Differentialgleichungen: Online-Quizzes für die 13. Klasse Fachoberschule

Question 1

Welche Arten von Singularitäten gibt es bei gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung und wie beeinflussen sie die Lösungen?

Accepted Answer

Reguläre Singularität: Koeffizienten stetig, kein Pol

Accepted Answer

Wesentliche Singularität: Koeffizienten mit Pol oder unendlich

Accepted Answer

Entfernbare Singularität: Hebbare Unstetigkeit

Answer

Singularität erster Ordnung: Höchste Ableitungsordnung im Nenner gleich eins (nicht korrekt)

Question 2

Welche Aussage trifft auf die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen nichtlinearer Differentialgleichungen erster Ordnung zu?

Accepted Answer

Wenn die rechte Seite einer nichtlinearen Differentialgleichung erster Ordnung Lipschitz-stetig ist, existiert eine eindeutige Lösung.

Answer

Nichtlineare Differentialgleichungen erster Ordnung haben immer eindeutige Lösungen.

Answer

Der Satz von Picard-Lindelöf gilt nur für lineare Differentialgleichungen.

Answer

Die Lipschitz-Stetigkeit der rechten Seite ist für die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen nichtlinearer Differentialgleichungen erster Ordnung unerheblich.

Question 3

Welche Eigenschaft ist charakteristisch für chaotische Lösungen in nichtlinearen Differentialgleichungssystemen?

Accepted Answer

Empfindlichkeit gegenüber Anfangsbedingungen

Answer

Regelmäßige und vorhersehbare Dynamik

Answer

Ausschließlich in linearen Differentialgleichungssystemen

Answer

Exakte Lösbarkeit durch analytische Methoden

Question 4

Erläutert die Bedeutung von Anfangs- und Randbedingungen für die eindeutige Bestimmung von Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen.

Accepted Answer

Anfangsbedingungen legen den Startwert der Lösung fest, Randbedingungen legen den Wert der Lösung an den Intervallgrenzen fest.

Answer

Anfangsbedingungen sind nur für lineare Differentialgleichungen nötig, Randbedingungen nur für nichtlineare.

Answer

Randbedingungen sind überflüssig, da sie sich aus den Anfangsbedingungen ergeben.

Answer

Anfangs- und Randbedingungen sind nur für Differentialgleichungen höherer Ordnung relevant.

Question 5

Was ist ein Bifurkationspunkt in nichtlinearen Differentialgleichungssystemen und welche Bedeutung hat er für das Systemverhalten?

Accepted Answer

Ein Bifurkationspunkt ist ein Parameterwert, bei dem sich die Anzahl oder Stabilität der Gleichgewichtspunkte des Systems plötzlich ändert.

Answer

Ein Bifurkationspunkt ist ein Punkt im Phasenraum, an dem sich eine Trajektorie in mehrere Zweige aufteilt.

Answer

Ein Bifurkationspunkt ist ein Punkt, an dem das System immer instabil wird.

Answer

Ein Bifurkationspunkt hat keine Auswirkungen auf das Systemverhalten.

Question 6

Welche Aussage über das Anfangswertproblem $$y' = y+2,quad y(0)=1$$ trifft zu?

Accepted Answer

Das Anfangswertproblem hat genau eine Lösung.

Answer

Das Anfangswertproblem hat keine Lösung.

Answer

Das Anfangswertproblem hat unendlich viele Lösungen.

Answer

Das Anfangswertproblem kann nur numerisch gelöst werden.

Question 7

Welche der folgenden Aussagen definiert eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung korrekt?

Accepted Answer

Eine Gleichung in der Form y' + p(x) * y = q(x), wobei p(x) und q(x) stetige Funktionen sind.

Answer

Eine Gleichung in der Form y'' + p(x) * y' + q(x) * y = r(x), wobei p(x), q(x) und r(x) stetige Funktionen sind.

Answer

Eine Gleichung in der Form y' + y^2 = x.

Question 8

Welche Eigenschaft kennzeichnet die allgemeine Lösung einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

Enthält eine freie Konstante

Answer

Ist durch eine Anfangsbedingung eindeutig bestimmt

Answer

Ist immer eine Exponentialfunktion

Answer

Ist unabhängig von der Anfangsbedingung

Question 9

Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y' = x*y:

Accepted Answer

y = C*e^(x^2/2)

Answer

y = C*e^(-x^2/2)

Answer

y = C*x^2

Answer

y = C/x^2

Question 10

Welche Anfangsbedingung ist notwendig, damit eine Differentialgleichung der Ordnung n eine eindeutige Lösung besitzt?

Accepted Answer

n Anfangswerte

Answer

n-1 Anfangswerte

Answer

2n Anfangswerte

Answer

n+1 Anfangswerte

Question 11

Welche der folgenden Funktionen ist eine Lösung der Differentialgleichung y' = -y?

