Funktionen in der Analysis: Online-Quizzes für die 13. Klasse der Fachoberschule

Question 1

Ermitteln Sie die Ableitung der impliziten Funktion y, die durch die Gleichung x² + y² = 1 definiert ist.

Accepted Answer

y' = -x/y

Answer

y' = x/y

Answer

y' = 1

Answer

y' = -1

Question 2

Überprüfen Sie, ob die Funktion f(x) = (x² - 4) / (x - 2) an der Stelle x = 2 differenzierbar ist.

Accepted Answer

f(x) ist an der Stelle x = 2 nicht differenzierbar, da der Nenner der Funktion an dieser Stelle 0 wird.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = 2 differenzierbar, da der Grenzwert von f'(x) für x gegen 2 existiert.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = 2 differenzierbar, da sie an dieser Stelle stetig ist.

Question 3

Ermitteln Sie die Konkavität der Funktion f(x) = x⁴ - 4x³ + 3x² + 2 und geben Sie ihre Wendepunkte an.

Accepted Answer

Konkav aufwärts für x < 1, konkav abwärts für x > 1, Wendepunkt bei x = 1

Answer

Konkav abwärts für x < 2, konkav aufwärts für x > 2, Wendepunkt bei x = 2

Answer

Konkav aufwärts für alle x, keine Wendepunkte

Question 4

Analysieren Sie die Funktion f(x) = x³ - 3x² + 2 hinsichtlich ihrer Konvexität und Konkavität. Ermitteln Sie die Wendepunkte und erläutern Sie Ihre Ergebnisse.

Accepted Answer

Die Funktion ist im Intervall (-∞, 2) konkav und im Intervall (2, ∞) konvex.

Answer

Die Funktion ist durchgehend konkav.

Answer

Die Funktion ist im Intervall (-∞, -1) konkav, im Intervall (-1, 1) konvex und im Intervall (1, ∞) konkav.

Question 5

Ein rechteckiges Prisma mit quadratischer Grundfläche soll ein festes Volumen haben. Wie müssen die Maße des Prismas optimiert werden, um seine Oberfläche zu minimieren?

Accepted Answer

Das Prisma ist ein Würfel.

Answer

Das Prisma ist ein Quader mit einer rechteckigen Grundfläche.

Answer

Das Prisma ist ein Rechteckprisma mit einer rechteckigen Grundfläche.

Question 6

Ist die Funktion f(x) = |x| an der Stelle x = 0 differenzierbar?

Accepted Answer

Nein, nicht differenzierbar, aber stetig

Answer

Ja, differenzierbar

Answer

Nein, weder differenzierbar noch stetig

Question 7

Ermitteln Sie den Grenzwert von f(x) = (x² - 1) / (x - 1) für x gegen 1.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

unendlich

Question 8

Welche der folgenden Funktionen hat an der Stelle x = 2 eine horizontale Tangente?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x² - 4

Answer

f(x) = (x - 2)²

Answer

f(x) = sin(x)

Question 9

Berechnen Sie die Ableitung von f(x) = e^(x²) + ln(x).

Accepted Answer

2xe^(x²) + 1/x

Answer

e^(x²) + 1/x

Answer

2xe^(x²) - 1/x

Answer

e^(x²) - 1/x

Question 10

Welche der folgenden Funktionen ist eine periodische Funktion mit einer Periode von π?

Accepted Answer

f(x) = sin(x) + cos(x)

Answer

f(x) = tan(x)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x²

Question 11

Berechne die Ableitung von g(x) = e^(2x).

Accepted Answer

2e^(2x)

Answer

e^(2x)

Answer

1/e^(2x)

Answer

x * e^(2x)

Question 12

Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) = (x² - 1) / (x - 1) für x gegen 1.

Accepted Answer

2

Answer

0

Answer

undefiniert

Answer

1

Question 13

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = e^(2x).

Accepted Answer

2e^(2x)

Answer

4e^(2x)

Answer

e^(2x)

Answer

1 / e^(2x)

Question 14

Welche Funktion ist die Umkehrfunktion von f(x) = 2x + 1?

Accepted Answer

g(x) = (x - 1) / 2

Answer

g(x) = 2x - 1

Answer

g(x) = -2x + 1

Answer

g(x) = 1 / (2x + 1)

Question 15

Welche der folgenden Funktionen ist monoton wachsend?

