Grenzwerte in der Mathematik: Definition, Berechnung und Anwendungen

Question 1

Welcher Grenzwertsatz wird verwendet, um den Grenzwert von Ausdrücken der Form (0/0) oder (∞/∞) zu berechnen?

Accepted Answer

Die Regel von L'Hopital

Answer

Die Quotientenregel

Answer

Der Wurzelsatz

Question 2

Berechne den Grenzwert von lim x→0 (sin(x) - tan(x)) / x.

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

existiert nicht

Question 3

Was besagt die Definition des Grenzwerts lim x→a f(x) = b?

Accepted Answer

Für jedes ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass |f(x) - b| < ε, wenn 0 < |x - a| < δ

Answer

Für jede Folge (x_n) mit lim x_n = a gilt auch lim f(x_n) = b

Answer

Der Wert von f(a) ist gleich b

Question 4

Welcher der folgenden Ausdrücke definiert den Grenzwert von f(x) für x gegen unendlich?

Accepted Answer

lim_(x->∞) f(x) = L

Answer

lim_(x->0) f(x) = L

Answer

f(∞) = L

Answer

L = lim_(x->∞) f(x)

Question 5

Welcher Grenzwertsatz wird verwendet, um den Grenzwert von (sin(x) - x) / (x - π) für x gegen π zu bestimmen?

Accepted Answer

L'Hospital-Regel

Answer

Quotientenregel

Answer

Wurzelsatz

Answer

Keiner der genannten Grenzwertsätze

Question 6

Für welchen Wert von x ist die Funktion f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) unstetig?

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = -1

Answer

x = 0

Answer

f(x) ist für alle x stetig

Question 7

Bestimmen Sie den Grenzwert von (x - 2) / (√x - 1) für x gegen 4.

Accepted Answer

1

Answer

2

Answer

0

Answer

∞

Question 8

Welche der folgenden Funktionen hat einen Horizontalasymptoten bei y = 2 für x gegen ∞?

Accepted Answer

y = 2x / (x + 1)

Answer

y = (x^2 + 2) / (x - 1)

Answer

y = (x^3 - 1) / (x^2 - 1)

Answer

y = sin(x) + 2

Question 9

Welche der folgenden Funktionen hat einen vertikalen Asymptoten bei x = 3?

Accepted Answer

f(x) = (x^2 - 9)/(x - 3)

Answer

f(x) = (x - 3)/(x - 2)

Answer

f(x) = (x + 3)/(x - 3)

Answer

f(x) = (x^2 + 9)/(x - 3)

Question 10

Welche der folgenden Aussagen ist eine notwendige Bedingung für die Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle?

Accepted Answer

Der Grenzwert der Funktion an dieser Stelle ist gleich dem Funktionswert.

Answer

Der Grenzwert der Funktion existiert an dieser Stelle.

Answer

Der Funktionswert an dieser Stelle existiert.

Answer

Die Ableitung der Funktion existiert an dieser Stelle.

Question 11

Welche der folgenden Funktionen ist an keiner Stelle differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^3

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 12

Welche der folgenden Aussagen über den Satz von L'Hospital ist falsch?

Accepted Answer

Er ist eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Grenzwertes.

Answer

Er wird verwendet, um Grenzwerte von Funktionen zu bestimmen, deren Zähler und Nenner beide gegen Null oder unendlich konvergieren.

Answer

Er gilt nur für stetige Funktionen.

Answer

Er kann verwendet werden, um Grenzwerte von Funktionen zu bestimmen, die in einer bestimmten Stelle unstetig sind.

Question 13

Ist die Funktion f(x) = e^(x^2) an der Stelle x = 0 stetig?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Answer

Nur, wenn x ≠ 0

Answer

Nur, wenn x = 0

Question 14

Welche der folgenden Funktionen hat einen vertikalen Asymptoten bei x = 2?

Accepted Answer

g(x) = sin(x)/(x - 2)

Answer

f(x) = (x - 2)/(x^2 - 4)

Answer

h(x) = ln(x - 2)

Answer

i(x) = e^(x - 2)

Question 15

Berechne den Grenzwert von

$$ lim_{ x → 0 }^{} x^2 * ln(x)$$

unter Verwendung des Satzes von L'Hospital.

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

∞

Answer

undefiniert

Question 16

Welche der folgenden Aussagen definiert korrekt den Grenzwert einer Funktion f an der Stelle a?