Accepted Answer

y = C*e^-x

Answer

y = C*e^x

Answer

y = C*x

Answer

y = C/x

Question 12

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine partielle Differentialgleichung?

Accepted Answer

y' = f(x,y)

Answer

y'' + y = 0

Answer

y''' - y' = x

Answer

y = f(x) + g(y)

Question 13

Welche der folgenden Aussagen zur Differentialgleichung y' + 2y = e^x ist richtig?

Accepted Answer

Sie ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

Answer

Sie ist eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung.

Answer

Sie ist eine homogene Differentialgleichung.

Question 14

Welche der folgenden Methoden kann verwendet werden, um die Differentialgleichung y' = y^2 zu lösen?

Accepted Answer

Separation der Variablen

Answer

Lösen einer quadratischen Gleichung

Answer

Numerische Integration

Answer

Variation der Konstanten

Question 15

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine separable Differentialgleichung?

Accepted Answer

y' = y / x

Answer

y' = sin(y)

Answer

y' = y + x

Answer

y' = y^2

Question 16

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit nichtkonstanten Koeffizienten?

Accepted Answer

y' + p(x)y = q(x)

Answer

y'' + p(x)y' + q(x)y = 0

Answer

y' = y^2

Answer

y' = sin(y)

Question 17

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung?

Accepted Answer

y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)

Answer

y' = y^2 + g(x)

Answer

y' = sin(y) + g(x)

Answer

y'' + p(x)y' + q(x)y = 0

Question 18

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

u_x + u_y = 0

Answer

u_x = u^2 + v

Answer

u_y = sin(v)

Answer

u_xx + u_yy = 0

Question 19

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine nichtlineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung?

Accepted Answer

u_xx + u_yy = u^2

Answer

u_x + u_y = 0

Answer

u_xx + u_yy = 0

Answer

u_x = u^2 + v

Question 20

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt die Lösungsmenge einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

Unendlich viele Funktionen, die einer Schar von Kurven entsprechen

Answer

Eine einzige Funktion

Answer

Eine unendliche Anzahl beliebiger Funktionen

Answer

Eine leere Menge

Question 21

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist nicht-linear?

Accepted Answer

y' = y^2 + 1

Answer

y' = 2y + 1

Answer

y' = x*y

Answer

y' + y = 0

Question 22

Nenne eine wichtige Anwendung von Differentialgleichungen im Alltag.

Accepted Answer

Modellierung von Wachstumsprozessen (z. B. Bakterienkulturen)

Answer

Lösen algebraischer Gleichungen

Answer

Erstellung von Zeitplänen

Answer

Berechnung von Flächeninhalten

Question 23

Welche Randbedingung ist für die eindeutige Bestimmung der Lösung einer Differentialgleichung erforderlich?

Accepted Answer

Für gewöhnliche Differentialgleichungen: Anfangsbedingung

Answer

Grenzbedingung

Answer

Periodische Bedingung

Answer

Keine Bedingung

Question 24

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung?

Accepted Answer

y'' - y' + y = 0

Answer

y' = 2y

Answer

y''' + y = 0

Question 25

Wann ist eine Differentialgleichung eine exakte Differentialgleichung?

Accepted Answer

Wenn ∂M/∂y = ∂N/∂x ist (bei M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0)

Answer

Wenn ∂M/∂x = ∂N/∂y

Answer

Wenn M(x,y)dx - N(x,y)dy = 0

Question 26

Welche Differentialgleichung beschreibt den radioaktiven Zerfall einer Substanz?

Accepted Answer

y' = -k * y

Answer

y' = k * y^2

Answer

y' = k * y

Question 27

Welche Aussage über die Lösung der Differentialgleichung y' = x * y^2 ist richtig?

Accepted Answer

Die Lösung ist eine implizite Funktion.

Answer

Die Lösung ist eine konstante Funktion.

Answer

Die Lösung ist eine trigonometrische Funktion.

Answer

Die Lösung ist eine explizite Funktion.

Question 28

Welche Differentialgleichung beschreibt die Bewegung eines Körpers unter dem Einfluss der Schwerkraft?

Accepted Answer

y'' = -g

Answer

y' = -g

Answer

y' = g

Answer

y'' = g

Question 29

Welche Differentialgleichung beschreibt die Ausbreitung von Schallwellen in einem Medium?

Accepted Answer

y'' - c^2 * y = 0

Answer

y' + c^2 * y = 0

Answer

y'' + c^2 * y = 0

Answer

y' - c^2 * y = 0

Question 30

Welche der folgenden Aussagen ist richtig für die gewöhnliche Differentialgleichung y' = y + 2?

