Folgen und Reihen: Online-Quizze für die Fachoberschule

Question 1

Wie lässt sich eine einfache Hash-Funktion unter Verwendung einer Potenzreihe erstellen?

Accepted Answer

Approximieren Sie die Eingabefunktion durch eine Potenzreihe und nutzen Sie deren Koeffizienten als Hash-Wert.

Answer

Berechnen Sie den Hash-Wert über die Ableitung der Eingabefunktion.

Answer

Ermitteln Sie den Hash-Wert durch Integration der Eingabefunktion.

Answer

Bestimmen Sie den Hash-Wert als Grenzwert der Eingabefunktion.

Question 2

Überprüfen Sie die Konvergenz der alternierenden Reihe $sum_{n=1}^infty (-1)^n rac{n}{n^2 + 1}$.

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert nach dem alternierenden Reihenkriterium.

Answer

Die Reihe divergiert nach dem Divergenzkriterium.

Answer

Die Reihe konvergiert nach dem Majorantenkriterium.

Answer

Die Reihe divergiert nach dem Quotientenkriterium.

Question 3

Was ist die Summe der harmonischen Reihe?

Accepted Answer

∞

Answer

1

Answer

π

Answer

e

Question 4

Welches der folgenden Kriterien beschreibt die Konvergenz einer Reihe korrekt?

Accepted Answer

Die Summe der absoluten Beträge der Glieder konvergiert.

Answer

Das erste Glied der Reihe geht gegen Null.

Answer

Die Glieder der Reihe sind monoton fallend.

Answer

Die Summe der Glieder ist beschränkt.

Question 5

Untersuche die Folge $a_n = (-1)^n · n$ auf Konvergenz.

Accepted Answer

Die Folge divergiert.

Answer

Die Aussage lässt sich nicht treffen.

Answer

Die Folge konvergiert gegen 1.

Answer

Die Folge konvergiert gegen 0.

Question 6

Gib die Ableitung der Funktion $f(x) = e^{x^2} + ln(x^3)$ an.

Accepted Answer

$f'(x) = 2xe^{x^2} + rac{3}{x}$

Answer

$f'(x) = x^2e^{x^2} + rac{3}{x}$

Answer

$f'(x) = e^{x^2} + rac{3}{x^3}$

Question 7

Gegeben ist die Folge (a_n) mit a_n = (n² + 1) / (n + 1). Bestimme den Grenzwert von (a_n) für n gegen unendlich, sofern vorhanden.

Accepted Answer

1

Answer

unendlich

Answer

0

Answer

n

Question 8

Gib die Maclaurin-Reihe der Funktion f(x) = ln(1 + x) an.

Accepted Answer

Σ ((-1)^(n+1) * x^n) / n

Answer

Σ ((1/x)^n) / n

Answer

Σ ((-1)^n * x^n) / n

Answer

Σ (x^n) / n

Question 9

Welche Aussage über die Reihe ∑_n=1^∞ (1/n^2) trifft zu?

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert.

Answer

Die Reihe ist monoton wachsend.

Answer

Die Reihe divergiert.

Answer

Die Reihe ist alternierend.

Question 10

Bestimmen Sie die Grenzfunktion der Folge (fn(x)) = (x-1)^n / n mit n → ∞ für x < 1.

Accepted Answer

f(x) = 0

Answer

f(x) = x

Answer

f(x) = 1

Answer

f(x) = x^2

Question 11

Welche Aussage über konvergente Folgen ist korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig.

Answer

Konvergente Folgen sind immer monoton.

Answer

Die Grenzfunktion einer konvergenten Folge ist immer stetig.

Question 12

Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge a_n = (n^2 + 1)/(n^2 - 1).

Accepted Answer

1

Answer

-1

Answer

0

Answer

∞

Question 13

Welche der folgenden Reihen ist divergent?

Accepted Answer

∑n

Answer

∑(1/n^2)

Answer

∑(-1)^n

Question 14

Welche Aussage über die harmonische Reihe ∑(1/n) ist korrekt?

Accepted Answer

Die harmonische Reihe ist divergent.

Answer

Die harmonische Reihe ist eine geometrische Reihe.

Answer

Die harmonische Reihe ist konvergent.

Question 15

Welche der folgenden Aussagen ist ein Beispiel für eine Anwendung der Integralrechnung in der Analysis von Folgen und Reihen?

