Vektorräume: Online-Quizze für die 13. Klasse Fachoberschule

Question 1

Welche der folgenden Aussagen über Untervektorräume ist korrekt?

Accepted Answer

Ein Untervektorraum ist ein Teilmenge des ursprünglichen Vektorraums, die selbst ein Vektorraum ist.

Answer

Ein Untervektorraum ist ein Vektorraum mit einer anderen Dimension als der ursprüngliche Vektorraum.

Answer

Ein Untervektorraum ist ein Vektorraum mit derselben Basis wie der ursprüngliche Vektorraum.

Answer

Ein Untervektorraum ist ein Vektorraum mit einem anderen Skalarprodukt als der ursprüngliche Vektorraum.

Question 2

Welche der folgenden Aussagen über den Kern einer linearen Abbildung ist korrekt?

Accepted Answer

Der Kern einer linearen Abbildung ist der Untervektorraum aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Der Kern einer linearen Abbildung ist der Untervektorraum aller Vektoren, die auf einen von 0 verschiedenen Vektor abgebildet werden.

Answer

Der Kern einer linearen Abbildung ist die Dimension der linearen Abbildung.

Answer

Der Kern einer linearen Abbildung ist der Bildraum der linearen Abbildung.

Question 3

Bestimmen Sie, ob die Menge der Vektoren {(1, 2), (3, -1)} in R² einen Untervektorraum bildet.

Accepted Answer

Ja, denn die Menge ist unter Addition und skalarer Multiplikation abgeschlossen.

Answer

Nein, denn die Menge enthält nicht den Nullvektor.

Answer

Nein, denn die Menge ist nicht linear unabhängig.

Answer

Ja, denn die Menge ist eine Teilmenge von R².

Question 4

Ist die Menge der geraden Funktionen in R[x] ein Untervektorraum des Vektorraums der Polynome in R[x]?

Accepted Answer

Ja, denn die Menge ist unter Addition und skalarer Multiplikation abgeschlossen.

Answer

Nein, denn die Menge enthält nicht den Nullvektor.

Answer

Ja, denn die Menge ist linear unabhängig.

Answer

Nein, denn die Menge ist keine Teilmenge von R[x].

Question 5

Welche der folgenden Mengen von Vektoren ist eine Basis des Vektorraums R³?

Accepted Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

Answer

{(1, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1)}

Answer

{(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)}

Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 0)}

Question 6

Wie konstruiert man einen Vektorraum aus einer gegebenen Menge von Vektoren?

Accepted Answer

Erzeugen

Answer

Addieren

Answer

Multiplizieren

Answer

Transformieren

Question 7

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit Vektoren linear unabhängig sind?
(Das heißt, keiner der Vektoren kann als lineare Kombination der anderen dargestellt werden.)

Accepted Answer

Ihre Determinante ist ungleich null.

Answer

Ihre Summe ist gleich dem Nullvektor.

Answer

Sie spannen den gesamten Vektorraum auf.

Answer

Ihre Komponenten sind alle verschieden.

Question 8

Was ist die Dimension eines Vektorraums mit der Basis {(1, 0), (0, 1)}?
(Die Anzahl der Vektoren in einer Basis ist die Dimension des Vektorraums.)

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

unendlich

Question 9

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Vielfaches des Vektors (2, 3, 1)?
(Ein Vielfaches ist ein Vektor, der durch Multiplikation des ursprünglichen Vektors mit einem Skalar entsteht.)

Accepted Answer

(4, 6, 2)

Answer

(1, 1, 5)

Answer

(0, -3, -1)

Answer

(2, 3, 4)

Question 10

Welche Aussage über orthogonale Vektoren ist richtig?

Accepted Answer

Ihr Skalarprodukt ist gleich null.

Answer

Sie sind immer linear abhängig.

Answer

Sie spannen immer den gesamten Vektorraum auf.

Answer

Sie haben immer die gleiche Länge.

Question 11

Was ist die geometrische Interpretation eines Untervektorraums?