Accepted Answer

f(x) = x² + 2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = -x² + 2

Answer

f(x) = |x|

Question 16

Welche Aussage über die Funktion f(x) = x³ - 2x² + x + 1 ist korrekt?

Accepted Answer

Die Funktion hat ein lokales Minimum bei x = 1.

Answer

Der Graph der Funktion liegt unterhalb der x-Achse.

Answer

Die Funktion hat einen Sattelpunkt.

Answer

Die Funktion hat keinen Extrempunkt.

Question 17

Ermittle den Grenzwert von lim (x→∞) (x^2 - 1) / (x^2 + 1).

Accepted Answer

1

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

∞

Answer

0

Question 18

Ermittle die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x²) .

Accepted Answer

2x / x²

Answer

x / x²

Answer

1 / x

Answer

2x

Question 19

Welche Anwendung der Differentialrechnung wird verwendet, um die Steigung der Tangente an eine Kurve zu bestimmen?

Accepted Answer

Ableitung

Answer

Grenzwerte

Answer

Differentialgleichungen

Answer

Integration

Question 20

Welche Aussage über die Funktion f(x) = eˣ ist falsch?

Accepted Answer

Die Funktion hat einen Wendepunkt.

Answer

Die Funktion hat eine inverse Funktion.

Answer

Die Funktion ist streng monoton wachsend.

Answer

Die Funktion ist konvex.

Question 21

Bestimme den Grenzwert der folgenden Funktion für x gegen unendlich: lim (x→∞) (√(x²+2x)-x)

Accepted Answer

0

Answer

∞

Answer

-1

Answer

1

Question 22

Ermittle die Umkehrfunktion der folgenden Funktion: f(x) = 2x-3

Accepted Answer

(x+3)/2

Answer

(2x-3)/2

Answer

x/2-3

Answer

2x+3

Question 23

Berechne die erste Ableitung der Funktion f(x) = x³-2x²+1

Accepted Answer

3x²-4x

Answer

x³-4x

Answer

3x²+4x

Answer

x²-4x

Question 24

Löse die Ungleichung x²-4x+3>0

Accepted Answer

x<1 oder x>3

Answer

x>1 oder x<3

Answer

1<x<3

Answer

x<3 oder x>1

Question 25

Die Ableitung der Funktion f(x) = 3x³ - 2x² + 5 ist:

Accepted Answer

f'(x) = 9x² - 4x

Answer

f'(x) = 9x² - 4x + 5

Answer

f'(x) = 9x³ - 4x

Answer

f'(x) = 9x³ - 4x² + 5

Question 26

Welchen Wert hat der Grenzwert von (x² - 1) / (x - 1) für x → 1?

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

0

Answer

∞

Question 27

Welche der folgenden Funktionen hat einen lokalen **Maximalpunkt** bei x = 0?

Accepted Answer

f(x) = -x² + 1

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = x² + 1

Question 28

Die Funktion f(x) = sin(x) hat eine Periode von:

Accepted Answer

2π

Answer

4π

Answer

π/2

Answer

π

Question 29

Welche Eigenschaft hat der Graph der Funktion f(x) = e^x?

Accepted Answer

Er schneidet die y-Achse bei (0, 1)

Answer

Er ist symmetrisch zur y-Achse

Answer

Er ist symmetrisch zur x-Achse

Answer

Er schneidet die x-Achse bei (0, 1)

Question 30

Die Funktion f(x) = ln(x) ist:

Accepted Answer

streng monoton wachsend auf (0, ∞)

Answer

streng monoton wachsend auf (-∞, 0)

Answer

streng monoton fallend auf (-∞, 0)

Answer

streng monoton fallend auf (0, ∞)

Question 31

Die Ableitung der Funktion f(x) = sin(x) ist:

Accepted Answer

f'(x) = cos(x)

Answer

f'(x) = -cos(x)

Answer

f'(x) = sin(x)

Answer

f'(x) = -sin(x)

Question 32

Welche Funktion ist eine Stammfunktion der Funktion  f(x) = cos(x)?

Accepted Answer

F(x) = sin(x) + C

Answer

F(x) = cos(x) + C

Answer

F(x) = x * cos(x) + C

Answer

F(x) = -sin(x) + C

Question 33

Welche der folgenden Funktionen beschreibt eine Gerade?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 3

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x^2 - 1

Answer

f(x) = sin(x)

Question 34

Welche der folgenden Funktionen ist periodisch?