Accepted Answer

Sie ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung.

Answer

Sie ist eine nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung.

Answer

Sie ist eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung.

Question 31

Welche der folgenden Differentialgleichungen beschreibt die Bewegung eines Feder-Masse-Systems?

Accepted Answer

y'' + ω²y = 0

Answer

y'' + ωy = 0

Answer

y' + ω²y = 0

Answer

y' + ωy = 0

Question 32

Welche der folgenden Aussagen ist richtig für die Differentialgleichung y' = y(y - a)?

Accepted Answer

Sie hat ein instabiles Gleichgewicht bei y = 0 und ein stabiles Gleichgewicht bei y = a.

Answer

Sie hat ein stabiles Gleichgewicht bei y = 0 und ein instabiles Gleichgewicht bei y = a.

Answer

Sie hat zwei instabile Gleichgewichte bei y = 0 und y = a.

Question 33

Berechnen Sie die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichung: ydx + xdy = 0

Accepted Answer

xy = C

Answer

y = Cx

Answer

x + y = C

Answer

x = Cy

Question 34

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

u_x + u_y = 0

Answer

u' = u + x

Answer

u''' = 0

Answer

u'' + u' = 0

Question 35

Für die Differentialgleichung y' = x - y gilt:

Accepted Answer

Es handelt sich um eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung.

Answer

Es handelt sich um eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung.

Answer

Es handelt sich um eine nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung.

Question 36

Welche Lösungsmethode ist für die Differentialgleichung y' = y^2 anwendbar?

Accepted Answer

Trennung der Variablen

Answer

Variation der Konstanten

Answer

Integration durch Substitution

Answer

Numerische Methoden

Question 37

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y' = x^2 + 1 weist folgende Eigenschaft auf:

Accepted Answer

Sie enthält eine Integrationskonstante.

Answer

Sie ist eine transzendente Funktion.

Answer

Sie ist eine Exponentialfunktion.

Answer

Sie ist eine rationale Funktion.

Question 38

In der Physik werden Differentialgleichungen häufig verwendet zur:

Accepted Answer

Modellierung harmonischer Schwingungen

Answer

Lösen von linearen Gleichungssystemen

Answer

Ermittlung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Answer

Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers

Question 39

Welche der folgenden Gleichungen ist eine partielle Differentialgleichung?

Accepted Answer

∂u/∂t + ∂u/∂x = 0

Answer

y = sin(x) * cos(x)

Answer

(y'')^2 + y = x

Answer

y' = x - y

Question 40

Welche Bedingung ist notwendig für die Existenz einer eindeutigen Lösung eines Anfangswertproblems?

Accepted Answer

Die rechte Seite der Differentialgleichung ist stetig in der Umgebung des Anfangspunktes.

Answer

Die Differentialgleichung ist linear.

Answer

Die Differentialgleichung hat konstante Koeffizienten.

Question 41

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y'' - 4y' + 4y = 0 lautet:

Accepted Answer

y = c1 * e^(2x) + c2 * e^(-2x)

Answer

y = x * (c1 * sin(2x) + c2 * cos(2x))

Answer

y = x^2 * (c1 * e^(2x) + c2 * e^(-2x))

Question 42

Eine Differentialgleichung ist stabil, wenn:

Accepted Answer

Ihre Lösungen nach einer Störung gegen Null konvergieren.

Answer

Ihre Lösungen nach einer Störung vom Gleichgewichtszustand weglaufen.

Answer

Ihre Stabilität unabhängig von den Anfangsbedingungen ist.

Question 43

Welche der folgenden Gleichungen ist eine exakte Differentialgleichung?

Accepted Answer

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, wenn ∂M/∂y = ∂N/∂x

Answer

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, wenn ∂N/∂y = 0

Answer

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, wenn ∂M/∂x = 0

Answer

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, wenn M = N

Question 44

Welche der folgenden Gleichungen ist eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung?

Accepted Answer

u_xx + u_yy = 0

Answer

u_x^2 + u_y^2 = 0

Answer

u_x + u_y = 0

Answer

u_x * u_y = 0

Question 45

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die charakteristische Gleichung einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung korrekt?

Accepted Answer

Die durch Ersetzen von y(x) = e^(rx) in die Differentialgleichung entstehende Gleichung

Answer

Die durch Ersetzen von y(x) = x^r in die Differentialgleichung entstehende Gleichung

Answer

Die durch Ersetzen von y(x) = sin(rx) in die Differentialgleichung entstehende Gleichung

Question 46

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung korrekt?

Accepted Answer

Eine Gleichung, die die Ableitung einer Funktion nach einer Variablen enthält

Answer

Eine Gleichung, die die Exponentialfunktion einer Variablen enthält

Answer

Eine Gleichung, die das Integral einer Funktion nach zwei Variablen enthält

Question 47

Welche Lösungsmethode ist für die Differentialgleichung y' + y = e^x am geeignetsten?