Accepted Answer

Eine Ebene

Answer

Eine Gerade

Answer

Ein Würfel

Answer

Ein Kegel

Question 12

Nennen Sie ein konkretes Beispiel für einen Vektorraum, der in der Praxis Anwendung findet.

Accepted Answer

Der Vektorraum aller Funktionen von reellen nach reellen Zahlen

Accepted Answer

Der Vektorraum aller Matrizen mit reellen Einträgen

Answer

Die Menge aller rationalen Zahlen

Question 13

Welche Vektoren bilden eine Basis für den Vektorraum R³?

Accepted Answer

(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

Answer

(1, 0, 1), (2, 1, 0), (3, 2, 1)

Answer

(1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3)

Answer

(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)

Question 14

Welche Aussage über Vektorräume ist falsch?

Accepted Answer

Sie müssen endlichdimensional sein.

Answer

Sie sind über die Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen.

Answer

Sie enthalten den Nullvektor.

Answer

Sie sind nicht notwendigerweise linear.

Question 15

Eine der folgenden Aussagen über Vektorräume beschreibt dessen entscheidendes Merkmal. Welche ist es?

Accepted Answer

Ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren, die unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Answer

Ein Vektorraum kann keine linearen Abhängigkeiten aufweisen.

Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist immer gleich der Anzahl seiner Erzeuger.

Answer

Ein Untervektorraum ist immer ein Vektorraum mit der gleichen Dimension wie der übergeordnete Vektorraum.

Question 16

Was zeichnet einen Vektorraum aus?

Accepted Answer

Er besitzt eine Addition und eine Skalarmultiplikation.

Answer

Seine Elemente sind ausschließlich Zahlen.

Answer

Er ist leer.

Answer

Er ist eine Teilmenge der reellen Zahlen.

Question 17

Welche der folgenden Mengen ist eine Basis von R³?

Accepted Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

Answer

{(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1)}

Answer

{(2, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 2)}

Answer

{(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)}

Question 18

Was beschreibt die Dimension eines Vektorraums?

Accepted Answer

Die Anzahl linear unabhängiger Vektoren in einer Basis

Answer

Die Anzahl aller Vektoren im Raum

Answer

Den Umfang des Raums

Answer

Das Volumen des Raums

Question 19

Welche Operation ist in einem Vektorraum nicht zulässig?

Accepted Answer

Multiplikation von zwei Vektoren

Answer

Addition von Vektoren

Answer

Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

Answer

Bildung des Skalarprodukts zweier Vektoren

Question 20

Was kennzeichnet eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

Sie erhält die Vektorraumaddition und die Skalarmultiplikation

Answer

Sie ist injektiv und surjektiv

Answer

Sie bildet Geraden auf Geraden ab

Answer

Sie ist differenzierbar

Question 21

Welche Eigenschaft haben orthogonale Vektoren?

Accepted Answer

Ihr Skalarprodukt ist null

Answer

Sie sind stets normiert

Answer

Sie sind immer linear abhängig

Answer

Sie bilden eine Basis des Vektorraums

Question 22

Was ist die korrekte Definition eines Vektorraums?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren, die unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist und eine endliche Dimension hat.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die nur unter Addition abgeschlossen ist.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die nur unter Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Question 23

Welche Aussage über Untervektorräume ist falsch?

Accepted Answer

Sie müssen endlich sein.

Answer

Sie sind selbst Vektorräume.

Answer

Sie sind abgeschlossen bezüglich der Addition.

Answer

Sie müssen eine Teilmenge des Vektorraums sein.

Question 24

Welche der folgenden Aussagen ist äquivalent zur linearen Unabhängigkeit einer Menge von Vektoren?

Accepted Answer

Die Nullkombination ist die einzige Linearkombination, die den Nullvektor ergibt.

Answer

Die Spannweite ist der gesamte Vektorraum.

Answer

Die Vektoren müssen kollinear sein.

Answer

Der Rang der Menge ist gleich der Anzahl der Vektoren.