Accepted Answer

f(x) = sin(2x)

Answer

f(x) = ln(x)

Answer

f(x) = x^3

Answer

f(x) = e^(-x)

Question 35

Was beschreibt der Grenzwert  $lim_{x 	o c} f(x)$ ?

Accepted Answer

Er beschreibt den Wert, dem sich die Funktionswerte nähern, wenn x sich dem Wert c beliebig annähert.

Answer

Er ist immer unendlich.

Answer

Er ist der Funktionswert an der Stelle x = c.

Question 36

Welche Ableitungsregel wird verwendet, um die Ableitung der Funktion f(x) = e^x zu bestimmen?

Accepted Answer

Ableitungsregel für die Exponentialfunktion

Answer

Kettenregel

Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Question 37

Was ist die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f(x) im Punkt (c, f(c))?

Accepted Answer

Die Steigung der Tangente ist gleich dem Wert der Ableitung f'(c).

Answer

Die Tangente schneidet den Graphen der Funktion im Punkt (c, 0).

Answer

Die Tangente verläuft parallel zur x-Achse.

Question 38

Welche Methode wird verwendet, um lokale Extremwerte einer Funktion zu bestimmen?

Accepted Answer

Ableitungen

Answer

Integration

Answer

L'Hospital'sche Regel

Answer

Stammfunktionen

Question 39

Welche Funktion beschreibt eine Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung und Öffnung nach oben?

Accepted Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = 1/x^2

Answer

f(x) = |x^2|

Answer

f(x) = -x^2

Question 40

Was ist eine Taylor-Reihe?

Accepted Answer

Eine unendliche Reihe, die eine Funktion um einen bestimmten Punkt approximiert.

Answer

Sie ist immer konvergent.

Answer

Sie ist nur für Polynomfunktionen anwendbar.

Question 41

Welche der folgenden Anwendungen der Differentialrechnung wird zur Optimierung in der Wirtschaft eingesetzt?

Accepted Answer

Ermittlung von Gewinnmaximierung und Kostenminimierung

Answer

Modellierung von Wachstumsprozessen

Answer

Berechnung von Flächeninhalten

Question 42

Welche Aussage über den Mittelwertsatz der Differentialrechnung trifft zu?

Accepted Answer

In einem Intervall mit stetiger Ableitung existiert mindestens ein Punkt, an dem die Ableitung den Wert des Differenzenquotienten annimmt.

Answer

Der Mittelwertsatz ermöglicht die grafische Darstellung einer Funktion.

Answer

Er kann ausschließlich für Polynomfunktionen angewendet werden.

Question 43

Welche der folgenden Aussagen über die Stetigkeit einer Funktion ist falsch?

Accepted Answer

Eine Funktion ist stetig, wenn sie an allen Stellen definiert ist.

Answer

Eine Funktion ist stetig, wenn ihr Graph ohne Unterbrechung gezeichnet werden kann.

Answer

Eine Funktion ist stetig, wenn ihr Grenzwert an jeder Stelle existiert und mit dem Funktionswert an dieser Stelle übereinstimmt.

Question 44

Die Funktion f(x) = 1/x besitzt bei x = 0 eine Unstetigkeit. Um welche Art von Unstetigkeit handelt es sich?

Accepted Answer

Polartige Unstetigkeit

Answer

Sprunghafte Unstetigkeit

Answer

Hegbare Unstetigkeit

Question 45

Welche der folgenden Aussagen über die Ableitung einer Funktion ist richtig?

Accepted Answer

Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle gibt die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an diesem Punkt an.

Answer

Die Ableitung einer Funktion ist immer positiv.

Answer

Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle liefert den Funktionswert an dieser Stelle.

Question 46

Welche Aussage über die Fläche unter dem Graphen einer Funktion ist zutreffend?

Accepted Answer

Die Fläche unter dem Graphen einer Funktion kann durch das bestimmte Integral berechnet werden.

Answer

Die Fläche unter dem Graphen einer Funktion ist stets positiv.

Answer

Die Fläche unter dem Graphen einer Funktion kann nur für lineare Funktionen berechnet werden.