Accepted Answer

Der Grenzwert von f an a ist der Wert, dem sich f(x) annähert, wenn sich x an a annähert.

Answer

Der Grenzwert von f an a ist der Wert, den f(a) annimmt.

Answer

Der Grenzwert von f an a ist die Steigung der Tangente an den Graphen von f an a.

Answer

Der Grenzwert von f an a ist der Wert, für den f(a) = 0 gilt.

Question 17

Welcher Grenzwertsatz besagt, dass der Grenzwert eines Bruchs gleich dem Bruch der Grenzwerte des Zählers und Nenners ist?

Accepted Answer

Quotientenregel

Answer

Satz von L'Hospital

Answer

Wurzelsatz

Answer

Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Question 18

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = ln(x)

Question 19

Welcher Grenzwertsatz kann verwendet werden, um den Grenzwert der Funktion f(x) = (sin(x) - x) / (x^3 - x) für x gegen 0 zu berechnen?

Accepted Answer

Satz von L'Hospital

Answer

Quotientenregel

Answer

Wurzelsatz

Answer

Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Question 20

Welche der folgenden Funktionen hat eine nicht behebbare Singularität an der Stelle x = 2?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x - 2)

Answer

f(x) = (x - 2)^2

Answer

f(x) = e^(x - 2)

Answer

f(x) = ln(x - 2)

Question 21

Welche der folgenden Funktionen hat **keinen** Grenzwert an der Stelle x = 0?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Question 22

Welcher der folgenden Grenzwerte ist gleich ∞?

Accepted Answer

lim (x -> ∞) 1 / x

Answer

lim (x -> 2) (x^2 - 4) / (x - 2)

Answer

lim (x -> 0) sin(x) / x

Answer

lim (x -> -∞) x^3 + 2x^2 - 1

Question 23

Welcher der folgenden Grenzwerte ist gleich dem Wert der Funktion an der betrachteten Stelle?

Accepted Answer

lim (x -> a) f(x) = f(a)

Answer

lim (x -> a) f(x) = ∞

Answer

lim (x -> a) f(x) = -∞

Answer

lim (x -> a) f(x) = 0

Question 24

Der Grenzwert lim (x -> a) f(x) gibt an:

Accepted Answer

Den Wert, dem sich f(x) für x, das sich a annähert, nähert

Answer

Den Wert von f(x) an der Stelle a

Answer

Den Wert, den f(a) annimmt

Answer

Den Wert, für den f(x) = 0 wird

Question 25

Welcher Grenzwertsatz kann verwendet werden, um den Grenzwert von f(x) / g(x) zu berechnen, wenn sowohl f(a) als auch g(a) gleich 0 sind?

Accepted Answer

Satz von L'Hospital

Answer

Quotientenregel

Answer

Wurzelsatz

Answer

Satz über den Grenzwert einer Summe

Question 26

Welcher der folgenden Ausdrücke ist kein Grenzwert?

Accepted Answer

x -> 2

Answer

lim (x -> 0) sin(x)

Answer

lim (x -> ∞) e^x

Answer

lim (x -> 5) (x - 5)

Question 27

Welche der folgenden Grenzwertaussagen ist falsch?

Accepted Answer

Wenn lim (x -> a) f(x) = ∞ und lim (x -> a) g(x) = ∞, dann ist lim (x -> a) (f(x) / g(x)) = 1.

Answer

Wenn lim (x -> a) f(x) = 0 und lim (x -> a) g(x) = 0, dann ist lim (x -> a) (f(x) + g(x)) = 0.

Answer

Wenn lim (x -> a) f(x) = L und lim (x -> a) g(x) = M, dann ist lim (x -> a) (f(x) * g(x)) = L * M.

Answer

Wenn lim (x -> a) f(x) = L ungleich 0 ist, dann ist lim (x -> a) (1 / f(x)) = 1 / L.

Question 28

Was ist die Definition eines Grenzwertes?

Accepted Answer

Der Wert, dem sich eine Funktion nähert, wenn sich das Argument einem bestimmten Wert annähert

Answer

Der Wert, den eine Funktion für ein bestimmtes Argument annimmt

Answer

Der Wert, bei dem eine Funktion unstetig ist

Answer

Der Wert, bei dem eine Funktion ein Maximum oder Minimum hat

Question 29

Bestimmen Sie den Grenzwert für x gegen 2 von (x^2 - 4) / (x - 2).

Accepted Answer

2

Answer

0

Answer

4

Answer

unendlich

Question 30

Berechnen Sie den Grenzwert von (1 + 1/x)^(x^2), wenn x gegen unendlich geht.