Question 25

Wie lautet die Dimension des Vektorraums der Lösungen des Gleichungssystems 2x + 3y = 0, x - y = 0?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

3

Question 26

Welche der folgenden Aussagen ist falsch?

Accepted Answer

Jeder Vektorraum ist endlichdimensional.

Answer

Jeder Untervektorraum ist ein Vektorraum.

Answer

Jeder Vektorraum ist ein Untervektorraum eines anderen Vektorraums.

Answer

Jeder Vektorraum hat eine Basis.

Question 27

Welche der folgenden Operationen bewahrt die lineare Unabhängigkeit von Vektoren?

Accepted Answer

Multiplikation mit einem von Null verschiedenen Skalar

Answer

Addition von Vektoren

Answer

Bildung einer Linearkombination

Answer

Invertierung der Vektoren

Question 28

Welche der folgenden Definitionen beschreibt einen Vektorraum korrekt?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren, die bezüglich Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist

Answer

Eine Ansammlung von Punkten in einem Koordinatensystem

Answer

Eine Menge von Matrizen mit spezifischen Eigenschaften

Answer

Eine Menge stetig differenzierbarer Funktionen

Question 29

Sind die Vektoren (1, 2, 3), (4, 5, 6) und (7, 8, 9) linear unabhängig?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Answer

Nur (1, 2, 3) und (4, 5, 6) sind linear unabhängig

Answer

Nur (4, 5, 6) und (7, 8, 9) sind linear unabhängig

Question 30

Welche der folgenden Mengen bildet eine Basis für R²?

Accepted Answer

{ (1, 0), (0, 1) }

Answer

{ (1, 1), (1, 0) }

Answer

{ (1, 2), (3, 4) }

Answer

{ (1, 0), (0, 0) }

Question 31

Welcher der folgenden Ausdrücke ist ein Beispiel für einen linearen Operator im R³?

Accepted Answer

f(x) = Ax, wobei A eine 3x3-Matrix ist

Answer

f(x) = |x|, wobei |x| der Betrag ist

Answer

f(x) = x², wobei x² die Quadratfunktion ist

Answer

f(x) = sin(x), wobei sin(x) die Sinusfunktion ist

Question 32

Welche der folgenden Aussagen über Vektorräume ist inkorrekt?

Accepted Answer

Ein Vektorraum muss eine endliche Anzahl von Elementen haben

Answer

Ein Vektorraum kann den Nullvektor enthalten

Answer

Die Summe zweier Vektoren ist stets ein Vektor desselben Vektorraums

Answer

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist immer eine reelle Zahl

Question 33

Berechne die Dimension des von den Vektoren {(1, 2), (3, 4)} aufgespannten Vektorraums.

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

4

Question 34

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = x + 1

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Question 35

Welche der folgenden Matrizen ist nicht invertierbar?

Accepted Answer

[[1, 1], [1, 2]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Question 36

Welche der folgenden Aussagen über Basen ist falsch?

Accepted Answer

Alle Vektoren einer Basis haben die gleiche Länge.

Answer

Eine Basis ist eine linear unabhängige Menge von Vektoren.

Answer

Eine Basis spannt den gesamten Vektorraum auf.

Answer

Jeder Vektorraum besitzt eine Basis.

Question 37

Welcher der folgenden linearen Abbildungen ist invertierbar?

Accepted Answer

g: R³ → R², g(x, y, z) = (x + y, y + z)

Answer

f: R² → R³, f(x, y) = (x, y, 0)

Answer

h: R² → R², h(x, y) = (x, 0)

Answer

k: R³ → R³, k(x, y, z) = (x, x + y, x + y + z)

Question 38

Ist der Vektor (1, 2, 3) eine Linearkombination der Vektoren (1, 0, 1) und (0, 1, 1)?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Question 39

Welche Aussage über lineare Unabhängigkeit von Vektoren ist zutreffend?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn sie sich nicht alle als Vielfache eines einzelnen Vektors darstellen lassen.

Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear abhängig, wenn sie sich als Vielfache voneinander darstellen lassen.

Answer

Lineare Unabhängigkeit bedeutet, dass sich jeder Vektor der Menge als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt.