Accepted Answer

Die Berechnung der Summe einer unendlichen Reihe durch Integration.

Answer

Die Bestimmung der Ableitung einer Funktion durch Integration.

Answer

Die Berechnung des Grenzwerts einer Folge durch Differenziation.

Question 16

Welche der folgenden Folgen konvergiert gegen Null (ist eine Nullfolge)?

Accepted Answer

a_n = 1/(n+1)

Answer

a_n = (-1)^n

Answer

a_n = 2^n

Answer

a_n = n

Question 17

Das Majorantenkriterium für Reihenkonvergenz besagt, dass eine Reihe ∑a_n konvergiert, wenn...

Accepted Answer

eine konvergente Reihe ∑b_n existiert, für die |a_n| ≤ b_n für alle n gilt.

Answer

eine divergente Reihe ∑b_n existiert, für die |a_n| ≤ b_n gilt.

Answer

eine konvergente Reihe ∑b_n existiert, für die a_n ≤ b_n gilt.

Question 18

Welche Aussage trifft auf die Folge ( a_n = rac{(-1)^n}{n} ) zu?

Accepted Answer

Die Folge konvergiert gegen Null.

Answer

Die Folge konvergiert gegen -1.

Answer

Die Folge konvergiert gegen 1/2.

Answer

Die Folge divergiert.

Question 19

Bestimmen Sie den Grenzwert der Reihe ( sum_{n=1}^infty rac{1}{n(n+1)} ).

Accepted Answer

1

Answer

∞

Answer

1/4

Answer

0

Question 20

Welche Aussage trifft auf die Reihe ( sum_{n=1}^infty rac{n^2}{e^n} ) zu?

Accepted Answer

Die Reihe ist absolut konvergent.

Answer

Die Reihe ist alternierend konvergent.

Answer

Die Reihe ist divergent.

Answer

Die Reihe ist bedingt konvergent.

Question 21

Geben Sie die Taylorentwicklung zweiter Ordnung für die Funktion ( f(x) = e^x ) um den Punkt ( x = 0 ) an.

Accepted Answer

( 1 + x + rac{x^2}{2} )

Answer

( 1 + x^2 )

Answer

( 1 + 2x + x^2 )

Answer

( x + x^2 )

Question 22

Welche Aussage trifft auf die Funktion ( f(x) = rac{1}{x^2} ) zu?

Accepted Answer

Die Funktion hat einen Pol zweiter Ordnung bei ( x = 0 ).

Answer

Die Funktion besitzt keine Pole.

Answer

Die Funktion hat einen Pol erster Ordnung bei ( x = 0 ).

Question 23

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe ( sum_{n=0}^infty rac{x^n}{3^n} ).

Accepted Answer

3

Answer

∞

Answer

1

Answer

0

Question 24

Welche Aussage trifft auf die Reihe ( sum_{n=1}^infty rac{sin(n)}{n^2} ) zu?

Accepted Answer

Die Reihe ist absolut konvergent.

Answer

Die Reihe ist alternierend konvergent.

Answer

Die Reihe ist bedingt konvergent.

Answer

Die Reihe ist divergent.

Question 25

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion ( f(x) = sum_{n=0}^infty rac{x^{2n}}{2^n} ).

Accepted Answer

( sum_{n=1}^infty nx^{2n-1} )

Answer

( sum_{n=0}^infty x^{2n} )

Answer

( sum_{n=0}^infty 2nx^{2n-1} )

Answer

( sum_{n=1}^infty 2^n x^{2n-1} )

Question 26

Welche der folgenden Aussagen über die Funktion ( f(x) = rac{x^3-1}{x-1} ) ist richtig?

Accepted Answer

Die Funktion hat eine Polstelle erster Ordnung an der Stelle ( x = 1 ).

Answer

Die Funktion hat keine Polstellen.

Answer

Die Funktion hat eine Polstelle zweiter Ordnung an der Stelle ( x = 1 ).

Question 27

Bestimmen Sie das Integral der Funktion ( f(x) = sum_{n=0}^infty rac{x^n}{n!} ).

Accepted Answer

( sum_{n=0}^infty rac{x^{n+1}}{(n+1)!} + C )

Answer

( x + C )

Answer

( e^x + C )

Answer

( sum_{n=1}^infty rac{x^{n-1}}{n!} + C )