Accepted Answer

e

Answer

1

Answer

0

Answer

unendlich

Question 31

Welcher Grenzwertsatz ermöglicht die Berechnung des Grenzwertes einer zusammengesetzten Funktion?

Accepted Answer

Kettenregel

Answer

Satz von L'Hospital

Answer

Quotientenregel

Answer

Wurzelsatz

Question 32

Welcher Grenzwertsatz kann verwendet werden, um den Grenzwert von h(x) = (e^x - 1) / x für x gegen 0 zu berechnen?

Accepted Answer

Satz von L'Hospital

Answer

Quotientenregel

Answer

Wurzelsatz

Answer

Satz der bestimmten Grenzwerte

Question 33

Sei f(x) = |x - 2| + 1. Bestimme den Grenzwert von f(x) für x gegen 2.

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

2

Answer

4

Question 34

Berechnen Sie den Grenzwert von lim(x -> ∞) (x^2 - 1) / (x^3 + 2x)

Accepted Answer

0

Answer

1/2

Answer

1

Answer

Unendlich

Question 35

Welcher der folgenden Sätze kann zur Berechnung des Grenzwerts von lim(x -> 0) (e^x - 1) / x verwendet werden?

Accepted Answer

Satz von L'Hospital

Answer

Satz vom Mittelwert

Answer

Quotientenregel

Answer

Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Question 36

Berechnen Sie den Grenzwert von lim(x -> ∞) (ln(x + 1) - ln(x))

Accepted Answer

ln(2)

Answer

0

Answer

1

Answer

Unendlich

Question 37

Welche Aussage beschreibt den Grenzwert einer Funktion korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion f(x) für x gegen a ist der Wert, dem sich die Funktionswerte f(x) nähern, wenn x sich der Stelle a unendlich oft von beiden Seiten annähert.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion ist der Wert, den die Funktion an der Stelle a annimmt.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann nur endlich sein.

Question 38

Welche Eigenschaft von Grenzwerten wird durch die folgende Aussage beschrieben: 'Wenn lim f(x) = a und lim g(x) = b, dann lim (f(x) + g(x)) = a + b'?

Accepted Answer

Linearität

Answer

Multiplikativität

Answer

Divisibilität

Question 39

Für welche Funktion f(x) gilt lim (x->∞) f(x) = 2?

Accepted Answer

f(x) = 2 + 1/x

Answer

f(x) = x² + 1

Answer

f(x) = 2x - 1

Answer

f(x) = sin(x)

Question 40

Welche Aussage definiert den Grenzwertbegriff korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert beschreibt den Wert, dem sich der Funktionswert beliebig annähern kann.

Answer

Der Grenzwert existiert nur für stetige Funktionen.

Answer

Der Grenzwert ist der exakte Funktionswert an einer Stelle.

Question 41

Berechnen Sie den Grenzwert von h(x) = (1 + 1/x)^x für x gegen unendlich.

Accepted Answer

e

Answer

unendlich

Answer

1

Answer

0

Question 42

Welche Aussage beschreibt die Bedeutung von Grenzwerten?

Accepted Answer

Grenzwerte geben Informationen über das Verhalten der Funktion nahe einer bestimmten Stelle.

Answer

Grenzwerte geben den genauen Funktionswert an einer Stelle an.

Answer

Grenzwerte können nur für stetige Funktionen bestimmt werden.

Question 43

Bestimme den Grenzwert von f(x) = (x² - 1) / (x - 1) für x gegen 1.

Accepted Answer

2

Answer

-1

Answer

unendlich

Answer

0

Question 44

Berechne den Grenzwert von g(x) = (√(x + 4) - 2) / (x - 3) für x gegen 3.

Accepted Answer

1 / 6

Answer

1 / 3

Answer

3

Answer

-1 / 6

Question 45

Welcher Grenzwertsatz muss verwendet werden, um den Grenzwert von h(x) = (e^x - 1) / (x - 1) für x gegen 1 zu bestimmen?

Accepted Answer

Satz von L'Hospital

Answer

Wurzelsatz

Answer

Einsetzungsregel

Answer

Quotientenregel

Question 46

Welcher der folgenden Ausdrücke ist gleichbedeutend mit dem Grenzwert von f(x) für x gegen a?