Answer

lineare Unabhängigkeit bedeutet, dass die Vektoren orthogonal zueinander sind.

Question 40

Welche der folgenden Mengen bildet eine Basis von ℝ²?

Accepted Answer

{(1, 0), (0, 1)}

Answer

{(1, 1), (1, -1)}

Answer

{(1, 0), (1, 1)}

Answer

{(1, 2), (3, 4)}

Question 41

Welche Aussage über Orthogonalität von Vektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist.

Answer

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihre Länge gleich ist.

Answer

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn sie parallel sind.

Answer

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihre Komponenten gleich sind.

Question 42

Welche der folgenden Definitionen beschreibt einen Vektorraum korrekt?

Accepted Answer

Eine Menge, die unter Vektoraddition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist und ein neutrales Element enthält.

Answer

Eine beliebige Menge mit zwei Verknüpfungen (+ und ·)

Answer

Eine Menge, die eine Dimension größer oder gleich 1 hat.

Answer

Eine Menge, die aus linear abhängigen Vektoren besteht.

Question 43

Welche der folgenden Mengen bildet einen Untervektorraum von R³?

Accepted Answer

{(x, y, z) | x + y = 0}

Answer

{(x, y, z) | x - y = 1}

Answer

{(x, y, z) | x² + y² = 1}

Answer

{(x, y, z) | xy = 0}

Question 44

Welche der folgenden Mengen ist eine Basis für R²?

Accepted Answer

{(1, 0), (0, 1)}

Answer

{(1, 2), (3, 4)}

Answer

{(2, 1), (1, 2)}

Answer

{(1, 0), (1, 1)}

Question 45

Welche Aussage über die Basis eines Vektorraums ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist eine maximale Menge linear unabhängiger Vektoren.

Answer

Sie ist eine minimale Menge spannender Vektoren.

Answer

Sie ist eine beliebige Menge linear abhängiger Vektoren.

Answer

Sie ist eine Menge von Vektoren, die eine beliebige Dimension haben kann.

Question 46

Welches Verfahren kann zur Zerlegung eines Vektorraums verwendet werden?

Accepted Answer

Gram-Schmidtsches Verfahren

Answer

Gaußsches Eliminationsverfahren

Answer

Primfaktorzerlegung

Answer

Taylorreihe

Question 47

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert eine lineare Abbildung von R³ nach R²?

Accepted Answer

A = [[1, 0, 0], [0, 1, 0]]

Answer

B = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]

Answer

C = [[1, 0, 0], [0, 1, 1]]

Answer

D = [[1, 2], [3, 4], [5, 6]]

Question 48

Ein Vektorraum besteht aus welchen Elementen?

Accepted Answer

Vektoren, Vektoraddition und Skalarmultiplikation

Answer

Vektoren, Matrizen und Determinanten

Answer

Zahlen, Funktionen und Operatoren

Answer

Punkte, Geraden und Ebenen

Question 49

Eine Basis eines Vektorraums ist eine Menge von Vektoren, die:

Accepted Answer

linear unabhängig sind und den Vektorraum aufspannen

Answer

linear abhängig sind und den Vektorraum erzeugen

Answer

nicht linear unabhängig sind und den Vektorraum nicht aufspannen

Answer

nicht linear abhängig sind und den Vektorraum aufspannen

Question 50

Die Dimension eines endlichdimensionalen Vektorraums entspricht:

Accepted Answer

der Anzahl der linear unabhängigen Vektoren in einer Basis

Answer

der Anzahl der Vektoren im Vektorraum

Answer

der Summe der Dimensionen aller Untervektorräume

Answer

der Anzahl der Untervektorräume des Vektorraums

Question 51

Ein Untervektorraum ist:

Accepted Answer

eine Menge von Vektoren, die unter Vektoraddition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist

Answer

eine Menge von Vektoren, die linear unabhängig ist

Answer

eine Menge von Vektoren, die den Nullvektor enthält

Answer

eine Menge von Vektoren, die den Vektorraum aufspannt

Question 52

Die lineare Hülle einer Menge von Vektoren ist:

Accepted Answer

die Menge aller Linearkombinationen dieser Vektoren

Answer

die Menge aller Untervektorräume dieser Vektoren

Answer

die Menge aller Basen dieser Vektoren

Answer

die Menge aller Dimensionen dieser Vektoren

Question 53

Welche Dimensionsformel gilt für Vektorräume U und V?

