) ist richtig?

Accepted Answer

Die Funktion ist an allen Stellen stetig.

Answer

Die Funktion ist nur an rationalen Zahlen stetig.

Answer

Die Funktion ist nur an irrationalen Zahlen stetig.

Answer

Die Funktion ist nirgends stetig.

Question 28

Welche Funktion hat keinen Grenzwert für x gegen 0?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = √x

Question 29

Welche Funktion ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = √x

Question 30

Wie lautet die Ableitung der Funktion f(x) = sin(x)?

Accepted Answer

cos(x)

Answer

-sin(x)

Answer

tan(x)

Answer

nicht differenzierbar

Question 31

Welche Aussage über f(x) = x³-3x+2 ist richtig?

Accepted Answer

Lokales Minimum an der Stelle x = 1.

Answer

Lokales Maximum an der Stelle x = -1.

Answer

Wendepunkt an der Stelle x = 0.

Answer

Keine Extrempunkte

Question 32

Welche der folgenden Aussagen zur Stetigkeit einer Funktion ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Funktion ist stetig, wenn ihr Grenzwert an der Stelle x₀ gleich f(x₀) ist.

Answer

Eine Funktion ist an einer Stelle unstetig, wenn ihr Grenzwert an dieser Stelle existiert.

Answer

Eine Funktion ist stetig, wenn ihr Graph keinen Sprung hat.

Question 33

Welcher der folgenden Graphen stellt eine Funktion dar, die an x = 0 unstetig der 2. Art ist?

Accepted Answer

// Bild einer Funktion mit unendlich hohem Punkt an x = 0

Answer

// Bild einer Funktion mit einem Loch an x = 0

Answer

// Bild einer stetigen Funktion

Question 34

Bestimme die Art der Unstetigkeit der Funktion f(x) = 1 / x² an der Stelle x = 0.

Accepted Answer

Unstetig der 2. Art

Answer

Unstetig der 1. Art

Answer

Nicht vorhanden

Question 35

Welche der folgenden Aussagen ist äquivalent zur Aussage "Die Funktion f(x) ist stetig an der Stelle x₀"?

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) für x, die gegen x₀ gehen, ist gleich f(x₀).

Answer

Der Graph von f(x) hat an der Stelle x₀ einen Sprung.

Answer

Die Funktion f(x) ist an der Stelle x₀ differenzierbar.

Question 36

Für welchen Wert von x hat die durch f(x) = (x - 1)² definierte Funktion eine waagerechte Tangente?

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = 0

Answer

x = 2

Answer

Die Funktion hat keine waagerechte Tangente.

Question 37

Welche der folgenden Funktionen ist eine rationale Funktion?

Accepted Answer

f(x) = (x - 1) / (x + 1)

Answer

f(x) = x² + 2x - 1

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 38

Welche Aussage zur Funktion f(x) = |x - 2| trifft zu?

Accepted Answer

Sie ist nicht stetig in x = 2.

Answer

Sie ist stetig in x = 2.

Answer

Sie besitzt in x = 2 eine vertikale Asymptote.

Answer

Sie besitzt in x = 2 keine Extrempunkte.

Question 39

Welche Aussage über die Funktion f(x) = √(x) ist falsch?

Accepted Answer

Sie hat in x = 0 eine horizontale Tangente.

Answer

Sie ist für alle x ≥ 0 stetig.

Answer

Sie ist für alle x ≠ 0 differenzierbar.

Answer

Ihr Grenzwert für x gegen 0 existiert.

Question 40

Berechne den einseitigen Grenzwert von f(x) = (x³ - 8) / (x - 2) für x gegen 2 von links.

Accepted Answer

-12

Answer

0

Answer

12

Question 41

Bestimme die Stelle der Unstetigkeit der Funktion f(x) = 1 / (x - 3).

Accepted Answer

x = 3

Answer

x = 0

Answer

x = 1

Question 42

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = -1 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x + 1|

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = sin(x)

Question 43

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 2 stetig?

Accepted Answer

f(x) = x² - 1

Answer

f(x) = |x - 2|

Answer

f(x) = 1/(x - 2)

Question 44

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = exp(x)

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x³

Question 45

Welche der folgenden Funktionen ist an keiner Stelle stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / √x

Answer

f(x) = tan(x)

Answer

f(x) = exp(x)

Answer

f(x) = |x - 2|

Question 46

Welche der folgenden Aussagen beschreibt den Grenzwert einer Funktion an einer Stelle x₀ korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert beschreibt, welchem Wert sich die Funktionswerte immer mehr annähern, wenn sich x der Stelle x₀ immer weiter nähert.