Question 47

Welche der folgenden Funktionen ist eine Exponentialfunktion?

Accepted Answer

f(x) = 2 hoch x

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x hoch 2

Answer

f(x) = sin(x)

Question 48

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 2 stetig?

Accepted Answer

f(x) = x² - 4

Answer

g(x) = 1 / (x - 2)

Answer

k(x) = Quadratwurzel aus (x - 2)

Answer

h(x) = |x - 2|

Question 49

Die Ableitung der Funktion f(x) = 3x² + 2x - 1 lautet:

Accepted Answer

f'(x) = 6x + 2

Answer

f'(x) = 9x + 2

Answer

f'(x) = 3x + 2

Answer

f'(x) = 6x² + 2x

Question 50

Die Funktion f(x) = x³ - 3x² + 2x besitzt einen Wendepunkt bei:

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = 0

Answer

x = -1

Answer

x = 2

Question 51

Bestimme den Grenzwert der Funktion f(x) = (x² - 1) / (x - 1) für x, das gegen 1 strebt.

Accepted Answer

2

Answer

∞

Answer

1

Answer

0

Question 52

Die Tangente an die Funktion f(x) = x³ an der Stelle x = 2 hat die Steigung:

Accepted Answer

12

Answer

24

Answer

6

Answer

8

Question 53

Welche Aussage trifft für eine Funktion f(x) zu, deren erste Ableitung f'(x) im Intervall [a, b] positiv ist?

Accepted Answer

Die Funktion ist in [a, b] streng monoton steigend.

Answer

Die Funktion ist in [a, b] streng monoton fallend.

Answer

Die Funktion hat in [a, b] ein lokales Maximum.

Question 54

Eine Funktion f(x) hat ein lokales Minimum bei x = c. Welche Aussage über die erste Ableitung f'(x) an der Stelle x = c ist korrekt?

Accepted Answer

f'(c) = 0

Answer

f'(c) < 0

Answer

f'(c) > 0

Answer

f'(c) ist nicht definiert

Question 55

Die Funktion f(x) = sin(x) hat die Periode:

Accepted Answer

2π

Answer

4π

Answer

π

Question 56

Welche Funktion ist die Stammfunktion von f(x) = 2x + 1?

Accepted Answer

F(x) = x² + x + C

Answer

F(x) = x² + 2x + C

Answer

F(x) = 2x² + x + C

Question 57

Die Fläche zwischen der x-Achse und der Funktion f(x) = x² im Intervall [0, 2] beträgt:

Accepted Answer

8/3

Answer

4

Answer

2

Answer

4/3

Question 58

Welche der folgenden Funktionen ist stetig im Punkt x = 2?

Accepted Answer

f(x) = x² - 3

Answer

f(x) = [x]

Answer

f(x) = |x - 2|

Answer

f(x) = 1 / (x - 2)

Question 59

Was ist die Ableitung der Funktion f(x) = 3x⁴ - 2x² + 5?

Accepted Answer

f'(x) = 12x³ - 4x

Answer

f'(x) = 12x⁴ - 4x²

Answer

f'(x) = 12x³ - 4x + 5

Answer

f'(x) = 3x³ - 2x

Question 60

Die Funktion f(x) = x³ - 6x² + 9x hat einen lokalen Extremwert an der Stelle x = ...?

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = 3

Answer

x = 0

Answer

x = -1

Question 61

Was ist die Gleichung der Tangente an die Funktion f(x) = 2x² - 1 an der Stelle x = 1?

Accepted Answer

y = 4x - 3

Answer

y = 2x + 1

Answer

y = 2x - 1

Answer

y = 4x + 1

Question 62

Welche der folgenden Aussagen über die Funktion f(x) = e^x ist korrekt?

Accepted Answer

f(x) ist streng monoton steigend.

Answer

f(x) ist periodisch.

Answer

f(x) hat eine Nullstelle bei x = 0.

Question 63

Ein Auto fährt mit einer Geschwindigkeit von v(t) = 2t² + 3t m/s. Wie weit fährt das Auto in den ersten 2 Sekunden?

Accepted Answer

16 m

Answer

20 m

Answer

10 m

Answer

8 m

Question 64

Welcher Grenzwert gilt für lim (x→2) (x² - 4) / (x - 2)?

Accepted Answer

4

Answer

2

Answer

0