Accepted Answer

lim_(h->0) f(a + h)

Answer

lim_(x->∞) f(a)

Answer

f(a)

Answer

lim_(h->∞) f(a)

Question 47

Bestimme den Grenzwert von k(x) = (x² + 2x - 3) / (x² + x - 6) für x gegen -3.

Accepted Answer

-1

Answer

unendlich

Answer

1

Answer

-2

Question 48

Ermittle den Grenzwert von (ln(x) - ln(2)) / (x - 2) für x gegen 2:

Accepted Answer

1/2

Answer

0

Answer

1

Answer

unendlich

Question 49

Bestimme den Grenzwert von f(x) = e^(x^2) für x gegen unendlich:

Accepted Answer

unendlich

Answer

1

Answer

e

Answer

0

Question 50

Berechne den Grenzwert von h(x) = (√(x + 1) - 1) / (x - 1) für x gegen 1.

Accepted Answer

1/2

Answer

-1/2

Answer

unbestimmt

Answer

0

Question 51

Bestimmen Sie, ob der Grenzwert von f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2) für x gegen 2 existiert.

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Answer

Nur für x < 2

Answer

Nur für x > 2

Question 52

Ermitteln Sie den Grenzwert von h(x) = (sin(x) * cos(x)) / x für x gegen 0.

Accepted Answer

0

Answer

Unendlich

Answer

-1

Answer

1

Question 53

Welche Aussage zum Grenzwert von $$f(x) = |x - 3|$$ für x gegen 3 ist korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich 0.

Answer

Der Grenzwert ist gleich 6.

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

Der Grenzwert ist gleich 3.

Question 54

Welche der folgenden Aussagen über den Grenzwert von $$f(x) = e^(2x) - 1$$ für x gegen unendlich ist korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich unendlich.

Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich 0.

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich 1.

Question 55

Berechne den Grenzwert von $$h(x) = \frac{\ln(x) - \ln(2)}{x - 2}$$ für x gegen 2.

Accepted Answer

1/2

Answer

-1/2

Answer

0

Answer

1

Question 56

Welche der folgenden Funktionen hat einen Grenzwert von 1 für x gegen unendlich?

Accepted Answer

$$f(x) = \frac{x + 1}{x}$$

Answer

$$sin(x)$$

Answer

$$h(x) = e^x$$

Answer

$$g(x) = \frac{x^2}{x + 1}$$

Question 57

Bestimme den Grenzwert von $\frac{e^x - 1}{x}$ für $x$ gegen $0$ unter Verwendung des Satzes von L'Hospital.

Accepted Answer

$1$

Answer

$\infty$

Answer

$e$

Answer

$0$

Question 58

Bestimme den Grenzwert von $\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}$ für $x$ gegen unendlich.

Accepted Answer

$1$

Answer

-1

Answer

$0$

Answer

$\infty$

Question 59

Welchen Grenzwert hat die Funktion $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ für $x$ gegen $1$?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

Unendlich

Answer

0

Question 60

Welche Aussage ist korrekt, wenn $\lim_{x 	o a} f(x) = L$ und $\lim_{x 	o a} g(x) = M$ gilt?

Accepted Answer

$\lim_{x 	o a} [f(x) + g(x)] = L + M$

Answer

$\lim_{x 	o a} [f(x) * g(x)] = L * M + 1$

Answer

$\lim_{x 	o a} [f(x) - g(x)] = L - M - 1$

Answer

$\lim_{x 	o a} [f(x) / g(x)] = L / (M + 1)$

Question 61

Welche der folgenden Funktionen hat den Grenzwert $0$ für $x$ gegen unendlich?

Accepted Answer

$f(x) = \frac{1}{x}$

Answer

$f(x) = ln(x)$

Answer

$f(x) = e^x$

Answer

$f(x) = x^2$

Question 62

Was ist der Grenzwert der Folge $a_n = \frac{n^2 + 1}{n^2 - 1}$ für $n$ gegen unendlich?

Accepted Answer

1

Answer

-1

Answer

$\infty$

Answer

0

Question 63

Welche der folgenden Funktionen hat einen unendlichen Grenzwert für $x$ gegen $0$?

Accepted Answer

$f(x) = \frac{1}{x^2}$

Answer

$f(x) = sin(x)$

Answer

$f(x) = x^2$

Answer

$f(x) = ln(x)$

Question 64

Welchen Grenzwert hat die Funktion $f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x^3 - 1}$ für $x$ gegen $1$?

Accepted Answer

Unendlich

Answer

-1

Answer

0

Answer

1