Answer

Der Grenzwert beschreibt, an welcher Stelle die Funktion unstetig ist.

Answer

Der Grenzwert ist immer gleich dem Funktionswert an der Stelle x₀.

Question 47

Welche der folgenden Bedingungen muss erfüllt sein, damit eine Funktion f(x) an der Stelle x₀ stetig ist?

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen x₀ existiert und ist gleich f(x₀).

Answer

Die Funktion f(x) darf an der Stelle x₀ keine Nullstelle haben.

Answer

Die Funktion f(x) muss an der Stelle x₀ differenzierbar sein.

Question 48

Bestimmen Sie die Unstetigkeitsstelle der Funktion f(x) = 1 / (x² - 1).

Accepted Answer

x = ±1

Answer

Die Funktion ist überall stetig.

Answer

x = 0

Question 49

Welche der folgenden Funktionen hat einen Grenzwert von 0 für x → ∞?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = x

Question 50

Eine Funktion f(x) ist an der Stelle x₀ stetig, wenn...

Accepted Answer

... der Funktionswert f(x₀) existiert, der Grenzwert von f(x) für x gegen x₀ existiert und beide Werte gleich sind.

Answer

... die Funktion f(x) an der Stelle x₀ differenzierbar ist.

Answer

... die Tangente an den Graphen von f(x) an der Stelle x₀ parallel zur y-Achse ist.

Question 51

Welche der folgenden Aussagen über die Stetigkeit einer Funktion f(x) ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Funktion f(x) kann an einer Stelle stetig und an einer anderen Stelle unstetig sein.

Answer

Eine Funktion f(x) ist entweder überall stetig oder überall unstetig.

Answer

Wenn eine Funktion f(x) an einer Stelle unstetig ist, dann ist sie auch an allen anderen Stellen unstetig.

Question 52

Welche der folgenden Aussagen über den Grenzwert von f(x) = x² - 1 für x gegen unendlich ist wahr?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich unendlich.

Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich 0.

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich -1.

Question 53

Welche der folgenden Aussagen über den Grenzwert von f(x) = sin(x) für x gegen π/2 ist wahr?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich 1.

Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich -1.

Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich 0.

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Question 54

Welche der folgenden Funktionen ist bei x = 0 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = x / |x|

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = cos(x)

Question 55

Welche der folgenden Aussagen über den Grenzwert von f(x) = ln(x) für x gegen 0 ist wahr?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich -unendlich.

Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich 0.

Question 56

Welche der folgenden Funktionen ist bei x = 0 stetig?

Accepted Answer

f(x) = (sin(x) / x)

Answer

f(x) = x / (sin(x) - 1)

Answer

f(x) = e^(1 / x)

Answer

f(x) = x² - |x|

Question 57

Welche Aussage über den Grenzwert einer Funktion ist wahr?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion an einer Stelle x beschreibt das Verhalten der Funktion in der Nähe dieser Stelle.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion an einer Stelle x ist immer gleich dem Funktionswert an dieser Stelle.

Question 58

Berechne den Grenzwert: lim_(x->2) (x^2 - 4) / (x - 2)

Accepted Answer

4

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

0

Answer

2

Question 59

Was ist eine Bedingung für die Stetigkeit einer Funktion f(x) an der Stelle x = a?

Accepted Answer

Der Grenzwert lim_(x->a) f(x) existiert und ist gleich f(a).

Answer

Die Funktion f(x) hat an der Stelle x = a eine waagerechte Tangente.

Answer

Die Funktion f(x) ist an der Stelle x = a definiert.

Question 60

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Question 61

Bestimme den Grenzwert: lim_(x->∞) (3x^2 + 2x) / (x^2 - 5)

Accepted Answer

3

Answer

-5/3

Answer

∞

Answer

0

Question 62

Die Funktion f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) hat an der Stelle x = 1:

Accepted Answer

Eine hebbare Unstetigkeitsstelle

Answer

Eine Polstelle

Answer

Eine Sprungstelle

Question 63

Was bedeutet es, wenn eine Funktion auf einem Intervall stetig ist?

Accepted Answer

Die Funktion kann auf dem Intervall ohne Absetzen des Stiftes gezeichnet werden.

Answer

Die Funktion ist auf dem Intervall differenzierbar.

Answer

Die Funktion hat auf dem Intervall keine Nullstellen.

Question 64

Welcher Satz hilft bei der Bestimmung von Grenzwerten von komplizierten Funktionen?

Accepted Answer

Der Satz vom Einschließungskriterium

Answer

Der Satz des Pythagoras

Answer

Der binomische Lehrsatz

Answer

Der Satz des Thales