Accepted Answer

Integrierender Faktor

Answer

Variation der Konstanten

Answer

Trennung der Variablen

Answer

Laplace-Transformation

Question 48

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Differentialgleichung eine eindeutige Lösung besitzt?

Accepted Answer

Lipschitz-Bedingung

Answer

Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Answer

Satz von Lagrange

Answer

Satz von Rolle

Question 49

In welchem Bereich findet Differentialgleichungen Anwendung?

Accepted Answer

Modellierung des Populationswachstums

Answer

Auflösen von Matrizen

Answer

Ableiten von Funktionen

Answer

Berechnung des Flächeninhalts

Question 50

Welche Art von Singularität liegt im Punkt (0,0) der Differentialgleichung y' = -xy vor?

Accepted Answer

Abhebbarer Singularität

Answer

Wesentliche Singularität

Answer

Pol

Answer

Regelmäßige Singularität

Question 51

Welche Aussage beschreibt die Lösungen der Differentialgleichung y'' + y = sec(x)?

Accepted Answer

Für x ≠ π/2 existieren zwei linear unabhängige Lösungen.

Answer

Es existiert eine eindeutige Lösung für alle x.

Answer

Die Lösung ist periodisch.

Question 52

Welche der folgenden Gleichungen ist eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung?

Accepted Answer

∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0

Answer

y''' + y' = e^x

Answer

y' + y = x

Answer

y'' - 2y' + y = 0

Question 53

Welche Aussage beschreibt die Stabilität des Gleichgewichtspunkts y=0 in der Differentialgleichung y' = y(1-y)?

Accepted Answer

Stabil

Answer

Neutral

Answer

Semi-stabil

Answer

Instabil

Question 54

Welche Lösungsmethode kann **effizient** für die Differentialgleichung y' = xy angewendet werden?

Accepted Answer

Trennung der Variablen

Answer

Multiplikation mit dem integrierenden Faktor

Answer

Variation der Konstanten

Answer

Laplace-Transformation

Question 55

Welche Differentialgleichung beschreibt den **exponentiellen Zerfall** eines radioaktiven Stoffs?

Accepted Answer

y' = -ky

Answer

y'' = ky

Answer

y' = ky

Answer

y' = ky^2

Question 56

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine **partielle** Differentialgleichung **erster Ordnung**?

Accepted Answer

u_x + u_y = 0

Answer

y' = y / x

Answer

y'' + 2y' + y = 0

Answer

y' = x^2

Question 57

Welche Methode kann verwendet werden, um die Stabilität eines **linearen** Differentialgleichungssystems in Bezug auf seine **Eigenwerte** zu untersuchen?

Accepted Answer

Eigenwertanalyse

Answer

Fourier-Analyse

Answer

Laplace-Transformation

Answer

Numerische Simulation

Question 58

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine Differentialgleichung **zweiter Ordnung**?

Accepted Answer

y'' + 3y' + 2y = 0

Answer

y' + y = x^2

Answer

y' = y / x^2

Answer

y' = xy

Question 59

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung?

Accepted Answer

y' + xy = 0

Answer

y'' - y' + y = 0

Answer

y' = x^2 + y^2

Answer

y' = sin(y)

Question 60

Welche der folgenden Funktionen ist eine Lösung der Differentialgleichung y' = y?

Accepted Answer

y = Ce^x

Answer

y = sin(x)

Answer

y = x

Answer

y = x^2

Question 61

In welchem Bereich der Physik finden Differentialgleichungen häufig Anwendung?

Accepted Answer

Modellierung von Schwingungen

Answer

Finanzmodellierung

Answer

Soziale Netzwerkanalyse

Answer

Steuerungsverfahren

Question 62

Welche der folgenden Differentialgleichungen beschreibt eine gedämpfte Schwingung?

Accepted Answer

y'' + 2y' + y = 0

Answer

y'' - 2y' + y = 0

Answer

y'' + y = 0

Answer

y'' - y' + y = 0

Question 63

Welche Methode eignet sich besonders gut zur Lösung von Systemen von Differentialgleichungen?

Accepted Answer

Matrizenrechnung

Answer

Variationsrechnung

Answer

Integrierfaktor

Answer

Separation der Variablen

Question 64

Was ist ein wesentlicher Nachteil der numerischen Lösung von Differentialgleichungen?

Accepted Answer

Mögliche Approximationsfehler

Answer

Keine Notwendigkeit für Anfangsbedingungen

Answer

Anwendbarkeit nur auf lineare Gleichungen

Answer

Immer exakte Lösungen