Accepted Answer

dim(U + V) = dim(U) + dim(V) - dim(U ∩ V)

Answer

dim(U ∩ V) = dim(U) + dim(V) - dim(U + V)

Answer

dim(U + V) = dim(U) - dim(V)

Answer

dim(U ∩ V) = dim(U) - dim(V)

Question 54

Welche Aussage über Vektorräume trifft zu?

Accepted Answer

Ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren, die unter den Operationen Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Answer

Ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren, die unter den Operationen Addition, Skalarmultiplikation und Kreuzprodukt abgeschlossen ist.

Answer

Ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren, die eine Skalarmultiplikation mit beliebigen Zahlen zulässt.

Answer

Ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren, die unter der Divisionsoperation abgeschlossen ist.

Question 55

Welche Teilmenge von R³ ist ein Untervektorraum?

Accepted Answer

{(x, y, z) | x + y + z = 0}

Answer

{(x, y, z) | x^2 + y^2 + z^2 = 1}

Answer

{(x, y, z) | x = y}

Answer

{(x, y, z) | x > 0}

Question 56

Sei V ein Vektorraum über K und W ⊂ V. Welche Aussage über die Dimension von W ist korrekt?

Accepted Answer

dim(W) ≤ dim(V)

Answer

dim(W) ≥ dim(V)

Answer

dim(W) = dim(V)

Answer

dim(W) < dim(V)

Question 57

Welche Abbildung zwischen Vektorräumen ist ein linearer Operator?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = x + y

Answer

f(x) = sin(x)

Question 58

Welcher der folgenden Vektorräume ist ein euklidischer Vektorraum?

Accepted Answer

R³

Answer

C²

Answer

M2x2(R)

Answer

P3(R)

Question 59

Eine notwendige und hinreichende Bedingung für einen Untervektorraum ist, dass er:

Accepted Answer

den Nullvektor enthält und bezüglich der Vektoraddition und skalaren Multiplikation abgeschlossen ist.

Answer

eine Teilmenge des Vektorraumes ist.

Answer

linear unabhängig ist.

Answer

die gleiche Dimension wie der Vektorraum hat.

Question 60

Die Dimension eines Vektorraums ist gleich:

Accepted Answer

der Anzahl der Vektoren in einer Basis.

Answer

der Anzahl der Teilmengen des Vektorraums.

Answer

der Anzahl der Elemente des Vektorraums.

Answer

der Anzahl der Operationen, die mit Vektoren durchgeführt werden können.

Question 61

Welche Matrixmenge bildet einen Vektorraum bezüglich der üblichen Matrizenaddition und skalaren Multiplikation?

Accepted Answer

Menge aller nxn-Matrizen

Answer

Menge aller invertierbaren Matrizen

Answer

Menge aller diagonalisierbaren Matrizen

Answer

Menge aller symmetrischen Matrizen

Question 62

Welche Abbildung ist linear?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 63

Welcher der folgenden Ausdrücke ist eine korrekte Definition eines Vektorraums?

Accepted Answer

Eine Menge V mit den Operationen Addition und Skalarmultiplikation, die bestimmte Axiome erfüllen.

Answer

Eine Menge von Punkten in einem kartesischen Koordinatensystem.

Answer

Eine Menge von Vektoren mit einem definierten Skalarprodukt.

Question 64

Welcher der folgenden ist ein Untervektorraum des Vektorraums R³?

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren mit einer dritten Komponente von 0.

Answer

Die Menge aller Vektoren mit einer Länge von 1.

Answer

Die Menge aller Vektoren mit einer ersten Komponente von 1.